精品解析：2024年湖北省武汉市蔡甸区等3地中考三模数学试题

2023～2024学年度武汉市部分学校五月调研测试 数学试题 亲爱的同学，在你答题前，请认真阅读下面的注意事项： 1．本试卷由第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分组成．全卷共6页，七大题，满分120分．考试用时120分钟． 2．答题前，请将你的姓名、准考证号填写在“答题卡”相应位置，并在“答题卡”背面左上角填写姓名和座位号． 3．答第Ⅰ卷（选择题）时，选出每小题答案后，用2B铅笔把“答题卡”，上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答在“试卷”上无效． 4．答第Ⅱ卷（非选择题）时，答案用0.5毫米黑色笔迹签字笔书写在答题卡上．答在“试卷”上无效． 5．认真阅读答题卡上的注意事项． 预祝你取得优异成绩！ （时间：120分钟，总分：120分） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 5的相反数是（ ） A. B. 5 C. D. 2. 当前随着新一轮科技革命和产业变革孕育兴起，新能源汽车产业正进入加速发展的新阶段．如图图案是我国的一些国产新能源车企的车标，图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 投掷一枚普通的正方体骰子，下列事件中，确定事件是（ ） A. 掷得的点数是2 B. 掷得的点数是奇数 C. 掷得的点数小于7 D. 掷得的点数是大于3 4. 《清朝野史大观·清代述异》称：“中国讲求烹茶，以闽之汀、漳、泉三府，粵之潮州府功夫茶为最．”如图是喝功夫茶的一个茶杯，关于该茶杯的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三视图都相同 5. 下列运算正确的是（ ） A B. C. D. 6. 如图是某款婴儿手推车平面示意图，若，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》都是中国古代数学著作，是中国古代数学文化的瑰宝.小华要从这四部著作中随机抽取两木学习，则抽取的两本恰好是《周髀算经》和《九章算术》的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 圆圆想把一些相同规格的塑料杯，尽可能多地放入高的柜子里（如图1）．她把杯子按如图这样整齐地叠放成一摞（如图2），但她不知道一摞最多能叠几个可以一次性放进柜子里．圆圆测量后发现，按这样叠放，这摞杯子的总高度随着杯子数量的变化而变化，记录的数据如下表所示： 杯子的数量（只） 1 2 3 4 5 6 … 总高度 10 11.4 12.8 14.2 15.6 17 … 请帮圆圆算一算，一次性放进高的柜子里，一摞最多能叠的杯子个数是（ ） A. 21 B. 22 C. 23 D. 24 9. 蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关．如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”．画法如下：在水平直线上取长度为1的线段，作一个等边三角形，然后以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点（第一段圆弧），再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点，再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧…以此类推，当得到的“蚊香”恰好有12段圆弧时，“蚊香”的长度为（ ） A. B. C. D. 10. 已知抛物线的图像与轴有两个不同的交点，，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 或 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 2024年“五一”假期首日，游客出游热情高涨，景区景点人气旺盛．据湖北省文旅厅数据显示，湖北省A级旅游景区共接待游客249.8万人次．将数据249.8万用科学记数法表示为________． 12. 写出一个图象位于第二、第四象限的反比例函数的解析式________． 13. 计算的结果是________． 14. 如图，在远离铁塔的处，用测角仪测得塔顶的仰角为，已知测角仪高，那么塔高________m（结果保留根号）； 15. 如图，在平面直角坐标系中，点、在第一象限内且点，点点，，点到射线的最小值是________． 16. 抛物线（、、是常数）的顶点在第一象限，且．下列四个结论： ①；②；③若，则当时，随的增大而减小； ④若抛物线的顶点为，则方程无实数根．其中正确的结论是________．（填写序号）． 三、解答题（共8小题，共72分） 17. 解不等式组： 并写出它的所有整数解． 18. 如图，、是平行四边形的对角线上两点，． （1）求证：； （2）连接，和，请添加一个条件： 使得四边形为矩形． 19. 某学校七年级体育测试已经结束，现从七年级随机抽取部分学生体育测试成绩进行统计分析（成绩得分用表示，共分成4个等级，A：为优秀，B：为良好，C：为合格，D：为不合格），绘制了如下所示的统计图，请根据统计图信息解答下列问题： （1）请补全条形统计图；本次共调查了 名学生； （2）在扇形统计图中， ，本次调查学生体育成绩中位数位于等级 ； （3）若该校共有900名七年级学生，请估计本次体育成绩为合格及以上的学生人数． 20. 如图，为的直径，与相交于点，过点的切线，垂足为点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 21. 如图，在由小正方形组成的的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，图中、、为格点，仅用无刻度直尺按要求作图： （1）在图1中，将线段绕某一点旋转得到线段（其中点和点对应），画出线段；延长交于点，在上找点，使得的值最小； （2）在图2中，找点，使得；找一格点使得（找出一个即可）． 22. 一块土地上有一个蔬菜大棚（如图1），其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在墙体上，另一端固定在墙体上（墙体足够高），其横截面有2根支架，，相关数据如图2所示，其中，． （1）在图2中以点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，则点坐标为 ， 点坐标为 ，抛物线的函数表达式为 ； （2）已知大棚有300根长为的支架和300根长为的支架，为增加棚内空间，拟将图2中棚顶向上调整，支架总数不变，对应支架的长度变化如图3所示，调整后与上升相同的高度，增加的支架单价为20元/米（接口忽略不计），现有改造经费30000元． ①当米，只考虑经费情况下，请通过计算说明能否完成改造； ②只考虑经费情况下，直接写出的最大值 ． 23. 如图1，在菱形中，，，点为边上的动点． （1）为边上一点，连接，将沿进行翻折，点恰好落在边的中点处， ①求长； ② ． （2）如图2，延长到，使，连接与，与交于点，连接，设，，求关于的函数表达式． 24. 已知抛物线与轴交于点、（在的左侧），与轴交于点． （1）若，，． ①直接写出抛物线解析式： ； ②若点与点关于轴对称，在直线上是否存在点使与相似，若存在，求出点的坐标； （2）如图2，点和点在抛物线上，其中在点左侧抛物线上，点在轴右侧抛物线上，直线交轴于点，直线交轴于点，设直线解析式为，当，试证明为一个定值，并求出定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023～2024学年度武汉市部分学校五月调研测试 数学试题 亲爱的同学，在你答题前，请认真阅读下面的注意事项： 1．本试卷由第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分组成．全卷共6页，七大题，满分120分．考试用时120分钟． 2．答题前，请将你的姓名、准考证号填写在“答题卡”相应位置，并在“答题卡”背面左上角填写姓名和座位号． 3．答第Ⅰ卷（选择题）时，选出每小题答案后，用2B铅笔把“答题卡”，上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答在“试卷”上无效． 4．答第Ⅱ卷（非选择题）时，答案用0.5毫米黑色笔迹签字笔书写在答题卡上．答在“试卷”上无效． 5．认真阅读答题卡上的注意事项． 预祝你取得优异成绩！ （时间：120分钟，总分：120分） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 5的相反数是（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相反数．相反数的定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，据此判断即可得结果． 【详解】解：5的相反数是， 故选：C． 2. 当前随着新一轮科技革命和产业变革孕育兴起，新能源汽车产业正进入加速发展的新阶段．如图图案是我国的一些国产新能源车企的车标，图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】A、该图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； B、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、该图形既是中心对称图形又是轴对称图形，符合题意． 故选：D． 3. 投掷一枚普通的正方体骰子，下列事件中，确定事件是（ ） A. 掷得的点数是2 B. 掷得的点数是奇数 C. 掷得的点数小于7 D. 掷得的点数是大于3 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查的是确定事件、随机事件的概念，根据“确定事件指在一定条件下，一定发生的事件”，即可求解． 【详解】解：A、掷得的点数是2是随机事件，故本选项不符合题意； B、掷得的点数是奇数是随机事件，故本选项不符合题意； C、掷得的点数小于7是确定事件，故本选项符合题意； D、掷得的点数是大于3是随机事件，故本选项不符合题意； 故选：C 4. 《清朝野史大观·清代述异》称：“中国讲求烹茶，以闽之汀、漳、泉三府，粵之潮州府功夫茶为最．”如图是喝功夫茶的一个茶杯，关于该茶杯的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三视图都相同 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了简单几何体的三视图，掌握三视图的概念是解题关键． 【详解】解：这个茶杯的主视图与左视图相同，俯视图与主视图和左视图不相同． 故选：A． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据同底数幂相乘，幂的乘方，积的乘方，分式的化简，逐项判断即可求解． 详解】解：A、，故本选项正确，符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项错误，不符合题意； 故选：A 【点睛】本题主要考查了同底数幂相乘，幂的乘方，积的乘方，分式的化简，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 6. 如图是某款婴儿手推车的平面示意图，若，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质以及三角形的外角性质以及邻补角的定义，先由平行线的性质得出，结合邻补角的定义得出，运用三角形的外角性质进行列式计算，即可作答． 【详解】解：如图： ∵，， ∴， ∵， ∴， 则， 故选：D． 7. 《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》都是中国古代数学著作，是中国古代数学文化的瑰宝.小华要从这四部著作中随机抽取两木学习，则抽取的两本恰好是《周髀算经》和《九章算术》的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了用列表法或树状图法求概率．本题需要两步完成，所以可采用树状图法或者采用列表法求解． 【详解】解：将四部名著《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》分别记为，，，， 用列表法列举出从4部名著中选择2部所能产生的全部结果： 由表中可以看出，所有可能的结果有12种，并且这12种结果出现的可能性相等， 所有可能的结果中，满足事件的结果有2种，即，， 所以恰好选中《周髀算经》和《九章算术》的概率是＝， 故选：B． 8. 圆圆想把一些相同规格的塑料杯，尽可能多地放入高的柜子里（如图1）．她把杯子按如图这样整齐地叠放成一摞（如图2），但她不知道一摞最多能叠几个可以一次性放进柜子里．圆圆测量后发现，按这样叠放，这摞杯子的总高度随着杯子数量的变化而变化，记录的数据如下表所示： 杯子的数量（只） 1 2 3 4 5 6 … 总高度 10 11.4 12.8 14.2 15.6 17 … 请帮圆圆算一算，一次性放进高的柜子里，一摞最多能叠的杯子个数是（ ） A. 21 B. 22 C. 23 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查函数关系式，一元一次不等式，解决本题的关键是从题表中梳理出总高度与纸杯之间的数量关系．根据表格可知，每增加一个杯子高度增加1.4，得到，根据纸杯总高度列关于的一元一次不等式求解． 【详解】解：由表格可得，每增加一个杯子，总高度增加， 则总高度． 则， 解得，， 则的最大值为22， 故选：B． 9. 蚊香具有悠久历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关．如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”．画法如下：在水平直线上取长度为1的线段，作一个等边三角形，然后以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点（第一段圆弧），再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点，再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧…以此类推，当得到的“蚊香”恰好有12段圆弧时，“蚊香”的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质和弧长的计算公式，掌握以上知识点是解题的关键．由题意可知，每段圆弧的中心角都是，每段圆弧的半径依次增加1，然后根据弧长的公式计算即可． 【详解】三角形是等边三角形，边长为1 ， 第一段圆弧圆心角：， 第二段圆弧圆心角：， 以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点（第一段圆弧）， 以此类推，可以知道每段圆弧的中心角都是，每段圆弧的半径依次增加1， 所以蚊香的长度为， 故选：B． 10. 已知抛物线的图像与轴有两个不同的交点，，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】先由判别式得出的取值范围，再根据一元二次方程根与系数关系得到，代入解方程即可求解． 【详解】解：已知抛物线的图像与轴有两个不同的交点，， ，即与同号，则： 当时，，解得，则解集为； 当时，，解得，则解集为； 综上所述，的解集为或， 已知抛物线的图像与轴有两个不同的交点，，则当时，， ， ，， ， ，即，解得，， 或， 舍去，取， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数与轴的交点，涉及交点格式个数与判别式的关系、一元二次方程根与系数关系等知识，理解函数与方程的关系是解题的关键． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 2024年“五一”假期首日，游客出游热情高涨，景区景点人气旺盛．据湖北省文旅厅数据显示，湖北省A级旅游景区共接待游客249.8万人次．将数据249.8万用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可得出答案．本题考查科学记数法表示较大的数，科学记数法是基础且重要知识点，必须熟练掌握． 【详解】解：依题意，将数据249.8万用科学记数法表示为， 故答案为：． 12. 写出一个图象位于第二、第四象限的反比例函数的解析式________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据反比例函数在二、四象限的特征得出k＜0即可． 【详解】解：位于二、四象限的反比例函数比例系数k＜0，据此写出一个函数解析式即可，如（答案不唯一）． 【点睛】本题考查反比例函数的特征，掌握反比例函数的特征，反比例函数在一三象限，k＞0，反比例函数在二四象限，k＜0． 13. 计算的结果是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了异分母分式的加法运算，先通分得出，再结合加法性质：分母不变，分子直接想加减，即可作答． 【详解】解： ， 故答案为：． 14. 如图，在远离铁塔的处，用测角仪测得塔顶的仰角为，已知测角仪高，那么塔高________m（结果保留根号）； 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 过点作，为垂足，再由锐角三角函数的定义求出的长，由即可得出结论． 【详解】解：过点作，为垂足，如图所示： 在中， ， ， ． 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点、在第一象限内且点，点点，，点到射线的最小值是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，坐标与图形性质，一次函数，等腰直角三角形的判定与性质，设直线交y轴于点E，过点C作，过点B作于点M，交于点N，过点B作于点F，交y轴于点G，求出直线的解析式，得，然后根据勾股定理可得，证明，根据已知条件证明和都是等腰直角三角形，进而可以解决问题． 【详解】解：如图，设直线交y轴于点E，过点C作，过点B作于点M，交于点N，过点B作于点F，交y轴于点G， 设直线的解析式为， ∵点，点， ∴， 解得，， 直线的解析式为， 当时， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴和都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴点B到射线的最小值是． 故答案为：． 16. 抛物线（、、是常数）的顶点在第一象限，且．下列四个结论： ①；②；③若，则当时，随的增大而减小； ④若抛物线的顶点为，则方程无实数根．其中正确的结论是________．（填写序号）． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质及图像，熟记二次函数的对称轴，最值，增减性是解题关键．由可知抛物线经过点的下方，由顶点在第一象限可得，即开口方向向下，即可判断①；由，得到，根据可判断②；由，可得，推出可判断③；根据，，结合得到，方程，即结合图象可知无交点，可判断④． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴抛物线经过点的下方， ∵抛物线的顶点在第一象限， ∴抛物线在对称轴左侧y随x的增大而减小， ， ∵， ∴，故①成立； ②∵ ∴ ∴故②正确 ③∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴，故③错误 ④顶点为 ∴，， ∴， ∵ ∴ ∴，即 方程，即结合图象可知无交点，④正确， 综上，正确的结论是①②④， 故答案为：①②④． 三、解答题（共8小题，共72分） 17. 解不等式组： 并写出它的所有整数解． 【答案】；1，2，3 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分.不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解．先分别解不等式①和②，求出它们的解集，再求出它们解集的公共部分，然后找出其中的整数即可． 【详解】解：， ∵解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的整数解为1，2，3． 18. 如图，、是平行四边形的对角线上两点，． （1）求证：； （2）连接，和，请添加一个条件： 使得四边形为矩形． 【答案】（1）见解析 （2）（答案不唯一） 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质、矩形的判定、全等三角形的判定等知识，证明是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得到条件，证明即可； （2）添加条件．证明四边形为平行四边形，再根据即可证明四边形为矩形． 【小问1详解】 证明： ∵在平行四边形中，，， ∴， 又∵， ∴； 【小问2详解】 添加条件．证明如下： 如图， ∵ ∴， ∴ ∴四边形为平行四边形， ∵ ∴四边形为矩形． 故答案为：（答案不唯一） 19. 某学校七年级体育测试已经结束，现从七年级随机抽取部分学生的体育测试成绩进行统计分析（成绩得分用表示，共分成4个等级，A：为优秀，B：为良好，C：为合格，D：为不合格），绘制了如下所示的统计图，请根据统计图信息解答下列问题： （1）请补全条形统计图；本次共调查了 名学生； （2）在扇形统计图中， ，本次调查的学生体育成绩中位数位于等级 ； （3）若该校共有900名七年级学生，请估计本次体育成绩为合格及以上的学生人数． 【答案】（1）50；补全图形见解析 （2）， （3）估计体育期末成绩为合格及以上的学生约有792名 【解析】 【分析】（1）由等级人数及其所占百分比可得总人数，再求出等级人数即可补全图形； （2）等级人数除以总人数可得的值，再根据中位数的定义求解即可； （3）总人数乘以样本中、、等级人数和所占比例即可． 本题考查了条形统计图和扇形统计图的综合应用，用样本估计总体，能够从不同的统计图中获取有用信息是解题的关键． 【小问1详解】 解：本次调查的总人数为（名， 则等级人数为（名， 补全图形如下： 【小问2详解】 解：在扇形统计图中，，即， 本次调查的学生体育成绩中位数是第25、26个数据的平均数， ∵ 而这两个数据均落在等级， 所以本次调查的学生体育成绩中位数落在等级， 故答案为：40，； 【小问3详解】 解：（名， 答：估计体育期末成绩为合格及以上的学生约有792名． 20. 如图，为的直径，与相交于点，过点的切线，垂足为点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】（）连接，由切线的性质，等腰三角形的性质即可求证； （）连接，由勾股定理求出的长，证明，得出，即可求解； 本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定，相似三角形的判定与性质，和勾股定理，熟练掌握以上知识的应用是解题的关键． 【详解】（1）证明：连接， ∵是⊙O的切线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）连接， ∵为直径， ∴，即， ∴在中，由勾股定理得， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴． 21. 如图，在由小正方形组成的的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，图中、、为格点，仅用无刻度直尺按要求作图： （1）在图1中，将线段绕某一点旋转得到线段（其中点和点对应），画出线段；延长交于点，在上找点，使得的值最小； （2）在图2中，找点，使得；找一格点使得（找出一个即可）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了作图−旋转变换，圆内接四边形的性质等知识， （1）利用旋转变换的性质作出线段，作出A和关于对称点，连交于点F，即可得解； （2）作出与的垂直平分线，两线交于一点G即可得解，作出外接圆，利用圆内接四边形对角互补即可得解； 解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【小问1详解】 如图， ∵将线段绕某一点旋转得到线段（其中点B和点C对应）， ∴可得旋转中心为Q， ∴A点的对应点就为如图的D点位置，连，即为所求， 由图知A和关于对称，连交于点F， ∴， ∴,由两点之间线段最短知，此时最短， ∴F点即为所求的点； 【小问2详解】 如图分别作出与的垂直平分线，两线交于一点G， ∵垂直平分线的点到线段两端点的距离相等， ∴G点到A,B,C三点的距离相等， 即G点即为所求的点， 由上图知，G点为的外接圆圆心，作出外接圆，利用圆内接四边形对角互补，可找出点M，如图所示， ∴点M即为所求作的点． 22. 一块土地上有一个蔬菜大棚（如图1），其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在墙体上，另一端固定在墙体上（墙体足够高），其横截面有2根支架，，相关数据如图2所示，其中，． （1）在图2中以点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，则点坐标为 ， 点坐标为 ，抛物线的函数表达式为 ； （2）已知大棚有300根长为的支架和300根长为的支架，为增加棚内空间，拟将图2中棚顶向上调整，支架总数不变，对应支架的长度变化如图3所示，调整后与上升相同的高度，增加的支架单价为20元/米（接口忽略不计），现有改造经费30000元． ①当米，只考虑经费情况下，请通过计算说明能否完成改造； ②只考虑经费情况下，直接写出的最大值 ． 【答案】（1），， （2）①能完成改造，理由见解析；②3米 【解析】 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，利用二次函数的性质求对称轴，方案选择问题，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法得到函数的解析式； （2）①根据已知条件得到函数的解析式，再利用函数解析式得到、的坐标即可得到结论； ②根据已知条件表示出、的坐标得到的不等式，进而得到的最大值． 【小问1详解】 解：如图，以O为原点，建立如图所示的坐标系， ，，， 设抛物线解析式为， ， 解得， ∴抛物线函数表达式为； 【小问2详解】 解：①如图，建立与（1）相同的坐标系， ∵， ∴， ∵改造后对称轴不变，，， 设改造后抛物线解析式为， 将代入解析式得， ∴， ∴， 又， ∴， ∵， ∴共需改造费：， ∴能完成改造； （2）②的值最大为3米． 对于抛物线， 当时，； ∴， 设改造后抛物线解析式为， 则为，为， ∴， ， ∴， ∴， 解得：， ∵，且， ∴随的增大而减小， ∴当时，的最大值为米． 故答案为：米． 23. 如图1，在菱形中，，，点为边上的动点． （1）为边上一点，连接，将沿进行翻折，点恰好落在边的中点处， ①求的长； ② ． （2）如图2，延长到，使，连接与，与交于点，连接，设，，求关于的函数表达式． 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识，作出合适的辅助线是解题的关键． （1）① 连接，，可证为等边三角形，，，设，则，在中利用勾股定理即可求解； ② 过点作，交的延长线于点，设，则，，在中利用勾股定理求出，即可求解； （2）延长交于点，过点作交延长线于，证明，，可得到， ，，进而得到，在中利用勾股定理可求，由此可求出关于的函数表达式． 【小问1详解】 ①连接，，如图， ∵四边形是菱形， ∴． ∵， 为等边三角形， ∵， ∴，， ∴． ∵， ∴． 根据翻折特征可得：． 设，则，在中，， ∴． ∴ ∴． ∴． ② 过点作，交延长线于点，如图， ∵， ∴， ∴ ∴，． 设，则，， 在中，． ∴ ，即 ， 解得． ∴ 【小问2详解】 延长交于点，过点作交延长线于 ∵， ， ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 在中， ∵，，， ∴，． ∴， ∴， ∵，，， ∴ ∴． 24. 已知抛物线与轴交于点、（在的左侧），与轴交于点． （1）若，，． ①直接写出抛物线解析式： ； ②若点与点关于轴对称，在直线上是否存在点使与相似，若存在，求出点的坐标； （2）如图2，点和点在抛物线上，其中在点左侧抛物线上，点在轴右侧抛物线上，直线交轴于点，直线交轴于点，设直线解析式为，当，试证明为一个定值，并求出定值． 【答案】（1）①；②存在，或 （2）为定值1，证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，运用待定系数法求函数解析式，以及相似三角形的判定与性质等知识： （1）①运用待定系数法求解即可； ②分和两种情况讨论求解即可； （2）设直线的解析式为，直线的解析式为，则，，由得，联立方程组，由根与系数和关系可得出结论 【小问1详解】 解：①将，，代入得： 解得 故抛物线解析式为， 故答案为：； ②过作轴 ∵点与点关于轴对称 ∴，，， 当时， ∴ ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ 当时， ∴ ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ 故或； 【小问2详解】 解：∵抛物线解析式为 当时， ∴ 设直线的解析式为，直线的解析式为 ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ （即 即点是的中点） ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ，， ∴ ∴ 又∵直线经过抛物线上两点、 ∴ ∴的两个根为和 ∴ ∴而 ∴ ∴ ∴为定值1． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$