期末各名校真题必刷题（高频60题）-2023-2024学年七年级数学下学期期中期末考点归纳满分攻略讲练（北师大版）

期末各名校真题必刷题（高频60题） 一．选择题（共25小题） 1．若x+3y﹣2＝0，则3x⋅27y＝（　　） A．﹣9 B．9 C．﹣6 D．6 2．如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点F在AC上，其中∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，∠EFD＝90°，∠DEF＝45°，AB∥DE，则∠EFC的度数是（　　） A．60° B．65° C．70° D．75° 3．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，阴影部分的面积为2，则△ABC的面积是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 4．如图，直线l1∥l2，分别与直线l交于点A，B，把一块含30°角的三角尺按如图所示的位置摆放．若∠1＝50°，则∠2的度数是（　　） A．130° B．100° C．90° D．70° 5．如果（x﹣4）（x+8）＝x2+mx+n，那么m、n的值分别是（　　） A．m＝4，n＝32 B．m＝4，n＝﹣32 C．m＝﹣4，n＝32 D．m＝﹣4，n＝﹣32 6．如图，点C是线段BG上的一点，以BC，CG为边向两边作正方形，面积分别是S1和S2，两正方形的面积和S1+S2＝40，已知BG＝8，则图中阴影部分面积为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 7．如果x2+2ax+9是一个完全平方式，则a的值是（　　） A．3 B．﹣3 C．3或﹣3 D．9或﹣9 8．已知10x＝m，10y＝n，则102x+3y等于（　　） A．2m+3n B．m2+n2 C．6mn D．m2n3 9．如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，AC，BD交于点M，连接OM，下列结论：①∠AMB＝40°；②AC＝BD；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC，其中正确的是（　　） A．①②④ B．①②③ C．①②③④ D．②③④ 10．如图，在△ABC中AB＝AC，BC＝4，面积是20，AC的垂直平分线EF分别交AC、AB边于E、F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 11．下列运算正确的是（　　） A．a10÷a2＝a5 B．a2+a2＝a4 C．（a+b）2＝a2+b2 D．（a2）3＝a6 12．如图，AB∥DE，FG⊥BC于F，∠CDE＝35°，则∠FGB＝（　　） A．40° B．55° C．65° D．70° 13．用尺规作图作∠BAC的平分线AD，痕迹如图所示，则此作图的依据是（　　） A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS 14．如图，AB∥EF，设∠C＝90°，那么x、y和z的关系是（　　） A．y＝x+z B．x+y﹣z＝90° C．x+y+z＝180° D．y+z﹣x＝90° 15．如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，则△ABC的面积是（　　） A．10 B．12 C．20 D．24 16．将一副直角三角尺按如图所示的不同方式摆放，则图中锐角∠α与∠β相等的是（　　） A． B． C． D． 17．如图，一副三角板（直角顶点重合）摆放在桌面上，若∠AOD＝160°，则∠BOC等于（　　） A．20° B．30° C．40° D．50° 18．如图，射线OC的端点O在直线AB上，∠AOC＝40°，点D在平面内，∠BOD与∠AOC互余，则∠DOC的度数为（　　） A．40° B．50° C．50°或130° D．90°或170° 19．有两个正方形A、B．现将B放在A的内部得图甲；将A、B并列放置后，构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，则A、B两个正方形的面积之和为（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 20．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与BC的垂直平分线交于点P，连接CP，若∠A＝75°，∠ACP＝12°，则∠ABP的度数为（　　） A．12° B．31° C．53° D．75° 21．四边形ABCD中，∠BAD＝122°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，当三角形AMN周长最小时，∠MAN的度数为（　　） A．58° B．64° C．61° D．74° 22．如图，∠BAC＝140°，若DM和EN分别垂直平分AB和AC，则∠DAE等于（　　） A．100° B．90° C．80° D．70° 23．如图，在等腰△ABC与等腰△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝α，连接BD和CE交于点P，BD交AC于点M，CE交AD于点N，连接AP．下列结论： ①BD＝CE； ②∠BPE＝180°﹣2α； ③PA平分∠BPE； ④若α＝60°，则PE＝AP+PD． 其中正确的结论是（　　） A．①② B．①②③ C．①③ D．①③④ 24．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠C＝90°，E是BC上一点，AE、ED分别平分∠BAD、∠CDA，若AB＝12，DC＝4，则AD等于（　　） A．12 B．16 C．18 D．20 25．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3，△ABD的周长为13，△ABC的周长为（　　） A．16 B．13 C．19 D．10 二．填空题（共13小题） 26．将长方形ABCD沿AE折叠，得到如图的图形，已知∠CED′＝60°32′，则∠AED的度数是 　 　． 27．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB．若AC＝2，DE＝1，则S△ACD＝　 　． 28．若2x＝3，2y＝5，则22x+y＝　 　． 29．计算：2022×2024﹣20232＝　 　． 30．设有边长分别为a和b（a＞b）的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为a+b的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片．若要拼一个长为3a+b，宽为2a+2b的矩形，则需要C类纸片的张数为 　 　张． 31．如图，等腰△ABC面积为21，底边BC＝6，点D，F分别是AC，BC的中点，DH⊥AC交AB于H，点E是DH上一动点，则△CEF的周长的最小值为 　 　． 32．如图，△ABC中，∠B＝40°，点D为边BC上一点，将△ADC沿直线AD折叠后，点C落到点E处，若DE∥AB，则∠ADE的度数为 　 　°． 33．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，以大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝3，AB＝8，则△ABD的面积是 　 　． 34．如图，∠A＝∠B＝90°，点E在线段AB上，AD＝BE，DE＝CE＝1，则CD的长为 　 　． 35．如图，两个正方形的边长分别为a，b，若a+b＝10，ab＝20，则四边形ABCD的面积为　 　． 36．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D是线段BC上一点，∠ADC＝90°，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面的结论：①∠APO＝∠ACO；②∠APO+∠DCO＝40°；③AC＝AO+AP；④PO＝PC，其中正确的是 　 　．（填序号） 37．如图，把一个长方形纸片沿OG折叠后，C，D两点分别落在C'，D'两点处，若∠AOD'：∠D'OG＝4：3，则∠DOG＝　 　度． 38．如图，将一副三角板的两直角顶点重合放置，已知∠ACE＝150°40'，则∠ACD的余角的度数为 　 　°． 三．解答题（共22小题） 39．已知（3x﹣m）（x2+x+1）的展开式中不含x的二次项，a2+5b2+4（ab+b+1）＝0，求： （1）m的值； （2）（a﹣b）m的值． 40． 先化简，再求值：（a﹣2）（a+2）﹣a（a﹣2），其中a＝3． 41．如图，在直角坐标系中，A（﹣1，5），B（﹣3，0），C（﹣4，3）． （1）在图中作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1； （2）写出点A1，B1，C1的坐标； （3）求△ABC的面积． 42．如图，已知∠A＝∠D＝90°，点E、点F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝DC，BE＝CF．求证：OE＝OF． 43．如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠C＝60°，DE是AB的垂直平分线，DE分别交AB、AC于点D和E． （1）尺规作图：求作DE（保留作图痕迹，不写作法）； （2）连接EB，求∠EBC的度数． 44．【阅读理解】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，基于此，请解答下列问题： 【类比应用】 （1）①若xy＝8，x+y＝6，则x2+y2的值为 　 　； ②若x（5﹣x）＝6，则x2+（5﹣x）2＝　 　； 【迁移应用】 （2）两块完全相同的特制直角三角板（∠AOB＝∠COD＝90°）如图2所示放置，其中A，O，D在一直线上，连接AC，BD，若AD＝14，S△AOC+S△BOD＝54，求一块三角板的面积． 45．（1）若关于a，b的多项式3（a2﹣2ab+b2）﹣（2a2﹣mab+2b2）中不含有ab项，则m的值为 　 　． （2）完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值． 解：∵a+b＝3，ab＝1， ∴（a+b）2＝9，2ab＝2， ∴a2+b2+2ab＝9， ∴a2+b2＝7． 根据上面的解题思路与方法解决下列问题： （i）如图，点C是线段AB上的一点，分别以AC，BC为边向直线AB两侧作正方形BCFG，正方形AEDC，设AB＝8，两正方形的面积和为40，则△AFC的面积为 　 　； （ii）若（9﹣x）（x﹣6）＝2，求（9﹣x）2+（x﹣6）2的值． 46．如图，△ABC的两条高AD与BE交于点O，AD＝BD，AC＝6． （1）求BO的长； （2）F是射线BC上一点，且CF＝AO，动点P从点O出发，沿线段OB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线AC以每秒4个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当△AOP与△FCQ全等时，求t的值． 47．端午小长假，小王一家开车去麦积山景区游玩，返程时从景区出发，其行驶路程s（千米）与时间t（小时）之间的关系如图所示．行驶一段时间到达C地时，汽车突发故障，需停车检修．为了能在高速公路恢复收费前下高速，车修好后加快了速度，结果恰好赶在24时前下高速．结合图中信息，解答下列问题： （1）上述问题中反映的是哪两个变量之间的关系？指出自变量和因变量． （2）汽车从景区到C地用了几小时？平均每小时行驶多少千米？ （3）车修好后每小时行驶多少千米？ 48．【感知】（1）如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC的度数． 小明的思路是：过点P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC． 按小明的思路，易求得∠APC的度数为 　 　度；（直接写出答案） 【探究】（2）如图2，AB∥CD，点P在射线OM上运动，记∠PAB＝∠α，∠PCD＝∠β，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由； 【迁移】（3）在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），试着探究∠APC与∠α、∠β之间的数量关系是否会发生变化，请从下面①和②中挑选—种情形，画出图形，写出结论，并说明理由． ①点P在线段OB上； ②点P在射线DM上． 49．如图，将一副直角三角板的直角顶点C叠放在一起． 【计算与观察】 （1）若∠DCE＝35°，则∠BCA＝　 　；若∠ACB＝150°，则∠DCE＝　 　； 【猜想与证明】 （2）猜想∠ACB与∠DCE的大小有何特殊关系？并说明理由． 【拓展与运用】 （3）若∠DCE：∠ACB＝2：7，求∠DCE的度数． 50．游泳池应定期换水，某游泳池在一次换水前存水936立方米，换水时关闭进水孔打开排水孔，以每小时78立方米的速度将水放完，当放水时间增加时，游泳池的存水随之减少，它们的变化情况如表： 放水时间/小时 1 2 3 4 5 6 游泳池的存水/立方米 858 780 702 　 　 546 　 　 （1）在这个变化过程中，自变量是 　 　，因变量是 　 　； （2）请将上述表格补充完整； （3）设放水时间为t小时，游泳池的存水量为Q立方米，写出Q与t的关系式（不要求写自变量范围）． 51．如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠CED＝∠AEB，AE交BD于点F． （1）求证：△AEC≌△BED； （2）求证：DE平分∠BDC． 52．如图1中三种不同大小的正方形与长方形，拼成了一个如图2所示的正方形． （1）请你直接写出三个代数式（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系：　 　； 根据（1）题中的等量关系，解决如下问题： （2）已知m+n＝7，m2+n2＝30，求（m﹣n）2的值； （3）已知（x﹣2022）2+（x﹣2024）2＝54，求（x﹣2023）2的值． 53．张华与爸爸妈妈在公园里荡秋千，如图，张华坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1.1m高的B处接住他后用力一推，爸爸在C处接住他．若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD，CE分别为1.6m和2m，∠BOC＝90°． （1）△OBD与△OCE全等吗？请说明理由； （2）爸爸是在距离地面多高的地方接住张华的？（提示：夹在两条平行线间的垂直线段都相等） 54．等边△ABC中，点D在边AB上，点E在边BC上．以DE为边，在DE右侧作等边△DEF，连接BF． （1）如图1，当点E与点C重合时，判断线段AD与BF的数量关系，并说明理由； （2）如图2，当点D是AB的中点时，点E从点C运动到点B的过程中（边BC的中点除外），求∠FBD的度数． 55．如图，某小区有一块长为（4a+b）米，宽为（3a+b）米的长方形土地，物业管理公司计划在阴影部分的区域进行绿化，中间修建一个正方形喷水池． （1）求绿化的面积是多少平方米？ （2）若a＝1，b＝2时，求绿化面积． 56．已知直线AM∥BN，点P是直线AM上的一个动点（不与点A重合），BC平分∠PBN，交直线AM于点C． （1）如图1，当点P在点A左侧时，若∠CPB＝40°，请直接写出∠PCB的度数，不必说明理由； （2）若∠MAB＝60°，BD平分∠PBA，交直线AM于点D． ①如图2，若点P在点A左侧运动时，∠DBC的度数是否会发生变化？若不变，求出该度数；若变化，请说明理由； ②∠ADB与∠ABC之间存在怎样的数量关系？请写出结论，并说明理由． 57．阅读下列材料 若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值． 设9﹣x＝a，x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5， ∴（4﹣x）2+（x﹣9）2＝（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17． 请仿照上面的方法求解下面问题： （1）若x满足（5﹣x）（x﹣2）＝2，求（5﹣x）2+（x﹣2）2的值； （2）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是48，分别以MF、DF为边作正方形． ①MF＝　 　，DF＝　 　；（用含x的式子表示） ②求阴影部分的面积． 58．已知，如图，在四边形ABCD中，∠D＝∠B＝90°，且AO平分∠BAC，点O是BD的中点． （1）求证：CO平分∠ACD； （2）求证：AC＝AB+CD． 59．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，点F在AC上，且BD＝DF． （1）求证：CF＝EB； （2）请你判断AE、AF与BE之间的数量关系，并说明理由． 60．完全平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2是多项式乘法中的重要公式之一，它经过适当变形可以解决很多数学问题． 例如：若a+b＝2，ab＝1，求a2+b2的值． 解：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝22﹣2×1＝2． 根据以上信息回答下列问题： （1）若m+n＝3，m2+n2＝52，求mn的值； （2）若a﹣2b＝3，ab＝1，求a2+4b2的值； （3）如图，点E、F分别是正方形ABCD的边AD与AB上的点，以AE、AF为边在正方形内部作面积为8的长方形AFGE，再分别以FG、EG为边作正方形FGPH和正方形GRQE．若图中阴影部分的面积为20，求长方形AFGE的周长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末各名校真题必刷题（高频60题） 一．选择题（共25小题） 1．若x+3y﹣2＝0，则3x⋅27y＝（　　） A．﹣9 B．9 C．﹣6 D．6 【答案】B 【解答】解：∵x+3y﹣2＝0， ∴x+3y＝2， ∴3x⋅27y＝3x⋅33y＝3x+3y＝32＝9． 故选：B． 2．如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点F在AC上，其中∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，∠EFD＝90°，∠DEF＝45°，AB∥DE，则∠EFC的度数是（　　） A．60° B．65° C．70° D．75° 【答案】D 【解答】解：如图， ∵∠EFD＝90°， ∴∠DEF+∠EDF＝90°， ∵∠DEF＝45°， ∴∠EDF＝90°﹣∠DEF＝90°﹣45°＝45°， ∵AB∥DE， ∴∠BGF＝∠EDF＝45°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ABC+∠BAC＝90°， ∵∠ABC＝60°， ∴∠BAC＝30°， ∵∠BGF是△AGF的一个外角， ∴∠BGF＝∠AFG+∠GAF， 即45°＝∠AFG+30°， ∴∠AFG＝15°， ∵∠EFD＝90°， ∴∠EFC＝180°﹣∠AFG﹣∠EFD＝180°﹣15°﹣90°＝75°， 故选：D． 3．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，阴影部分的面积为2，则△ABC的面积是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【解答】解：∵阴影部分的面积为2， ∴S△EBD+S△ACE＝2， 在△ABC中，D是BC的中点， ∴AD为△ABC的中线，ED为△EBC的中线， ∴S△ABD＝S△ACD，S△EBD＝S△ECD， ∴S△ABD﹣S△EBD＝S△ACD﹣S△ECD， ∴S△ABE＝S△ACE， ∵点E为AD的中点， ∴CE是△ACD的中线， ∴S△ACE＝S△ECD， ∴S△EBD＝S△ECD＝S△ABE＝S△ACE， ∴S△ABC＝2（S△EBD+S△ACE）＝2×2＝4． 故选：B． 4．如图，直线l1∥l2，分别与直线l交于点A，B，把一块含30°角的三角尺按如图所示的位置摆放．若∠1＝50°，则∠2的度数是（　　） A．130° B．100° C．90° D．70° 【答案】B 【解答】解：如图， ∵直线l1∥l2， ∴∠1＝∠3， ∵∠1＝50°， ∴∠3＝50°， 由题意知∠4＝30°， ∴∠2＝180°﹣∠3﹣∠4＝180°﹣50°﹣30°＝100°， 故选：B． 5．如果（x﹣4）（x+8）＝x2+mx+n，那么m、n的值分别是（　　） A．m＝4，n＝32 B．m＝4，n＝﹣32 C．m＝﹣4，n＝32 D．m＝﹣4，n＝﹣32 【答案】B 【解答】解：∵（x﹣4）（x+8）＝x2+4x﹣32，（x﹣4）（x+8）＝x2+mx+n， ∴m＝4，n＝﹣32， 故选：B． 6．如图，点C是线段BG上的一点，以BC，CG为边向两边作正方形，面积分别是S1和S2，两正方形的面积和S1+S2＝40，已知BG＝8，则图中阴影部分面积为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【解答】解：设BC＝a，CG＝b，则S1＝a2，S2＝b2，a+b＝BG＝8． ∴a2+b2＝40． ∵（a+b）2＝a2+b2+2ab＝64， ∴2ab＝64﹣40＝24， ∴ab＝12， ∴阴影部分的面积等于ab＝×12＝6． 故选：A． 7．如果x2+2ax+9是一个完全平方式，则a的值是（　　） A．3 B．﹣3 C．3或﹣3 D．9或﹣9 【答案】C 【解答】解：∵x2+2ax+9是一个完全平方式， ∴2a＝±（2×3）， 则a＝3或﹣3， 故选：C． 8．已知10x＝m，10y＝n，则102x+3y等于（　　） A．2m+3n B．m2+n2 C．6mn D．m2n3 【答案】D 【解答】解：102x+3y＝102x•103y＝（10x）2•（10y）3＝m2n3． 故选：D． 9．如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，AC，BD交于点M，连接OM，下列结论：①∠AMB＝40°；②AC＝BD；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC，其中正确的是（　　） A．①②④ B．①②③ C．①②③④ D．②③④ 【答案】A 【解答】解：∵∠AOB＝∠COD＝40°， ∴∠AOB+∠AOD＝∠COD+∠AOD， 即∠AOC＝∠BOD， 在△AOC和△BOD中， ， ∴△AOC≌△BOD（SAS）， ∴∠OCA＝∠ODB，∠OAC＝∠OBD，AC＝BD，故②正确； 由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC＝∠AOB+∠OBD， ∴∠AMB＝∠AOB＝40°，故①正确； 如图，过点O作OG⊥MC于点G，OH⊥MB于点H， 则∠OGC＝∠OHD＝90°， 在△OCG和△ODH中， ， ∴△OCG≌△ODH（AAS）， ∴OG＝OH， ∴MO平分∠BMC，故④正确； ∵∠AOB＝∠COD， ∴当∠DOM＝∠AOM时，OM才平分∠BOC， 假设∠DOM＝∠AOM， ∵∠AOB＝∠COD， ∴∠COM＝∠BOM， ∵MO平分∠BMC， ∴∠CMO＝∠BMO， 在△COM和△BOM中， ， ∴△COM≌△BOM（ASA）， ∴OB＝OC， ∵OA＝OB， ∴OA＝OC， 与OA＞OC矛盾，故③不正确； 综上所述，正确的是①②④， 故选：A． 10．如图，在△ABC中AB＝AC，BC＝4，面积是20，AC的垂直平分线EF分别交AC、AB边于E、F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【解答】解：连接AD，AM． ∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点， ∴AD⊥BC， ∴S△ABC＝BC•AD＝×4×AD＝20，解得AD＝10， ∵EF是线段AC的垂直平分线， ∴点C关于直线EF的对称点为点A， ∴MA＝MC， ∵AD≤AM+MD， ∴AD的长为CM+MD的最小值， ∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝10+×4＝10+2＝12． 故选：D． 11．下列运算正确的是（　　） A．a10÷a2＝a5 B．a2+a2＝a4 C．（a+b）2＝a2+b2 D．（a2）3＝a6 【答案】D 【解答】解：A．a10÷a2＝a8，故本选项不合题意； B．a2+a2＝2a2，故本选项不合题意； C．（a+b）2＝a2+2ab+b2，故本选项不合题意； D．（a2）3＝a6，故本选项符合题意． 故选：D． 12．如图，AB∥DE，FG⊥BC于F，∠CDE＝35°，则∠FGB＝（　　） A．40° B．55° C．65° D．70° 【答案】B 【解答】解：∵AB∥DE，∠CDE＝35°， ∴∠B＝∠CDE＝35°， 又∵FG⊥BC， ∴∠FGB＝90°﹣∠B＝55°， 故选：B． 13．用尺规作图作∠BAC的平分线AD，痕迹如图所示，则此作图的依据是（　　） A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS 【答案】B 【解答】解：根据尺规作图的过程可知： 三边对应相等的三角形全等， 全等三角形的对应角相等． 故选：B． 14．如图，AB∥EF，设∠C＝90°，那么x、y和z的关系是（　　） A．y＝x+z B．x+y﹣z＝90° C．x+y+z＝180° D．y+z﹣x＝90° 【答案】B 【解答】解：过C作CM∥AB，延长CD交EF于N， 则∠CDE＝∠E+∠CNE， 即∠CNE＝y﹣z ∵CM∥AB，AB∥EF， ∴CM∥AB∥EF， ∴∠ABC＝x＝∠1，∠2＝∠CNE， ∵∠BCD＝90°， ∴∠1+∠2＝90°， ∴x+y﹣z＝90°． 故选：B． 15．如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，则△ABC的面积是（　　） A．10 B．12 C．20 D．24 【答案】B 【解答】解：由图形和图象可得BC＝BA＝5，BP⊥AC时，BP＝4 过点B作BD⊥AC于D，则BD＝4 ∴AD＝CD＝ ∴AC＝6 ∴S△ABC＝AC•BD＝×6×4＝12 故选：B． 16．将一副直角三角尺按如图所示的不同方式摆放，则图中锐角∠α与∠β相等的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：A、∠α与∠β互余，不一定相等； B、∠α＝∠β； C、∠α＝∠β，但∠α与∠β都是钝角； D、∵∠α＝90°﹣45°＝45°，∠β＝90°﹣30°＝60°， ∴∠α≠∠β； 故选：B． 17．如图，一副三角板（直角顶点重合）摆放在桌面上，若∠AOD＝160°，则∠BOC等于（　　） A．20° B．30° C．40° D．50° 【答案】A 【解答】解：∵∠AOB＝∠COD＝90°，∠AOD＝160° ∴∠BOC＝∠AOB+∠COD﹣∠AOD＝90°+90°﹣160°＝20°． 故选：A． 18．如图，射线OC的端点O在直线AB上，∠AOC＝40°，点D在平面内，∠BOD与∠AOC互余，则∠DOC的度数为（　　） A．40° B．50° C．50°或130° D．90°或170° 【答案】D 【解答】解：∵∠AOC＝40°，∠BOD与∠AOC互余， ∴∠BOD＝90°﹣∠AOC＝90°﹣40°＝50°， 当∠BOD在直线AB上方时， ∠DOC＝180°﹣∠BOD﹣∠AOC＝180°﹣50°﹣40°＝90°； 当∠BOD在直线AB下方时， ∠AOD＝180°﹣∠BOD＝180°﹣50°＝130°， ∴∠DOC＝∠AOD+∠AOC＝130°+40°＝170°； 综上，∠DOC的度数为90°或170°， 故选：D． 19．有两个正方形A、B．现将B放在A的内部得图甲；将A、B并列放置后，构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，则A、B两个正方形的面积之和为（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】D 【解答】解：正方形A的边长为a，正方形B的边长b， 由题意得，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝1，（a+b）2﹣（a2+b2）＝2ab， ∴a2+b2＝1+2ab＝1+12＝13， 即：A、B两个正方形的面积之和为13， 故选：D． 20．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与BC的垂直平分线交于点P，连接CP，若∠A＝75°，∠ACP＝12°，则∠ABP的度数为（　　） A．12° B．31° C．53° D．75° 【答案】B 【解答】解：∵BP是∠ABC的平分线， ∴∠ABP＝∠CBP， ∵PE是线段BC的垂直平分线， ∴PB＝PC， ∴∠PBC＝∠PCB， ∴∠ABP＝∠CBP＝∠PCB， ∴∠ABP+∠ABP+∠ABP+12°+75°＝180°， 解得，∠ABP＝31°， 故选：B． 21．四边形ABCD中，∠BAD＝122°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，当三角形AMN周长最小时，∠MAN的度数为（　　） A．58° B．64° C．61° D．74° 【答案】B 【解答】解：如图，延长AB到A′使得BA′＝AB，延长AD到A″使得DA″＝AD，连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N． ∵∠ABC＝∠ADC＝90°， ∴A、A′关于BC对称，A、A″关于CD对称， 此时△AMN的周长最小， ∵BA＝BA′，MB⊥AB， ∴MA＝MA′， 同理：NA＝NA″， ∴∠A′＝∠MAB，∠A″＝∠NAD， ∵∠AMN＝∠A′+∠MAB＝2∠A′，∠ANM＝∠A″+∠NAD＝2∠A″， ∴∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″）， ∵∠BAD＝122°， ∴∠A′+∠A″＝180°﹣∠BAD＝58°， ∴∠AMN+∠ANM＝2×58°＝116°． ∴∠MAN＝180°﹣116°＝64°， 故选：B． 22．如图，∠BAC＝140°，若DM和EN分别垂直平分AB和AC，则∠DAE等于（　　） A．100° B．90° C．80° D．70° 【答案】A 【解答】解：∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，∠BAC＝140°， ∴∠B+∠C＝40°， ∴DM和EN分别垂直平分AB和AC， ∴DA＝DB，EA＝EC， ∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C， ∴∠DAB+∠EAC＝∠B+∠C＝40°， ∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠DAB+∠EAC）＝140°﹣40°＝100°． 故选：A． 23．如图，在等腰△ABC与等腰△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝α，连接BD和CE交于点P，BD交AC于点M，CE交AD于点N，连接AP．下列结论： ①BD＝CE； ②∠BPE＝180°﹣2α； ③PA平分∠BPE； ④若α＝60°，则PE＝AP+PD． 其中正确的结论是（　　） A．①② B．①②③ C．①③ D．①③④ 【答案】D 【解答】解：如图1，∵∠BAC＝∠DAE＝α， ∴∠BAD＝∠CAE＝α+∠CAD， 在△BAD和△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE， 故①正确； ∵∠BPC＝∠BMC﹣∠ACE＝∠BMC﹣∠ABD＝∠BAC＝α， ∴∠BPE＝180°﹣∠BPC＝180°﹣α≠180°﹣2α， 故②错误； 作AF⊥BD于点F，AL⊥CE于点L， ∵S△BAD＝S△CAE，且S△BAD＝BD•AF＝CE•AF，S△CAE＝CE•AL， ∴CE•AF＝CE•AL， ∴AF＝AL， ∴点A在∠BPE的平分线上， ∴PA平分∠BPE， 故③正确； 如图2，∠BAC＝∠DAE＝α＝60°，则∠BPE＝180°﹣α＝120°， ∴∠APE＝∠APB＝∠BPE＝60°， 在PE上截取PL＝AP，连接AL，则△APL是等边三角形， ∴AP＝AL，∠PAL＝60°， ∴∠PAD＝∠LAE＝60°﹣∠DAL， 在△APD和△ALE中， ， ∴△APD≌△ALE（SAS）， ∴PD＝LE， ∴PE＝PL+LE＝AP+PD， 故④正确， 故选：D． 24．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠C＝90°，E是BC上一点，AE、ED分别平分∠BAD、∠CDA，若AB＝12，DC＝4，则AD等于（　　） A．12 B．16 C．18 D．20 【答案】B 【解答】解：如图，过点E作EF⊥AD于点F， ∵AB∥CD，∠C＝90°， ∴∠B+∠C＝180°， ∴∠B＝90°， ∴AB⊥BE， ∵AE、ED分别平分∠BAD、∠CDA， ∴BE＝FE，EF＝EC， 在Rt△ABE和△Rt△AFE中， ， ∴Rt△ABE≌△Rt△AFE（HL）， ∴AB＝AF＝12， 在Rt△CDE和△Rt△FDE中， ， ∴Rt△CDE≌△Rt△FDE（HL）， ∴CD＝FD＝4， ∴AD＝AF+FD＝12+4＝16， 故选：B． 25．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3，△ABD的周长为13，△ABC的周长为（　　） A．16 B．13 C．19 D．10 【答案】C 【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，AE＝3， ∴DA＝DC，AC＝2AE＝6， ∵△ABD的周长为13， ∴AB+BD+AD＝AB+BD+DC＝AB+BC＝13， ∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝13+6＝19， 故选：C． 二．填空题（共13小题） 26．将长方形ABCD沿AE折叠，得到如图的图形，已知∠CED′＝60°32′，则∠AED的度数是 　59°44′　． 【答案】59°44′． 【解答】解：∵∠DEC为平角，∠CED′＝60°32′， ∴∠DED′＝180°﹣60°32′＝119°28′， 将长方形ABCD沿AE折叠后，AE就是∠DAD′的角平分线， ∴∠AED＝×119°28′＝59°44′． 27．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB．若AC＝2，DE＝1，则S△ACD＝　1　． 【答案】1． 【解答】解：过点D作DF⊥AC，垂足为F， ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF＝1， ∵AC＝2， ∴S△ACD＝AC•DF ＝×2×1 ＝1， 故答案为：1． 28．若2x＝3，2y＝5，则22x+y＝　45　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：22x+y＝22x•2y＝（2x）2•2y＝32×5＝45， 故答案为：45． 29．计算：2022×2024﹣20232＝　﹣1　． 【答案】﹣1． 【解答】解：2022×2024﹣20232 ＝（2023﹣1）×（2023+1）﹣20232 ＝20232﹣1﹣20232 ＝﹣1， 故答案为：﹣1． 30．设有边长分别为a和b（a＞b）的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为a+b的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片．若要拼一个长为3a+b，宽为2a+2b的矩形，则需要C类纸片的张数为 　8　张． 【答案】8． 【解答】解：∵（a+b）2＝a2+b2+2ab，即S大正方形＝SA+SB+2SC， ∴要拼一个边长为a+b的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片． ∵（3a+b）（2a+2b）＝6a2+2b2+8ab，即S矩形＝6SA+2SB+8SC， ∴若要拼一个长为3a+b，宽为2a+2b的矩形，则需要C类纸片的张数为8张， 故答案为：8． 31．如图，等腰△ABC面积为21，底边BC＝6，点D，F分别是AC，BC的中点，DH⊥AC交AB于H，点E是DH上一动点，则△CEF的周长的最小值为 　10　． 【答案】10． 【解答】解：连接AE、AF， ∵等腰△ABC面积为21，底边BC＝6， ∴AB＝AC， ∵点F是BC的中点， ∴AF⊥BC，CF＝BF＝BC＝3， ∴×6AF＝21， ∴AF＝7， ∴AF+CF＝7+3＝10， ∵点D是AC的中点，DH⊥AC， ∴DH垂直平分AC， ∴点C与点A关于直线DH对称， ∴CE＝AE， ∵AE+FE≥AF， ∴AE+FE+CF≥AF+CF， ∴CE+FE+CF≥10， ∴CE+FE+CF的最小值为10， ∴△CEF的周长的最小值为10， 故答案为：10． 32．如图，△ABC中，∠B＝40°，点D为边BC上一点，将△ADC沿直线AD折叠后，点C落到点E处，若DE∥AB，则∠ADE的度数为 　110　°． 【答案】110． 【解答】解：∵DE∥AB，∠B＝40°， ∴∠BDE＝40°， 由折叠的性质得∠ADE＝∠ADC， ∵∠ADB+∠ADC＝180°，∠ADB＝∠ADE﹣∠BDE＝∠ADC﹣40°， ∴∠ADC﹣40°+∠ADC＝180°， ∴∠ADC＝110°， ∴∠ADE＝∠ADC＝110°． 故答案为：110． 33．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，以大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝3，AB＝8，则△ABD的面积是 　12　． 【答案】12． 【解答】解：作DE⊥AB于E， 由基本尺规作图可知：AD是△ABC的角平分线， ∵∠C＝90°， ∴DC⊥AC， ∵DE⊥AB，DC⊥AC， ∴DE＝DC＝3， ∴△ABD的面积＝×AB×DE＝×8×3＝12， 故答案为12． 34．如图，∠A＝∠B＝90°，点E在线段AB上，AD＝BE，DE＝CE＝1，则CD的长为 　　． 【答案】． 【解答】解：∵∠A＝∠B＝90°， ∴∠BCE+∠BEC＝90°， 在Rt△AED和Rt△BCE中， ， ∴Rt△AED≌Rt△BCE（HL）， ∴∠AED＝∠BCE， ∴∠AED+∠BEC＝90°， ∴∠DEC＝180°﹣（∠AED+∠BEC）＝90°， ∵DE＝CE＝1， ∴CD＝＝＝， 故答案为：． 35．如图，两个正方形的边长分别为a，b，若a+b＝10，ab＝20，则四边形ABCD的面积为　20　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：根据题意可得，四边形ABCD的面积 ＝（a2+b2）﹣﹣b（a+b） ＝（a2+b2﹣ab） ＝（a2+b2+2ab﹣3ab） ＝[（a+b）2﹣3ab]； 代入a+b＝10，ab＝20，可得： 四边形ABCD的面积＝（10×10﹣20×3）÷2＝20． 故答案为：20． 36．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D是线段BC上一点，∠ADC＝90°，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面的结论：①∠APO＝∠ACO；②∠APO+∠DCO＝40°；③AC＝AO+AP；④PO＝PC，其中正确的是 　①③④　．（填序号） 【答案】①③④． 【解答】解：连接OB， ∵AB＝AC，∠BAC＝120°， ∴∠ABC＝∠ACB＝×（180°﹣120°）＝30°， ∵点D是线段BC上一点，∠ADC＝90°， ∴AD⊥BC， ∴BD＝CD， ∴AD垂直平分BC， ∴OB＝OC， ∵OP＝OC， ∴OB＝OP， ∴∠APO＝∠ABO， 在△ABO和△ACO中， ， ∴△ABO≌△ACO（SSS）， ∴∠ABO＝∠ACO， ∴∠APO＝∠ACO， 故①正确； ∵∠APO+∠DCO＝∠ACO+∠DCO＝∠ACB，∠ACB＝30°， ∴∠APO+∠DCO＝30°≠40°， 故②错误； 在AC上截取AI＝AP，连接PI，设AC交OP于点L， ∵∠PAC＝∠ABC+∠ACB＝60°， ∴△PAI是等边三角形， ∴PI＝PA，∠API＝60°， ∵OP＝OC，∠POC＝∠PLC﹣∠ACO＝∠PLC﹣∠APO＝∠PAC＝60°， ∴△POC是等边三角形， ∴PO＝PC，∠OPC＝60°， 故④正确； ∴∠IPC＝∠APO＝60﹣∠OPI， 在△IPC和△APO中， ， ∴△IPC≌△APO（SAS）， ∴IC＝AO， ∴AC＝IC+AI＝AO+AP， 故③正确， 故答案为：①③④． 37．如图，把一个长方形纸片沿OG折叠后，C，D两点分别落在C'，D'两点处，若∠AOD'：∠D'OG＝4：3，则∠DOG＝　54　度． 【答案】54． 【解答】解：由折叠可得∠DOG＝∠D'OG， ∵∠AOD'：∠D'OG＝4：3， ∴∠AOD'＝∠D'OG＝∠DOG， 由折叠可得∠DOG＝∠D'OG， ∵∠AOD'+∠D'OG+∠DOG＝180°， ∴∠DOG+∠DOG+∠DOG＝180°， ∴∠DOG＝180°， ∴∠DOG＝54°， 故答案为：54． 38．如图，将一副三角板的两直角顶点重合放置，已知∠ACE＝150°40'，则∠ACD的余角的度数为 　29　°． 【答案】29． 【解答】解：∵∠ACE＝150°40′，∠DCE＝90°， ∴∠ACD＝∠ACE﹣∠DCE＝150°40′﹣90°＝60°40′， 又∵∠ACB＝90°， ∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝90°﹣60°40′＝29°20′＝29°． 故答案为：29． 三．解答题（共22小题） 39．已知（3x﹣m）（x2+x+1）的展开式中不含x的二次项，a2+5b2+4（ab+b+1）＝0，求： （1）m的值； （2）（a﹣b）m的值． 【答案】（1）m的值为3； （2）216． 【解答】解：（1）∵（3x﹣m）（x2+x+1） ＝3x3+（3﹣m）x2+（3﹣m）x﹣m 由题意得3﹣m＝0， 解得m＝3， 即m的值为3； （2）∵a2+5b2+4（ab+b+1） ＝（a2+4ab+4b2）+（b2+4b+4） ＝（a+2b）2+（b+2）2 ＝0 ∴a+2b＝0，b+2＝0， 解得a＝4，b＝﹣2， ∴（a﹣b）m ＝[4﹣（﹣2）]3 ＝63 ＝216． 40．先化简，再求值：（a﹣2）（a+2）﹣a（a﹣2），其中a＝3． 【答案】2a﹣4，原式＝2． 【解答】解：（a﹣2）（a+2）﹣a（a﹣2） ＝a2﹣4﹣a2+2a ＝2a﹣4， 当a＝3时，原式＝2×3﹣4 ＝6﹣4 ＝2． 41．如图，在直角坐标系中，A（﹣1，5），B（﹣3，0），C（﹣4，3）． （1）在图中作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1； （2）写出点A1，B1，C1的坐标； （3）求△ABC的面积． 【答案】（1）△A1B1C1即为所求； （2）A1（1，5），B1（3，0），C1（4，3）； （3）． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求； （2）A1（1，5），B1（3，0），C1（4，3）； （3）△ABC的面积为：3×5﹣2×5﹣1×3﹣2×3＝． 42．如图，已知∠A＝∠D＝90°，点E、点F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝DC，BE＝CF．求证：OE＝OF． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：∵BE＝CF， ∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE， 在Rt△ABF和Rt△DCE中， ， ∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL） ∴∠AFB＝∠DEC， ∴OE＝OF． 43．如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠C＝60°，DE是AB的垂直平分线，DE分别交AB、AC于点D和E． （1）尺规作图：求作DE（保留作图痕迹，不写作法）； （2）连接EB，求∠EBC的度数． 【答案】（1）DE即为所求； （2）∠EBC＝20°． 【解答】解：（1）如图，DE即为所求； （2）在△ABC中， ∵∠A＝50°，∠C＝60°， ∴∠ABC＝180°﹣50°﹣60°＝70°， ∵DE是AB的垂直平分线， ∴EA＝EB， ∴∠A＝∠ABE＝50°， ∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝70°﹣50°＝20°． 44．【阅读理解】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，基于此，请解答下列问题： 【类比应用】 （1）①若xy＝8，x+y＝6，则x2+y2的值为 　20　； ②若x（5﹣x）＝6，则x2+（5﹣x）2＝　13　； 【迁移应用】 （2）两块完全相同的特制直角三角板（∠AOB＝∠COD＝90°）如图2所示放置，其中A，O，D在一直线上，连接AC，BD，若AD＝14，S△AOC+S△BOD＝54，求一块三角板的面积． 【答案】（1）①20，②13； （2）22． 【解答】解：（1）①由题意可知，x2+y2＝（x+y）2﹣2xy， ∵xy＝8，x+y＝6， ∴x2+y2＝62﹣2×8＝20， 故答案为：20． ②令a＝x，b＝5﹣x， ∴a+b＝5，ab＝6， ∴x2+（5﹣x）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×6＝13， 故答案为：13． （2）设三角板的两条直角边AO＝m，BO＝n，则一块三角板的面积为mn， ∴m+n＝14，（m2+n2）＝54，即m2+n2＝108， ∵2mn＝（m+n）2﹣（m2+n2）＝142﹣108＝88， ∴mn＝44， ∴mn＝×44＝22， ∴一块三角板的面积是22． 45．（1）若关于a，b的多项式3（a2﹣2ab+b2）﹣（2a2﹣mab+2b2）中不含有ab项，则m的值为 　6　． （2）完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值． 解：∵a+b＝3，ab＝1， ∴（a+b）2＝9，2ab＝2， ∴a2+b2+2ab＝9， ∴a2+b2＝7． 根据上面的解题思路与方法解决下列问题： （i）如图，点C是线段AB上的一点，分别以AC，BC为边向直线AB两侧作正方形BCFG，正方形AEDC，设AB＝8，两正方形的面积和为40，则△AFC的面积为 　6　； （ii）若（9﹣x）（x﹣6）＝2，求（9﹣x）2+（x﹣6）2的值． 【答案】（1）6； （2）（i）6；（ii）5． 【解答】解：（1）3（a2﹣2ab+b2）﹣（2a2﹣mab+2b2） ＝3a2﹣6ab+3b2﹣2a2+mab﹣2b2 ＝a2+（m﹣6）ab+b2， ∵不含有ab项， ∴m﹣6＝0， ∴m＝6， 故答案为：6． （2）（i）设正方形BCFG和AEDC的边长分别为a和b，则△AFC的面积为ab． 根据题意，得a+b＝8，a2+b2＝40， ∵（a+b）2＝a2+2ab+b2＝64， ∴ab＝12， ∴S△AFC＝×12＝6， 故答案为：6． （ii）令（9﹣x）＝m，（x﹣6）＝n，则（9﹣x）2+（x﹣6）2＝m2+n2， ∴m+n＝3，mn＝2， ∴（m+n）2＝m2+2mn+n2＝9， ∴m2+n2＝5， ∴（9﹣x）2+（x﹣6）2＝5． 46．如图，△ABC的两条高AD与BE交于点O，AD＝BD，AC＝6． （1）求BO的长； （2）F是射线BC上一点，且CF＝AO，动点P从点O出发，沿线段OB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线AC以每秒4个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当△AOP与△FCQ全等时，求t的值． 【答案】（1）6； （2）1.2或2． 【解答】解：（1）∵∠BOD＝∠AOE，∠CAD+∠ACD＝∠CAD+∠AOE＝90°， ∴∠ACD＝∠AOE， ∴∠BOD＝∠ACD． 又∵∠BDO＝∠ADC＝90，AD＝BD， ∴Rt△BDO≌Rt△ADC（AAS）， ∴BO＝AC＝6． （2）①当点F在BC延长线上时：设t时刻，P、Q分别运动到如图位置，△AOP≌△FCQ． ∵CF＝AO，∠AOP＝∠EOD＝180°﹣∠DCE＝∠FCQ， ∴当△AOP≌△FCQ时，OP＝CQ． ∵OP＝t，CQ＝6﹣4t， ∴t＝6﹣4t，解得t＝1.2． ②当点F在BC之间时：设t时刻，P、Q分别运动到如图位置，△AOP≌△FCQ． ∵CF＝AO，∠AOP＝∠EOD＝180°﹣∠DCE＝∠FCQ， ∴当△AOP≌△FCQ时，OP＝CQ． ∵OP＝t，CQ＝4t﹣6， ∴t＝4t﹣6，解得t＝2． 综上，t＝1.2或2． 47．端午小长假，小王一家开车去麦积山景区游玩，返程时从景区出发，其行驶路程s（千米）与时间t（小时）之间的关系如图所示．行驶一段时间到达C地时，汽车突发故障，需停车检修．为了能在高速公路恢复收费前下高速，车修好后加快了速度，结果恰好赶在24时前下高速．结合图中信息，解答下列问题： （1）上述问题中反映的是哪两个变量之间的关系？指出自变量和因变量． （2）汽车从景区到C地用了几小时？平均每小时行驶多少千米？ （3）车修好后每小时行驶多少千米？ 【答案】（1）路程与时间之间的关系．自变量是时间，因变量是路程； （2）3小时；50千米/小时； （3）75千米/小时． 【解答】解：（1）路程与时间之间的关系．自变量是时间，因变量是路程； （2）由图象可知，汽车从景区到C地用了3小时，速度为：150÷3＝50千米/小时； （3）检修了1小时，修后的速度为＝75千米/小时． 48．【感知】（1）如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC的度数． 小明的思路是：过点P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC． 按小明的思路，易求得∠APC的度数为 　110　度；（直接写出答案） 【探究】（2）如图2，AB∥CD，点P在射线OM上运动，记∠PAB＝∠α，∠PCD＝∠β，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由； 【迁移】（3）在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），试着探究∠APC与∠α、∠β之间的数量关系是否会发生变化，请从下面①和②中挑选—种情形，画出图形，写出结论，并说明理由． ①点P在线段OB上； ②点P在射线DM上． 【答案】（1）110； （2）∠APC＝α+β，理由见解答过程； （3）当点P在射线DM上时，∠CPA＝α﹣β；当点P在线段OB上时，∠CPA＝β﹣α． 【解答】解：（1）过点P作PE∥AB， ∵AB∥CD， ∴PE∥AB∥CD， ∴∠PAB+∠APE＝180°，∠PCD+∠CPE＝180°， ∵∠PAB＝130°，∠PCD＝120°， ∴∠APE＝50°，∠CPE＝60°， ∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝110°． 故答案为：110． （2）∠APC＝α+β， 理由：如图2，过P作PE∥AB交AC于E， ∵AB∥CD， ∴AB∥PE∥CD， ∴α＝∠APE，β＝∠CPE， ∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝α+β； （3）如图所示，当点P在射线DM上时， ∠CPA＝α﹣β； 如图所示，当点P在线段OB上时， ∠CPA＝β﹣α． 49．如图，将一副直角三角板的直角顶点C叠放在一起． 【计算与观察】 （1）若∠DCE＝35°，则∠BCA＝　145°　；若∠ACB＝150°，则∠DCE＝　30°　； 【猜想与证明】 （2）猜想∠ACB与∠DCE的大小有何特殊关系？并说明理由． 【拓展与运用】 （3）若∠DCE：∠ACB＝2：7，求∠DCE的度数． 【答案】（1）145°，30°； （2）∠ACB+∠DCE＝180°； （3）40°． 【解答】解：（1）①∵∠ACD＝∠ECB＝90°，∠DCE＝35°， ∴∠ACE＝90°﹣∠DCE＝55°， ∴∠BCA＝∠ACE+∠BCE＝145°， ∴∠BCA＝145°； ②∵∠ACB＝150°，∠ACD＝∠ECB＝90°， ∴∠ACE＝∠DCB＝150°﹣90°＝60°， ∴∠DCE＝90°﹣60°＝30°． 故答案为：145°，30°； （2）猜想得：∠ACB+∠DCE＝180°（或∠ACB与∠DCE互补）． 理由：∵∠ECB＝90°，∠ACD＝90°， ∴∠ACB＝∠ACD+∠DCB＝90°+∠DCB， ∠DCE＝∠ECB﹣∠DCB＝90°﹣∠DCB， ∴∠ACB+∠DCE＝180°． （3）∵∠ACB+∠DCE＝180°，∠DCE：∠ACB＝2：7， ∴∠DCE+∠DCE＝180°， 解得∠DCE＝40°． 50．游泳池应定期换水，某游泳池在一次换水前存水936立方米，换水时关闭进水孔打开排水孔，以每小时78立方米的速度将水放完，当放水时间增加时，游泳池的存水随之减少，它们的变化情况如表： 放水时间/小时 1 2 3 4 5 6 游泳池的存水/立方米 858 780 702 　624　 546 　468　 （1）在这个变化过程中，自变量是 　放水时间　，因变量是 　游泳池的存水　； （2）请将上述表格补充完整； （3）设放水时间为t小时，游泳池的存水量为Q立方米，写出Q与t的关系式（不要求写自变量范围）． 【答案】（1）放水时间，游泳池的存水； （2）624，468； （3）Q＝﹣78t+936． 【解答】解（1）∵游泳池的存水随放水时间变化而改变， ∴在这个变化过程中，自变量是放水时间，因变量是游泳池的存水． 故答案为：放水时间，游泳池的存水． （2）∵放水速度是每小时78立方米， ∴当放水时间为4小时时，游泳池的存水为702﹣78＝624（立方米）； 当放水时间为6小时时，游泳池的存水为546﹣78＝468（立方米）． 故答案为：624，468． （3）根据题意，得Q＝936﹣78t＝﹣78t+936， ∴Q与t的关系式为Q＝﹣78t+936． 51．如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠CED＝∠AEB，AE交BD于点F． （1）求证：△AEC≌△BED； （2）求证：DE平分∠BDC． 【答案】（1）证明过程见解答； （2）证明过程见解答． 【解答】证明：（1）∵∠CED＝∠AEB， ∴∠CED+∠AED＝∠AEB+∠AED， ∴∠AEC＝∠BED， 在△AEC和△BED中， ， ∴△AEC≌△BED（ASA）． （2）∵△AEC≌△BED， ∴∠C＝∠EDB，CE＝DE， ∴∠C＝∠EDC， ∴∠EDB＝∠EDC， ∴DE平分∠BDC． 52．如图1中三种不同大小的正方形与长方形，拼成了一个如图2所示的正方形． （1）请你直接写出三个代数式（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系：　（a+b）2＝a2+b2+2ab　； 根据（1）题中的等量关系，解决如下问题： （2）已知m+n＝7，m2+n2＝30，求（m﹣n）2的值； （3）已知（x﹣2022）2+（x﹣2024）2＝54，求（x﹣2023）2的值． 【答案】（1）（a+b）2＝a2+b2+2ab； （2）11； （3）26． 【解答】解：（1）∵图2中的大正方形的边长为（a+b）， ∴图2中的大正方形的面积为：（a+b）2， 又∵图2中的大正方形是由边长为a，b的两个正方形和两个长为a，宽为b的 长方形组成， ∴图2中的大正方形的面积为：a2+b2+2ab， ∴（a+b）2＝a2+b2+2ab． 故答案为：（a+b）2＝a2+b2+2ab， （2）∵m+n＝7， ∴（m+n）2＝72，即m2+n2+2mn＝49， ∵m2+n2＝30， ∴2mn＝49﹣（m2+n2）＝49﹣30＝19， ∴m2+n2﹣2mn＝11， ∴（m﹣n）2＝11． （3）设x﹣2022＝a，x﹣2024＝b， ∴a﹣b＝2，a+b＝2x﹣4046， ∴（a+b）＝x﹣2023， ∵（x﹣2022）2+（x﹣2024）2＝54， ∴a2+b2＝54， ∵a﹣b＝2， ∴（a﹣b）2＝22，即a2+b2﹣2ab＝4， ∴54﹣2ab＝4， ∴2ab＝50， ∴a2+b2+2ab＝104， ∴（a+b）2＝104， ∴（a﹣2023）2＝（a+b）2＝×104＝26． 53．张华与爸爸妈妈在公园里荡秋千，如图，张华坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1.1m高的B处接住他后用力一推，爸爸在C处接住他．若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD，CE分别为1.6m和2m，∠BOC＝90°． （1）△OBD与△OCE全等吗？请说明理由； （2）爸爸是在距离地面多高的地方接住张华的？（提示：夹在两条平行线间的垂直线段都相等） 【答案】（1）△OBD与△COE全等，理由见解析； （2）爸爸是在距离地面1.5m高的地方接住小明的． 【解答】解：（1）△OBD与△COE全等，理由如下： 由题意得：∠BDO＝∠OEC＝90°，OB＝OC， ∵∠BOC＝90°， ∴∠COE+∠BOD＝∠BOD+∠OBD＝90°， ∴∠OBD＝∠COE， 在△OBD和△OCE中， ， ∴△OBD≌△OCE（AAS）； （2）由题意得：爸爸是在距离地面AE高的地方接住张华的，AD＝1.1cm， 由（1）得：△OBD≌△OCE， ∴OD＝CE＝2m，OE＝BD＝1.6cm， ∴DE＝OD﹣OE＝2﹣1.6＝0.4（m）， ∴AE＝AD+DE＝1.1+0.4＝1.5（m）， 答：爸爸是在距离地面1.5m高的地方接住小明的． 54．等边△ABC中，点D在边AB上，点E在边BC上．以DE为边，在DE右侧作等边△DEF，连接BF． （1）如图1，当点E与点C重合时，判断线段AD与BF的数量关系，并说明理由； （2）如图2，当点D是AB的中点时，点E从点C运动到点B的过程中（边BC的中点除外），求∠FBD的度数． 【答案】（1）AD＝BF，理由见解答； （2）∠FBD为120°或60°． 【解答】解：（1）AD＝BF，理由如下： ∵△ABC，△DEF 都是等边三角形， ∴∠ACB＝∠DEF＝60°，AC＝BC，DC＝CF， 即∠ACD+∠DCB＝∠DCB+∠BCF， ∴∠ACD＝∠BCF， 在△ACD和△BCF中， ， ∴△ACD≌△BCF（SAS）， ∴AD＝BF； （2）①如图2所示，当E点从C点运动到BC中点时，线段BF在AB线段上方， 则∠FBD＝∠FBE+∠EBD， 过点E作EM∥AC交AB于点M， ∵△ABC，△DEF都是等边三角形， ∴∠A＝∠ACB＝∠ABC＝∠DEF＝60°，DE＝EF， ∵EM∥AC， ∴∠A＝∠EMB＝∠MEB＝∠ACE＝60°， ∴△MEB是等边三角形， ∴ME＝EB，∠MED+∠DEB＝∠DEB+∠BEF＝60°， ∴∠MED＝∠BEF． 在△MED和△BEF中， ， ∴△MED≌△BEF（SAS）， ∴∠FBE＝∠DME＝60°， ∴∠FBD＝∠FBE+∠EBD＝120°； ②当E点从BC中点运动到B点时，线段BF在AB线段下面， 过点E作EN∥AC交AB于点N． ∴∠ENB＝∠A＝∠ABC＝60°， ∴△NEB是等边三角形， ∴NE＝BE． ∵∠NED+∠NEF＝∠BEF+∠NEF＝60°， ∴∠NED＝∠BEF． 在△NED和△BEF中， ， ∴△NED≌△BEF（SAS）， ∴∠EBF＝∠END＝120°， ∴∠FBD＝∠EBF﹣∠EBD＝60°， 综上所述，∠FBD为120°或60°． 55．如图，某小区有一块长为（4a+b）米，宽为（3a+b）米的长方形土地，物业管理公司计划在阴影部分的区域进行绿化，中间修建一个正方形喷水池． （1）求绿化的面积是多少平方米？ （2）若a＝1，b＝2时，求绿化面积． 【答案】（1）11a2+5ab．（2）21平方米． 【解答】解：（1）由图形可得： （4a+b）（3a+b）﹣（a+b）2 ＝12a2+4ab+3ab+b2﹣a2﹣2ab﹣b2 ＝11a2+5ab． ∴绿化的面积是（11a2+5ab）平方米． （2）当a＝1，b＝2时，绿化面积为： 11×1+5×1×2＝21（平方米）． ∴当a＝1，b＝2时，绿化面积为21平方米． 56．已知直线AM∥BN，点P是直线AM上的一个动点（不与点A重合），BC平分∠PBN，交直线AM于点C． （1）如图1，当点P在点A左侧时，若∠CPB＝40°，请直接写出∠PCB的度数，不必说明理由； （2）若∠MAB＝60°，BD平分∠PBA，交直线AM于点D． ①如图2，若点P在点A左侧运动时，∠DBC的度数是否会发生变化？若不变，求出该度数；若变化，请说明理由； ②∠ADB与∠ABC之间存在怎样的数量关系？请写出结论，并说明理由． 【答案】（1）70°； （2）①∠DBC的度数不发生变化，∠DBC＝60°，理由见解答过程；②∠ADB＝∠ABC或∠ADB+∠ABC＝180°，理由见解答过程． 【解答】解：（1）延长NB到E，如图1所示： ∵AM∥BN，∠CPB＝40°， ∴∠PBE＝∠CPB＝40°， ∴∠PBN＝180°﹣∠PBE＝140°， ∵BC平分∠PBN， ∴∠CBN＝∠PBN＝70°， ∵AM∥BN， ∴∠PCB＝∠CBN＝70°； （2）①点P在点A左侧运动时，∠DBC的度数不发生变化，∠DBC＝60°，理由如下： 延长NB到E，如图2所示： 设∠ABD＝α， ∵BD平分∠PBA， ∴∠PBD＝∠ABD＝α，∠ABP＝2α， ∵AM∥BN，∠MAB＝60°， ∴∠EBA＝∠MAB＝60°， ∴∠EBP＝∠EBA﹣∠ABP＝60°﹣2α， ∴∠PBN＝180°﹣∠EBP＝180°﹣（60°﹣2α）＝120°+2α， ∵BC平分∠PBN， ∴∠PBC＝∠PBN＝（120°+2α）＝60°+α， ∴∠DBC＝∠PBC﹣∠PBD＝60°+α﹣α＝60°， ②∠ADB与∠ABC之间的数量关系是：∠ADB＝∠ABC或∠ADB+∠ABC＝180°，理由如下： （ⅰ）当点P在点A的左侧时，延长NB到E，如图3所示： 设∠ABD＝α， ∵BD平分∠PBA， ∴∠PBD＝∠ABD＝α，∠ABP＝2α， ∵AM∥BN，∠MAB＝60°， ∴∠EBA＝∠MAB＝60°， ∴∠ADB＝∠EBD＝∠EBA﹣∠ABD＝60°﹣α， ∵∠EBP＝∠EBA﹣∠ABP＝60°﹣2α， ∴∠PBN＝180°﹣∠EBP＝180°﹣（60°﹣2α）＝120°+2α， ∵BC平分∠PBN， ∴∠PBC＝∠PBN＝（120°+2α）＝60°+α， ∴∠ACB＝∠PBC﹣∠ABP＝60°+α﹣2α＝60°﹣α， ∴∠ADB＝∠ACB； （ⅱ）当点P在点A的右侧时，延长NB到E，如图4所示： 设∠ABD＝α， ∵BD平分∠PBA， ∴∠PBD＝∠ABD＝α，∠ABP＝2α， ∵AM∥BN，∠MAB＝60°， ∴∠EBA＝∠MAB＝60°， ∴∠EBD＝∠EBA+∠ABD＝60°+α， ∵AM∥BN， ∴∠ADB+∠EBD＝180°， ∴∠ADB＝180°﹣∠EBD＝180°﹣（60°+α）＝120°﹣α， ∵∠EBA＝∠MAB＝60°，∠ABP＝2α， ∴∠EBP＝∠EBA+∠ABP＝60°+2α， ∴∠PBN＝180°﹣∠EBP＝180°﹣（60°+2α）＝120°﹣2α， ∵BC平分∠PBN， ∴∠PBC＝∠PBN＝（120°﹣2α）＝60°﹣α， ∴∠ABC＝∠ABP+∠PBC＝2α+60°﹣α＝60°+α， ∴∠ADB+∠ABC＝120°﹣α+60°+α＝180°． 综上所述：∠ADB与∠ABC之间的数量关系是：∠ADB＝∠ABC或∠ADB+∠ABC＝180°． 57．阅读下列材料 若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值． 设9﹣x＝a，x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5， ∴（4﹣x）2+（x﹣9）2＝（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17． 请仿照上面的方法求解下面问题： （1）若x满足（5﹣x）（x﹣2）＝2，求（5﹣x）2+（x﹣2）2的值； （2）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是48，分别以MF、DF为边作正方形． ①MF＝　x﹣1　，DF＝　x﹣3　；（用含x的式子表示） ②求阴影部分的面积． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设5﹣x＝a，x﹣2＝b，则（5﹣x）（x﹣2）＝ab＝2，a+b＝（5﹣x）+（x﹣2）＝3， ∴（5﹣x）2+（x﹣2）2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2×2＝5； （2）①MF＝DE＝x﹣1，DF＝x﹣3， 故答案为：x﹣1；x﹣3； ②（x﹣1）（x﹣3）＝48， 阴影部分的面积＝FM2﹣DF2＝（x﹣1）2﹣（x﹣3）2． 设x﹣1＝a，x﹣3＝b，则（x﹣1）（x﹣3）＝ab＝48，a﹣b＝（x﹣1）﹣（x﹣3）＝2， ∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝22+4×48＝196， ∴a+b＝±14， 又∵a+b＞0， ∴a+b＝14， ∴（x﹣1）2﹣（x﹣3）2＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝14×2＝28． 即阴影部分的面积是28． 58．已知，如图，在四边形ABCD中，∠D＝∠B＝90°，且AO平分∠BAC，点O是BD的中点． （1）求证：CO平分∠ACD； （2）求证：AC＝AB+CD． 【答案】（1）证明见解答； （2）证明见解答． 【解答】证明：（1）作OE⊥AC于点E，则∠AEO＝∠CEO＝90°， ∵∠D＝∠B＝90°， ∴∠AEO＝∠B，∠CEO＝∠D， ∵AO平分∠BAC， ∴∠EAO＝∠BAO， 在△EAO和△BAO中， ， ∴△EAO≌△BAO（AAS）， ∵OE＝OB， ∵点O是BD的中点， ∴OD＝OB， ∴OE＝OD， 在Rt△ECO和Rt△DCO中， ， ∴Rt△ECO≌Rt△DCO（HL）， ∴∠OCE＝∠OCD， ∴CO平分∠ACD． （2）∵△EAO≌△BAO， ∴AE＝AB， ∵Rt△ECO≌Rt△DCO， ∴CE＝CD， ∴AC＝AE+CE＝AB+CD． 59．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，点F在AC上，且BD＝DF． （1）求证：CF＝EB； （2）请你判断AE、AF与BE之间的数量关系，并说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°， ∴DC＝DE， 在Rt△DCF和Rt△DEB中， ， ∴Rt△DCF≌Rt△DEB， ∴CF＝EB； （2）AF+BE＝AE． ∵Rt△DCF≌Rt△DEB， ∴DC＝DE， ∴Rt△DCA≌Rt△DEA（HL）， ∴AC＝AE， ∴AF+FC＝AE， 即AF+BE＝AE． 60．完全平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2是多项式乘法中的重要公式之一，它经过适当变形可以解决很多数学问题． 例如：若a+b＝2，ab＝1，求a2+b2的值． 解：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝22﹣2×1＝2． 根据以上信息回答下列问题： （1）若m+n＝3，m2+n2＝52，求mn的值； （2）若a﹣2b＝3，ab＝1，求a2+4b2的值； （3）如图，点E、F分别是正方形ABCD的边AD与AB上的点，以AE、AF为边在正方形内部作面积为8的长方形AFGE，再分别以FG、EG为边作正方形FGPH和正方形GRQE．若图中阴影部分的面积为20，求长方形AFGE的周长． 【答案】（1）﹣8； （2）13； （3）12． 【解答】解：（1）∵（m+n）2＝m2+2mn+n2， ∴2mn＝（m+n）2﹣（m2+n2）， 又∵m+n＝3，m2+n2＝52， ∴2mn＝32﹣52＝﹣16， ∴mn＝﹣8， （2）∵a﹣2b＝3， ∴（a﹣2b）2＝32， ∴a2﹣4ab+4b2＝9， ∴a2+4b2＝9+4ab， ∵ab＝1， ∴a2+4b2＝9+4ab＝13， （3）设AE＝a，EG＝b， ∵长方形AFGE的面积为8， ∴ab＝8， 又∵四边形FGPH和GRQE均为正方形，且面积之和为20， ∴a2+b2＝20， ∵（a+b）2＝a2+b2+2ab， ∴（a+b）2＝20+2×8＝36， ∵a，b均为正数， ∴a+b＝6， ∴长方形AFGE的周长为：2（a+b）＝12． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$