期末各名校真题复习（压轴必刷55题27考点）-2023-2024学年七年级数学下学期期中期末考点归纳满分攻略讲练（北师大版）

期末各名校真题复习（压轴必刷55题27考点） 一．规律型：数字的变化类（共1小题） 1．为了求1+2+22+23+…+22011+22012的值，可令S＝1+2+22+23+…+22011+22012，则2S＝2+22+23+24+…+22012+22013，因此2S﹣S＝22013﹣1，所以1+22+23+…+22012＝22013﹣1．仿照以上方法计算1+5+52+53+…+52012的值是（　　） A．52013﹣1 B．52013+1 C． D． 二．多项式乘多项式（共1小题） 2．如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼一个长为（2a+3b），宽为（a+2b）的大长方形，则需要A类、B类和C类卡片的张数分别为（　　） A．2，8，5 B．3，8，6 C．3，7，5 D．2，6，7 三．完全平方公式（共2小题） 3．请看杨辉三角（1），并观察下列等式（2）： 根据前面各式的规律，则（a+b）6＝　 　． 4．已知，则代数式的值为 　 　． 四．完全平方公式的几何背景（共5小题） 5．如图，正方形ABCD的边长为x，其中AI＝5，JC＝3，两个阴影部分都是正方形且面积和为60，则重叠部分FJDI的面积为（　　） A．28 B．29 C．30 D．31 6．图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表示一些代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题，比如：用图1所示的正方形与长方形纸片可以拼成一个图2所示的正方形． 【问题发现】 利用不同的代数式表示图2中阴影部分的面积S，写出你从中获得的等式为 　 　； 【类比探究】 已知x满足（11﹣x）（x﹣8）＝2，则（11﹣x）2+（x﹣8）2＝　 　； 【拓展延伸】 学校计划在如图3的两块正方形草地间种些花，两块草地分别是以AC、BC为边的正方形，且两正方形的面积和S1+S2＝25，点C是线段AG上的点，若AG＝7，求用来种花的阴影部分的面积． 7．（1）若关于a，b的多项式3（a2﹣2ab+b2）﹣（2a2﹣mab+2b2）中不含有ab项，则m的值为 　 　． （2）完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值． 解：∵a+b＝3，ab＝1， ∴（a+b）2＝9，2ab＝2， ∴a2+b2+2ab＝9， ∴a2+b2＝7． 根据上面的解题思路与方法解决下列问题： （i）如图，点C是线段AB上的一点，分别以AC，BC为边向直线AB两侧作正方形BCFG，正方形AEDC，设AB＝8，两正方形的面积和为40，则△AFC的面积为 　 　； （ii）若（9﹣x）（x﹣6）＝2，求（9﹣x）2+（x﹣6）2的值． 8．有两类正方形A，B，其边长分别为a，b（a＞b），现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙，若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和16． （1）用含a，b的代数式分别表示甲图中阴影部分的面积为 　 　，乙图中阴影部分的面积为 　 　； （2）求正方形A，B的面积之和； （3）三个正方形A和两个正方形B如图丙摆放，求阴影部分的面积． 9．（1）图中的①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后拼成一个如图中的②所示的正方形．请用两种不同的方法求图中②的阴影部分的面积． 方法1：　 　．方法2：　 　． （2）利用等量关系解决下面的问题： ①a﹣b＝5，ab＝﹣6，求（a+b）2和a2+b2的值； ②已知，求的值． 五．完全平方式（共2小题） 10．若16x2+2（m﹣4）x+25是完全平方式，则m的值等于（　　） A．24 B．14 C．24或﹣16 D．14或﹣6 11．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形． （1）观察图2，请你写出下列三个代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系； （2）若要拼出一个面积为（a+2b）（a+b）的矩形，则需要A号卡片多少张，B号卡片多少张，C号卡片多少张． （3）根据（1）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：a+b＝5，a2+b2＝11，求ab的值； ②已知（x﹣2021）2+（x﹣2023）2＝20，求x﹣2022的值． 六．整式的混合运算（共2小题） 12．7张如图1的长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足（　　） A．a＝b B．a＝3b C．a＝b D．a＝4b 13．如图，AB＝10，C为线段AB上一点（AC＜BC），分别以AC、BC为边向上作正方形ACDE和正方形BCFG，若S△BEF﹣S△AEC＝5，则S△BEC＝　 　． 七．整式的混合运算—化简求值（共1小题） 14．对于两数和（差）的完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2中的三个代数式：a±b、a2+b2和ab，若已知其中任意两个代数式的值，则可求第三个代数式的值．由此解决下列问题： （1）若（a+b）2＝20，ab＝4，则a﹣b＝　 　； （2）若x满足（65﹣x）2+（x﹣50）2＝325，求（65﹣x）（x﹣50）的值； （3）如图，在长方形ABCD中，AB＝12，BC＝8，点E、F分别是边AD、AB上的点，且DE＝BF＝a，分别以AE、AF为边在长方形ABCD外侧作正方形AEMN和正方形APQF，若长方形AFGE的面积为56，求图中两个正方形的面积之和． 八．一元一次方程的应用（共1小题） 15．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段达到节水的目的，该市自来水的收费标准如表（注：水费按月份结算）： 每月用水量 单价（元/立方米） 不超出6立方米的部分 2 超出6立方米不超出10立方米的部分 4 超出10立方米的部分 8 请根据上表的内容解答下列问题： （1）若某户居民2月份用水8立方米，则应收水费 　 　元； （2）若某户居民3月份用水a立方米（其中6＜a≤10），请用含a的代数式表示应收水费 　 　元； （3）若某户居民4月份交水费52元，求4月份用水量为多少立方米？ 九．分式方程的解（共1小题） 16．已知关于x的分式方程＝1的解是非负数，则m的取值范围是（　　） A．m≥1 B．m≤1 C．m≥﹣1且m≠0 D．m≥﹣1 一十．解一元一次不等式组（共1小题） 17．如果不等式组无解，那么m的取值范围是（　　） A．m＞8 B．m≥8 C．m＜8 D．m≤8 一十一．函数的图象（共2小题） 18．某蓄水池的横断面示意图如图所示，分深水区和浅水区，如果以固定的流量把水蓄满蓄水池，下面的图象能大致表示水的深度h和注水时间t之间关系的是（　　） A． B． C． D． 19．均匀地向一个瓶子注水，最后把瓶子注满．在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示，则这个瓶子的形状是下列的（　　） A． B． C． D． 一十二．动点问题的函数图象（共1小题） 20．如图，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC，CD，DA运动到点A停止，设点P运动路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图（2）所示，则矩形ABCD的面积是（　　） A．10 B．16 C．20 D．36 一十三．一次函数的应用（共1小题） 21．已知甲、乙两地相距300千米，一辆货车在某日下午1时出发从甲地开往乙地，一段时间后，一辆轿车也从甲地出发开往乙地，如图所示，图中的线段AB和折线CDE分别表示货车与轿车行驶的路程与该日下午的时间之间的关系图象，请根据图象信息解答下列问题： （1）货车比轿车早出发 　 　小时； （2）求货车全程行驶的平均速度及轿车在下午3.5时后的平均速度； （3）轿车从出发到追上货车需要多长时间？ 一十四．二次函数的应用（共1小题） 22．阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式x2+bx+c变形为（x+m）2+n的形式，然后由（x+m）2≥0就可求出多项式x2+bx+c的最小值． 例题：求多项式x2﹣4x+5的最小值． 解：x2﹣4x+5＝x2﹣4x+4+1＝（x﹣2）2+1， 因为（x﹣2）2≥0，所以（x﹣2）2+1≥1． 当x＝2时，（x﹣2）2+1＝1．因此（x﹣2）2+1有最小值，最小值为1，即x2﹣4x+5的最小值为1． 通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题： （1）【理解探究】 已知代数式A＝x2+10x+20，则A的最小值为 　 　； （2）【类比应用】 张大爷家有甲、乙两块长方形菜地，已知甲菜地的两边长分别是（3a+2）米、（2a+5）米，乙菜地的两边长分别是5a米、（a+5）米，试比较这两块菜地的面积S甲和S乙的大小，并说明理由； （3）【拓展升华】 如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝5cm，BC＝10cm，点M、N分别是线段AC和BC上的动点，点M从A点出发以1cm/s的速度向C点运动；同时点N从C点出发以2cm/s的速度向B点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t，则当t的值为多少时，△MCN的面积最大，最大值为多少？ 一十五．余角和补角（共1小题） 23．已知一副三角板按图1所示摆放，∠AOB＝∠OCD＝90°，∠OAB＝45°，∠COD＝60°，将OA、OC边重合在直线MN上，OB、OD边在直线MN的两侧． （1）保持△AOB不动，将△COD绕点O旋转至如图2所示的位置，则∠BOC﹣∠AOD＝　 　； （2）保持△AOB不动，将△COD绕点O逆时针方向旋转n°（n＜180°），试探究∠BOC与∠AOD的数量关系； （3）如图3，若△COD按每分钟15°的速度绕点O逆时针方向旋转，同时，△AOB按每分钟9°的速度也绕点O逆时针方向旋转，多少分钟时，OD边第一次与OB边重合？ 一十六．平行线的性质（共1小题） 24．如图1是一张长方形纸条，按图1→图2→图3，把这一纸条先沿EF折叠并压平，再沿BF折叠并压平，若图3中∠CFE＝21°，则图3中∠EFH的度数为 　 　． 一十七．三角形内角和定理（共4小题） 25．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C＝122°，则∠1+∠2的度数为（　　） A．116° B．100° C．128° D．120° 26．如图，在△ABC中，∠A＝m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…∠A2012BC和∠A2012CD的平分线交于点A2013，则∠A2013＝　 　度． 27．如图，已知∠COD＝90°，直线AB与OC交于点B，与OD交于点A，射线OE和射线AF交于点G． （1）若OE平分∠BOA，AF平分∠BAD，∠OBA＝36°，则∠OGA＝　 　； （2）若∠GOA＝∠BOA，∠GAD＝BAD，∠OBA＝36°，则∠OGA＝　 　； （3）将（2）中“∠OBA＝36°”改为“∠OBA＝β”，其余条件不变，求∠OGA的度数（用含β的代数式表示）； （4）若OE将∠BOA分成∠COE和∠EOD两部分，∠COE：∠EOD＝1：2，AF也将∠BAD分成∠BAF和∠FAD两部分，∠BAF：∠FAD＝1：2，∠ABO＝β（30°＜β＜90°），则∠OGA的度数＝　 　（用含β的代数式表示）． 28．已知直线MN与PQ互相垂直，垂足为O，点A在射线OQ上运动，点B在射线OM上运动，点A，B均不与点O重合． （1）如图1，AI平分∠BAO，BI平分∠ABO，则∠AIB＝　 　． （2）如图2，AI平分∠BAO交OB于点I，BC平分∠ABM，BC的反向延长线交AI的延长线于点D． ①若∠BAO＝30°，则∠ADB＝　 　°． ②在点A，B的运动过程中，∠ADB的大小是否会发生变化？若不变，求出∠ADB的度数；若变化，请说明理由． （3）如图3，已知点E在BA的延长线上，∠BAO的平分线AI，∠OAE的平分线AF与∠BOP的平分线所在的直线分别相交于点D，F．在△ADF中，如果有一个角的度数是另一个角的3倍，请直接写出∠ABO的度数． 一十八．全等三角形的判定与性质（共8小题） 29．在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1+S2+S3+S4的值为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 30．如图，AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE＝DF，连接CE，BF，有下列说法：①△ABD和△ACD的面积相等；②∠BAD＝∠CAD；③BF∥CE；④CE＝AE，其中，正确的说法有（　　） A．②③ B．①③ C．①②③④ D．①②③ 31．如图，点A，B，C在一条直线上，△ABD，△BCE均为等边三角形，连接AE和CD，AE分别交CD，BD于点M，P，CD交BE于点Q，连接PQ，BM，下面结论： ①△ABE≌△DBC；②∠DMA＝60°；③△BPQ为等边三角形；④MB平分∠AMC， 其中结论正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 32．如图，点P、Q是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，下列结论错误的是（　　） A．BP＝CM B．△ABQ≌△CAP C．∠CMQ的度数不变，始终等于60° D．当第秒或第秒时，△PBQ为直角三角形 33．如图：在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，且点D在BC边上滑动（点D不与点B，C重合），连接EC． （1）求证：BD⊥CE； （2）线段BC，DC，EC之间满足的什么样的等量关系式． 34．（1）如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明：DE＝BD+CE． （2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）拓展与应用：如图3，D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，试判断△DEF的形状． 35．（1）操作发现：如图①，D是等边△ABC边BA上一动点（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边在BC上方作等边△DCF，连接AF．你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗？并证明你发现的结论． （2）类比猜想：如图②，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想AF与BD在（1）中的结论是否仍然成立？ （3）深入探究： Ⅰ．如图③，当动点D在等边△ABC边BA上运动时（点D与点B不重合）连接DC，以DC为边在BC上方、下方分别作等边△DCF和等边△DCF′，连接AF、BF′，探究AF、BF′与AB有何数量关系？并证明你探究的结论． Ⅱ．如图④，当动点D在等边△ABC边BA的延长线上运动时，其他作法与图③相同，Ⅰ中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论． 36．（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD．求证：EF＝BE+FD； （2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？ （3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 一十九．等腰三角形的性质（共1小题） 37．如图，△ABC中AB＝AC，BC＝6，点P从点B出发沿射线BA移动，同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，已知点P、Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D． （1）如图①，当点P为AB的中点时，求CD的长； （2）如图②，过点P作直线BC的垂线垂足为E，当点P、Q在移动的过程中，线段BE、DE、CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由． 二十．等边三角形的性质（共2小题） 38．图①是一块边长为1，周长记为P1的正三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边长为的正三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前一块被剪掉如图正三角形纸板边长的）后，得图③，④，…，记第n（n≥3）块纸板的周长为Pn，则Pn﹣Pn﹣1的值为（　　） A． B． C． D． 39．如图，过边长为2的等边△ABC的边AB上点P作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE长为　 　． 二十一．三角形综合题（共1小题） 40．如图1，AB∥CD，EF与直线AB，CD相交，点P为直线AB、CD之间的一点． （1）若，，求∠P 的度数； （2）如图2，在（1）的条件下，EM平分∠PEF交PF于点M，FN平分∠PFE交PE于点N，猜想∠EMF+∠ENF的结果，并证明你的结论； （3）如图3，在（1）的条件下，点K是射线EA上一动点，作射线PK并在射线PK上取一点G，使得PG＝PE，再作∠GPF的平分线交直线GE于点Q，则当K点在射线EA上移动时，∠PQG的大小是否变化？若不变，请求出∠PQG的大小；若变化，请求出其变化范围． 二十二．轴对称的性质（共1小题） 41．如图1，已知△ABD和△ACD关于直线AD对称；在射线AD上取点E，连接BE，CE，如图2，在射线AD上取点F连接BF，CF，如图3，依此规律，第6个图形中全等三角形的对数是（　　） A．10 B．15 C．21 D．28 二十三．利用轴对称设计图案（共1小题） 42．在4×4的方格中有五个同样大小的正方形如图摆放，移动其中一个正方形到空白方格中，与其余四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的移法共有　 　种． 二十四．轴对称-最短路线问题（共4小题） 43．如图，四边形ABCD中，∠C＝50°，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是BC、DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 44．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为（　　） A．130° B．120° C．110° D．100° 45．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是12，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E、F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM的周长的最小值为 　 　． 46．如图，已知正方形ABCD边长为3，点E在AB边上且BE＝1，点P，Q分别是边BC，CD的动点（均不与顶点重合），当四边形AEPQ的周长取最小值时，四边形AEPQ的面积是　 　． 二十五．翻折变换（折叠问题）（共7小题） 47．如图a是长方形纸带，∠DEF＝20°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是（　　） A．110° B．120° C．140° D．150° 48．有一张矩形纸片ABCD，AB＝2.5，AD＝1.5，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F（如图），则CF的长为（　　） A．1 B．1 C． D． 49．数学兴趣小组开展以下折纸活动： （1）对折矩形ABCD，使AD和BC重合，得到折痕EF，把纸片展平； （2）再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN． 观察，探究可以得到∠ABM的度数是（　　） A．25° B．30° C．36° D．45° 50．如图，把一个边长为7的正方形经过三次对折后沿图（4）中平行于MN的虚线剪下，得图（5），它展开后得到的图形的面积为45，则AN的长为（　　） A．1 B．4 C．2 D．2.5 51．如图所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打3个洞，则纸片展开后是（　　） A． B． C． D． 52．如图所示，等边△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，将△ADE沿直线DE翻折后，点A落在点A'处，且点A'在△ABC的外部，若原等边三角形的边长为a，则图中阴影部分的周长为　 　． 53．将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在变AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB＝AC＝3，BC＝4，若FB′∥AB，那么BF的长度是　 　． 二十六．旋转的性质（共1小题） 54．将一副三角板中的两个直角顶点C叠放在一起，其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°．若按住三角板ABC不动，绕顶点C转动三角板DCE，在旋转过程中始终要求点E在直线BC上方，当三角板DCE运动中，有一边和AB平行时，则∠BCE的度数为 　 　． 二十七．比例线段（共1小题） 55．如图，D是△ABC的边BC上任意一点，E是线段AD上一点且DE：AE＝2：3，F是线段CE的中点，若△ABC的面积为24cm2，则△BEF的面积为 　 　． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末各名校真题复习（压轴必刷55题27考点） 一．规律型：数字的变化类（共1小题） 1．为了求1+2+22+23+…+22011+22012的值，可令S＝1+2+22+23+…+22011+22012，则2S＝2+22+23+24+…+22012+22013，因此2S﹣S＝22013﹣1，所以1+22+23+…+22012＝22013﹣1．仿照以上方法计算1+5+52+53+…+52012的值是（　　） A．52013﹣1 B．52013+1 C． D． 【答案】D 【解答】解：令S＝1+5+52+53+…+52012， 则5S＝5+52+53+…+52012+52013， 5S﹣S＝﹣1+52013， 4S＝52013﹣1， 则S＝． 故选：D． 二．多项式乘多项式（共1小题） 2．如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼一个长为（2a+3b），宽为（a+2b）的大长方形，则需要A类、B类和C类卡片的张数分别为（　　） A．2，8，5 B．3，8，6 C．3，7，5 D．2，6，7 【答案】D 【解答】解：长为（2a+3b），宽为（a+2b）的大长方形的面积为：（2a+3b）×（a+2b）＝2a2+7ab+6b2， ∵A类卡片的面积为a2，B类卡片的面积为b2，C类卡片的面积为ab， ∴需要A类卡片2张，B类卡片6张，C类卡片7张． 故选：D． 三．完全平方公式（共2小题） 3．请看杨辉三角（1），并观察下列等式（2）： 根据前面各式的规律，则（a+b）6＝　a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（a+b）6＝a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6 故本题答案为：a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6 4．已知，则代数式的值为 　7　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵x+＝3， ∴（x+）2＝9， 即x2+2+＝9， ∴x2+＝9﹣2＝7． 四．完全平方公式的几何背景（共5小题） 5．如图，正方形ABCD的边长为x，其中AI＝5，JC＝3，两个阴影部分都是正方形且面积和为60，则重叠部分FJDI的面积为（　　） A．28 B．29 C．30 D．31 【答案】A 【解答】解：设ID＝y，DJ＝z， ∵两个阴影部分都是正方形， ∴DN＝ID＝x，DM＝DJ＝y， ∵四边形ABCD为正方形， ∴AD＝CD， ∵AD＝AI+ID，CD＝CJ+DJ， ∴AI+ID＝CJ+DJ， ∵AI＝5，CJ＝3， ∴5+y＝3+z， ∴y＝z﹣2， ：∵阴影部分面积和为60， ∴y2+z2＝60， 方法1：将y＝z﹣2代入y2+z2＝60中，得： （z﹣2）2+z2＝60， 解得：z＝1+或z＝1﹣（舍）， ∴y＝z﹣2＝﹣1， ∴ID＝﹣1，DJ＝1+， ∴S长方形FJDI＝ID•DJ＝（﹣1）×（1+）＝28； 方法2：∵z﹣y＝2， 所以（z﹣y）2＝4， ∴y2+z2﹣2yz＝4， ∴60﹣2yz＝4， yz＝28， ∴S长方形FJDI＝ID•DJ＝28． 故选：A． 6．图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表示一些代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题，比如：用图1所示的正方形与长方形纸片可以拼成一个图2所示的正方形． 【问题发现】 利用不同的代数式表示图2中阴影部分的面积S，写出你从中获得的等式为 　（a+b）2﹣2ab＝a2+b2　； 【类比探究】 已知x满足（11﹣x）（x﹣8）＝2，则（11﹣x）2+（x﹣8）2＝　5　； 【拓展延伸】 学校计划在如图3的两块正方形草地间种些花，两块草地分别是以AC、BC为边的正方形，且两正方形的面积和S1+S2＝25，点C是线段AG上的点，若AG＝7，求用来种花的阴影部分的面积． 【答案】【问题发现】a+b）2＝a2+2ab+b2； 【类比探究】5． 【拓展延伸】6． 【解答】解：【问题发现】根据面积的不同算法得：（a+b）2﹣2ab＝a2+b2； 【类比探究】令a＝11﹣x，b＝x﹣8， ∴a+b＝3，ab＝2， ∵（a+b）2＝a2+2ab+b2， ∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝9﹣4＝5， 故答案为：5； 【拓展延伸】由题意得：AC+CG＝7，AC2+CG2＝25， 则2AC•BC＝2AC•CG＝（AC+CG）2﹣（AC2+CG2）＝49﹣25＝24， ∴阴影部分的面积为：AC•BC＝6． 7．（1）若关于a，b的多项式3（a2﹣2ab+b2）﹣（2a2﹣mab+2b2）中不含有ab项，则m的值为 　6　． （2）完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值． 解：∵a+b＝3，ab＝1， ∴（a+b）2＝9，2ab＝2， ∴a2+b2+2ab＝9， ∴a2+b2＝7． 根据上面的解题思路与方法解决下列问题： （i）如图，点C是线段AB上的一点，分别以AC，BC为边向直线AB两侧作正方形BCFG，正方形AEDC，设AB＝8，两正方形的面积和为40，则△AFC的面积为 　6　； （ii）若（9﹣x）（x﹣6）＝2，求（9﹣x）2+（x﹣6）2的值． 【答案】（1）6； （2）（i）6；（ii）5． 【解答】解：（1）3（a2﹣2ab+b2）﹣（2a2﹣mab+2b2） ＝3a2﹣6ab+3b2﹣2a2+mab﹣2b2 ＝a2+（m﹣6）ab+b2， ∵不含有ab项， ∴m﹣6＝0， ∴m＝6， 故答案为：6． （2）（i）设正方形BCFG和AEDC的边长分别为a和b，则△AFC的面积为ab． 根据题意，得a+b＝8，a2+b2＝40， ∵（a+b）2＝a2+2ab+b2＝64， ∴ab＝12， ∴S△AFC＝×12＝6， 故答案为：6． （ii）令（9﹣x）＝m，（x﹣6）＝n，则（9﹣x）2+（x﹣6）2＝m2+n2， ∴m+n＝3，mn＝2， ∴（m+n）2＝m2+2mn+n2＝9， ∴m2+n2＝5， ∴（9﹣x）2+（x﹣6）2＝5． 8．有两类正方形A，B，其边长分别为a，b（a＞b），现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙，若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和16． （1）用含a，b的代数式分别表示甲图中阴影部分的面积为 　（a﹣b）2　，乙图中阴影部分的面积为 　2ab　； （2）求正方形A，B的面积之和； （3）三个正方形A和两个正方形B如图丙摆放，求阴影部分的面积． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）图甲阴影部分面积为：（a﹣b）2； 图乙阴影部分面积为：（a+b）2﹣（a2+b2）＝a2+2ab+b2﹣a2﹣b2＝2ab． 故答案为：（a﹣b）2；2ab． （2）根据题意，得：（a﹣b）2＝4，2ab＝16， ∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝4+16＝20， ∴正方形A，B的面积之和为20． 故答案为：20． （3）由（2）知：（a﹣b）2＝4，2ab＝16，a＞b， ∴ab＝8，a﹣b＝2， ∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝4+32＝36， ∵a+b＞0， ∴a+b＝6， ∴图丙阴影部分面积为：（2a+b）2﹣3a2﹣2b2＝a2﹣b2+4ab＝（a+b）（a﹣b）+4ab＝6×2+4×8＝44． 9．（1）图中的①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后拼成一个如图中的②所示的正方形．请用两种不同的方法求图中②的阴影部分的面积． 方法1：　（m+n）2﹣4mn　．方法2：　（m﹣n）2　． （2）利用等量关系解决下面的问题： ①a﹣b＝5，ab＝﹣6，求（a+b）2和a2+b2的值； ②已知，求的值． 【答案】（1）（m+n）2﹣4mn；（m﹣n）2； （2）①1，13；②119． 【解答】解：（1）方法1，∵图②中大正方形的边长为（m+n）， ∴图②中大正方形的面积为：（m+n）2， ∵图①中长方形的为2m、宽为2n， ∴图①中长方形的面积为：2m•2n＝4mn， 又∵S阴影＝图②中大正方形的面积﹣图①中长方形的面积， ∴S阴影＝（m+n）2﹣4mn， 方法2：∵图②中小正方形的边长为（m+n）， ∴S阴影＝小长方形的面积＝（m﹣n）2， 故答案为：（m+n）2﹣4mn；（m﹣n）2． （2）由（1）得：（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2， ①∴（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2， 即（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab， ∵a﹣b＝5，ab＝﹣6， ∴（a+b）2＝52+4×（﹣6）＝1， ∵（a+b）2＝1， ∴a2+b2+2ab＝1， ∴a2+b2＝1﹣2ab＝1﹣2×（﹣6）＝13； ②∵x﹣＝3， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 五．完全平方式（共2小题） 10．若16x2+2（m﹣4）x+25是完全平方式，则m的值等于（　　） A．24 B．14 C．24或﹣16 D．14或﹣6 【答案】C 【解答】解：16x2+2（m﹣4）x+25＝（4x）2+2（m﹣4）x+52， ∵16x2+2（m﹣4）x+25是完全平方式， ∴（4x）2+2（m﹣4）x+52是完全平方公式， ∴（m﹣4）＝±20， 解得：m＝24或m＝﹣16， 故选：C． 11．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形． （1）观察图2，请你写出下列三个代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系； （2）若要拼出一个面积为（a+2b）（a+b）的矩形，则需要A号卡片多少张，B号卡片多少张，C号卡片多少张． （3）根据（1）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：a+b＝5，a2+b2＝11，求ab的值； ②已知（x﹣2021）2+（x﹣2023）2＝20，求x﹣2022的值． 【答案】（1）（a+b）2＝a2+b2+2ab； （2）需要A号卡片1张，B号卡片2张，C号卡片3张； （3）①ab的值为7；②x﹣2022＝±3． 【解答】解：（1）大正方形的面积可以表示为：（a+b）2，或表示为：a2+b2+2ab； 因此有（a+b）2＝a2+b2+2ab； （2）∵（a+2b）（a+b）＝a2+ab+2ab+2b2＝a2+3ab+2b2， ∴需要A号卡片1张，B号卡片2张，C号卡片3张； （3）①∵（a+b）2＝a2+b2+2ab，a+b＝5，a2+b2＝11， ∴25＝11+2ab， ∴ab＝7，即ab的值为7； ②令x﹣2022＝a， ∴x﹣2021＝[x﹣（2022﹣1）] ＝x﹣2022+1 ＝a+1， x﹣2023＝[x﹣（2022+1）] ＝x﹣2022﹣1 ＝a﹣1， ∵（x﹣2021）2+（x﹣2023）2＝20， ∴（a+1）2+（a﹣1）2＝20， 解得a2＝9． ∴（x﹣2022）2＝9． ∴x﹣2022＝±3． 六．整式的混合运算（共2小题） 12．7张如图1的长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足（　　） A．a＝b B．a＝3b C．a＝b D．a＝4b 【答案】B 【解答】解：左上角阴影部分的长为AE，宽为AF＝3b，右下角阴影部分的长为PC，宽为a， ∵AD＝BC，即AE+ED＝AE+a，BC＝BP+PC＝4b+PC， ∴AE+a＝4b+PC，即AE﹣PC＝4b﹣a， ∴阴影部分面积之差S＝AE•AF﹣PC•CG＝3bAE﹣aPC＝3b（PC+4b﹣a）﹣aPC＝（3b﹣a）PC+12b2﹣3ab， 则3b﹣a＝0，即a＝3b． 解法二：既然BC是变化的，当点P与点C重合开始，然后BC向右伸展， 设向右伸展长度为X，左上阴影增加的是3bX，右下阴影增加的是aX，因为S不变， ∴增加的面积相等， ∴3bX＝aX， ∴a＝3b． 故选：B． 13．如图，AB＝10，C为线段AB上一点（AC＜BC），分别以AC、BC为边向上作正方形ACDE和正方形BCFG，若S△BEF﹣S△AEC＝5，则S△BEC＝　　． 【答案】． 【解答】解：设正方形ACDE的边长为x，则正方形BCFG为（10﹣x）， ∴S梯形AEFC＝＝5x，S△BCF＝（10﹣x）2， ∴S四边形ABFE＝（10﹣x）2+5x， ∵S△BEF﹣S△AEC＝5， ∴（S四边形ABFE﹣S△ABE）﹣S△AEC＝5， 即（10﹣x）2+5x﹣×10x﹣x2＝5， 解得x＝， ∴正方形ACDE的边长为，正方形BCFG为10﹣x＝， ∴S△BEC＝BC•AE＝××＝， 故答案为：． 七．整式的混合运算—化简求值（共1小题） 14．对于两数和（差）的完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2中的三个代数式：a±b、a2+b2和ab，若已知其中任意两个代数式的值，则可求第三个代数式的值．由此解决下列问题： （1）若（a+b）2＝20，ab＝4，则a﹣b＝　±2　； （2）若x满足（65﹣x）2+（x﹣50）2＝325，求（65﹣x）（x﹣50）的值； （3）如图，在长方形ABCD中，AB＝12，BC＝8，点E、F分别是边AD、AB上的点，且DE＝BF＝a，分别以AE、AF为边在长方形ABCD外侧作正方形AEMN和正方形APQF，若长方形AFGE的面积为56，求图中两个正方形的面积之和． 【答案】（1）±2； （2）﹣50； （3）图中两个正方形的面积之和为128． 【解答】解：（1）∵（a+b）2＝20，ab＝4， ∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab ＝20﹣4×4 ＝20﹣16 ＝4， ∴a﹣b＝±2， 故答案为：±2； （2）设65﹣x＝a，x﹣50＝b， ∴a+b＝65﹣x+x﹣50＝15， ∵（65﹣x）2+（x﹣50）2＝325， ∴a2+b2＝325， ∴2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2） ＝152﹣325， ＝225﹣325 ＝﹣100， ∴ab＝﹣50， ∴（65﹣x）（x﹣50）＝﹣50； （3）∵AB＝12，BC＝8，DE＝BF＝a， ∴AE＝AD﹣DE＝BC﹣DE＝8﹣a，AF＝AB﹣BF＝12﹣a， 设8﹣a＝m，12﹣a＝n， ∴n﹣m＝12﹣a﹣（8﹣a）＝4， ∵长方形AFGE的面积为56， ∴AE•AF＝（8﹣a）（12﹣a）＝56， ∴mn＝56， ∴图中两个正方形的面积之和＝AE2+AF2 ＝（8﹣a）2+（12﹣a）2 ＝m2+n2 ＝（n﹣m）2+2mn ＝42+2×56 ＝16+112 ＝128， ∴图中两个正方形的面积之和为128． 八．一元一次方程的应用（共1小题） 15．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段达到节水的目的，该市自来水的收费标准如表（注：水费按月份结算）： 每月用水量 单价（元/立方米） 不超出6立方米的部分 2 超出6立方米不超出10立方米的部分 4 超出10立方米的部分 8 请根据上表的内容解答下列问题： （1）若某户居民2月份用水8立方米，则应收水费 　20　元； （2）若某户居民3月份用水a立方米（其中6＜a≤10），请用含a的代数式表示应收水费 　（4a﹣12）　元； （3）若某户居民4月份交水费52元，求4月份用水量为多少立方米？ 【答案】（1）20； （2）（4a﹣12）； （3）13立方米． 【解答】解：（1）根据题意得：2×6+4×（8﹣6） ＝2×6+4×2 ＝12+8 ＝20（元）， ∴应收水费20元． 故答案为：20； （2）根据题意得：应收水费2×6+4（a﹣6）＝（4a﹣12）元． 故答案为：（4a﹣12）； （3）设该户居民4月份的用水量为x立方米， ∵2×6+4×（10﹣6）＝28（元），28＜52， ∴x＞10． 根据题意得：2×6+4×（10﹣6）+8（x﹣10）＝52， 解得：x＝13． 答：该户居民4月份的用水量为13立方米． 九．分式方程的解（共1小题） 16．已知关于x的分式方程＝1的解是非负数，则m的取值范围是（　　） A．m≥1 B．m≤1 C．m≥﹣1且m≠0 D．m≥﹣1 【答案】C 【解答】解：分式方程去分母得：m＝x﹣1， 即x＝m+1， 由分式方程的解为非负数，得到 m+1≥0，且m+1≠1， 解得：m≥﹣1且m≠0， 故选：C． 一十．解一元一次不等式组（共1小题） 17．如果不等式组无解，那么m的取值范围是（　　） A．m＞8 B．m≥8 C．m＜8 D．m≤8 【答案】B 【解答】解：因为不等式组无解， 即x＜8与x＞m无公共解集， 利用数轴可知m≥8． 故选：B． 一十一．函数的图象（共2小题） 18．某蓄水池的横断面示意图如图所示，分深水区和浅水区，如果以固定的流量把水蓄满蓄水池，下面的图象能大致表示水的深度h和注水时间t之间关系的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：根据题意和图形的形状，可知水的最大深度h与时间t之间的关系分为两段，每一段h随t的增大而增大，增大的速度是先快后慢． 故选：C． 19．均匀地向一个瓶子注水，最后把瓶子注满．在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示，则这个瓶子的形状是下列的（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：因为水面高度开始增加的慢，后来增加的快， 所以容器下面粗，上面细． 故选：B． 一十二．动点问题的函数图象（共1小题） 20．如图，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC，CD，DA运动到点A停止，设点P运动路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图（2）所示，则矩形ABCD的面积是（　　） A．10 B．16 C．20 D．36 【答案】C 【解答】解：∵当4≤x≤9时，y的值不变即△ABP的面积不变，P在CD上运动当x＝4时，P点在C点上所以BC＝4当x＝9时，P点在D点上∴BC+CD＝9 ∴CD＝9﹣4＝5 ∴△ABC的面积S＝AB•BC＝×4×5＝10 ∴矩形ABCD的面积＝2S＝20 故选：C． 一十三．一次函数的应用（共1小题） 21．已知甲、乙两地相距300千米，一辆货车在某日下午1时出发从甲地开往乙地，一段时间后，一辆轿车也从甲地出发开往乙地，如图所示，图中的线段AB和折线CDE分别表示货车与轿车行驶的路程与该日下午的时间之间的关系图象，请根据图象信息解答下列问题： （1）货车比轿车早出发 　1.5　小时； （2）求货车全程行驶的平均速度及轿车在下午3.5时后的平均速度； （3）轿车从出发到追上货车需要多长时间？ 【答案】（1）1.5； （2）货车全程行驶的平均速度60千米/时，轿车在下午3.5时后的平均速度为110千米/时； （3）2.4小时． 【解答】解：（1）观察图象得，2.5﹣1＝1.5（小时）， 故答案为：1.5； （2）货车全程行驶的平均速度为： （千米/时）， 轿车在下午3.5时后的平均速度为： （千米/时）， 答：货车全程行驶的平均速度60千米/时，轿车在下午3.5时后的平均速度为110千米/时； （3）设AB所在直线的解析式为y＝kx+b， 由图象可知点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（6，300）， ∴， 解得， ∴AB所在直线的解析式为y＝60x﹣60， 设DE所在直线的解析式为y＝mx+n， 由图象可知点D的坐标为（3.5，80），点E的坐标为（5.5，300）， ， 解得， ∴DE所在直线的解析式为y＝110x﹣305， 联立两个解析式得， 解得， ∴4.9﹣2.5＝2.4（小时）． 答：轿车从出发到追上货车需要2.4小时． 一十四．二次函数的应用（共1小题） 22．阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式x2+bx+c变形为（x+m）2+n的形式，然后由（x+m）2≥0就可求出多项式x2+bx+c的最小值． 例题：求多项式x2﹣4x+5的最小值． 解：x2﹣4x+5＝x2﹣4x+4+1＝（x﹣2）2+1， 因为（x﹣2）2≥0，所以（x﹣2）2+1≥1． 当x＝2时，（x﹣2）2+1＝1．因此（x﹣2）2+1有最小值，最小值为1，即x2﹣4x+5的最小值为1． 通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题： （1）【理解探究】 已知代数式A＝x2+10x+20，则A的最小值为 　﹣5　； （2）【类比应用】 张大爷家有甲、乙两块长方形菜地，已知甲菜地的两边长分别是（3a+2）米、（2a+5）米，乙菜地的两边长分别是5a米、（a+5）米，试比较这两块菜地的面积S甲和S乙的大小，并说明理由； （3）【拓展升华】 如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝5cm，BC＝10cm，点M、N分别是线段AC和BC上的动点，点M从A点出发以1cm/s的速度向C点运动；同时点N从C点出发以2cm/s的速度向B点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t，则当t的值为多少时，△MCN的面积最大，最大值为多少？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）A＝x2+10x+20＝（x+5）2﹣5， ∵（x+5）2≥0， ∴（x+5）2﹣5≥﹣5， ∴当x＝﹣5时，（x+5）2﹣5＝﹣5，因此（x+5）2﹣5有最小值，最小值为﹣5， ∴A的最小值为﹣5， 故答案为：﹣5； （2）S甲＞S乙，理由如下： ∵，， ∴， ∵（a﹣3）2≥0， ∴（a﹣3）2+1＞0， ∴S甲＞S乙； （3）由题意得：AM＝t，CN＝2t， ∴MC＝5﹣t， ∴S△MCN＝×2t•（5﹣t）＝﹣t2+5t＝﹣（t2﹣5t+）+＝﹣（t﹣）2+， ∴当 时，△MCN的面积最大，且最大面积为cm2． 一十五．余角和补角（共1小题） 23．已知一副三角板按图1所示摆放，∠AOB＝∠OCD＝90°，∠OAB＝45°，∠COD＝60°，将OA、OC边重合在直线MN上，OB、OD边在直线MN的两侧． （1）保持△AOB不动，将△COD绕点O旋转至如图2所示的位置，则∠BOC﹣∠AOD＝　30°　； （2）保持△AOB不动，将△COD绕点O逆时针方向旋转n°（n＜180°），试探究∠BOC与∠AOD的数量关系； （3）如图3，若△COD按每分钟15°的速度绕点O逆时针方向旋转，同时，△AOB按每分钟9°的速度也绕点O逆时针方向旋转，多少分钟时，OD边第一次与OB边重合？ 【答案】（1）30°． （2）∠BOC﹣∠AOD＝30°，或∠BOC+∠AOD＝30°，或∠AOD﹣∠BOC＝30°． （3）25分钟时，OD边第一次与OB边重合． 【解答】解：（1）∵∠BOC＝∠BOA﹣∠COA， 又∠AOD＝∠COD﹣∠COA， ∴∠BOC﹣∠AOD＝（∠BOA﹣∠COA）﹣（∠COD﹣∠COA）＝∠BOA﹣∠COD＝90°﹣60°＝30°． 故答案为：30°． （2）设∠COA＝α， ①当0°＜α≤60°时，如图a，由（1）得∴∠BOC﹣∠AOD＝30°． ②当60°＜α≤90°时，如图b， ∠BOC＝90°﹣α，∠AOD＝α﹣60°， ∴∠BOC+∠AOD＝90°﹣α+α﹣60°＝30°． ③当90°＜α≤180°时，如图c， ∠BOC＝60°﹣α，∠AOD＝90°﹣α， ∴∠AOD﹣∠BOC＝90°﹣α﹣（60°﹣α）＝30°． 综上所述，∠BOC﹣∠AOD＝30°，或∠BOC+∠AOD＝30°，或∠AOD﹣∠BOC＝30°． （3）∵△COD按每分钟15°的速度旋转， ∴OD按每分钟15°的速度旋转， 同理，OB按每分钟9°的速度， ∵∠BOD＝∠BOA+∠AOD＝90°+60°＝150°， ∴150÷（15﹣9）＝25（分钟）． 答：25分钟时，OD边第一次与OB边重合． 一十六．平行线的性质（共1小题） 24．如图1是一张长方形纸条，按图1→图2→图3，把这一纸条先沿EF折叠并压平，再沿BF折叠并压平，若图3中∠CFE＝21°，则图3中∠EFH的度数为 　67°　． 【答案】67°． 【解答】解：如图3， ∵∠CFE＝21°， ∴∠CFE＝∠BFE﹣∠BFC＝21°， ∵∠BFC+2∠BFE＝180°， ∴∠BFC＝46°， ∴∠EFH＝∠BFE＝∠BFC+∠CFE＝46°+21°＝67°． 故答案为：67°． 一十七．三角形内角和定理（共4小题） 25．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C＝122°，则∠1+∠2的度数为（　　） A．116° B．100° C．128° D．120° 【答案】C 【解答】解：∵△ABC纸片沿DE折叠， ∴△AED≌△A′ED， ∴∠ADE＝∠EDA′，∠AED＝∠DEA′， ∴∠1+∠2＝180°﹣2∠ADE+180°﹣2∠AED ＝180°﹣（∠ADE+∠AED）+180°﹣（∠ADE+∠AED） ＝2∠A， ∵A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，∠BA'C＝122°， ∴∠A'BC＝∠ABC，∠A'CB＝∠ACB， ∴∠A'BC+∠A'CB＝180°﹣122°＝58°， ∴∠ABC+∠ACB＝2（∠A'BC+∠A'CB）＝2×58°＝116°， ∴∠A＝180°﹣116°＝64°， ∴∠1+∠2＝2∠A＝2×64°＝128°， 故选：C． 26．如图，在△ABC中，∠A＝m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…∠A2012BC和∠A2012CD的平分线交于点A2013，则∠A2013＝　　度． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵A1B平分∠ABC，A1C平分∠ACD， ∴∠A1BC＝∠ABC，∠A1CA＝∠ACD， ∵∠A1CD＝∠A1+∠A1BC， 即∠ACD＝∠A1+∠ABC， ∴∠A1＝（∠ACD﹣∠ABC）， ∵∠A+∠ABC＝∠ACD， ∴∠A＝∠ACD﹣∠ABC， ∴∠A1＝∠A， ∴∠A1＝m°， ∵∠A1＝∠A，∠A2＝∠A1＝∠A， … 以此类推∠A2013＝∠A＝°． 故答案为：． 27．如图，已知∠COD＝90°，直线AB与OC交于点B，与OD交于点A，射线OE和射线AF交于点G． （1）若OE平分∠BOA，AF平分∠BAD，∠OBA＝36°，则∠OGA＝　18°　； （2）若∠GOA＝∠BOA，∠GAD＝BAD，∠OBA＝36°，则∠OGA＝　12°　； （3）将（2）中“∠OBA＝36°”改为“∠OBA＝β”，其余条件不变，求∠OGA的度数（用含β的代数式表示）； （4）若OE将∠BOA分成∠COE和∠EOD两部分，∠COE：∠EOD＝1：2，AF也将∠BAD分成∠BAF和∠FAD两部分，∠BAF：∠FAD＝1：2，∠ABO＝β（30°＜β＜90°），则∠OGA的度数＝　β　（用含β的代数式表示）． 【答案】（1）18°； （2）12°； （3）β； （4）β． 【解答】解：（1）∵∠BOA＝90°，∠OBA＝36°， ∴∠BAD＝∠BOA+∠ABO＝126°， ∵AE平分∠BAD，OE平分∠BOA，∠BOA＝90°， ∴∠GAD＝∠BAD＝63°，∠EOA＝∠BOA＝45°， ∴∠OGA＝∠GAD﹣∠EOA＝63°﹣45°＝18°， 故答案为：18°； （2）∵∠BOA＝90°，∠GOA＝36°， ∴∠BAD＝∠BOA+∠ABO＝126°， ∵∠BOA＝90°，∠GOA＝∠BOA，∠GAD＝∠BAD， ∴∠GAD＝42°，∠EOA＝30°， ∴∠OGA＝∠GAD﹣∠EOA＝42°﹣30°＝12°， 故答案为：12°； （3）∵∠BOA＝90°，∠OBA＝β， ∴∠BAD＝∠BOA+∠ABO＝90°+β， ∵∠BOA＝90°，∠GOA＝∠BOA，∠GAD＝∠BAD， ∴∠GAD＝30°+β，∠EOA＝30°， ∴∠OGA＝∠GAD﹣∠EOA＝β； （4）如果∠BAF：∠FAD＝1：2，∠COE：∠EOD＝1：2， ∴∠OGA＝∠DOF﹣∠EOD＝β； 故答案为：β． 28．已知直线MN与PQ互相垂直，垂足为O，点A在射线OQ上运动，点B在射线OM上运动，点A，B均不与点O重合． （1）如图1，AI平分∠BAO，BI平分∠ABO，则∠AIB＝　135°　． （2）如图2，AI平分∠BAO交OB于点I，BC平分∠ABM，BC的反向延长线交AI的延长线于点D． ①若∠BAO＝30°，则∠ADB＝　45　°． ②在点A，B的运动过程中，∠ADB的大小是否会发生变化？若不变，求出∠ADB的度数；若变化，请说明理由． （3）如图3，已知点E在BA的延长线上，∠BAO的平分线AI，∠OAE的平分线AF与∠BOP的平分线所在的直线分别相交于点D，F．在△ADF中，如果有一个角的度数是另一个角的3倍，请直接写出∠ABO的度数． 【答案】（1）135°；（2）①45°，②不变．∠ADB＝45° （3）60°或45°． 【解答】解：（1）∵AI平分∠BAO，BI平分∠ABO， ∴， ∴∠BIC＝180°﹣∠IBA﹣∠IAB ＝ ＝ ＝ ＝ ＝90°+α， ∵直线MN与PQ互相垂直，垂足为O， ∴∠BOA＝90°， ∴， 故答案为：135°． （2）①∵直线MN与PQ互相垂直，垂足为O， ∴∠BOA＝90°， ∵∠BAO＝30°， ∴∠ABM＝120°， ∵AI平分∠BAO交OB于点I，BC平分∠ABM， ∴，∠BAD＝＝15°， ∴∠ADB＝∠CBA﹣∠BAD＝60°﹣15°＝45°， 故答案为：45． ②不变，∠ADB＝45°． 设∠BAO＝α， ∵AI平分∠BAO交OB于点I，BC平分∠ABM， ∴，∠MBA＝90°+α，， ∴∠ADB＝∠CBA﹣∠BAD＝45， ∴不变，∠ADB＝45°． （3）∵∠BAO的平分线AI，∠OAE的平分线AF， ∴∠DAF＝90°， ∵一个角是另一角的3倍， ∴分两种情况讨论： ①当∠DAF＝3∠ADF时，∠ADF＝30°， ∵OF为∠BOP的平分线， ∴∠DOA＝135°， ∴∠OAI＝15°， ∴∠OAB＝30°， ∴∠OBA＝90°﹣30°＝60°； ②当∠AFD＝3∠ADF时，∠ADF＝22.5°， ∵OF为∠BOP的平分线， ∴∠DOA＝135°， ∴∠OAI＝22.5°， ∴∠OAB＝45°， ∴∠OBA＝90°﹣45°＝45°． ∴∠OBA等于60°或45°． 一十八．全等三角形的判定与性质（共8小题） 29．在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1+S2+S3+S4的值为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【解答】解：如图， ∵在△CDE和△ABC中， ， ∴△CDE≌△ABC（AAS）， ∴AB＝CD，BC＝DE， ∴AB2+DE2＝DE2+CD2＝CE2＝3， 同理可证FG2+LK2＝HL2＝1， ∴S1+S2+S3+S4＝CE2+HL2＝1+3＝4． 故选：C． 30．如图，AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE＝DF，连接CE，BF，有下列说法：①△ABD和△ACD的面积相等；②∠BAD＝∠CAD；③BF∥CE；④CE＝AE，其中，正确的说法有（　　） A．②③ B．①③ C．①②③④ D．①②③ 【答案】B 【解答】解：①∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD， ∴△ABD和△ACD面积相等； 故①正确； ②若在△ABC中，当AB≠AC时，AD不是∠BAC的平分线，即∠BAD≠∠CAD．即②不一定正确； ③∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD， 在△BDF和△CDE中， ， ∴△BDF≌△CDE（SAS）． ∴∠CED＝∠BFD， ∴BF∥CE； 故③一定正确． ④∵△BDF≌△CDE（SAS）． ∴CE＝BF，故④错误； 综上所述，正确的结论是：①③，共有2个． 故选：B． 31．如图，点A，B，C在一条直线上，△ABD，△BCE均为等边三角形，连接AE和CD，AE分别交CD，BD于点M，P，CD交BE于点Q，连接PQ，BM，下面结论： ①△ABE≌△DBC；②∠DMA＝60°；③△BPQ为等边三角形；④MB平分∠AMC， 其中结论正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【解答】解：∵△ABD、△BCE为等边三角形， ∴AB＝DB，∠ABD＝∠CBE＝60°，BE＝BC， ∴∠ABE＝∠DBC，∠PBQ＝60°， 在△ABE和△DBC中，， ∴△ABE≌△DBC（SAS）， ∴①正确； ∵△ABE≌△DBC， ∴∠BAE＝∠BDC， ∵∠BDC+∠BCD＝180°﹣60°﹣60°＝60°， ∴∠DMA＝∠BAE+∠BCD＝∠BDC+∠BCD＝60°， ∴②正确； 在△ABP和△DBQ中， ， ∴△ABP≌△DBQ（ASA）， ∴BP＝BQ， ∴△BPQ为等边三角形， ∴③正确； ∵∠DMA＝60°， ∴∠AMC＝120°， ∴∠AMC+∠PBQ＝180°， ∴P、B、Q、M四点共圆， ∵BP＝BQ， ∴， ∴∠BMP＝∠BMQ， 即MB平分∠AMC； ∴④正确； 综上所述：正确的结论有4个； 故选：D． 32．如图，点P、Q是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，下列结论错误的是（　　） A．BP＝CM B．△ABQ≌△CAP C．∠CMQ的度数不变，始终等于60° D．当第秒或第秒时，△PBQ为直角三角形 【答案】A 【解答】解：A、在等边△ABC中，AB＝BC． ∵点P、Q的速度都为1cm/s， ∴AP＝BQ， ∴BP＝CQ． 只有当CM＝CQ时，BP＝CM． 故A错误； B、∵△ABC是等边三角形 ∴∠ABQ＝∠CAP，AB＝CA， 又∵点P、Q运动速度相同， ∴AP＝BQ， 在△ABQ与△CAP中， ∵， ∴△ABQ≌△CAP（SAS）． 故B正确； C、点P、Q在运动的过程中，∠QMC不变． 理由：∵△ABQ≌△CAP， ∴∠BAQ＝∠ACP， ∵∠QMC＝∠ACP+∠MAC， ∴∠CMQ＝∠BAQ+∠MAC＝∠BAC＝60°． 故C正确； D、设时间为t秒，则AP＝BQ＝tcm，PB＝（4﹣t）cm， 当∠PQB＝90°时， ∵∠B＝60°， ∴PB＝2BQ，即4﹣t＝2t，t＝， 当∠BPQ＝90°时， ∵∠B＝60°， ∴BQ＝2BP，得t＝2（4﹣t），t＝， ∴当第秒或第秒时，△PBQ为直角三角形． 故D正确． 由于该题选择错误的，故选：A． 33．如图：在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，且点D在BC边上滑动（点D不与点B，C重合），连接EC． （1）求证：BD⊥CE； （2）线段BC，DC，EC之间满足的什么样的等量关系式． 【答案】（1）证明见解析； （2）BC＝DC+EC． 【解答】（1）证明：∵Rt△ABC中，AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB＝45°， ∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC， 即∠BAD＝∠CAE， 在△BAD和△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴∠ACE＝∠B＝45°， ∴∠DCE＝∠ACB+∠ACE＝90°， ∴BD⊥CE； （2）解：∵△BAD≌△CAE（SAS）， ∴BD＝EC， ∴BC＝DC+BD＝DC+EC． 34．（1）如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明：DE＝BD+CE． （2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）拓展与应用：如图3，D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，试判断△DEF的形状． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：（1）∵BD⊥直线m，CE⊥直线m， ∴∠BDA＝∠CEA＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAD+∠CAE＝90°， ∵∠BAD+∠ABD＝90°， ∴∠CAE＝∠ABD， ∵在△ADB和△CEA中 ， ∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴AE＝BD，AD＝CE， ∴DE＝AE+AD＝BD+CE； （2）成立． ∵∠BDA＝∠BAC＝α， ∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α， ∴∠CAE＝∠ABD， ∵在△ADB和△CEA中 ， ∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴AE＝BD，AD＝CE， ∴DE＝AE+AD＝BD+CE； （3）△DEF是等边三角形． 由（2）知，△ADB≌△CEA， BD＝AE，∠DBA＝∠CAE， ∵△ABF和△ACF均为等边三角形， ∴∠ABF＝∠CAF＝60°， ∴∠DBA+∠ABF＝∠CAE+∠CAF， ∴∠DBF＝∠FAE， ∵BF＝AF 在△DBF和△EAF中 ， ∴△DBF≌△EAF（SAS）， ∴DF＝EF，∠BFD＝∠AFE， ∴∠DFE＝∠DFA+∠AFE＝∠DFA+∠BFD＝60°， ∴△DEF为等边三角形． 35．（1）操作发现：如图①，D是等边△ABC边BA上一动点（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边在BC上方作等边△DCF，连接AF．你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗？并证明你发现的结论． （2）类比猜想：如图②，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想AF与BD在（1）中的结论是否仍然成立？ （3）深入探究： Ⅰ．如图③，当动点D在等边△ABC边BA上运动时（点D与点B不重合）连接DC，以DC为边在BC上方、下方分别作等边△DCF和等边△DCF′，连接AF、BF′，探究AF、BF′与AB有何数量关系？并证明你探究的结论． Ⅱ．如图④，当动点D在等边△ABC边BA的延长线上运动时，其他作法与图③相同，Ⅰ中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）AF＝BD； 证明如下：∵△ABC是等边三角形（已知）， ∴BC＝AC，∠BCA＝60°（等边三角形的性质）； 同理知，DC＝CF，∠DCF＝60°； ∴∠BCA﹣∠DCA＝∠DCF﹣∠DCA，即∠BCD＝∠ACF； 在△BCD和△ACF中， ， ∴△BCD≌△ACF（SAS）， ∴BD＝AF（全等三角形的对应边相等）； （2）证明过程同（1），证得△BCD≌△ACF（SAS），则AF＝BD（全等三角形的对应边相等），所以，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其他作法与（1）相同，AF＝BD仍然成立； （3）Ⅰ．AF+BF′＝AB； 证明如下：由（1）知，△BCD≌△ACF（SAS），则BD＝AF； 同理△BCF′≌△ACD（SAS），则BF′＝AD， ∴AF+BF′＝BD+AD＝AB； Ⅱ．Ⅰ中的结论不成立．新的结论是AF＝AB+BF′； 证明如下：在△BCF′和△ACD中， ， ∴△BCF′≌△ACD（SAS）， ∴BF′＝AD（全等三角形的对应边相等）； 又由（2）知，AF＝BD； ∴AF＝BD＝AB+AD＝AB+BF′，即AF＝AB+BF′． 36．（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD．求证：EF＝BE+FD； （2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？ （3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：（1）延长EB到G，使BG＝DF，连接AG． ∵∠ABG＝∠ABC＝∠D＝90°，AB＝AD， ∴△ABG≌△ADF． ∴AG＝AF，∠1＝∠2． ∴∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠EAF＝∠BAD． ∴∠GAE＝∠EAF． 又∵AE＝AE， ∴△AEG≌△AEF． ∴EG＝EF． ∵EG＝BE+BG． ∴EF＝BE+FD （2）（1）中的结论EF＝BE+FD仍然成立． （3）结论EF＝BE+FD不成立，应当是EF＝BE﹣FD． 证明：在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG． ∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°， ∴∠B＝∠ADF． ∵AB＝AD， ∴△ABG≌△ADF． ∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF． ∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD ＝∠EAF＝∠BAD． ∴∠GAE＝∠EAF． ∵AE＝AE， ∴△AEG≌△AEF． ∴EG＝EF ∵EG＝BE﹣BG ∴EF＝BE﹣FD． 一十九．等腰三角形的性质（共1小题） 37．如图，△ABC中AB＝AC，BC＝6，点P从点B出发沿射线BA移动，同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，已知点P、Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D． （1）如图①，当点P为AB的中点时，求CD的长； （2）如图②，过点P作直线BC的垂线垂足为E，当点P、Q在移动的过程中，线段BE、DE、CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图，过P点作PF∥AC交BC于F， ∵点P和点Q同时出发，且速度相同， ∴BP＝CQ， ∵PF∥AQ， ∴∠PFB＝∠ACB，∠DPF＝∠CQD， 又∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB， ∴∠B＝∠PFB， ∴BP＝PF， ∴PF＝CQ，又∠PDF＝∠QDC， ∴证得△PFD≌△QCD， ∴DF＝CD＝CF， 又因P是AB的中点，PF∥AQ， ∴F是BC的中点，即FC＝BC＝3， ∴CD＝CF＝； （2）分两种情况讨论，得ED为定值，是不变的线段， 如图，如果点P在线段AB上， 过点P作PF∥AC交BC于F， ∵△PBF为等腰三角形， ∴PB＝PF， BE＝EF， ∴PF＝CQ， ∴FD＝DC， ∴ED＝EF+FD＝BE+DC＝BC＝3， ∴ED为定值， 同理，如图，若P在BA的延长线上， 作PM∥AC的延长线于M， ∴∠PMC＝∠ACB， 又∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB， ∴∠B＝∠PMC， ∴PM＝PB，根据三线合一得BE＝EM， 同理可得△PMD≌△QCD， 所以CD＝DM， ∵BE＝EM，CD＝DM， ∴ED＝EM﹣DM＝﹣DM＝+﹣DM＝3+DM﹣DM＝3， 综上所述，线段ED的长度保持不变． 二十．等边三角形的性质（共2小题） 38．图①是一块边长为1，周长记为P1的正三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边长为的正三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前一块被剪掉如图正三角形纸板边长的）后，得图③，④，…，记第n（n≥3）块纸板的周长为Pn，则Pn﹣Pn﹣1的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：P1＝1+1+1＝3， P2＝1+1+＝， P3＝1+++×3＝， P4＝1+++×2+×3＝， … ∴P3﹣P2＝﹣＝＝， P4﹣P3＝﹣＝＝， 则Pn﹣Pn﹣1＝＝． 故选：C． 39．如图，过边长为2的等边△ABC的边AB上点P作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE长为　1　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：过P做BC的平行线至AC于F， ∴∠Q＝∠FPD， ∵等边△ABC， ∴∠APF＝∠B＝60°，∠AFP＝∠ACB＝60°， ∴△APF是等边三角形，∴AP＝PF，AP＝CQ， ∵AP＝CQ， ∴PF＝CQ， ∵在△PFD和△QCD中， ， ∴△PFD≌△QCD（AAS）， ∴FD＝CD，∵PE⊥AC于E，△APF是等边三角形，∴AE＝EF， ∴AE+DC＝EF+FD， ∴ED＝AC，∵AC＝2， ∴DE＝1． 故答案为1． 二十一．三角形综合题（共1小题） 40．如图1，AB∥CD，EF与直线AB，CD相交，点P为直线AB、CD之间的一点． （1）若，，求∠P 的度数； （2）如图2，在（1）的条件下，EM平分∠PEF交PF于点M，FN平分∠PFE交PE于点N，猜想∠EMF+∠ENF的结果，并证明你的结论； （3）如图3，在（1）的条件下，点K是射线EA上一动点，作射线PK并在射线PK上取一点G，使得PG＝PE，再作∠GPF的平分线交直线GE于点Q，则当K点在射线EA上移动时，∠PQG的大小是否变化？若不变，请求出∠PQG的大小；若变化，请求出其变化范围． 【答案】（1）45°； （2）157.5°， （3）67.5°． 【解答】解：（1）过点P作PH∥AB， ∵PH∥AB，AB∥CD， ∴PH∥AB∥CD， ∴∠EPH＝∠AEP，∠HPF＝∠CFP， ∴∠EPF＝∠EPH+∠HPF＝∠AEP+∠CFP， ∵AB∥CD，，， ∴∠AEF+∠CFE＝180°， ∴， ∴∠EPF＝45°； （2）∠EMF+∠ENF＝157.5°， 理由如下： 设∠AEP＝α，∠CFP＝β，则α+β＝45°， ∵，， ∴∠PEF＝3α，∠PFE＝3β， ∵EM平分∠PEF，FN平分∠PFE， ∴，， 过点M作MI∥AB，过点N作NJ∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥MI∥NJ， ∴∠EMF＝∠AEM+∠CFP＝α+＝， ， ∴； （3）∵PE＝PG， ∴∠PGE＝∠PEG， ∴∠PGE＝＝90°﹣GPE， ∵PQ平分∠GPF，∠EPF＝45°， ∴， ∴∠PQG＝180°﹣（∠GPQ+∠PGQ） ＝90°+GPE﹣∠GPE﹣22.5° ＝67.5°． 二十二．轴对称的性质（共1小题） 41．如图1，已知△ABD和△ACD关于直线AD对称；在射线AD上取点E，连接BE，CE，如图2，在射线AD上取点F连接BF，CF，如图3，依此规律，第6个图形中全等三角形的对数是（　　） A．10 B．15 C．21 D．28 【答案】C 【解答】解：∵△ABD和△ACD关于直线AD对称， ∴∠BAD＝∠CAD． 在△ABD与△ACD中， ∴△ABD≌△ACD（SAS）． ∴图1中有1对三角形全等； 同理图2中，△ABE≌△ACE（SAS）， ∴BE＝EC， ∵△ABD≌△ACD． ∴BD＝CD， 在△BDE和△CDE中， ∴△BDE≌△CDE（SSS）， ∴图2中有1+2＝3对三角形全等； 同理：图3中有1+2+3＝6对三角形全等； 由此发现：第n个图形中全等三角形的对数是． 所以：第6个图形中全等三角形的对数是， 故选：C． 二十三．利用轴对称设计图案（共1小题） 42．在4×4的方格中有五个同样大小的正方形如图摆放，移动其中一个正方形到空白方格中，与其余四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的移法共有　13　种． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图所示： 故一共有13种移法， 故答案为：13． 二十四．轴对称-最短路线问题（共4小题） 43．如图，四边形ABCD中，∠C＝50°，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是BC、DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 【答案】D 【解答】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于E，交CD于F，则A′A″即为△AEF的周长最小值．作DA延长线AH， ∵∠C＝50°， ∴∠DAB＝130°， ∴∠HAA′＝50°， ∴∠AA′E+∠A″＝∠HAA′＝50°， ∵∠EA′A＝∠EAA′，∠FAD＝∠A″， ∴∠EAA′+∠A″AF＝50°， ∴∠EAF＝130°﹣50°＝80°， 故选：D． 44．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为（　　） A．130° B．120° C．110° D．100° 【答案】B 【解答】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″的长即为△AMN的周长最小值．∵∠DAB＝120°， ∴∠AA′M+∠A″＝60°， ∵∠MA′A＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″， 且∠MA′A+∠MAA′＝∠AMN，∠NAD+∠A″＝∠ANM， ∴∠AMN+∠ANM＝∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″＝2（∠AA′M+∠A″）＝2×60°＝120°， 故选：B． 45．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是12，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E、F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM的周长的最小值为 　8　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：连接AD交EF与点M′，连接AM． ∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点， ∴AD⊥BC， ∴S△ABC＝BC•AD＝×4×AD＝12，解得AD＝6， ∵EF是线段AB的垂直平分线， ∴AM＝BM． ∴BM+MD＝MD+AM． ∴当点M位于点M′处时，MB+MD有最小值，最小值6． ∴△BDM的周长的最小值为DB+AD＝2+6＝8． 46．如图，已知正方形ABCD边长为3，点E在AB边上且BE＝1，点P，Q分别是边BC，CD的动点（均不与顶点重合），当四边形AEPQ的周长取最小值时，四边形AEPQ的面积是　　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图1所示： 作E关于BC的对称点E′，点A关于DC的对称点A′，连接A′E′，四边形AEPQ的周长最小， ∵AD＝A′D＝3，BE＝BE′＝1， ∴AA′＝6，AE′＝4． ∵DQ∥AE′，D是AA′的中点， ∴DQ是△AA′E′的中位线， ∴DQ＝AE′＝2；CQ＝DC﹣DQ＝3﹣2＝1， ∵BP∥AA′， ∴△BE′P∽△AE′A′， ∴＝，即＝，BP＝，CP＝BC﹣BP＝3﹣＝， S四边形AEPQ＝S正方形ABCD﹣S△ADQ﹣S△PCQ﹣SBEP ＝9﹣AD•DQ﹣CQ•CP﹣BE•BP ＝9﹣×3×2﹣×1×﹣×1× ＝． 故答案为：． 二十五．翻折变换（折叠问题）（共7小题） 47．如图a是长方形纸带，∠DEF＝20°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是（　　） A．110° B．120° C．140° D．150° 【答案】B 【解答】解：∵AD∥BC， ∴∠DEF＝∠EFB＝20°， 在图b中∠GFC＝180°﹣2∠EFG＝140°， 在图c中∠CFE＝∠GFC﹣∠EFG＝120°， 故选：B． 48．有一张矩形纸片ABCD，AB＝2.5，AD＝1.5，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F（如图），则CF的长为（　　） A．1 B．1 C． D． 【答案】B 【解答】解：如图2，根据题意得：BD＝AB﹣AD＝2.5﹣1.5＝1， 如图3，AB＝AD﹣BD＝1.5﹣1＝0.5， ∵BC∥DE， ∴△ABF∽△ADE， ∴＝， 即， ∴BF＝0.5， ∴CF＝BC﹣BF＝1.5﹣0.5＝1． 故选：B． 49．数学兴趣小组开展以下折纸活动： （1）对折矩形ABCD，使AD和BC重合，得到折痕EF，把纸片展平； （2）再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN． 观察，探究可以得到∠ABM的度数是（　　） A．25° B．30° C．36° D．45° 【答案】B 【解答】解：连接AN， ∵EF垂直平分AB， ∴AN＝BN， 由折叠知AB＝BN， ∴AN＝AB＝BN， ∴△ABN为等边三角形， ∴∠ABN＝60°， ∴∠ABM＝∠NBM＝30°． 故选：B． 50．如图，把一个边长为7的正方形经过三次对折后沿图（4）中平行于MN的虚线剪下，得图（5），它展开后得到的图形的面积为45，则AN的长为（　　） A．1 B．4 C．2 D．2.5 【答案】D 【解答】解：严格按照图中的顺序向上对折，向右对折，向右下方对折，剪去一个直角三角形，可发现剪去4个小正方形， 大正方形的面积为7×7＝49，剩下图形的面积为45； 那么剪去的面积之和为49﹣45＝4，每个小正方形的面积为1；那么边长为1， 由折叠展开的图形易知AN＝（7﹣2）÷2＝2.5． 故选：D． 51．如图所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打3个洞，则纸片展开后是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：当正方形纸片两次沿对角线对折成为一直角三角形时，在平行于斜边的位置上打3个洞，则直角顶点处完好，即原正方形中间无损，且有12个洞． 故选：D． 52．如图所示，等边△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，将△ADE沿直线DE翻折后，点A落在点A'处，且点A'在△ABC的外部，若原等边三角形的边长为a，则图中阴影部分的周长为　3a　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：根据轴对称的性质，得AD＝A′D，AB＝A′B． 则阴影部分的周长即为等边三角形的周长，即3a． 53．将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在变AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB＝AC＝3，BC＝4，若FB′∥AB，那么BF的长度是　　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：设BF＝x， 由折叠的性质可得：BF＝BF′＝x， ∵FB′∥AB， ∴， ∵AB＝AC＝3，BC＝4， ∴FC＝BC﹣BF＝4﹣x， ∴， 解得：x＝． 故答案为：． 二十六．旋转的性质（共1小题） 54．将一副三角板中的两个直角顶点C叠放在一起，其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°．若按住三角板ABC不动，绕顶点C转动三角板DCE，在旋转过程中始终要求点E在直线BC上方，当三角板DCE运动中，有一边和AB平行时，则∠BCE的度数为 　30°或120°或165°　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：分三种情况： ①如图1，CD∥AB时， ∵CD∥AB， ∴∠A＝∠ACD＝30°， ∵∠ACB＝∠ECD＝90°， ∴∠BCE＝∠ACD＝30°； ②如图2，CE∥AB时， ∵CE∥AB， ∴∠A＝∠ACE＝30°， ∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°+30°＝120°； ③DE∥AB时，如图3， 当DE∥AB时，延长BC交DE于M， ∴∠B＝∠DMC＝60°， ∵∠DMC＝∠E+∠MCE， ∴∠ECM＝15°， ∴∠BCE＝165°， 故答案为30°或120°或165°． 二十七．比例线段（共1小题） 55．如图，D是△ABC的边BC上任意一点，E是线段AD上一点且DE：AE＝2：3，F是线段CE的中点，若△ABC的面积为24cm2，则△BEF的面积为 　cm2　． 【答案】cm2． 【解答】解：∵DE：AE＝2：3， ∴DE：AD＝2：5， ∴S△BDE＝S△ABD，S△CDE＝S△ACD， ∴S△BDE+S△CDE＝S△ABD+S△ACD， ∴S△BCE＝S△ABC＝×24＝， ∵F是线段CE的中点， ∴S△BEF＝S△BCE＝×＝（cm2）． 故答案为：cm2． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/5/30 11:11:17；用户：gaga；邮箱：18376708956；学号：18907713 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$