期末各名校真题必刷题（高频60题）-2023-2024学年八年级数学下学期期中期末考点归纳满分攻略讲练（北师大版）

期末各名校真题必刷题（高频60题） 一．选择题（共26小题） 1．已知关于x的方程＝1的解是负数，则a的取值范围是（　　） A．a＜1 B．a＜1且a≠0 C．a≤1 D．a≤1 或a≠0 2．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜180°）得到△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上，若DE⊥AC，∠CAD＝25°，则旋转角α的度数是（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 3．在Rt△ABC中，AB＝5，AC＝4，则BC＝（　　） A．3 B．1 C． D．或3 4．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD，中间阴影部分是一个小正方形EFGH，这样就组成一个“赵爽弦图”．若AB＝10，AE＝8，则正方形EFGH的面积为（　　） A．4 B．8 C．12 D．16 5．如图，在数轴上点A，B所表示得数分别是﹣1，1，CB⊥AB，BC＝1，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交数轴于点D（点D在点B的右侧），则点D所表示的数是（　　） A． B．﹣1 C． D．2﹣ 6．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 7．在创建文明城市的进程中，某市为美化城市环境，计划种植树木50万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多30%，结果提前2天完成任务，设原计划每天植树x万棵，由题意得到的方程是（　　） A． B． C． D． 8．已知x＜y，则下列不等式一定成立的是（　　） A．x+5＜y+5 B．2x＞2y C． D．﹣2x＜﹣2y 9．下列图案中，可以由一个基本图形通过平移得到的是（　　） A． B． C． D． 10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB'C'，当点C'落在边AB上时，线段CC'的长为（　　） A． B．1 C． D．2 11．如图，直线y1＝x+b与y2＝kx﹣1相交于点P，若点P的横坐标为﹣1，则关于x的不等式x+b＞kx﹣1的解集是（　　） A．x≥﹣1 B．x＞﹣1 C．x≤﹣1 D．x＜﹣1 12．如图在一个高为3米，长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯至少需要（　　） A．3米 B．4米 C．5米 D．7米 13．如图，将直角三角形ABC沿AB方向平移2cm得到△DEF，DF交BC于点H，CH＝2cm，EF＝5cm，则阴影部分的面积为（　　） A．6cm2 B．8cm2 C．12cm2 D．16cm2 14．用反证法证明“若ab＝0，则a，b中至少有一个为0”时，第一步应假设（　　） A．a＝0，b＝0 B．a≠0，b≠0 C．a≠0，b＝0 D．a＝0，b≠0 15．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，垂足为点E，CD平分∠ACB，若∠A＝50°，则∠B的度数为（　　） A．25° B．30° C．35° D．40° 16．若一个多边形从一个顶点最多能引出5条对角线，则这个多边形是（　　） A．六边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形 17．如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC的长为半径作弧，与BC交于点E，分别以点E和点C为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线AP交BC于点D．若∠B＝45°，∠C＝2∠CAD，则∠BAE的度数为（　　） A．15° B．25° C．30° D．35° 18．如图，在△ABC中，AC＝BC，AB＝12，把△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，连接CD，当时，AC的长为（　　） A． B．10 C． D． 19．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线． 如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（　　） A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D．以上均不正确 20．下列由左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4 B．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2） C．x2﹣4+3x＝（x+2）（x﹣2）+3x D．x2+4x﹣2＝x（x+4）﹣2 21．下列运算中正确的是（　　） A．3x﹣2＝ B．＝﹣ C．﹣＝ D．x2÷•x3＝1 22．关于x的不等式组恰好有3个整数解，则a满足（　　） A．a＝10 B．10≤a＜12 C．10＜a≤12 D．10≤a≤12 23．如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（　　） A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：5 24．如图，面积为2的等边三角形ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则△DEF的面积是（　　） A．1 B． C． D． 25．“赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的长直角边是12，小正方形的面积是49，则大正方形的面积是（　　） A．121 B．144 C．169 D．196 26．下列各式：，，，中，是分式的共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题（共14小题） 27．因式分解：3x2﹣12＝　 　． 28．如图，点A、B、C分别在边长为1的正方形网格图顶点，则∠ABC＝　 　． 29．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是 　 　． 30．如图，边长为2的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接CE将线段CE绕点C顺时针旋转60°得到CF，连接DF，则在点E运动过程中，DF的最小值是 　 　． 31．分式有意义的条件是 　 　． 32．如图，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，分别以AC、CB为边向两侧作正方形．若图中两个正方形的面积和S1+S2＝36，则AB＝　 　． 33．如图，△ABC是等边三角形，高AD＝6，P为AD上一动点，E为AB的中点，则PB+PE的最小值为 　 　． 34．如图，在一块长为a m，宽为b m的长方形草地上，有一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移1m就是它的右边线．则这块草地的绿地面积是　 　m2． 35．对一个实数x按如图所示的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个实数x”到：“判断结果是否大于190？”为一次操作．如果操作只进行一次就停止，则x的取值范围是 　 　． 36．如图，▱ABCD的顶点C在等边△BEF的边BF上，点E在AB的延长线上，G为DE的中点，连接CG．若AD＝5，AB＝CF＝3，则CG的长为 　 　． 37．若不等式（a﹣3）x＞1的解集为x＜，则a的取值范围是 　 　． 38．若分式的值为0，则x的值是　 　． 39．一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°，三角形顶角度数　 　． 40．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB＝20°，则∠ADC的度数是 　 　． 三．解答题（共20小题） 41．解一元一次不等式组，并把解表示在数轴上． 42．化简求值：（+a+3）÷，其中a＝2． 43．如图，△ABC的顶点坐标为A（﹣2，3），B（﹣3，1），C（﹣1，2）． （1）画出△ABC向右平移3个单位后的△A1B1C1； （2）将△ABC绕原点O旋转180°，画出旋转后的△A2B2C2； （3）△A2B1C1的面积为 　 　． 44．为了奖励优秀学生，某学校购买了A、B两种不同的笔记本，已知B型笔记本的单价比A型笔记本的单价多1.5元，且用1200元购买A型笔记本与用1500买B型笔记本本数相同． （1）求A、B两种型号笔记本的单价各是多少元？ （2）为了奖励更多的学生，增强学生的学习积极性．学校还需要增加购买一些笔记本，增加购买A型笔记本和B型笔记本共200本，且购买的A型笔记本数量不能多于B型笔记本．若要使得用于购买的花费最少，应当购买A型笔记本，B型笔记本各多少本？ 45．如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，AB的中点，点F是CB延长线上的一点，且CF＝3BF，连接DB，EF． （1）求证：四边形DEFB是平行四边形； （2）若∠ACB＝90°，AC＝12cm，DE＝4cm，求四边形DEFB的周长． 46．阅读下列材料： 常用的分解因式方法有提公因式、公式法等．但有的多项式只用上述方法就无法分解，如x2﹣4y2+2x﹣4y，细心观察这个式子会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，分解过程为： x2﹣4y2+2x﹣4y ＝（x2﹣4y2）+（2x﹣4y）…分组 ＝（x﹣2y）（x+2y）+2（x﹣2y）…组内分解因式 ＝（x﹣2y）（x+2y+2）…整体思想提公因式 这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题： （1）分解因式：9x2﹣9x+3y﹣y2； （2）已知△ABC的三边a、b、c满足a2﹣b2﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状并说明理由． 47． 解方程：． 48．“人间烟火气，最抚凡人心．”在这喧嚣的世界里，地摊的存在，让人们感受到了那份朴实无华的温暖，也让城市多了一份生活的温度．某个体户购买了腊梅，百合两种鲜花摆摊销售，若购进腊梅5束，百合3束，需要114元；若购进腊梅8束，百合6束，需要204元． （1）求腊梅，百合两种鲜花的进价分别是每束多少元？ （2）若每束腊梅的售价为20元，每束百合的售价为30元．结合市场需求，该个体户决定购进两种鲜花共80束，计划购买成本不超过1260元，且购进百合的数量不少于腊梅数量的．两种鲜花全部销售完时，求销售的最大利润及相应的进货方案． 49．如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD． （1）求证：△OCD是等边三角形； （2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由； （3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形． 50．如图，已知四边形ABCD为平行四边形，AE，CF分别平分∠BAD和∠BCD，交BD于点E，F，连接AF，CE． （1）若∠BCF＝65°，求∠ABC的度数； （2）求证：四边形AECF是平行四边形． 51．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为（x+n），得 x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n） 则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n ∴． 解得：n＝﹣7，m＝﹣21 ∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21 问题：仿照以上方法解答下面问题： 已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值． 52．阅读以下材料 材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1 解：将“x+y”看成整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2 再将“A”还原，得原式＝（x+y+1）2 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： （1）因式分解：（x﹣y）2﹣2（x﹣y）+1＝　 　； （2）因式分解：（a2﹣4a+2）（a2﹣4a+6）+4； （3）求证：无论n为何值，式子（n2﹣2n﹣3）（n2﹣2n+5）+17的值一定是一个不小于1的数． 53．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D． （1）求证：BE＝CF； （2）求∠BDC的度数． 54．如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地，已知AD＝4米，CD＝3米，∠ADC＝90°，AB＝13米，BC＝12米，小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米100元，试问用该草坪铺满这块空地共需花费多少元？ 55．如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动． （1）点M、N运动几秒时，M、N两点重合？ （2）点M、N运动几秒时，可得到等边三角形AMN？ （3）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间． 56．阅读下面材料，并解决问题： （1）如图①等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数． 为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB＝　 　； （2）基本运用 请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题 已知如图②，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点且∠EAF＝45°，求证：EF2＝BE2+FC2； （3）能力提升 如图③，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO，BO，CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，求OA+OB+OC的值． 57．如图，AD是△ABC的中线，DE⊥AC于点E，DF是△ABD的中线，且CE＝2，DE＝4，AE＝8． （1）求证：∠ADC＝90°； （2）求DF的长． 58．已知：如图△ABC中AC＝6cm，AB＝8cm，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，过D作直线平行于BC，交AB，AC于E，F． （1）求证：△DFC是等腰三角形； （2）求△AEF的周长． 59．如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，BD＝9，BC＝15，AC＝20． （1）求CD的长； （2）求AB的长； （3）判断△ABC的形状． 60．在等边△ABC中，点E是AB上的动点，点E与点A、B不重合，点D在CB的延长线上，且EC＝ED． （1）如图1，若点E是AB的中点，求证：BD＝AE； （2）如图2，若点E不是AB的中点时，（1）中的结论“BD＝AE”能否成立？若不成立，请直接写出BD与AE数量关系，若成立，请给予证明． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末各名校真题必刷题（高频60题） 一．选择题（共26小题） 1．已知关于x的方程＝1的解是负数，则a的取值范围是（　　） A．a＜1 B．a＜1且a≠0 C．a≤1 D．a≤1 或a≠0 【答案】B 【解答】解：去分母得，a＝x+1， ∴x＝a﹣1， ∵方程的解是负数， ∴a﹣1＜0， 即a＜1， 又a≠0， ∴a的取值范围是a＜1且a≠0． 故选：B． 2．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜180°）得到△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上，若DE⊥AC，∠CAD＝25°，则旋转角α的度数是（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 【答案】B 【解答】解：根据题意， ∵DE⊥AC，∠CAD＝25°， ∴∠ADE＝90°﹣25°＝65°， 由旋转的性质可得∠B＝∠ADE，AB＝AD， ∴∠ADB＝∠B＝65°， ∴∠BAD＝180°﹣65°﹣65°＝50°， ∴旋转角α的度数是50°； 故选：B． 3．在Rt△ABC中，AB＝5，AC＝4，则BC＝（　　） A．3 B．1 C． D．或3 【答案】D 【解答】解：当5为直角边时， BC＝， 当5为斜边时， BC＝＝3， 综上所述，BC的长为或3． 故选：D． 4．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD，中间阴影部分是一个小正方形EFGH，这样就组成一个“赵爽弦图”．若AB＝10，AE＝8，则正方形EFGH的面积为（　　） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】A 【解答】解：直角三角形较短的直角边为＝6， 所以，正方形EFGH的面积＝10×10﹣8×6÷2×4＝100﹣96＝4． 故选：A． 5．如图，在数轴上点A，B所表示得数分别是﹣1，1，CB⊥AB，BC＝1，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交数轴于点D（点D在点B的右侧），则点D所表示的数是（　　） A． B．﹣1 C． D．2﹣ 【答案】B 【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝1﹣（﹣1）＝2，BC＝1， 由勾股定理得，AC＝， 则点D表示的数为﹣1． 故选：B． 6．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：， 解不等式①得：x＜1， 解不等式②得：x≥﹣1， ∴原不等式组的解集为：﹣1≤x＜1， 该不等式组的解集在数轴上表示如图所示： 故选：A． 7．在创建文明城市的进程中，某市为美化城市环境，计划种植树木50万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多30%，结果提前2天完成任务，设原计划每天植树x万棵，由题意得到的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：由题意可得， ＝2， 故选：A． 8．已知x＜y，则下列不等式一定成立的是（　　） A．x+5＜y+5 B．2x＞2y C． D．﹣2x＜﹣2y 【答案】A 【解答】解：A、∵x＜y， ∴x+5＜y+5，故本选项符合题意； B、∵x＜y， ∴2x＜2y，故本选项不符合题意； C、∵x＜y， ∴，故本选项不符合题意； D、∵x＜y， ∴﹣2x＞﹣2y，故本选项不符合题意； 故选：A． 9．下列图案中，可以由一个基本图形通过平移得到的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：A、利用旋转可以得到，故此选项错误； B、不能利用平移得到，故此选项错误； C、利用轴对称可得到，故此选项错误； D、是由一个基本图形通过平移得到的，故此选项正确． 故选：D． 10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB'C'，当点C'落在边AB上时，线段CC'的长为（　　） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝4， ∴AC＝2，∠CAC'＝60°， ∵将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB'C'， ∴AC'＝AC＝2， ∴△CAC'为等边三角形， ∴CC'＝AC＝2， 故选：D． 11．如图，直线y1＝x+b与y2＝kx﹣1相交于点P，若点P的横坐标为﹣1，则关于x的不等式x+b＞kx﹣1的解集是（　　） A．x≥﹣1 B．x＞﹣1 C．x≤﹣1 D．x＜﹣1 【答案】B 【解答】解：当x＞﹣1时，x+b＞kx﹣1， 即不等式x+b＞kx﹣1的解集为x＞﹣1． 故选：B． 12．如图在一个高为3米，长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯至少需要（　　） A．3米 B．4米 C．5米 D．7米 【答案】D 【解答】解：由勾股定理得： 楼梯的水平宽度＝＝4（米）， ∵地毯铺满楼梯的长度应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和， ∴地毯的长度至少是3+4＝7（米）． 故选：D． 13．如图，将直角三角形ABC沿AB方向平移2cm得到△DEF，DF交BC于点H，CH＝2cm，EF＝5cm，则阴影部分的面积为（　　） A．6cm2 B．8cm2 C．12cm2 D．16cm2 【答案】B 【解答】解：由平移的性质可知BC＝EF＝5cm，BE＝AD＝2cm，∠DEC＝∠B＝90°，S阴影＝S直角梯形BEFH， ∴BH＝BC﹣CH＝3cm， ∴S阴影＝S直角梯形BEFH ＝（3+5）×2× ＝8（cm2）． 故选：B． 14．用反证法证明“若ab＝0，则a，b中至少有一个为0”时，第一步应假设（　　） A．a＝0，b＝0 B．a≠0，b≠0 C．a≠0，b＝0 D．a＝0，b≠0 【答案】B 【解答】解：“若ab＝0，则a，b中至少有一个为0．”第一步应假设：a≠0，b≠0． 故选：B． 15．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，垂足为点E，CD平分∠ACB，若∠A＝50°，则∠B的度数为（　　） A．25° B．30° C．35° D．40° 【答案】B 【解答】解：∵DE垂直平分AC， ∴AD＝CD， ∴∠A＝∠ACD 又∵CD平分∠ACB， ∴∠ACB＝2∠ACD＝100°， ∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣50°﹣100°＝30°， 故选：B． 16．若一个多边形从一个顶点最多能引出5条对角线，则这个多边形是（　　） A．六边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形 【答案】B 【解答】解：∵从一个多边形的一个顶点出发可以引5条对角线，设多边形边数为n， ∴n﹣3＝5， 解得n＝8． 故选：B． 17．如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC的长为半径作弧，与BC交于点E，分别以点E和点C为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线AP交BC于点D．若∠B＝45°，∠C＝2∠CAD，则∠BAE的度数为（　　） A．15° B．25° C．30° D．35° 【答案】A 【解答】解：由题意可知，AP是EC的垂直平分线， ∴AD⊥BC，DE＝CD， ∴△ADE≌△ADC（SAS）， ∴∠EAD＝∠CAD，∠C＝∠AED， ∴∠EAC＝2∠CAD， ∵∠C＝2∠CAD， ∴∠C＝∠EAC＝∠AED， ∴△AEC是等边三角形， ∴∠C＝∠EAC＝∠AED＝60°， 在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°， ∴∠BAC＝180°﹣45°﹣60°＝75°， ∴∠BAE＝75°﹣60°＝15°． 故选：A． 18．如图，在△ABC中，AC＝BC，AB＝12，把△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，连接CD，当时，AC的长为（　　） A． B．10 C． D． 【答案】C 【解答】解：如图，连接DB，延长DC交AB于F， ∵把△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE， ∴∠DAB＝60°，AD＝AB＝12， ∴△DAB为等边三角形， ∴DA＝DB， ∵AC＝BC， ∴CD为AB的中垂线， ∴AF＝AB＝6， 在Rt△ADF中，DF＝＝6， 而CD＝2， ∴CF＝DF﹣CD＝4， 在Rt△ACF中，AC＝＝2． 故选：C． 19．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线． 如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（　　） A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D．以上均不正确 【答案】A 【解答】解：如图所示：过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO， ∵两把完全相同的长方形直尺， ∴PE＝PF， ∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）， 故选：A． 20．下列由左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4 B．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2） C．x2﹣4+3x＝（x+2）（x﹣2）+3x D．x2+4x﹣2＝x（x+4）﹣2 【答案】B 【解答】解：A、是整式的乘法，故A错误； B、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B正确； C、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C错误； D、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D错误； 故选：B． 21．下列运算中正确的是（　　） A．3x﹣2＝ B．＝﹣ C．﹣＝ D．x2÷•x3＝1 【答案】B 【解答】解：（A）原式＝，故A错误． （C）原式＝＝，故C错误． （D）原式＝x2•x•x3＝x6，故D错误． 故选：B． 22．关于x的不等式组恰好有3个整数解，则a满足（　　） A．a＝10 B．10≤a＜12 C．10＜a≤12 D．10≤a≤12 【答案】B 【解答】解：由6﹣3x＜0得：x＞2， 由2x≤a得：， ∵不等式组恰好有3个整数解， ∴不等式组的整数解为3、4、5， ∴，解得10≤a＜12， 故选：B． 23．如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（　　） A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：5 【答案】C 【解答】解：过点O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F， ∵点O是内心， ∴OE＝OF＝OD， ∴S△ABO：S△BCO：S△CAO＝•AB•OE：•BC•OF：•AC•OD＝AB：BC：AC＝2：3：4， 故选：C． 24．如图，面积为2的等边三角形ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则△DEF的面积是（　　） A．1 B． C． D． 【答案】B 【解答】解：∵D，E，F分别是AB，BC，CA的中点， ∴＝＝＝， ∴△DEF∽△CAB， ∴＝（）2＝， ∵△ABC的面积＝2， ∴△DEF的面积＝， 故选：B． 25．“赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的长直角边是12，小正方形的面积是49，则大正方形的面积是（　　） A．121 B．144 C．169 D．196 【答案】C 【解答】解：设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，则a＝12， 又∵小正方形的面积为（a﹣b）2，则（a﹣b）2＝49， 解得b＝5， ∴大正方形的面积为a2+b2＝122+52＝169， 故选：C． 26．下列各式：，，，中，是分式的共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解答】解：在，，，中，是分式的：，，共2个． 故选：B． 二．填空题（共14小题） 27．因式分解：3x2﹣12＝　3（x+2）（x﹣2）　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：原式＝3（x2﹣4） ＝3（x+2）（x﹣2）． 故答案为：3（x+2）（x﹣2）． 28．如图，点A、B、C分别在边长为1的正方形网格图顶点，则∠ABC＝　45°　． 【答案】45°． 【解答】解：∵正方形的边长为1， ∴AC＝＝，BC＝＝，AB＝＝， ∴AC2+BC2＝AB2，AC＝BC， ∴△ABC为等腰直角三角形， ∴∠ACB＝90°，∠ABC＝45°， 故答案为：45°． 29．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是 　360°　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图： ∵∠E+∠A＝∠1，∠B+∠F＝∠2， ∵∠1+∠2+∠C+D＝360°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°， 故答案为：360°． 30．如图，边长为2的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接CE将线段CE绕点C顺时针旋转60°得到CF，连接DF，则在点E运动过程中，DF的最小值是 　　． 【答案】． 【解答】解：取AC的中点G，则CG＝CD， ∵将线段CE绕点C顺时针旋转60°得到CF， ∴CE＝CF，∠ECF＝60°， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝60°， ∴∠DCE＝∠ACF， ∴△CDE≌△CGF（SAS）， ∴∠FGC＝∠EDC＝90°， ∴点F在直线BG上运动， 过点D作DH⊥BG，此时DF的最小值即为DH， ∵BD＝BC＝1， ∴DH＝， 故答案为：． 31．分式有意义的条件是 　x≠2　． 【答案】x≠2． 【解答】解：要使分式有意义， 则x﹣2≠0， 解得，x≠2， 故答案为：x≠2． 32．如图，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，分别以AC、CB为边向两侧作正方形．若图中两个正方形的面积和S1+S2＝36，则AB＝　6　． 【答案】6． 【解答】解：根据题意知，AC2+BC2＝S1+S2＝36， 则在直角△ABC中，由勾股定理知：AB＝＝＝6． 故答案为：6． 33．如图，△ABC是等边三角形，高AD＝6，P为AD上一动点，E为AB的中点，则PB+PE的最小值为 　6　． 【答案】6． 【解答】解：∵△ABC为等边三角形，AD为高， ∴B，C两点关于直线AD对称， 连接CE，则CE与AD的交点即为使PB+PE是最小值的P点， 即PB+PE的最小值为PC+PE＝CE， ∵E为AB的中点， ∴CE⊥AB，即CE为△ABC的高线， ∴CE＝AD＝6， ∴PB+PE的最小值为6． 故答案为6． 34．如图，在一块长为a m，宽为b m的长方形草地上，有一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移1m就是它的右边线．则这块草地的绿地面积是　b（a﹣1）　m2． 【答案】b（a﹣1）． 【解答】解：小路的左边线向右平移1m就是它的右边线， 路的宽度是1米， 草地的长是（a﹣1）米， 故这块草地的绿地面积为（a﹣1）b（m2）． 故答案为：b（a﹣1）． 35．对一个实数x按如图所示的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个实数x”到：“判断结果是否大于190？”为一次操作．如果操作只进行一次就停止，则x的取值范围是 　x＞64　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：第一次的结果为：3x﹣2，没有输出，则 3x﹣2＞190， 解得：x＞64． 故x的取值范围是x＞64． 故答案为：x＞64． 36．如图，▱ABCD的顶点C在等边△BEF的边BF上，点E在AB的延长线上，G为DE的中点，连接CG．若AD＝5，AB＝CF＝3，则CG的长为 　　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，CD＝AB，DC∥AB， ∵AD＝5，AB＝CF＝3， ∴CD＝3，BC＝5， ∴BF＝BC+CF＝8， ∵△BEF是等边三角形，G为DE的中点， ∴BF＝BE＝8，DG＝EG， 延长CG交BE于点H， ∵DC∥AB， ∴∠CDG＝∠HEG， 在△DCG和△EHG中， ， ∴△DCG≌△EHG（ASA）， ∴DC＝EH，CG＝HG， ∵CD＝3，BE＝8， ∴HE＝3，BH＝5， ∵∠CBH＝60°，BC＝BH＝5， ∴△CBH是等边三角形， ∴CH＝BC＝5， ∴CG＝CH＝， 故答案为：． 37．若不等式（a﹣3）x＞1的解集为x＜，则a的取值范围是 　a＜3　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵（a﹣3）x＞1的解集为x＜， ∴不等式两边同时除以（a﹣3）时不等号的方向改变， ∴a﹣3＜0， ∴a＜3． 故答案为：a＜3． 38．若分式的值为0，则x的值是　2　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵分式的值为0， ∴x﹣2＝0，且x+3≠0， ∴x＝2． 故答案为：2． 39．一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°，三角形顶角度数　45°或135°　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：①如图，等腰三角形为锐角三角形， ∵BD⊥AC，∠ABD＝45°， ∴∠A＝45°， 即顶角的度数为45°． ②如图，等腰三角形为钝角三角形， ∵BD⊥AC，∠DBA＝45°， ∴∠BAD＝45°， ∴∠BAC＝135°． 故答案为45°或135°． 40．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB＝20°，则∠ADC的度数是 　65°　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：根据旋转的性质可知∠DCE＝∠ACB＝20°， ∵AC＝EC，∠ACE＝90°， ∴∠E＝45°． ∴∠ADC＝∠DCE+∠E＝20°+45°＝65°． 故答案为65°． 三．解答题（共20小题） 41．解一元一次不等式组，并把解表示在数轴上． 【答案】﹣3＜x≤3． 【解答】解：， 解①得x≤3， 解②得x＞﹣3， 所以不等式组的解集为﹣3＜x≤3． 解集在数轴上表示为： 42．化简求值：（+a+3）÷，其中a＝2． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：原式＝[+]÷， ＝ ＝ 当a＝2时， 原式＝． 43．如图，△ABC的顶点坐标为A（﹣2，3），B（﹣3，1），C（﹣1，2）． （1）画出△ABC向右平移3个单位后的△A1B1C1； （2）将△ABC绕原点O旋转180°，画出旋转后的△A2B2C2； （3）△A2B1C1的面积为 　5　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求； （2）如图所示，△A2B2C2即为所求； （3）如图所示，连接A2B1，A2C1， 则A2C1＝5，B1到A2C1的距离为2， ∴△A2B1C1的面积为， 故答案为：5． 44．为了奖励优秀学生，某学校购买了A、B两种不同的笔记本，已知B型笔记本的单价比A型笔记本的单价多1.5元，且用1200元购买A型笔记本与用1500买B型笔记本本数相同． （1）求A、B两种型号笔记本的单价各是多少元？ （2）为了奖励更多的学生，增强学生的学习积极性．学校还需要增加购买一些笔记本，增加购买A型笔记本和B型笔记本共200本，且购买的A型笔记本数量不能多于B型笔记本．若要使得用于购买的花费最少，应当购买A型笔记本，B型笔记本各多少本？ 【答案】（1）A型笔记本的单价是6元，B型笔记本的单价是7.5元； （2）若要使得用于购买的花费最少，应当购买A型笔记本100本，B型笔记本100本． 【解答】解：（1）设A型笔记本的单价是x元，则B型笔记本的单价是（x+1.5）元， 根据题意得：＝， 解得：x＝6， 经检验，x＝6是所列方程的解，且符合题意， ∴x+1.5＝6+1.5＝7.5． 答：A型笔记本的单价是6元，B型笔记本的单价是7.5元； （2）设购买A型笔记本m本，则购买B型笔记本（200﹣m）本， 根据题意得：m≤200﹣m， 解得：m≤100． 设购买A，B两种笔记本共花费w元，则w＝6m+7.5（200﹣m）， 即w＝﹣1.5m+1500， ∵﹣1.5＜0， ∴w随m的增大而减小， 又∵m≤100，且m为正整数， ∴当m＝100时，w取得最小值，此时200﹣m＝200﹣100＝100． 答：若要使得用于购买的花费最少，应当购买A型笔记本100本，B型笔记本100本． 45．如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，AB的中点，点F是CB延长线上的一点，且CF＝3BF，连接DB，EF． （1）求证：四边形DEFB是平行四边形； （2）若∠ACB＝90°，AC＝12cm，DE＝4cm，求四边形DEFB的周长． 【答案】（1）证明见解析； （2）28cm． 【解答】（1）证明：∵点D，E分别是AC，AB的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC，BC＝2DE， ∵CF＝3BF， ∴BC＝2BF， ∴DE＝BF， ∴四边形DEFB是平行四边形； （2）解：由（1）得：BC＝2DE＝8（cm），BF＝DE＝4cm，四边形DEFB是平行四边形， ∴BD＝EF， ∵D是AC的中点，AC＝12cm， ∴CD＝AC＝6（cm）， ∵∠ACB＝90°， ∴BD＝＝＝10（cm）， ∴平行四边形DEFB的周长＝2（DE+BD）＝2（4+10）＝28（cm）． 46．阅读下列材料： 常用的分解因式方法有提公因式、公式法等．但有的多项式只用上述方法就无法分解，如x2﹣4y2+2x﹣4y，细心观察这个式子会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，分解过程为： x2﹣4y2+2x﹣4y ＝（x2﹣4y2）+（2x﹣4y）…分组 ＝（x﹣2y）（x+2y）+2（x﹣2y）…组内分解因式 ＝（x﹣2y）（x+2y+2）…整体思想提公因式 这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题： （1）分解因式：9x2﹣9x+3y﹣y2； （2）已知△ABC的三边a、b、c满足a2﹣b2﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状并说明理由． 【答案】（1）（3x﹣y）（3x+y﹣3）； （2）△ABC为等腰三角形． 【解答】解：（1）9x2﹣9x+3y﹣y2 ＝（9x2﹣y2）+（﹣9x+3y） ＝（3x+y）（3x﹣y）﹣3（3x﹣y） ＝（3x﹣y）（3x+y﹣3）； （2）△ABC为等腰三角形． 理由：∵a2﹣b2﹣ac+bc＝0， ∴（a+b）（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0， ∴（a﹣b）（a+b﹣c）＝0， ∴a﹣b＝0或a+b﹣c＝0， ∵△ABC三边a、b、c都大于0， ∴a+b﹣c＞0． ∴a﹣b＝0，即a＝b， ∴△ABC为等腰三角形． 47．解方程：． 【答案】x＝﹣5． 【解答】解：去分母得：（x+2）2﹣16＝x﹣2， 整理得：x2+4x+4﹣16＝x﹣2，即x2+3x﹣10＝0， 分解因式得：（x﹣2）（x+5）＝0， 解得：x＝2或x＝﹣5， 检验：当x＝2时，（x+2）（x﹣2）＝0， 当x＝﹣5时，（x+2）（x﹣2）≠0， ∴x＝2是增根，分式方程的解为x＝﹣5． 48．“人间烟火气，最抚凡人心．”在这喧嚣的世界里，地摊的存在，让人们感受到了那份朴实无华的温暖，也让城市多了一份生活的温度．某个体户购买了腊梅，百合两种鲜花摆摊销售，若购进腊梅5束，百合3束，需要114元；若购进腊梅8束，百合6束，需要204元． （1）求腊梅，百合两种鲜花的进价分别是每束多少元？ （2）若每束腊梅的售价为20元，每束百合的售价为30元．结合市场需求，该个体户决定购进两种鲜花共80束，计划购买成本不超过1260元，且购进百合的数量不少于腊梅数量的．两种鲜花全部销售完时，求销售的最大利润及相应的进货方案． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设腊梅的进价是x元/束，百合的进价是y元/束， 根据题意得：， 解得：． 答：腊梅的进价是12元/束，百合的进价是18元/束； （2）设购进腊梅m束，则购进百合（80﹣m）束， 根据题意得：， 解得：30≤m≤48， 设购进的两种鲜花全部销售完后获得的总利润为w元，则w＝（20﹣12）m+（30﹣18）（80﹣m）， 即w＝﹣4m+960， ∵﹣4＜0， ∴w随m的增大而减小， ∴当m＝30时，w取得最大值，最大值＝﹣4×30+960＝840（元），此时80﹣m＝80﹣30＝50（束）． 答：当购进腊梅30束，百合50束时，销售利润最大，销售的最大利润为840元． 49．如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD． （1）求证：△OCD是等边三角形； （2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由； （3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：（1）∵△BOC≌△ADC， ∴OC＝DC， ∵∠OCD＝60°， ∴△OCD是等边三角形． 解： （2）△AOD是直角三角形． 理由如下： ∵△OCD是等边三角形， ∴∠ODC＝60°， ∵△BOC≌△ADC，α＝150°， ∴∠ADC＝∠BOC＝α＝150°， ∴∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝150°﹣60°＝90°， ∴△AOD是直角三角形． （3）∵△OCD是等边三角形， ∴∠COD＝∠ODC＝60°． ∵∠AOB＝110°，∠ADC＝∠BOC＝α， ∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC﹣∠COD＝360°﹣110°﹣α﹣60°＝190°﹣α， ∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝α﹣60°， ∴∠OAD＝180°﹣∠AOD﹣∠ADO＝180°﹣（190°﹣α）﹣（α﹣60°）＝50°． ①当∠AOD＝∠ADO时，190°﹣α＝α﹣60°， ∴α＝125°． ②当∠AOD＝∠OAD时，190°﹣α＝50°， ∴α＝140°． ③当∠ADO＝∠OAD时， α﹣60°＝50°， ∴α＝110°． 综上所述：当α＝110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形． 50．如图，已知四边形ABCD为平行四边形，AE，CF分别平分∠BAD和∠BCD，交BD于点E，F，连接AF，CE． （1）若∠BCF＝65°，求∠ABC的度数； （2）求证：四边形AECF是平行四边形． 【答案】（1）50°； （2）证明过程见解析． 【解答】（1）解：∵CF平分∠BCD， ∴∠BCD＝2∠BCF＝65°×2＝130°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠ABC＝180°﹣∠BCD＝180°﹣130°＝50°； （2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD，∠BAD＝∠DCB， ∴∠ABE＝∠CDF， ∵∠BAE＝∠BAD，∠DCF＝∠DCB， ∴∠BAE＝∠DCF， ∴△ABE≌△CDF（ASA）． ∴∠AEB＝∠CFD，AE＝CF， ∴∠AEF＝∠CFE， ∴AE∥CF， ∴四边形AECF是平行四边形． 51．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为（x+n），得 x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n） 则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n ∴． 解得：n＝﹣7，m＝﹣21 ∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21 问题：仿照以上方法解答下面问题： 已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值． 【答案】另一个因式为（x+4），k的值为20． 【解答】解：设另一个因式为（x+a），得： 2x2+3x﹣k＝（2x﹣5）（x+a）， 则2x2+3x﹣k＝2x2+（2a﹣5）x﹣5a ∴． 解得：a＝4，k＝20． 故另一个因式为（x+4），k的值为20． 52．阅读以下材料 材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1 解：将“x+y”看成整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2 再将“A”还原，得原式＝（x+y+1）2 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： （1）因式分解：（x﹣y）2﹣2（x﹣y）+1＝　（x﹣y﹣1）2　； （2）因式分解：（a2﹣4a+2）（a2﹣4a+6）+4； （3）求证：无论n为何值，式子（n2﹣2n﹣3）（n2﹣2n+5）+17的值一定是一个不小于1的数． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）解：令x﹣y＝A， 原式＝A2﹣2A+1＝（A﹣1）2， 将“A”还原，得原式＝（x﹣y﹣1）2； 故答案为：（x﹣y﹣1）2； （2）解：令 a2﹣4a＝A， 原式＝（A+2）（A+6）+4 ＝A2+8A+12+4 ＝（A+4）2， 将“A”还原，得： 原式＝（a2﹣4a+4）2＝（a﹣2）4； （3）证明：令 n2﹣2n＝A， 原式＝（A﹣3）（A+5）+17 ＝A2+2A﹣15+17 ＝A2+2A+2 ＝（A+1）2+1， 将 A＝n2﹣2n 还原， 原式＝（n2﹣2n+1）2+1＝（n﹣1）4+1， 因为无论n为何值 （n﹣1）4≥0， 所以 （n﹣1）4+1≥1 即式子 （n2﹣2n﹣3）（n2﹣2n+5）+17 的值一定是一个不小于1的数． 53．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D． （1）求证：BE＝CF； （2）求∠BDC的度数． 【答案】（1）证明见解析； （2）45°． 【解答】（1）证明：∵△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的， ∴AE＝AB，AF＝AC，∠EAF＝∠BAC， ∴∠EAF+∠BAF＝∠BAC+∠BAF，即∠EAB＝∠FAC， ∵AB＝AC， ∴AE＝AF， ∴△AEB可由△AFC绕点A按顺时针方向旋转得到， ∴BE＝CF； （2）解：∵△AEB可由△AFC绕点A按顺时针方向旋转得到， ∴△AEB≌△AFC， ∴∠ABE＝∠ACF， 设AC与BE相交于O， ∵∠AOB＝∠COD， ∴∠BDC＝∠BAC＝45°． 54．如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地，已知AD＝4米，CD＝3米，∠ADC＝90°，AB＝13米，BC＝12米，小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米100元，试问用该草坪铺满这块空地共需花费多少元？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：连接AC， 在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，AD＝4米，CD＝3米，由勾股定理得：AC＝＝5（米）， ∵AC2+BC2＝52+122＝169，AB2＝132＝169， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴∠ACB＝90°， 该区域面积S＝S△ACB﹣S△ADC＝×5×12﹣×3×4＝24（平方米）， 即铺满这块空地共需花费＝24×100＝2400元． 55．如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动． （1）点M、N运动几秒时，M、N两点重合？ （2）点M、N运动几秒时，可得到等边三角形AMN？ （3）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设点M、N运动x秒时，M、N两点重合， x×1+12＝2x， 解得：x＝12； （2）设点M、N运动t秒时，可得到等边三角形AMN，如图①， AM＝t×1＝t，AN＝AB﹣BN＝12﹣2t， ∵三角形AMN是等边三角形， ∴t＝12﹣2t， 解得t＝4， ∴点M、N运动4秒时，可得到等边三角形AMN． （3）当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形， 由（1）知12秒时M、N两点重合，恰好在C处， 如图②，假设△AMN是等腰三角形， ∴AN＝AM， ∴∠AMN＝∠ANM， ∴∠AMC＝∠ANB， ∵AB＝BC＝AC， ∴△ACB是等边三角形， ∴∠C＝∠B， 在△ACM和△ABN中， ∵， ∴△ACM≌△ABN（AAS）， ∴CM＝BN， 设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形， ∴CM＝y﹣12，NB＝36﹣2y，CM＝NB， y﹣12＝36﹣2y， 解得：y＝16．故假设成立． ∴当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰三角形AMN，此时M、N运动的时间为16秒． 56．阅读下面材料，并解决问题： （1）如图①等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数． 为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB＝　150°　； （2）基本运用 请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题 已知如图②，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点且∠EAF＝45°，求证：EF2＝BE2+FC2； （3）能力提升 如图③，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO，BO，CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，求OA+OB+OC的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵△ACP′≌△ABP， ∴AP′＝AP＝3、CP′＝BP＝4、∠AP′C＝∠APB， 由题意知旋转角∠PA P′＝60°， ∴△AP P′为等边三角形， P P′＝AP＝3，∠A P′P＝60°， 易证△P P′C为直角三角形，且∠P P′C＝90°， ∴∠APB＝∠AP′C＝∠A P′P+∠P P′C＝60°+90°＝150°； 故答案为：150°； （2）如图2，把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′， 由旋转的性质得，AE′＝AE，CE′＝BE，∠CAE′＝∠BAE，∠ACE′＝∠B，∠EAE′＝90°， ∵∠EAF＝45°， ∴∠E′AF＝∠CAE′+∠CAF＝∠BAE+∠CAF＝∠BAC﹣∠EAF＝90°﹣45°＝45°， ∴∠EAF＝∠E′AF， 在△EAF和△E′AF中， ∴△EAF≌△E′AF（SAS）， ∴E′F＝EF， ∵∠CAB＝90°，AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB＝45°， ∴∠E′CF＝45°+45°＝90°， 由勾股定理得，E′F2＝CE′2+FC2， 即EF2＝BE2+FC2． （3）如图3，将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A′O′B处，连接OO′， ∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°， ∴AB＝2， ∴BC＝， ∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°， ∴△A′O′B如图所示； ∠A′BC＝∠ABC+60°＝30°+60°＝90°， ∵∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°， ∴AB＝2AC＝2， ∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B， ∴A′B＝AB＝2，BO＝BO′，A′O′＝AO， ∴△BOO′是等边三角形， ∴BO＝OO′，∠BOO′＝∠BO′O＝60°， ∵∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°， ∴∠COB+∠BOO′＝∠BO′A′+∠BOO′＝120°+60°＝180°， ∴C、O、A′、O′四点共线， 在Rt△A′BC中，A′C＝， ∴OA+OB+OC＝A′O′+OO′+OC＝A′C＝． 57．如图，AD是△ABC的中线，DE⊥AC于点E，DF是△ABD的中线，且CE＝2，DE＝4，AE＝8． （1）求证：∠ADC＝90°； （2）求DF的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）5． 【解答】证明：（1）∵DE⊥AC于点E， ∴∠AED＝∠CED＝90°， 在Rt△ADE中，∠AED＝90°， ∴AD2＝AE2+DE2＝82+42＝80， 同理：CD2＝20， ∴AD2+CD2＝100， ∵AC＝AE+CE＝8+2＝10， ∴AC2＝100， ∴AD2+CD2＝AC2， ∴△ADC是直角三角形， ∴∠ADC＝90°； （2）∵AD是△ABC的中线，∠ADC＝90°， ∴AD垂直平分BC， ∴AB＝AC＝10， 在Rt△ADB中，∠ADB＝90°， ∵点F是边AB的中点， ∴DF＝． 58．已知：如图△ABC中AC＝6cm，AB＝8cm，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，过D作直线平行于BC，交AB，AC于E，F． （1）求证：△DFC是等腰三角形； （2）求△AEF的周长． 【答案】（1）见解析； （2）14cm． 【解答】（1）证明：∵EF∥BC， ∴∠FDC＝∠DCB， ∵CD平分∠ACB， ∴∠FCD＝∠DCB， ∴∠FDC＝∠FCD， ∴FD＝FC， ∴△DFC是等腰三角形； （2）∵EF∥BC， ∴∠EDB＝∠DBC， ∵BD平分∠ABC， ∴∠EBD＝∠DBC， ∴∠EDB＝∠EBD， ∴ED＝EB， ∵AC＝6cm，AB＝8cm， ∴△AEF的周长为：AE+EF+AF ＝AE+ED+FD+AF ＝AE+EB+FC+AF ＝AB+AC ＝8+6 ＝14（cm）． 59．如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，BD＝9，BC＝15，AC＝20． （1）求CD的长； （2）求AB的长； （3）判断△ABC的形状． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）在△BCD中，因为CD⊥AB， 所以BD2+CD2＝BC2． 所以CD2＝BC2﹣BD2＝152﹣92＝144． 所以CD＝12． （2）在△ACD中，因为CD⊥AB， 所以CD2+AD2＝AC2． 所以AD2＝AC2﹣CD2＝202﹣122＝256． 所以AD＝16． 所以AB＝AD+BD＝16+9＝25． （3）因为BC2+AC2＝152+202＝625，AB2＝252＝625， 所以AB2＝BC2+AC2． 所以△ABC是直角三角形． 60．在等边△ABC中，点E是AB上的动点，点E与点A、B不重合，点D在CB的延长线上，且EC＝ED． （1）如图1，若点E是AB的中点，求证：BD＝AE； （2）如图2，若点E不是AB的中点时，（1）中的结论“BD＝AE”能否成立？若不成立，请直接写出BD与AE数量关系，若成立，请给予证明． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°， ∵点E是AB的中点， ∴CE平分∠ACB，AE＝BE， ∴∠BCE＝30°， ∵ED＝EC， ∴∠D＝∠BCE＝30°． ∵∠ABC＝∠D+∠BED， ∴∠BED＝30°， ∴∠D＝∠BED， ∴BD＝BE． ∴AE＝DB． （2）解：AE＝DB； 理由：过点E作EF∥BC交AC于点F．如图2所示： ∴∠AEF＝∠ABC，∠AFE＝∠ACB． ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，AB＝AC＝BC， ∴∠AEF＝∠ABC＝60°，∠AFE＝∠ACB＝60°， 即∠AEF＝∠AFE＝∠A＝60°， ∴△AEF是等边三角形． ∴∠DBE＝∠EFC＝120°，∠D+∠BED＝∠FCE+∠ECD＝60°， ∵DE＝EC， ∴∠D＝∠ECD， ∴∠BED＝∠ECF． 在△DEB和△ECF中， ， ∴△DEB≌△ECF（AAS）， ∴DB＝EF， ∴AE＝BD． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/5/30 10:33:30；用户：乐乐；邮箱：lhqfhf@163.com；学号：11297611 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$