八年级数学下学期期末测试卷（二）-2023-2024学年八年级数学下学期期中期末考点归纳满分攻略讲练（北师大版）

2023-2024学年八年级（下）期末数学模拟试卷（2） 【北师大版】 （考试时间：120分钟 试卷满分：100分） 1． 单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．如图四幅图是我国一些博物馆的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．若分式有意义，则该分式中的字母x满足的条件是（　　） A． B． C． D． 3．多项式12a3b﹣8ab2c的公因式是（　　） A．4a2 B．4abc C．2a2 D．4ab 4．若a＞b，则下列不等式不一定成立的是（　　） A．a+5＞b+5 B．3a＞3b C．1﹣5a＜1﹣5b D． 5．如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形（　　） A．OA＝OC，OB＝OD B．AB＝CD，AO＝CO C．AB＝CD，AD＝BC D．∠BAD＝∠BCD，AB∥CD 6．如图，△ABC中，AB＝9cm，AC＝5cm，点E是BC的中点，若AD平分∠BAC，CD⊥AD，线段DE的长为（　　） A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 7．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．若AE＝4，AF＝6，且▱ABCD的周长为40，则▱ABCD的面积为（　　） A．24 B．36 C．40 D．48 8．数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为x人，则可列方程（　　） A． B． C． D． 9．如图，已知AC﹣BC＝3，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，△BCE的周长是15，则AC的长为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 10．在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，2）关于原点对称的点的坐标是（　　） A．（1，﹣2） B．（﹣1，2） C．（﹣2，1） D．（﹣1，﹣2） 11．运行程序如图所示，从“输入整数x”到“结果是否＞18”为一次程序操作，若输入整数x后程序操作仅进行了两次就停止，则x的最小值是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 12．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH．连结EG，BD相交于点O、BD与HC相交于点P．若GO＝GP，则的值是（　　） A．1+ B．2+ C．5﹣ D． 二．填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 13．因式分解：2m2﹣8＝　 　． 14．“等边对等角”的逆命题是 　 　． 15．如图，为估计池塘岸边A，B两点间的距离，在池塘的一侧选取点O，分别取OA，OB的中点M，N，测得MN＝16m，则A，B两点间的距离是 　 　m． 16．如图，等边△ABC的边长为2，点O是△ABC的中心，∠FOG＝120°，绕点O旋转∠FOG，分别交线段AB，BC于D，E两点，连接DE，给出下列四个结论：①OD＝OE；②四边形ODBE的面积始终等于；③S△ODE＝S△BDE；④△BDE周长的最小值为3．其中正确的结论是 　 　（填序号）． 三．解答题（本题共7小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（5分）解方程：． 18．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8cm． （1）作AB的垂直平分线，交AC于点M，交AB于点N； （2）在（1）的条件下，连接MB，若△MBC的周长是14cm，求BC的长． 19．（7分）如图，点O是等边三角形ABC内的一点，∠BOC＝150°，将△BOC绕点C按顺时针旋转得到△ADC，连接OD，OA． （1）求∠ODC的度数； （2）若OB＝4，OC＝5，求AO的长． 20．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在BC边上，且AD＝DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B． （1）求证：∠AFD＝∠ECD； （2）求证：△AFD≌△DCE； （3）若∠B＝60°，CD＝DF，BE＝2，求AE． 21．（8分）某商店准备购进甲、乙两款篮球进行销售，若一个甲款篮球的进价比一个乙款篮球的进价多30元． （1）若商店用6000元购进甲款篮球的数量是用2400元购进乙款篮球的数量的2倍．求每个甲款篮球，每个乙款篮球的进价分别为多少元？ （2）若商店购进乙款篮球的数量比购进甲款篮球的数量的2倍少10个，且乙款篮球的数量不高于甲款篮球的数量；商店销售甲款篮球每个获利30元，商店销售乙款篮球每个获利为20元，购进甲款篮球的数量为多少时，商店获利最大？ 22．（9分）（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝CD，E，F分别是AD，BC的中点，连接FE并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M，N． 求证：∠BME＝∠CNE；（提示：取BD的中点H，连接FH，HE作辅助线） （2）如图2，在△ABC中，F是BC边的中点，D是AC边上一点，E是AD的中点，直线FE交BA的延长线于点G，若AB＝DC＝2，∠FEC＝45°，求FE的长度． 23．（9分）【探究发现】 （1）如图1，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为BC的中点，E、F分别为边AC、AB上两点，若满足∠EDF＝90°，则AE、AF、AB之间满足的数量关系是 　 　． 【类比应用】 （2）如图2，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D为BC的中点，E、F分别为边AC、AB上两点，若满足∠EDF＝60°，试探究AE、AF、AB之间满足的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）在△ABC中，AB＝AC＝5，∠BAC＝120°，点D为BC的中点，E、F分别为直线AC、AB上两点，若满足CE＝1，∠EDF＝60°，请直接写出AF的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年八年级（下）期末数学模拟试卷（2） 【北师大版】 （考试时间：120分钟 试卷满分：100分） 1． 单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．如图四幅图是我国一些博物馆的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：A、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意； B、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：A． 2．若分式有意义，则该分式中的字母x满足的条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：由题意得：2x﹣1≠0， 解得：x≠， 故选：C． 3．多项式12a3b﹣8ab2c的公因式是（　　） A．4a2 B．4abc C．2a2 D．4ab 【答案】D 【解答】解：多项式12a3b﹣8ab2c的公因式是4ab， 故选：D． 4．若a＞b，则下列不等式不一定成立的是（　　） A．a+5＞b+5 B．3a＞3b C．1﹣5a＜1﹣5b D． 【答案】D 【解答】解：∵a＞b， ∴a+5＞b+5， ∴选项A不符合题意； ∵a＞b， ∴3a＞3b， ∴选项B不符合题意； ∵a＞b， ∴﹣5a＜﹣5b， ∴1﹣5a＜1﹣5b， ∴选项C不符合题意； ∵a＞b， ∴c＞0时，＞；c＝0时，、均无意义；c＜0时，＜， ∴选项D符合题意． 故选：D． 5．如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形（　　） A．OA＝OC，OB＝OD B．AB＝CD，AO＝CO C．AB＝CD，AD＝BC D．∠BAD＝∠BCD，AB∥CD 【答案】B 【解答】解：A、∵OA＝OC，OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意； B、由AB＝CD，AO＝CO不能判断四边形ABCD是平行四边形，故选项B符合题意； C、∵AB＝CD，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意； D、∵AB∥CD， ∴∠ABC+∠BCD＝180°， ∵∠BAD＝∠BCD， ∴∠ABC+∠BAD＝180°， ∴AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D不符合题意； 故选：B． 6．如图，△ABC中，AB＝9cm，AC＝5cm，点E是BC的中点，若AD平分∠BAC，CD⊥AD，线段DE的长为（　　） A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 【答案】B 【解答】解：如图，延长CD交AB于F， ∵AD平分∠BAC， ∴∠CAD＝∠FAD， ∵AD⊥CD， ∴∠ADC＝∠ADF＝90°， 在△ADF和△ADC中， ， ∴△ADF≌△ADC（ASA）， ∴AF＝AC＝5cm，CD＝FD， ∴BF＝AB﹣AF＝9﹣5＝4cm， ∵CD＝FD，点E为BC的中点， ∴DE是△BCF的中位线， ∴DE＝BF＝2cm， 故选：B． 7．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．若AE＝4，AF＝6，且▱ABCD的周长为40，则▱ABCD的面积为（　　） A．24 B．36 C．40 D．48 【答案】D 【解答】解：设BC＝x， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD＝BC， ∵▱ABCD的周长为40， ∴BC+CD＝20， ∴CD＝20﹣x， ∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F， ∵▱ABCD的面积＝BC•AE＝CD•AF， ∴4x＝6（20﹣x）， 解得：x＝12， ∴▱ABCD的面积＝BC•AE＝12×4＝48． 故选：D． 8．数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为x人，则可列方程（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：设第一次分钱的人数为x人，则第二次分钱的人数为（x+6）人， 依题意得：＝， 故选：A． 9．如图，已知AC﹣BC＝3，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，△BCE的周长是15，则AC的长为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线， ∴EA＝EB， ∵△BCE的周长是15， ∴EC+EB+BC＝EC+EA+BC＝AC+BC＝15， 则， 解得，AC＝9，BC＝6， 故选：D． 10．在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，2）关于原点对称的点的坐标是（　　） A．（1，﹣2） B．（﹣1，2） C．（﹣2，1） D．（﹣1，﹣2） 【答案】A 【解答】解：∵点A（﹣1，2）， ∴A点关于原点对称的点为（1，﹣2）， 故选：A． 11．运行程序如图所示，从“输入整数x”到“结果是否＞18”为一次程序操作，若输入整数x后程序操作仅进行了两次就停止，则x的最小值是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【解答】解：由题意得， 解不等式①得x≤8， 解不等式②得x＞． 则x的取值范围是＜x≤8， ∵x是整数， ∴x的最小值是5． 故选：B． 12．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH．连结EG，BD相交于点O、BD与HC相交于点P．若GO＝GP，则的值是（　　） A．1+ B．2+ C．5﹣ D． 【答案】B 【解答】解：∵四边形EFGH为正方形， ∴∠EGH＝45°，∠FGH＝90°， ∵OG＝GP， ∴∠GOP＝∠OPG＝67.5°， ∴∠PBG＝22.5°， ∵∠DBC＝45°， ∴∠GBC＝22.5°， ∴∠PBG＝∠GBC， ∵∠BGP＝∠BGC＝90°， 在△BPG和△BCG中， ， ∴△BPG≌△BCG（ASA）， ∴PG＝CG． 设OG＝PG＝CG＝x， ∵O为EG，BD的交点， ∴EG＝2x，FG＝x， ∵四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”， ∴BF＝CG＝x， ∴BG＝x+x， ∴BC2＝BG2+CG2＝x2（+1）2+x2＝（4+2）x2， ∴＝＝＝2+． 故选：B． 二．填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 13．因式分解：2m2﹣8＝　2（m+2）（m﹣2）　． 【答案】2（m+2）（m﹣2）． 【解答】解：2m2﹣8 ＝2（m2﹣4） ＝2（m+2）（m﹣2）， 故答案为：2（m+2）（m﹣2）． 14．“等边对等角”的逆命题是 　等角对等边　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：“等边对等角”的逆命题是等角对等边； 故答案为：等角对等边． 15．如图，为估计池塘岸边A，B两点间的距离，在池塘的一侧选取点O，分别取OA，OB的中点M，N，测得MN＝16m，则A，B两点间的距离是 　32　m． 【答案】32． 【解答】解：∵点M，N分别为OA，OB的中点， ∴MN是△OAB的中位线， ∴AB＝2MN＝32（m）， 故答案为：32． 16．如图，等边△ABC的边长为2，点O是△ABC的中心，∠FOG＝120°，绕点O旋转∠FOG，分别交线段AB，BC于D，E两点，连接DE，给出下列四个结论：①OD＝OE；②四边形ODBE的面积始终等于；③S△ODE＝S△BDE；④△BDE周长的最小值为3．其中正确的结论是 　①②④　（填序号）． 【答案】①②④． 【解答】解：连接OB、OC，如图， ∵△ABC为等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°， ∵点O是△ABC的中心， ∴OB＝OC，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB， ∴∠ABO＝∠OBC＝∠OCB＝30°， ∴∠BOC＝120°，即∠BOE+∠COE＝120°， 而∠DOE＝120°，即∠BOE+∠BOD＝120°， ∴∠BOD＝∠COE， 在△BOD和△COE中， ， ∴△BOD≌△COE（ASA）， ∴BD＝CE，OD＝OE，所以①正确； ∴S△BOD＝S△COE， ∴四边形ODBE的面积＝S△OBC＝S△ABC＝××22＝，所以②正确； 作OH⊥DE于H，如图，则DH＝EH， ∵∠DOE＝120°， ∴∠ODE＝∠OEH＝30°， ∴OH＝OE，HE＝OH＝OE， ∴DE＝OE， ∴S△ODE＝OE•OE＝OE2， 即S△ODE随OE的变化而变化， 而四边形ODBE的面积为定值， ∴S△ODE≠S△BDE；所以③错误； ∵BD＝CE， ∴△BDE的周长＝BD+BE+DE＝CE+BE+DE＝BC+DE＝2+DE＝2+OE， 当OE⊥BC时，OE最小，△BDE的周长最小，此时OE＝， ∴△BDE周长的最小值＝2+1＝3，所以④正确． 故答案为：①②④． 三．解答题（本题共7小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（5分）解方程：． 【答案】x＝4． 【解答】解：原方程两边都乘x（x+2），去分母得（x﹣2）（x+2）+3x＝x（x+2）， 去括号得：x2﹣4+3x＝x2+2x， 移项，合并同类项得：x＝4， 检验：当x＝4时，x（x+2）≠0， 故原方程的解为x＝4． 18．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8cm． （1）作AB的垂直平分线，交AC于点M，交AB于点N； （2）在（1）的条件下，连接MB，若△MBC的周长是14cm，求BC的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图所示： （2）∵MN是AB的垂直平分线， ∴AM＝BM， ∵△MBC的周长是14cm， ∴MB+MC+BC＝AM+CM+BC＝AC+BC＝14cm， ∵AC＝8cm， ∴BC＝6cm． 19．（7分）如图，点O是等边三角形ABC内的一点，∠BOC＝150°，将△BOC绕点C按顺时针旋转得到△ADC，连接OD，OA． （1）求∠ODC的度数； （2）若OB＝4，OC＝5，求AO的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由旋转的性质得，CD＝CO，∠ACD＝∠BCO， ∵∠ACB＝∠ACO+∠OCB＝60°， ∴∠DCO＝∠ACO+∠ACD＝∠ACO+∠OCB＝60°． ∴△OCD为等边三角形． ∴∠ODC＝60°． 答：∠ODC的度数为60°． （2）由旋转的性质得，AD＝OB＝4．∠ADC＝∠BOC＝150° ∵△OCD为等边三角形， ∴OD＝OC＝5． ∵∠BOC＝150°，∠ODC＝60°， ∴∠ADO＝90°． 在Rt△AOD中，由勾股定理得：AO＝＝＝． 答：AO的长为． 20．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在BC边上，且AD＝DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B． （1）求证：∠AFD＝∠ECD； （2）求证：△AFD≌△DCE； （3）若∠B＝60°，CD＝DF，BE＝2，求AE． 【答案】． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠B+∠ECD＝180°， ∵∠AFE＝∠B， ∴∠AFE+∠ECD＝180°， 又∵∠AFE+∠AFD＝180°， ∴∠AFD＝∠ECD； （2）证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠ADF＝∠DEC， 在△AFD和△DCE中， ， ∴△AFD≌△DCE（AAS）， （3）解：过点E作EH⊥AB于H，如下图所示： 由（2）可知：△AFD≌△DCE， ∴DF＝CE，AF＝CD， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴BC＝AD，AB＝CD， ∵AD＝DE， ∴BC＝DE， ∵DE＝DF+EF＝CE+EF，BC＝CE+BE， ∴BE＝EF， ∵AB＝CD，CD＝DF，AF＝CD，DF＝CE， ∴AB＝AF＝CD＝CE， 在△ABE和△AFE中， ， ∴△ABE≌△AFE（SSS）， ∴∠AEB＝∠AEF， ∴∠B＝60°， ∴∠C＝180°﹣∠B＝120°， ∵CD＝CE， ∴∠CED＝∠CDE＝（180°﹣∠C）＝30°， ∴∠BEF＝180°﹣∠CED＝150°， ∴∠AEB＝∠AEF＝∠BEF＝75°， ∵EH⊥AB，∠B＝60°， ∴∠BEH＝30°， ∴∠AEH＝∠AEB﹣∠BEH＝45°， ∴△AHE为等腰直角三角形，即HE＝HA， 在Rt△BEH中，∠∠BEH＝30°，BE＝2， ∴BH＝BE＝1， 由勾股定理得：HE＝＝， ∴HE＝HA＝， ∴AE＝＝． 21．（8分）某商店准备购进甲、乙两款篮球进行销售，若一个甲款篮球的进价比一个乙款篮球的进价多30元． （1）若商店用6000元购进甲款篮球的数量是用2400元购进乙款篮球的数量的2倍．求每个甲款篮球，每个乙款篮球的进价分别为多少元？ （2）若商店购进乙款篮球的数量比购进甲款篮球的数量的2倍少10个，且乙款篮球的数量不高于甲款篮球的数量；商店销售甲款篮球每个获利30元，商店销售乙款篮球每个获利为20元，购进甲款篮球的数量为多少时，商店获利最大？ 【答案】（1）每个甲款篮球的进价为150元，每个乙款篮球的进价为120元； （2）购进甲款篮球的数量为10个时，商店获利最大． 【解答】解：（1）设每个乙款篮球的进价为x元，则每个甲款篮球的进价为（x+30）元， 根据题意得：＝×2， 解得：x＝120， 经检验，x＝120是所列方程的解，且符合题意， ∴x+30＝120+30＝150， 答：每个甲款篮球的进价为150元，每个乙款篮球的进价为120元； （2）设该商店本次购进甲款篮球m个，则购进乙款篮球 （2m﹣10）个， 根据题意得：2m﹣10≤m， 解得：m≤10， 设商店共获利w元， 则w＝30m+20（2m﹣10）＝70m﹣200， 即w＝70m﹣200， ∵70＞0， ∴w随m的增大而增大， ∴当m＝10时，w取得最大值， 答：购进甲款篮球的数量为10个时，商店获利最大． 22．（9分）（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝CD，E，F分别是AD，BC的中点，连接FE并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M，N． 求证：∠BME＝∠CNE；（提示：取BD的中点H，连接FH，HE作辅助线） （2）如图2，在△ABC中，F是BC边的中点，D是AC边上一点，E是AD的中点，直线FE交BA的延长线于点G，若AB＝DC＝2，∠FEC＝45°，求FE的长度． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：连接BD，取DB的中点H，连接EH，FH， ∵E，H分别是AD，BD的中点， ∴EH∥AB，EH＝AB， ∴∠BME＝∠HEF， ∵F，H分别是BC，BD的中点， ∴FH∥CD，FH＝CD， ∴∠CNE＝∠HFE， ∵AB＝CD ∴HE＝FH， ∴∠HEF＝∠HFE ∴∠BME＝∠CNE； （2）解：连接BD，取DB的中点H，连接EH，FH， ∵E，F分别是AD，BC的中点， ∴EH＝AB，FH＝CD，FH∥AC， ∴∠HFE＝∠FEC＝45°， ∵AB＝CD＝2， ∴HF＝HE＝1， ∴∠HEF＝∠HFE＝45°， ∴∠EHF＝180°﹣∠HFE﹣HEF＝90°， ∴． 23．（9分）【探究发现】 （1）如图1，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为BC的中点，E、F分别为边AC、AB上两点，若满足∠EDF＝90°，则AE、AF、AB之间满足的数量关系是 　 　． 【类比应用】 （2）如图2，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D为BC的中点，E、F分别为边AC、AB上两点，若满足∠EDF＝60°，试探究AE、AF、AB之间满足的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）在△ABC中，AB＝AC＝5，∠BAC＝120°，点D为BC的中点，E、F分别为直线AC、AB上两点，若满足CE＝1，∠EDF＝60°，请直接写出AF的长． 【答案】（1）AB＝AF+AE； （2）AE+AF＝AB； （3）AF的长为或． 【解答】解：（1）如图1，∵AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴∠B＝∠C＝45°， ∵D为BC中点， ∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝45°，AD＝BD＝CD， ∴∠ADB＝∠ADF+∠BDF＝90°， ∵∠EDF＝∠ADE+∠ADF＝90°， ∴∠BDF＝∠ADE， ∵BD＝AD，∠B＝∠CAD＝45°， ∴△BDF≌△ADE （ ASA）， ∴BF＝AE， ∴AB＝AF+BF＝AF+AE； 故答案为：AB＝AF+AE； （2）AE+AF＝AB．理由是： 取AB中点G，连接DG， ∵点G是△ADB斜边中点， ∴DG＝AG＝BG＝AB， ∵AB＝AC，∠BAC＝120°，点D为BC的中点， ∴∠BAD＝∠CAD＝60°， ∴∠GDA＝∠BAD＝60°，即∠GDF+∠FDA＝60°， 又∵∠FAD+∠ADE＝∠FDE＝60°， ∴∠GDF＝∠ADE， ∵DG＝AG，∠BAD＝60°， ∴△ADG为等边三角形， ∴∠AGD＝∠CAD＝60°，GD＝AD， ∴△GDF≌△ADE （ASA）， ∴GF＝AE， ∴AG＝AB＝AF+FG＝AE+AF， ∴AE+AF＝AB； （3）当点E在线段AC上时， 如图3，取AC的中点H，连接DH， 当AB＝AC＝5，CE＝1，∠EDF＝60°时， AE＝4，此时F在BA的延长线上， 同（2）可得：△ADF≌△HDE （ASA）， ∴AF＝HE， ∵AH＝CH＝AC＝，CE＝1， ∴AF＝HE＝CH﹣CE＝﹣1＝， 当点E在AC延长线上时，如图4， 同理可得：AF＝HE＝CH+CE＝+1＝； 综上：AF的长为或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$