期末复习（易错题53题23个考点）-2023-2024学年七年级数学下学期期中期末考点归纳满分攻略讲练（北师大版）

期末复习（易错题53题23个考点） 一．同底数幂的乘法（共1小题） 1．已知x+y﹣3＝0，则2y•2x的值是（　　） A．6 B．﹣6 C． D．8 二．幂的乘方与积的乘方（共3小题） 2．已知a＝8131，b＝2741，c＝961，则a，b，c的大小关系是（　　） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．a＜b＜c D．b＞c＞a 3．若x，y均为正整数，且2x+1•4y＝128，则x+y的值为（　　） A．3 B．5 C．4或5 D．3或4或5 4．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 三．多项式乘多项式（共1小题） 5．如（x+m）与（x+3）的乘积中不含x的一次项，则m的值为（　　） A．﹣3 B．3 C．0 D．1 四．完全平方公式（共3小题） 6．已知x＝3y+5，且x2﹣7xy+9y2＝24，则x2y﹣3xy2的值为（　　） A．0 B．1 C．5 D．12 7．南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将右表称为“杨辉三角” （a+b）0＝1 （a+b）1＝a+b （a+b）2＝a2+2ab+b2 （a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3 （a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 （a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5 … 则（a+b）9展开式中所有项的系数和是（　　） A．128 B．256 C．512 D．1024 8．已知a+＝5，则a2+的值是 　 　． 五．完全平方公式的几何背景（共5小题） 9．如图，点C是线段BG上的一点，以BC，CG为边向两边作正方形，面积分别是S1和S2，两正方形的面积和S1+S2＝40，已知BG＝8，则图中阴影部分面积为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 10．如图，两个正方形的边长分别为a，b，若a+b＝10，ab＝20，则四边形ABCD的面积为　 　． 11．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，请解答下列问题： （1）写出图2中所表示的数学等式　 　． （2）根据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式． （3）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题： 若a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，则a2+b2+c2＝　 　． （4） 小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形z张边长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（5a+7b）（9a+4b）长方形，则x+y+z＝　 　． 12．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2． （1）用含a，b的代数式分别表示S1、S2； （2）若a+b＝10，ab＝20，求S1+S2的值； （3）当S1+S2＝30时，求出图3中阴影部分的面积S3． 13．用四块完全相同的小长方形拼成的一个“回形”正方形． （1）用不同代数式表示图中的阴影部分的面积，你能得到怎样的等式，试用乘法公式说明这个等式成立； （2）利用（1）中的结论计算：a+b＝2，ab＝，求a﹣b； （3）根据（1）中的结论，直接写出x+和x﹣之间的关系；若x2﹣3x+1＝0，分别求出x+和（x﹣）2的值． 六．完全平方式（共1小题） 14．如果x2+2mx+9是一个完全平方式，则m的值是（　　） A．3 B．±3 C．6 D．±6 七．平方差公式的几何背景（共1小题） 15．如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，如图2中阴影部分剪裁后拼成的一个长方形． （1）设如图1中阴影部分面积为S1，如图2中阴影部分面积为S2，请直接用含a，b的代数式表示S1，S2； （2）请写出上述过程所揭示的乘法公式； （3）试利用这个公式计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1 八．函数的图象（共3小题） 16．小明从家出发到公园晨练，在公园锻炼一段时间后按原路返回，同时小明爸爸从公园按小明的路线返回家中，如图是两人离家的距离y（米）与小明出发的时间x（分）之间的函数图象，则下列结论中不正确的是（　　） A．公园离小明家1600米 B．小明出发分钟后与爸爸第一次相遇 C．小明在公园停留的时间为5分钟 D．小明与爸爸第二次相遇时，离家的距离是960米 17．如图表示甲、乙两名选手在一次自行车越野赛中，路程y（千米）随时间x（分）变化的图象．下面几个结论： ①比赛开始24分钟时，两人第一次相遇． ②这次比赛全程是10千米． ③比赛开始38分钟时，两人第二次相遇． 正确的结论为　 　． 18．快车与慢车分别从甲乙两地同时相向出发，匀速而行，快车到达乙地后停留1h，然后按原路原速返回，快车比慢车晚1h到达甲地，快慢两车距各自出发地的路程y（km）与所用的时x（h）的关系如图所示． （1）甲乙两地之间的路程为 　 　km；快车的速度为 　 　km/h；慢车的速度为 　 　km/h； （2）出发 　 　h，快慢两车距各自出发地的路程相等； （3）快慢两车出发 　 　h相距150km． 九．动点问题的函数图象（共2小题） 19．已知动点H以每秒x厘米的速度沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按从A﹣B﹣C﹣D﹣E﹣F的路径匀速运动，相应的△HAF的面积S（cm2）关于时间t（s）的关系图象如图2，已知AF＝8cm，则下列说法正确的有几个（　　） ①动点H的速度是2cm/s； ②BC的长度为3cm； ③当点H到达D点时△HAF的面积是8cm2； ④b的值为14； ⑤在运动过程中，当△HAF的面积是30cm2时，点H的运动时间是3.75s和10.25s． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 20．如图①，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止，设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图②所示，则矩形MNPQ的面积是　 　． 一十．相交线（共1小题） 21．观察如图，并阅读图形下面的相关文字： 两条直线相交，最多有1个交点；三条直线相交，最多有3个交点；4条直线相交，最多有6个交点…… 像这样，20条直线相交，交点最多的个数是（　　） A．100个 B．135个 C．190个 D．200个 一十一．对顶角、邻补角（共1小题） 22．如图，直线CD与EF相交于点O，∠COE＝60°，将一直角三角尺AOB的直角顶点与O重合，OA平分∠COE． （1）求∠BOD的度数； （2）将三角尺AOB以每秒3°的速度绕点O顺时针旋转，同时直线EF也以每秒9°的速度绕点O顺时针旋转，设运动时间为t秒（0≤t≤40）． ①当t为何值时，直线EF平分∠AOB； ②若直线EF平分∠BOD，直接写出t的值． 一十二．平行线的性质（共9小题） 23．如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少30°，那么这两个角是（　　） A．42°、138° B．都是10° C．42°、138°或10°、10° D．以上都不对 24．如图，AB∥CD，有图中α，β，γ三角之间的关系是（　　） A．α+β+γ＝180° B．α﹣β+γ＝180° C．α+β﹣γ＝180° D．α+β+γ＝360° 25．如图，将矩形ABCD沿GH折叠，点C落在点Q处，点D落在AB边上的点E处，若∠AGE＝32°，则∠GHC等于（　　） A．112° B．110° C．108° D．106° 26．一个人驱车前进时，两次拐弯后，按原来的相反方向前进，这两次拐弯的角度可能是（　　） A．向右拐85°，再向右拐95° B．向右拐85°，再向左拐85° C．向右拐85°，再向右拐85° D．向右拐85°，再向左拐95° 27．如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，若第一次拐角∠A＝130°，第二次拐角∠B＝150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C为（　　） A．170° B．160° C．150° D．140° 28．将一条两边互相平行的纸带沿EF折叠，如图（1），AD∥BC，ED'∥FC'，设∠AED'＝x° （1）∠EFB＝　 　．（用含x的代数式表示） （2）若将图1继续沿BF折叠成图（2），∠EFC″＝　 　．（用含x的代数式表示）． 29．如图，AB∥CD，P2E平分∠P1EB，P2F平分∠P1FD，若设∠P1EB＝x°，∠P1FD＝y°则∠P1＝　 　度（用x，y的代数式表示），若P3E平分∠P2EB，P3F平分∠P2FD，可得∠P3，P4E平分∠P3EB，P4F平分∠P3FD，可得∠P4…，依次平分下去，则∠Pn＝　 　度． 30．已知AB∥CD，点M、N分别是AB、CD上两点，点G在AB、CD之间，连接MG、NG． （1）如图1，若GM⊥GN，求∠AMG+∠CNG的度数； （2）如图2，若点P是CD下方一点，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知∠BMG＝30°，求∠MGN+∠MPN的度数； （3）如图3，若点E是AB上方一点，连接EM、EN，且GM的延长线MF平分∠AME，NE平分∠CNG，2∠MEN+∠MGN＝105°，求∠AME的度数． 31．如图，已知AM∥BN，∠A＝80°，点P是射线AM上动点（与A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，交射线AM于C、D． （1）求∠CBD的度数； （2）当点P运动时，那么∠APB：∠ADB的度数比值是否随之发生变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请找出变化规律； （3）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，求∠ABC的度数． 一十三．三角形的角平分线、中线和高（共2小题） 32．已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，则阴影部分的面积为 　 　cm2． 33．如图，已知AE是△ABC的边BC上的中线，若AB＝8cm，△ACE的周长比△AEB的周长多2cm，则AC＝　 　cm． 一十四．三角形的面积（共2小题） 34．如图，A、B、C分别是线段A1B、B1C、C1A的中点，若△A1B1C1的面积是14，那么△ABC的面积是（　　） A．2 B． C．3 D． 35．已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A，B两点在小方格的顶点上，位置如图所示，点C也在小方格的顶点上，且以A，B，C为顶点的三角形面积为1，则点C的个数为（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 一十五．三角形内角和定理（共1小题） 36．如图，在第1个△ABA1中，∠B＝40°，∠BAA1＝∠BA1A，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得在第2个△A1CA2中，∠A1CA2＝∠A1A2C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得在第3个△A2DA3中，∠A2DA3＝∠A2A3D；…，按此做法进行下去，第3个三角形中以A3为顶点的内角的度数为　 　；第n个三角形中以An为顶点的底角的度数为　 　． 一十六．全等图形（共1小题） 37．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1﹣∠2+∠3＝　 　． 一十七．全等三角形的判定（共3小题） 38．如图，已知四边形ABCD中，AB＝10厘米，BC＝8厘米，CD＝12厘米，∠B＝∠C，点E为AB的中点．如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为　 　时，能够使△BPE与△CQP全等． 39．如图，已知AB＝AC，D为∠BAC的角平分线上面一点，连接BD，CD；如图2，已知AB＝AC，D、E为∠BAC的角平分线上面两点，连接BD，CD，BE，CE；如图3，已知AB＝AC，D、E、F为∠BAC的角平分线上面三点，连接BD，CD，BE，CE，BF，CF；…，依次规律，第n个图形中有全等三角形的对数是　 　． 40．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm．点P从A点出发沿A﹣C路径向终点C运动；点Q从B点出发沿B﹣C﹣A路径向终点A运动．点P和Q分别以每秒1cm和3cm的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F．则点P运动时间为　 　时，△PEC与△QFC全等． 一十八．全等三角形的判定与性质（共5小题） 41．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为边，作△ACD，满足AD＝AC，E为BC上一点，连接AE，2∠BAE＝∠CAD，连接DE，下列结论中正确的有（　　） ①AC⊥DE；②∠ADE＝∠ACB；③若CD∥AB，则AE⊥AD；④DE＝CE+2BE． A．①②③ B．②③④ C．②③ D．①②④ 42．如图，AB＝AC，AD＝AE，点B、D、E在一条直线上，∠BAC＝∠DAE，∠1＝35°，∠2＝30°，则∠3＝　 　度． 43．如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC． （1）求∠APO+∠DCO的度数； （2）求证：AC＝AO+AP． 44．如图1，在锐角△ABC中，∠ABC＝45°，高线AD、BE相交于点F． （1）判断BF与AC的数量关系并说明理由； （2）如图2，将△ACD沿线段AD对折，点C落在BD上的点M，AM与BE相交于点N，当DE∥AM时，判断NE与AC的数量关系并说明理由． 45．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，且BE＝CF，BD＝CE． （1）求证：△DEF是等腰三角形； （2）当∠A＝50°时，求∠DEF的度数； （3）若∠A＝∠DEF，判断△DEF是否为等腰直角三角形． 一十九．角平分线的性质（共2小题） 46．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为（　　） A．1 B．6 C．3 D．12 47．如图，直线l1，l2，l3表示三条相交叉的公路．现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地点有（　　） A．四处 B．三处 C．两处 D．一处 二十．线段垂直平分线的性质（共1小题） 48．如图，在△ABC中，AB边的中垂线DE，分别与AB、AC边交于点D、E两点，BC边的中垂线FG，分别与BC、AC边交于点F、G两点，连接BE、BG．若△BEG的周长为16，GE＝1．则AC的长为（　　） A．13 B．14 C．15 D．16 二十一．等腰三角形的性质（共2小题） 49．已知等腰三角形的一个外角等于100°，则它的顶角是（　　） A．80° B．20° C．80°或20° D．不能确定 50．等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的底边为（　　） A．7cm B．3cm C．7cm或3cm D．8cm 二十二．利用轴对称设计图案（共1小题） 51．如图1所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小明按图2所示方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙，那么小明用9个这样的图形（图1）拼出来的图形的总长度是 　 　（结果用含a，b代数式表示）． 二十三．轴对称-最短路线问题（共2小题） 52．如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB＝40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（　　） A．140° B．100° C．50° D．40° 53．如图，在边长为2的等边△ABC中，D是BC的中点，点E在线段AD上，连接BE，在BE的下方作等边△BEF，连接DF．当△BDF的周长最小时，∠DBF的度数是 　 　． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末复习（易错题53题23个考点） 一．同底数幂的乘法（共1小题） 1．已知x+y﹣3＝0，则2y•2x的值是（　　） A．6 B．﹣6 C． D．8 【答案】D 【解答】解：∵x+y﹣3＝0， ∴x+y＝3， ∴2y•2x＝2x+y＝23＝8， 故选：D． 二．幂的乘方与积的乘方（共3小题） 2．已知a＝8131，b＝2741，c＝961，则a，b，c的大小关系是（　　） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．a＜b＜c D．b＞c＞a 【答案】A 【解答】解：∵a＝8131＝（34）31＝3124 b＝2741＝（33）41＝3123； c＝961＝（32）61＝3122． 则a＞b＞c． 故选：A． 3．若x，y均为正整数，且2x+1•4y＝128，则x+y的值为（　　） A．3 B．5 C．4或5 D．3或4或5 【答案】C 【解答】解：∵2x+1•4y＝2x+1+2y，27＝128， ∴x+1+2y＝7，即x+2y＝6 ∵x，y均为正整数， ∴或 ∴x+y＝5或4， 故选：C． 4．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解： ＝•• ＝• ＝1× ＝． 故选：A． 三．多项式乘多项式（共1小题） 5．如（x+m）与（x+3）的乘积中不含x的一次项，则m的值为（　　） A．﹣3 B．3 C．0 D．1 【答案】A 【解答】解：∵（x+m）（x+3）＝x2+3x+mx+3m＝x2+（3+m）x+3m， 又∵（x+m）与（x+3）的乘积中不含x的一次项， ∴3+m＝0， 解得m＝﹣3． 故选：A． 四．完全平方公式（共3小题） 6．已知x＝3y+5，且x2﹣7xy+9y2＝24，则x2y﹣3xy2的值为（　　） A．0 B．1 C．5 D．12 【答案】C 【解答】解：∵x＝3y+5， ∴x﹣3y＝5， 两边平方，可得x2﹣6xy+9y2＝25， 又∵x2﹣7xy+9y2＝24， 两式相减，可得xy＝1， ∴x2y﹣3xy2＝xy（x﹣3y）＝1×5＝5， 故选：C． 7．南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将右表称为“杨辉三角” （a+b）0＝1 （a+b）1＝a+b （a+b）2＝a2+2ab+b2 （a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3 （a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 （a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5 … 则（a+b）9展开式中所有项的系数和是（　　） A．128 B．256 C．512 D．1024 【答案】C 【解答】解：当n＝0时，展开式中所有项的系数和为1＝20， 当n＝1时，展开式中所有项的系数和为2＝21， 当n＝2时，展开式中所有项的系数和为4＝22， ••• 当n＝9时，展开式的项系数和为＝29＝512， 故选：C． 8．已知a+＝5，则a2+的值是 　23　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：a2+＝． 故答案为：23． 五．完全平方公式的几何背景（共5小题） 9．如图，点C是线段BG上的一点，以BC，CG为边向两边作正方形，面积分别是S1和S2，两正方形的面积和S1+S2＝40，已知BG＝8，则图中阴影部分面积为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【解答】解：设BC＝a，CG＝b，则S1＝a2，S2＝b2，a+b＝BG＝8． ∴a2+b2＝40． ∵（a+b）2＝a2+b2+2ab＝64， ∴2ab＝64﹣40＝24， ∴ab＝12， ∴阴影部分的面积等于ab＝×12＝6． 故选：A． 10．如图，两个正方形的边长分别为a，b，若a+b＝10，ab＝20，则四边形ABCD的面积为　20　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：根据题意可得，四边形ABCD的面积 ＝（a2+b2）﹣﹣b（a+b） ＝（a2+b2﹣ab） ＝（a2+b2+2ab﹣3ab） ＝[（a+b）2﹣3ab]； 代入a+b＝10，ab＝20，可得： 四边形ABCD的面积＝（10×10﹣20×3）÷2＝20． 故答案为：20． 11．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，请解答下列问题： （1）写出图2中所表示的数学等式　（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc　． （2）根据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式． （3）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题： 若a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，则a2+b2+c2＝　30　． （4）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形z张边长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（5a+7b）（9a+4b）长方形，则x+y+z＝　156　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵正方形的面积＝（a+b+c）2；正方形的面积＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc． ∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc． 故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc． （2）证明：（a+b+c）（a+b+c）， ＝a2+ab+ac+ab+b2+bc+ac+bc+c2， ＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc． （3）a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2ab﹣2ac﹣2bc， ＝102﹣2（ab+ac+bc）， ＝100﹣2×35， ＝30． 故答案为：30； （4）由题可知，所拼图形的面积为：xa2+yb2+zab， ∵（5a+7b）（9a+4b）， ＝45a2+20ab+63ab+28b2， ＝45a2+28b2+83ab， ∴x＝45，y＝28，z＝83． ∴x+y+z＝45+28+83＝156． 故答案为：156． 12．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2． （1）用含a，b的代数式分别表示S1、S2； （2）若a+b＝10，ab＝20，求S1+S2的值； （3）当S1+S2＝30时，求出图3中阴影部分的面积S3． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由图可得，S1＝a2﹣b2， S2＝a2﹣a（a﹣b）﹣b（a﹣b）﹣b（a﹣b）＝2b2﹣ab； （2）S1+S2＝a2﹣b2+2b2﹣ab＝a2+b2﹣ab， ∵a+b＝10，ab＝20， ∴S1+S2＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣3ab＝100﹣3×20＝40； （3）由图可得，S3＝a2+b2﹣b（a+b）﹣a2＝（a2+b2﹣ab）， ∵S1+S2＝a2+b2﹣ab＝30， ∴S3＝×30＝15． 13．用四块完全相同的小长方形拼成的一个“回形”正方形． （1）用不同代数式表示图中的阴影部分的面积，你能得到怎样的等式，试用乘法公式说明这个等式成立； （2）利用（1）中的结论计算：a+b＝2，ab＝，求a﹣b； （3）根据（1）中的结论，直接写出x+和x﹣之间的关系；若x2﹣3x+1＝0，分别求出x+和（x﹣）2的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）阴影部分的面积为：4ab或（a+b）2﹣（a﹣b）2， 得到等式：4ab＝（a+b）2﹣（a﹣b）2， 说明：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝a2+2ab+b2﹣（a2﹣2ab+b2）＝a2+2ab+b2﹣a2+2ab﹣b2＝4ab． （2）（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝＝4﹣3＝1， ∴a﹣b＝±1． （3）根据（1）中的结论，可得：， ∵x2﹣3x+1＝0， 方程两边都除以x得：， ∴， ∴． 六．完全平方式（共1小题） 14．如果x2+2mx+9是一个完全平方式，则m的值是（　　） A．3 B．±3 C．6 D．±6 【答案】B 【解答】解：∵x2+2mx+9是一个完全平方式， ∴2m＝±6， ∴m＝±3， 故选：B． 七．平方差公式的几何背景（共1小题） 15．如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，如图2中阴影部分剪裁后拼成的一个长方形． （1）设如图1中阴影部分面积为S1，如图2中阴影部分面积为S2，请直接用含a，b的代数式表示S1，S2； （2）请写出上述过程所揭示的乘法公式； （3）试利用这个公式计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2， ∴S1＝a2﹣b2，S2＝（a+b）（a﹣b）； （2）依据阴影部分的面积相等，可得（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2； （3）原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1 ＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）+1 ＝（24﹣1）（24+1）（28+1）+1 ＝（28﹣1）（28+1）+1 ＝（216﹣1）+1 ＝216． 八．函数的图象（共3小题） 16．小明从家出发到公园晨练，在公园锻炼一段时间后按原路返回，同时小明爸爸从公园按小明的路线返回家中，如图是两人离家的距离y（米）与小明出发的时间x（分）之间的函数图象，则下列结论中不正确的是（　　） A．公园离小明家1600米 B．小明出发分钟后与爸爸第一次相遇 C．小明在公园停留的时间为5分钟 D．小明与爸爸第二次相遇时，离家的距离是960米 【答案】D 【解答】解：由图可得，公园离小明家1600米， 故A选项正确； ∵小明从家出发到公园晨练时，速度为1600÷10＝160米/分， 小明爸爸从公园按小明的路线返回家中的速度为1600÷50＝32米/分， ∴小明出后与爸爸第一次相遇的时间为1600÷（160+32）＝分钟， 故B选项正确； 由图可得，30分钟后小明与爸爸第二次相遇时，离家的距离是1600﹣30×32＝640米， 故D选项错误； ∵小明在与爸爸第二次相遇后回到家的时间为：40﹣30＝10分， ∴小明在公园锻炼一段时间后按原路返回的速度为640÷10＝64米/分， ∴40﹣1600÷64＝15分， ∴小明在公园停留的时间为15﹣10＝5分钟， 故C选项正确； 故选：D． 17．如图表示甲、乙两名选手在一次自行车越野赛中，路程y（千米）随时间x（分）变化的图象．下面几个结论： ①比赛开始24分钟时，两人第一次相遇． ②这次比赛全程是10千米． ③比赛开始38分钟时，两人第二次相遇． 正确的结论为　①③　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：①15到33分钟的速度为km/min， ∴再行1千米用的时间为9分钟， ∴第一次相遇的时间为15+9＝24min，正确； ②第一次相遇时的路程为6km，时间为24min， 所以乙的速度为6÷24＝0.25km/min， 所以全长为48×0.25＝12km，故错误； ③甲第三段速度为5÷10＝0.5km/min，7+0.5×（t﹣33）＝0.25t， 解得t＝38，正确， 故答案为：①③． 18．快车与慢车分别从甲乙两地同时相向出发，匀速而行，快车到达乙地后停留1h，然后按原路原速返回，快车比慢车晚1h到达甲地，快慢两车距各自出发地的路程y（km）与所用的时x（h）的关系如图所示． （1）甲乙两地之间的路程为 　420　km；快车的速度为 　140　km/h；慢车的速度为 　70　km/h； （2）出发 　　h，快慢两车距各自出发地的路程相等； （3）快慢两车出发 　h或h或　h相距150km． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由图可知：甲乙两地之间的路程为420km； 快车的速度为：＝140km/h； 由题意得：快车7小时到达甲地，则慢车6小时到达甲地， 则慢车的速度为：＝70km/h； 故答案为：420，140，70； （2）∵快车速度为：140km/h， ∴A点坐标为：（3，420）， ∴B点坐标为（4，420）， 由图可知：快车返程时，两车距各自出发地的路程相等， 设出发x小时，两车距各自出发地的路程相等， 70x＝2×420﹣140（x﹣1）， 70x＝980﹣140x， 解得：x＝， 答：出发小时，快、慢两车距各自出发地的路程相等； 故答案为：； （3）第一种情形第一次没有相遇前，相距150km， 则140x+70x+150＝420， 解得：x＝， 第二种情形应是相遇后而快车没到乙地前140x+70x﹣420＝150， 解得：x＝， 第三种情形是快车从乙往甲返回：70x﹣140（x﹣4）＝150， 解得：x＝， 综上所述：快慢两车出发h或h或h相距150km． 故答案为：h或h或． 九．动点问题的函数图象（共2小题） 19．已知动点H以每秒x厘米的速度沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按从A﹣B﹣C﹣D﹣E﹣F的路径匀速运动，相应的△HAF的面积S（cm2）关于时间t（s）的关系图象如图2，已知AF＝8cm，则下列说法正确的有几个（　　） ①动点H的速度是2cm/s； ②BC的长度为3cm； ③当点H到达D点时△HAF的面积是8cm2； ④b的值为14； ⑤在运动过程中，当△HAF的面积是30cm2时，点H的运动时间是3.75s和10.25s． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【解答】解：当点H在AB上时，如图所示， AH＝xt （cm）， S△HAF＝×AF×AH＝4xt（cm2）， 此时三角形面积随着时间增大而逐渐增大， 当点H在BC上时，如图所示，HP是△HAF的高，且HP＝AB， ∴S△HAF＝×AF×AB，此时三角形面积不变， 当点H在CD上时，如图所示，HP是△HAF的高，C，D，P三点共线， S△HAF＝×AF×HP，点H从点C点D运动，HP逐渐减小，故三角形面积不断减小， 当点H在DE上时，如图所示，HP是△HAF的高，且HP＝EF， S△HAF＝×AF×EF，此时三角形面积不变， 当点H在EF时，如图所示， S△HAF＝×AF×HF，点H从点E向点F运动，HF逐渐减小，故三角形面积不断减小直至零， 对照图2可得0≤t≤5时，点H在AB上， S△HAF＝4xt＝4•5x＝40（cm2）， ∴x＝2，AB＝2×5＝10（cm）， ∴动点H的速度是2cm/s， 故①正确， 5≤t≤8时，点H在BC上，此时三角形面积不变， ∴动点H由点B运动到点C共用时8﹣5＝3（s）， ∴BC＝2×3＝6（cm）， 故②错误， 8≤t≤12时，当点H在CD上，三角形面积逐渐减小， ∴动点H由点C运动到点D共用时12﹣8＝4（s）， ∴CD＝2×4＝8（cm）， ∴EF＝AB﹣CD＝10﹣8＝2（cm）， 在D点时，△HAF的高与EF相等，即HP＝EF， ∴S△HAF＝×AF×EF＝×8×2＝8（cm2）， 故③正确， 12≤t≤b，点H在DE上，DE＝AF﹣BC＝8﹣6＝2（cm）， ∴动点H由点D运动到点E共用时2÷2＝1（s）， ∴b＝12+1＝13， 故④错误． 当△HAF的面积是30cm2时，点H在AB上或CD上， 点H在AB上时，S△HAF＝4xt＝8t＝30（cm2）， 解得t＝3.75（s）， 点H在CD上时， S△HAF＝×AF×HP＝×8×HP＝30（cm2）， 解得HP＝7.5（cm）， ∴CH＝AB﹣HP＝10﹣7.5＝2.5（cm）， ∴从点C运动到点H共用时2.5÷2＝1.25（s）， 由点A到点C共用时8s， ∴此时共用时8+1.25＝9.25（s）， 故⑤错误． 故选：A． 20．如图①，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止，设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图②所示，则矩形MNPQ的面积是　20　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：由图象可知，x＝4时，点R到达P，x＝9时，点R到Q点，则PN＝4，QP＝5 ∴矩形MNPQ的面积是20． 一十．相交线（共1小题） 21．观察如图，并阅读图形下面的相关文字： 两条直线相交，最多有1个交点；三条直线相交，最多有3个交点；4条直线相交，最多有6个交点…… 像这样，20条直线相交，交点最多的个数是（　　） A．100个 B．135个 C．190个 D．200个 【答案】C 【解答】解：2条直线相交最多有1个交点，1＝×1×2， 3条直线相交最多有3个交点，3＝1+2＝×2×3， 4条直线相交最多有6个交点，6＝1+2+3＝×3×4， 5条直线相交最多有10个交点，10＝1+2+3+4＝×4×5， … n条直线相交最多有交点的个数是：n（n﹣1）． 20条直线相交最多有交点的个数是：n（n﹣1）＝×20×19＝190． 故选：C． 一十一．对顶角、邻补角（共1小题） 22．如图，直线CD与EF相交于点O，∠COE＝60°，将一直角三角尺AOB的直角顶点与O重合，OA平分∠COE． （1）求∠BOD的度数； （2）将三角尺AOB以每秒3°的速度绕点O顺时针旋转，同时直线EF也以每秒9°的速度绕点O顺时针旋转，设运动时间为t秒（0≤t≤40）． ①当t为何值时，直线EF平分∠AOB； ②若直线EF平分∠BOD，直接写出t的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵∠COE＝60°，OA平分∠COE， ∴∠AOC＝30°， 又∵∠AOB＝90°， ∴∠BOD＝180°﹣30°﹣90°＝60°； （2）①分两种情况： ①当OE平分∠AOB时，∠AOE＝45°， 即9°t+30°﹣3°t＝45°， 解得t＝2.5； ②当OF平分∠AOB时，∠AOF＝45°， 即9°t﹣150°﹣3°t＝45°， 解得t＝32.5； 综上所述，当t＝2.5s或32.5s时，直线EF平分∠AOB； ②t的值为12s或36s． 分两种情况： ①当OE平分∠BOD时，∠BOE＝∠BOD， 即9°t﹣60°﹣3°t＝（60°﹣3°t）， 解得t＝12； ②当OF平分∠BOD时，∠DOF＝∠BOD， 即9°t﹣300°＝（3°t﹣60°）， 解得t＝36； 综上所述，若直线EF平分∠BOD，t的值为12s或36s． 一十二．平行线的性质（共9小题） 23．如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少30°，那么这两个角是（　　） A．42°、138° B．都是10° C．42°、138°或10°、10° D．以上都不对 【答案】C 【解答】解：如图1，∵AB∥EF， ∴∠3＝∠2， ∵BC∥DE， ∴∠3＝∠1， ∴∠1＝∠2． 如图2，∵AB∥EF， ∴∠3+∠2＝180°， ∵BC∥DE， ∴∠3＝∠1， ∴∠1+∠2＝180° ∴如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补． 设另一个角为x，则这一个角为4x﹣30°， （1）两个角相等，则x＝4x﹣30°， 解得x＝10°， 4x﹣30°＝4×10°﹣30°＝10°； （2）两个角互补，则x+（4x﹣30°）＝180°， 解得x＝42°， 4x﹣30°＝4×42°﹣30°＝138°． 所以这两个角是42°、138°或10°、10°． 故选：C． 24．如图，AB∥CD，有图中α，β，γ三角之间的关系是（　　） A．α+β+γ＝180° B．α﹣β+γ＝180° C．α+β﹣γ＝180° D．α+β+γ＝360° 【答案】C 【解答】解：如图，延长AE交直线CD于F， ∵AB∥CD， ∴∠α+∠AFD＝180°， ∵∠AFD＝∠β﹣∠γ， ∴∠α+∠β﹣∠γ＝180°， 故选：C． 25．如图，将矩形ABCD沿GH折叠，点C落在点Q处，点D落在AB边上的点E处，若∠AGE＝32°，则∠GHC等于（　　） A．112° B．110° C．108° D．106° 【答案】D 【解答】解：∵∠AGE＝32°，∠AGD＝180°， ∴∠DGE＝148°， 由折叠可得，∠DGH＝∠DGE＝74°， ∵AD∥BC， ∴∠GHC＝180°﹣∠DGH＝106°， 故选：D． 26．一个人驱车前进时，两次拐弯后，按原来的相反方向前进，这两次拐弯的角度可能是（　　） A．向右拐85°，再向右拐95° B．向右拐85°，再向左拐85° C．向右拐85°，再向右拐85° D．向右拐85°，再向左拐95° 【答案】A 【解答】解：因为两次拐弯后，按原来的相反方向前进， 所以两次拐弯的方向相同，形成的角是同旁内角，且互补， 故选：A． 27．如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，若第一次拐角∠A＝130°，第二次拐角∠B＝150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C为（　　） A．170° B．160° C．150° D．140° 【答案】B 【解答】解：如图，过点B作BD∥AE， 由已知可得：AE∥CF， ∴AE∥BD∥CF， ∴∠ABD＝∠A＝130°，∠DBC+∠C＝180°， ∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝150°﹣130°＝20°， ∴∠C＝180°﹣∠DBC＝180°﹣20°＝160°． 故选：B． 28．将一条两边互相平行的纸带沿EF折叠，如图（1），AD∥BC，ED'∥FC'，设∠AED'＝x° （1）∠EFB＝　90°﹣x°　．（用含x的代数式表示） （2）若将图1继续沿BF折叠成图（2），∠EFC″＝　﹣90°　．（用含x的代数式表示）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图1所示： ∵AD∥BC， ∴∠DEF＝∠EFB，∠AEH+∠EHB＝180°， 又∵∠DEF＝∠D'EF， ∴∠D'EF＝∠EFB， 又∵∠EHB＝∠D'EF+∠EFB， ∴∠EFB＝∠EHB， 又∵∠AED'＝x°， ∴∠EHB＝180°﹣x° ∴∠EFB＝＝90°﹣x° （2）如图2所示： ∵∠EFB+∠EFC'＝180°， ∴∠EFC'＝180°﹣（90°﹣°）＝90°+， 又∵∠EFC'＝2∠EFB+∠EFC''， ∴∠EFC''＝∠EFC'﹣2∠EFB ＝90°+﹣2（90°﹣°） ＝， 故答案为． 29．如图，AB∥CD，P2E平分∠P1EB，P2F平分∠P1FD，若设∠P1EB＝x°，∠P1FD＝y°则∠P1＝　（x+y）　度（用x，y的代数式表示），若P3E平分∠P2EB，P3F平分∠P2FD，可得∠P3，P4E平分∠P3EB，P4F平分∠P3FD，可得∠P4…，依次平分下去，则∠Pn＝　（）n﹣1（x+y）　度． 【答案】（1）（x+y）；（2）（）n﹣1（x+y）． 【解答】解：（1）如图，分别过点P1、P2作直线MN∥AB，GH∥AB， ∴∠P1EB＝∠MP1E＝x°． 又∵AB∥CD， ∴MN∥CD． ∴∠P1FD＝∠FP1M＝y°． ∴∠EP1F＝∠EP1M+∠FP1M＝x°+y°． （2）∵P2E平分∠BEP1，P2F平分∠DFP1， ∴＝． ． 以此类推：，，...，． 故答案为：（x+y），（）n﹣1（x+y）． 30．已知AB∥CD，点M、N分别是AB、CD上两点，点G在AB、CD之间，连接MG、NG． （1）如图1，若GM⊥GN，求∠AMG+∠CNG的度数； （2）如图2，若点P是CD下方一点，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知∠BMG＝30°，求∠MGN+∠MPN的度数； （3）如图3，若点E是AB上方一点，连接EM、EN，且GM的延长线MF平分∠AME，NE平分∠CNG，2∠MEN+∠MGN＝105°，求∠AME的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图1，过G作GH∥AB， ∵AB∥CD， ∴GH∥AB∥CD， ∴∠AMG＝∠HGM，∠CNG＝∠HGN， ∵MG⊥NG， ∴∠MGN＝∠MGH+∠NGH＝∠AMG+∠CNG＝90°； （2）如图2，过G作GK∥AB，过点P作PQ∥AB，设∠GND＝α， ∵GK∥AB，AB∥CD， ∴GK∥CD， ∴∠KGN＝∠GND＝α， ∵GK∥AB，∠BMG＝30°， ∴∠MGK＝∠BMG＝30°， ∵MG平分∠BMP，ND平分∠GNP， ∴∠GMP＝∠BMG＝30°， ∴∠BMP＝60°， ∵PQ∥AB， ∴∠MPQ＝∠BMP＝60°， ∵ND平分∠GNP， ∴∠DNP＝∠GND＝α， ∵AB∥CD， ∴PQ∥CD， ∴∠QPN＝∠DNP＝α， ∴∠MGN＝30°+α，∠MPN＝60°﹣α， ∴∠MGN+∠MPN＝30°+α+60°﹣α＝90°； （3）如图3，过G作GK∥AB，过E作ET∥AB，设∠AMF＝x，∠GND＝y， ∵AB，FG交于M，MF平分∠AME， ∴∠FME＝∠FMA＝∠BMG＝x， ∴∠AME＝2x， ∵GK∥AB， ∴∠MGK＝∠BMG＝x， ∵ET∥AB， ∴∠TEM＝∠EMA＝2x， ∵CD∥AB∥KG， ∴GK∥CD， ∴∠KGN＝∠GND＝y， ∴∠MGN＝x+y， ∵∠CND＝180°，NE平分∠CNG， ∴∠CNG＝180°﹣y，∠CNE＝∠CNG＝90°﹣y， ∵ET∥AB∥CD， ∴ET∥CD， ∴∠TEN＝∠CNE＝90°﹣y， ∴∠MEN＝∠TEN﹣∠TEM＝90°﹣y﹣2x，∠MGN＝x+y， ∵2∠MEN+∠G＝105°， ∴2（90°﹣y﹣2x）+x+y＝105°， ∴x＝25°， ∴∠AME＝2x＝50°． 31．如图，已知AM∥BN，∠A＝80°，点P是射线AM上动点（与A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，交射线AM于C、D． （1）求∠CBD的度数； （2）当点P运动时，那么∠APB：∠ADB的度数比值是否随之发生变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请找出变化规律； （3）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，求∠ABC的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵AM∥BN， ∴∠ABN+∠A＝180°， ∴∠ABN＝180°﹣80°＝100°， ∴∠ABP+∠PBN＝100°， ∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN， ∴∠ABP＝2∠CBP，∠PBN＝2∠DBP， ∴2∠CBP+2∠DBP＝100°， ∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝50°； （2）不变，∠APB：∠ADB＝2：1． ∵AM∥BN， ∴∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN， ∵BD平分∠PBN， ∴∠PBN＝2∠DBN， ∴∠APB：∠ADB＝2：1； （3）∵AM∥BN， ∴∠ACB＝∠CBN， 当∠ACB＝∠ABD时，则有∠CBN＝∠ABD， ∴∠ABC+∠CBD＝∠CBD+∠DBN， ∴∠ABC＝∠DBN， 由（1）可知∠ABN＝100°，∠CBD＝50°， ∴∠ABC+∠DBN＝50°， ∴∠ABC＝25°． 一十三．三角形的角平分线、中线和高（共2小题） 32．已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，则阴影部分的面积为 　1　cm2． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵D为BC中点，根据同底等高的三角形面积相等， ∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABC＝×4＝2（cm2）， 同理S△BDE＝S△CDE＝S△BCE＝×2＝1（cm2）， ∴S△BCE＝2（cm2）， ∵F为EC中点， ∴S△BEF＝S△BCE＝×2＝1（cm2）． 故答案为1． 33．如图，已知AE是△ABC的边BC上的中线，若AB＝8cm，△ACE的周长比△AEB的周长多2cm，则AC＝　10　cm． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵AE是△ABC的边BC上的中线， ∴CE＝BE， 又∵AE＝AE，△ACE的周长比△AEB的周长多2cm， ∴AC﹣AB＝2cm， 即AC﹣8＝2cm， ∴AC＝10cm， 故答案为：10； 一十四．三角形的面积（共2小题） 34．如图，A、B、C分别是线段A1B、B1C、C1A的中点，若△A1B1C1的面积是14，那么△ABC的面积是（　　） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【解答】解：如图，连接AB1，BC1，CA1， ∵A、B分别是线段A1B，B1C的中点， ∴＝S△ABC， ＝＝S△ABC， ∴＝+＝2S△ABC， 同理：＝2S△ABC，＝2S△ABC， ∴△A1B1C1的面积＝+++S△ABC＝7S△ABC＝14． ∴S△ABC＝2， 故选：A． 35．已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A，B两点在小方格的顶点上，位置如图所示，点C也在小方格的顶点上，且以A，B，C为顶点的三角形面积为1，则点C的个数为（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【解答】解：C点所有的情况如图所示： 故选：D． 一十五．三角形内角和定理（共1小题） 36．如图，在第1个△ABA1中，∠B＝40°，∠BAA1＝∠BA1A，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得在第2个△A1CA2中，∠A1CA2＝∠A1A2C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得在第3个△A2DA3中，∠A2DA3＝∠A2A3D；…，按此做法进行下去，第3个三角形中以A3为顶点的内角的度数为　17.5°　；第n个三角形中以An为顶点的底角的度数为　　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵在△ABA1中，∠B＝40°，AB＝A1B， ∴∠BA1A＝（180°﹣∠B）＝（180°﹣40°）＝70°， ∵A1A2＝A1C，∠BA1A是△A1A2C的外角， ∴∠CA2A1＝∠BA1A＝×70°＝35°； 同理可得，∠DA3A2＝×70°＝17.5°，∠EA4A3＝×70°， 以此类推，第n个三角形的以An为顶点的底角的度数＝． 故答案为：17.5°，． 一十六．全等图形（共1小题） 37．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1﹣∠2+∠3＝　45°　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：观察图形可知：△ABC≌△BDE， ∴∠1＝∠DBE， 又∵∠DBE+∠3＝90°， ∴∠1+∠3＝90°． ∵∠2＝45°， ∴∠1﹣∠2+∠3＝90°﹣45°＝45°． 故答案为：45°． 一十七．全等三角形的判定（共3小题） 38．如图，已知四边形ABCD中，AB＝10厘米，BC＝8厘米，CD＝12厘米，∠B＝∠C，点E为AB的中点．如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为　3厘米/秒或厘米/秒　时，能够使△BPE与△CQP全等． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：设点P运动的时间为t秒，则BP＝3t，CP＝8﹣3t， ∵∠B＝∠C， ∴①当BE＝CP＝5，BP＝CQ时，△BPE与△CQP全等， 此时，5＝8﹣3t， 解得t＝1， ∴BP＝CQ＝3， 此时，点Q的运动速度为3÷1＝3厘米/秒； ②当BE＝CQ＝5，BP＝CP时，△BPE与△CQP全等， 此时，3t＝8﹣3t， 解得t＝， ∴点Q的运动速度为5÷＝厘米/秒； 故答案为：3厘米/秒或厘米/秒． 39．如图，已知AB＝AC，D为∠BAC的角平分线上面一点，连接BD，CD；如图2，已知AB＝AC，D、E为∠BAC的角平分线上面两点，连接BD，CD，BE，CE；如图3，已知AB＝AC，D、E、F为∠BAC的角平分线上面三点，连接BD，CD，BE，CE，BF，CF；…，依次规律，第n个图形中有全等三角形的对数是　　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：当有1点D时，有1对全等三角形； 当有2点D、E时，有3对全等三角形； 当有3点D、E、F时，有6对全等三角形； 当有4点时，有10个全等三角形； … 当有n个点时，图中有个全等三角形． 故答案为：． 40．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm．点P从A点出发沿A﹣C路径向终点C运动；点Q从B点出发沿B﹣C﹣A路径向终点A运动．点P和Q分别以每秒1cm和3cm的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F．则点P运动时间为　1或　时，△PEC与△QFC全等． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图1所示； ∵△PEC与△QFC全等， ∴PC＝QC． ∴6﹣t＝8﹣3t． 解得：t＝1． 如图2所示： ∵点P与点Q重合， ∴△PEC与△QFC全等， ∴6﹣t＝3t﹣8． 解得：t＝． 故答案为：1或． 一十八．全等三角形的判定与性质（共5小题） 41．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为边，作△ACD，满足AD＝AC，E为BC上一点，连接AE，2∠BAE＝∠CAD，连接DE，下列结论中正确的有（　　） ①AC⊥DE；②∠ADE＝∠ACB；③若CD∥AB，则AE⊥AD；④DE＝CE+2BE． A．①②③ B．②③④ C．②③ D．①②④ 【答案】B 【解答】解：如图，延长EB至G，使BE＝BG，设AC与DE交于点M， ∵∠ABC＝90°， ∴AB⊥GE， ∴AB垂直平分GE， ∴AG＝AE，∠GAB＝∠BAE＝∠DAC， ∵∠BAE＝∠GAE， ∴∠GAE＝∠CAD， ∴∠GAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC， ∴∠GAC＝∠EAD， 在△GAC与△EAD中， ， ∴△GAC≌△EAD（SAS）， ∴∠G＝∠AED，∠ACB＝∠ADE， ∴②是正确的； ∵AG＝AE， ∴∠G＝∠AEG＝∠AED， ∴AE平分∠BED， 当∠BAE＝∠EAC时，∠AME＝∠ABE＝90°，则AC⊥DE， 当∠BAE≠∠EAC时，∠AME≠∠ABE，则无法说明AC⊥DE， ∴①是不正确的； 设∠BAE＝x，则∠CAD＝2x， ∴∠ACD＝∠ADC＝＝90°﹣x， ∵AB∥CD， ∴∠BAC＝∠ACD＝90°﹣x， ∴∠CAE＝∠BAC﹣∠EAB＝90°﹣x﹣x＝90°﹣2x， ∴∠DAE＝∠CAE+∠DAC＝90°﹣2x+2x＝90°， ∴AE⊥AD， ∴③是正确的； ∵△GAC≌△EAD， ∴CG＝DE， ∵CG＝CE+GE＝CE+2BE， ∴DE＝CE+2BE， ∴④是正确的， 故选：B． 42．如图，AB＝AC，AD＝AE，点B、D、E在一条直线上，∠BAC＝∠DAE，∠1＝35°，∠2＝30°，则∠3＝　65　度． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图所示： ∵∠BAC＝∠DAE， ∠BAC＝∠1+∠DAC，∠DAE＝∠DAC+∠4， ∴∠1＝∠4， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ADB＝∠AEC， 又∵∠2+∠4+∠AEC＝180°， ∴∠AEC＝115°， ∴∠ADB＝115°， 又∠ADB+∠3＝180°， ∴∠3＝65°， 故答案为65． 43．如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC． （1）求∠APO+∠DCO的度数； （2）求证：AC＝AO+AP． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）连接BO，如图1所示： ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BD＝CD，∠ODB＝∠ODC， 在△OBD和△OCD中， ， ∴△OBD≌△OCD（SAS）， ∴OB＝OC， 又∵OP＝OC， ∴OB＝OC＝OP， ∴∠APO＝∠ABO，∠DBO＝∠DCO， 又∵∠BAC＝120°， ∠ABC＝∠ACB＝30°， 又∵∠ABD＝∠ABO+∠DBO＝30°， ∴∠APO+∠DCO＝30°； （2）过点O作OH⊥BP于点H，如图2所示： ∵∠BAC＝120°，AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠HAO＝∠CAD＝60°， 又∵OH⊥BP， ∴∠OHA＝90°， ∴∠HOA＝30°， ∴AO＝2AH， 又∵BO＝PO，OH⊥BP， ∴BH＝PH， 又∵HP＝AP+AH， ∴BH＝AP+AH， 又∵AB＝BH+AH， ∴AB＝AP+2AH， 又∵AB＝AC，AO＝2AH， ∴AC＝AP+AO． 44．如图1，在锐角△ABC中，∠ABC＝45°，高线AD、BE相交于点F． （1）判断BF与AC的数量关系并说明理由； （2）如图2，将△ACD沿线段AD对折，点C落在BD上的点M，AM与BE相交于点N，当DE∥AM时，判断NE与AC的数量关系并说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）BF＝AC，理由是： 如图1，∵AD⊥BC，BE⊥AC， ∴∠ADB＝∠AEF＝90°， ∵∠ABC＝45°， ∴△ABD是等腰直角三角形， ∴AD＝BD， ∵∠AFE＝∠BFD， ∴∠DAC＝∠EBC， 在△ADC和△BDF中， ∵， ∴△ADC≌△BDF（ASA）， ∴BF＝AC； （2）NE＝AC，理由是： 解法一：如图2，由折叠得：MD＝DC，AM＝AC ∴∠AMD＝∠ACD， ∵DE∥AM， ∴∠EDC＝∠AMD＝∠ACD， ∴DE＝CE， 同理得：AE＝DE， ∴AE＝CE， ∵BE⊥AC， ∴AB＝BC， ∴∠ABE＝∠CBE， 由（1）得：∠DAC＝∠DBF， ∴∠ABC＝2∠DBF＝2∠DAC＝∠MAC＝45°， ∴△ANE是等腰直角三角形， ∴EN＝AE＝AC． 解法二：如图2，由折叠得：MD＝DC， ∵DE∥AM， ∴AE＝EC， ∵BE⊥AC， ∴AB＝BC， ∴∠ABE＝∠CBE， 由（1）得：∠DAC＝∠DBF， ∴∠ABC＝2∠DBF＝2∠DAC＝∠MAC＝45°， ∴△ANE是等腰直角三角形， ∴NE＝AE＝AC． 45．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，且BE＝CF，BD＝CE． （1）求证：△DEF是等腰三角形； （2）当∠A＝50°时，求∠DEF的度数； （3）若∠A＝∠DEF，判断△DEF是否为等腰直角三角形． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， 在△BDE和△CEF中， ∵， ∴△BDE≌△CEF（SAS）， ∴DE＝EF， ∴△DEF是等腰三角形； （2）∵∠DEC＝∠B+∠BDE， 即∠DEF+∠CEF＝∠B+∠BDE， ∵△BDE≌△CEF， ∴∠CEF＝∠BDE， ∴∠DEF＝∠B， 又∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°， ∴∠B＝65°， ∴∠DEF＝65°； （3）由（1）知：△DEF是等腰三角形，即DE＝EF， 由（2）知，∠DEF＝∠B， 而∠B不可能为直角， ∴△DEF不可能是等腰直角三角形． 一十九．角平分线的性质（共2小题） 46．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为（　　） A．1 B．6 C．3 D．12 【答案】C 【解答】解：过点D作DH⊥BC交BC于点H，如图所示： ∵BD⊥CD， ∴∠BDC＝90°， 又∵∠C+∠BDC+∠DBC＝180°， ∠ADB+∠A+∠ABD＝180° ∠ADB＝∠C，∠A＝90°， ∴∠ABD＝∠CBD， ∴BD是∠ABC的角平分线， 又∵AD⊥AB，DH⊥BC， ∴AD＝DH， 又∵AD＝3， ∴DH＝3， 又∴点D是直线BC外一点， ∴当点P在BC上运动时，点P运动到与点H重合时DP最短，其长度为DH长等于3， 即DP长的最小值为3． 故选：C． 47．如图，直线l1，l2，l3表示三条相交叉的公路．现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地点有（　　） A．四处 B．三处 C．两处 D．一处 【答案】A 【解答】解：满足条件的有： （1）三角形两个内角平分线的交点，共一处； （2）三角形外角平分线的交点，共三处． 故选：A． 二十．线段垂直平分线的性质（共1小题） 48．如图，在△ABC中，AB边的中垂线DE，分别与AB、AC边交于点D、E两点，BC边的中垂线FG，分别与BC、AC边交于点F、G两点，连接BE、BG．若△BEG的周长为16，GE＝1．则AC的长为（　　） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】B 【解答】解：∵DE是线段AB的中垂线，GF是线段BC的中垂线， ∴EB＝EA，GB＝GC， ∵△BEG周长为16， ∴EB+GB+EG＝16， ∴EA+GC+EG＝16， ∴GA+EG+EG+EG+EC＝16， ∴AC+2EG＝16， ∵EG＝1， ∴AC＝14， 故选：B． 二十一．等腰三角形的性质（共2小题） 49．已知等腰三角形的一个外角等于100°，则它的顶角是（　　） A．80° B．20° C．80°或20° D．不能确定 【答案】C 【解答】解：①若100°是顶角的外角，则顶角＝180°﹣100°＝80°； ②若100°是底角的外角，则底角＝180°﹣100°＝80°，那么顶角＝180°﹣2×80°＝20°． 故选：C． 50．等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的底边为（　　） A．7cm B．3cm C．7cm或3cm D．8cm 【答案】B 【解答】解：当腰是3cm时，则另两边是3cm，7cm．而3+3＜7，不满足三边关系定理，因而应舍去． 当底边是3cm时，另两边长是5cm，5cm．则该等腰三角形的底边为3cm． 故选：B． 二十二．利用轴对称设计图案（共1小题） 51．如图1所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小明按图2所示方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙，那么小明用9个这样的图形（图1）拼出来的图形的总长度是 　a+8b　（结果用含a，b代数式表示）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：方法1、如图，由图可得，拼出来的图形的总长度＝5a+4[a﹣2（a﹣b）]＝a+8b 故答案为：a+8b． 方法2、∵小明用9个这样的图形（图1）拼出来的图形 ∴口朝上的有5个，口朝下的有四个， 而口朝上的有5个，长度之和是5a，口朝下的有四个，长度为4[b﹣（a﹣b）]＝8b﹣4a， 即：总长度为5a+8b﹣4a＝a+8b， 故答案为a+8b． 二十三．轴对称-最短路线问题（共2小题） 52．如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB＝40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（　　） A．140° B．100° C．50° D．40° 【答案】B 【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2，交OA于M，交OB于N，则 OP1＝OP＝OP2，∠OP1M＝∠MPO，∠NPO＝∠NP2O， 根据轴对称的性质，可得MP＝P1M，PN＝P2N，则 △PMN的周长的最小值＝P1P2， ∴∠P1OP2＝2∠AOB＝80°， ∴等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1＝100°， ∴∠MPN＝∠OPM+∠OPN＝∠OP1M+∠OP2N＝100°， 故选：B． 53．如图，在边长为2的等边△ABC中，D是BC的中点，点E在线段AD上，连接BE，在BE的下方作等边△BEF，连接DF．当△BDF的周长最小时，∠DBF的度数是 　30°　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图，连接CF， ∵△ABC、△BEF都是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC，BE＝EF＝BF，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝∠EBF＝∠BEF＝∠BFE＝60°， ∴∠ABC﹣∠EBD＝∠EBF﹣∠EBD， ∴∠ABE＝∠CBF， 在△BAE和△BCF中， ， ∴△BAE≌△BCF（SAS）， ∴∠BCF＝∠BAD＝30°， 如图，作点D关于CF的对称点G，连接CG，DG，则FD＝FG， ∴当B，F，G在同一直线上时，DF+BF的最小值等于线段BG长，且BG⊥CG时，△BDF的周长最小， 由轴对称的性质，可得∠DCG＝2∠BCF＝60°，CD＝CG， ∴△DCG是等边三角形， ∴DG＝DC＝DB， ∴∠DBG＝∠DGB＝∠CDG＝30°， 故答案为：30°． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/5/30 0:38:50；用户：gaga；邮箱：18376708956；学号：18907713 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$