江苏省泰兴中学、泰州中学2023-2024学年高一下学期5月联合质量检测数学试卷

2023~2024学年春学期泰兴中学、泰州中学联合质量检测 数学学科试卷 命题人：王越审题人：顾建军刘鸿康 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题 目要求的。 1.c0s22°sin52-cos68°sin38°=( A2 B.- c. 2 2 2 2如图，等腰梯形B'CD是水平放置的一个平面图形的直观图，其中A'B=4,CD=2,则原图 形ABCD的面积是() B A.6 B.65 C.32 D.12√2 3.若复数名，=V3+i,,=cos0+isin0(8eR),则3-z的最大值为() A.1 B.2 C.9 D.3 4设m,n是两条不同的直线，：，B是两个不同的平面，则() A.若m⊥n,m/a,则n⊥a B.若ml∥a,m/∥n,则nHa C.若m⊥a,m川B,，则⊥B D.若a⊥B,m⊥a,则m/1B 5.已知cos 0+ =3cos -0 则sin20=() 4 3 c.-3 4 A D.- 6.窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间 艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图 中抽象出的几何图形的示意图.如图2，若正八边形ABCD EFDH的边长为2，P是正八边形ABCDEFGH八条边上的 图 图2 动点，则P,AB的最大值为( A.√2 B.4+2√2 C.2+2 D.25 7,已知a4BC为锐角三角形，B=又，则 的取值范围为() 6 C 3 B.(N3,2) 8棱长为2的正方体ABCD-A,B,CD,中，M,N分别为BD,CB的中点，点P在正方体 ABCD-A,B,CD的表面上运动，若MP⊥CV,则AP的最大值为() A.2 A.③ V41 C.3 D. 2 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对 的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知复数31,22是关于x的方程x2+bx+1=0(-2<b<2,b∈R)的两根，则() A.3=22 B. 22 C.332=1 D.若b=1,则=z=1 10.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、C.若b=√7，c=2, N5si如+cos么=2c0sC,则下列说法正确的有（) A 3 1 AA+3C=π B.cosB=- 97 D.a=2 8 C.Subc 16 11.如图，正方体ABCD-AB,CD的棱长为2，E是棱DD的中点，F是侧面CDD,C上的动点， 且满足B,F∥平面ABE,则下列结论中正确的是() A D A.直线4B与EF所成角的范围是受，] 42 B.存在点F,使得B,F⊥CD C.平面A,BE截正方体ABCD-A,B,CD所得藏面面积为9 D D.平面A4BE与平面4B,CD所成锐二面角的大小是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知复数z满足z(1-2)=3+2i(i为虚数单位)，则z= 13如图，已知平行四边形ABCD的对角线相交于点O,过点O的直线 与AB,AD所在直线分别交于点M,N,满足AB=mAM, 1 AN=nAD,(m>0,n>0),若mn=亏，则m+n的值为 14.△4BC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,己知c2=2b2-2a2,则tan(B-)的 最大值为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.已知平面向量ā=1，-3)，b=(4,-4) (1)求2a-的值： (2)若向量à+5与2石-万夹角为好，求实数的值。 3π 16.如图，四棱锥P-ABCD的底面为梯形，BC∥AD,AD=2BC,点E在棱PD上， 且PD=3PE. (1)证明：PB∥平面ACE: (2)设平面BCE与棱PA交于点F,证明：AF=2PF, 17.如图，在三棱柱ABC-AB,C中，AC=BB,=2BC=2,∠CBB=2∠CAB= 3 且平面ABC⊥平面B,CCB (1)证明：AB⊥平面B,CCB: (2)证明：平面ABC⊥平面AB,C: (3)设点P为棱BC的中点，求直线AP与平面AB,C所成角的正切值 3 18某学校有一四边形地块，为了提高校园土地的利用率，现把其中的一部分作为学校生物综合实 践基地.如图所示，AB=BC=AC=2km,M是BC中点，E,F分别在边AB、AC上，△CMF 拟作为花草种植区，四边形AEMF拟作为景观欣赏区，△BME拟作为谷物蔬菜区，ME和MF拟 建造快速通道，∠EMF=60°，记∠CMF=B.(快速通道的宽度忽略不计) (1)若0=60°，求景观欣赏区所在四边形AEMF的面积： (2)当0取何值时，可使快速通道E-M-F的路程最短？曼短路程是多少？ B E D 19.设f(z)是一个关于复数z的表达式，若f(x+川)=x+师（其中x,y,x,片∈Ri为虚数单 位)，就称f将点P(x,)r对应到点Q(,).例如∫()=将点(0,1)y对应”到点(0，-) (1)若f(2)=z+1(z∈C)点R,1)f对应"到点Q,点B对应到点2(1,1)，求点Q、B的坐标： (2)设常数k,teR,若直线：y=x+t,f(z)=z2(zeC),是否存在一个有序实数对(k,), 使得直线1上的任意一点P(x,y)“对应到点Q(名，)后，点Q仍在直线1上？若存在，试求出所有 的有序实数对(k,):若不存在，请说明理由： (3)设常数a,beR,集合D={zzeC且Rez>O}(Rez是指复数的实部)和A={o@eC且 @<,若f()=+也满足：①对于集合D中的任意一个元素2，都有f白)4：②对于集合A z+1 中的任意一个元素⊙，都存在集合D中的元素：使得0=f(z).请写出满足条件的一个有序实数 对(a,b),并论证此时的f(z)满足条件。 2023~2024学年春学期泰兴中学、泰州中学联合质量检测 数学学科试卷参考答案与评分建议 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目 要求的。 2 3 4 5 6 7 P A B D C D B B 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求。全部选对的 得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.ACD 10.ABC 11.ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. V65 13. 1 5 14. 6 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.【解】(1)因为2ā=2(1，-3)=(2，-6)，b=(4,-4), 所以2a-b=(2,-6-(4,4)=(-2,-2),3分 故2ā-6=(-2》2+(-2分=22 .5分 2)因为a+6=(1,-3)+(4,4)=(0+4,-3-4),且2ā-6=(-2-2)， 所以(2ā+b)(2-b)=(-2)×(7+4)+(-2)×(-31-4)=4入，….8分 于是有42=2W2×V(1+4)2+(-32-4)2×c0s 4 即V102+321+32=-21 …10分 则32+16+16=0，其中1<0， 4 解得1=-4或1= 44,13分 16.【证明】(1)连接BD,交AC于点O,连接EO RO RC 1 齿为ADHB(,且AD=2BC,期 DO AD 2 又PD=3PE,则PE=1.B0 DE 2 DO 所以PB∥EO 3分 义PB立平面ACE,EOC平面ACE, 所以PB∥平面ACE7分 P =D 0 B C (2)因为AD∥BC,ADC平面BCEF,BCC平面BCEF, 所以AD∥平面BCEF, …10分 又ADC平面PAD,平面PAD∩平面BCEF=EF, 所以EF∥AD, 14分 则有PT=PE=1即AF=2PF,…15分 PA PD 3 17.(I)【证明】在△4BC中，由AC=2BC=2,∠CAB= 6 则12=AB2+4-2AB×2×C0s30°， ÷AB2-25AB+3=0,得到AB=V5. AB2+BC2=AC2,AB⊥BC, 2分 又平面ABC⊥平面B,CCB,平面ABC∩平面B,C,CB=BC,ABC平面ABC, 所以AB⊥平面B,CCB, 5分 2)【E明1连接BC与4C,在ABBC中，由8服=2BC=2,∠C88-号 则B.C=√BC2+BB,2-2BC·BB,cos60= 2+2-4×}=5, BC+BC4=BBBC⊥B,C, .6分 在棱柱BC-A,B,C,中，AB∥AB,由(I)知AB⊥BC, ∴.BC⊥AB,又BC⊥B,C,AB⌒BC=B,AB,B,CC平面AB,C BC1平面A,B,C,8分 又BCC平面ABC,.平面ABC⊥平面A,B,C,10分 A (3)【解】由(2)知BC⊥平面A,B,C∴.AP在平面AB,C内射影为AC ∴∠PAC为直线AP与平面AB,C所成角. 12分 由(1)知AB⊥平面BCCB,BCC面B,CCB,AB⊥BC, 又AB/IABA,B⊥BC. 在RA4BC中，4B=5,B,C=5,则AC=VAB2+B,C=6, 在RA4FC中，AC=V6,PC=BC=1 2 1 anP4c=PC2 .14分 AC612 所以直线4P与平面ABC所成角的正切值为Y6 15分 12 18.【解】(1)日=60°时，ME∥AC,此时ME为△ABC中位线， aw=5as+5w-分kIxIxsin60°+X1xx血60=g 2 3分 2 3 a在：8E中，∠BME=-号-0=号-0,2BEM=-背5-0小-0， 3 3 BM=1,由正弦定理得 ME 1 ，ME= 3 sin sin- 2sin0 3 在aCMF中，∠MFC 2-8∠wcF=号Mc=1, 3 由正弦定理得， MF 1 ,∴MF= 5 π …7分 sin 3 2sin ∴.ME+MF= 5 5 sin+sin 2sin0 2sin 2π -0 2 3 sinsin 2- 2咖04 -cos0 3sing 6 23 sin8cos9+÷sin20 2 3 2 2 sin20+÷(1-cos28) 3sin0+ 6 3sin0+元 6 sin20-π1 +322 3sin9+ 3sin0+ 6 6 2-cos 2 0+ 6 3sin+π 6 2sin2(0+-1 ,其中<0< 6 11分 62 则ME+MF= 3t 3 2了 2- 1 13分 2t y=2t在 1 2 单调递增，y= 一在 2 单调递减， 2 y=21 2 2 1 单调递增， 六当1=1，即0+g=元，0=时， 62 3 (ME+MF)= 3 -=2 ,…15分 2 2 时，可使快速通道E-M-F路程最短，最短距离为2km 19【解】(1)由R1.)知2=1-i,则f(e)=2+1=2+i,数0(2.)：1分 设B(xy),则f{)=z+1=x+1)+川， 由Q{(1,)知x+1=1,y=1,则x=0,y=1,即R0,). 2分 (2)直线1上的任意一点P(x,y)“对应”到点Q(:,只)， ∴z=x+if()=子=(2-y)2,且y=a+1, x2-y=x,2y=片，即0(x2-y2,2y） .4分 由题意：点Q(x,必)仍在直线1上，则2y=kx2-y2)+1,又y=红+t, 则2x(+）=k[x2-(e+4+i, 展开整理得(k'+k)x2+(21+21r+2-1=0, 46分 [k3+k=0 则21+2k2:=0,解得k=t=0, k2-t=0 所以，所求的有序实数对(，)为(0,0) ………8分 (3》满足条件的一个有序实数对为(-1，)，即a=-16=1,了2)=+ 2+1 ，9分 证明如下：设z=x+yi,x,yeR,x>0, 5 e-斗A x+1)+ix+1)+列 (x+12+y2 (x+旷+y2-6+1+y2=-4x<0，,∴(-x+)+y<(x+)2+, /e=*y+ V(x+1)+y2 <1,即f(z)eA,满足条件①： 413分 设o=m+i,m,n∈R,且@<1，即√m2+n<1,得m2+n2<1, 由0=f()得0=2+1 2+1 则2=0+1 2[(m+1)-mi 0+1 12 0+s-1+2 1(m+9+n [(m+)+m[(m+)-m =-1+ 2(m+1) 2ni1-(m2+n2） 2ni (m+1)+(m+)+i2(m+)+行(m+)'+m 则Re:= -(m+0,满足条件@ m+1)+n2 综上，满足条件的一个有序实数对为(-1，).17分 6