精品解析：河南南阳市六校2025-2026学年高一下学期阶段性素养评价（二）数学试题

2026年春期阶段性素养评价（二） 高一数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 复数，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 4 2. 在△ABC中，“”是“△ABC为锐角三角形”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若角θ的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量、满足，，且，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 在中，已知于，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 为得到函数的图象，只需将函数图象上所有的点（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 7. 已知，则sinα=（ ） A. B. C. D. 8. 蜂巢是大自然精妙构造的典范，蜜蜂建造的蜂巢正面呈正六边形结构，这种结构不仅能最大限度节省蜂蜡材料，还能增强蜂巢的稳固性，是数学与自然完美结合的杰作.某生物模型实验室复刻了一个边长为2的正六边形蜂巢结构，研究人员在正六边形内部任意取一点P记录蜜蜂的活动轨迹.设向量为蜂巢边AB的方向向量，为从顶点A到记录点P的位移向量，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 若为复数，则下列选项一定正确的有（ ） A. B. C. 若，则 D. 10. 已知向量，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 与向量夹角相等的单位向量 C. 若要使最小，则 D. 若与的夹角为锐角，则 11. “奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（）的很相似，故形象地称其为“奔驰定理.”奔驰定理：已知O是内一点，的面积分别为则.设O是内的一点，则以下命题正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则O为的重心 C. 若，且，则 D. 若为的内心，，则 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 在中，若三边的比是，则此三角形的最大角为_________. 13. 在中，为上一点且满足．若P为线段上一点，且为正实数），则的最小值为_______． 14. 已知函数 ，给出下列三个命题： ①该函数的值域为 ； ②当且仅当 时，； ③若，且方程有两个实根，则实数的取值范围为 其中正确的命题为_______ 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知m为实数，i为虚数单位，复数． （1）若复数z的实部与虚部相等，求m的值； （2）若复数z在复平面内对应的点位于第二象限，求m的取值范围． 16. 求值： （1）已知，求的值； （2）已知，用表示的值． 17. 已知，函数 （1）若当时，函数的值域为，求实数的值； （2）在（1）条件下，求函数图象的对称中心和在上的单调递减区间． 18. 已知的内角所对边分别为，，． （1）求的外接圆的周长． （2）若为锐角三角形，求ΔABC周长的取值范围． 19. 若函数满足且，则称函数为“函数”. （1）判断函数是否为“函数”，并说明理由； （2）已知函数是“函数”，且当时，，求函数在上的解析式，并求出在上的单调递减区间； （3）在（2）的条件下，当时，关于的方程(为常数）有解，记该方程所有解的和为，求的取值集合. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春期阶段性素养评价（二） 高一数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 复数，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数商的模等于模的商、共轭复数与原复数模相等的性质求解，即对任意非零复数，有，且互为共轭的两个复数模相等，即. 【详解】已知，根据复数模的计算公式，得， 因此， 代入得. 2. 在△ABC中，“”是“△ABC为锐角三角形”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先根据得到∠A为锐角，但∠B，∠C不确定是否是锐角，故选出正确答案. 【详解】，所以，即∠A为锐角，但∠B，∠C不确定，故“＞0”是“△ABC为锐角三角形”的必要不充分条件. 故选：B 3. 若角θ的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由三角函数坐标定义知，角θ的终边经过点， 所以，， ， 当时，，， 则； 当时，，， 则； 综上. 4. 已知向量、满足，，且，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据在方向上的投影向量公式计算可得. 【详解】由，，化简： ，即，， 又在方向上的投影向量为，代入数据得，故D选项正确. 5. 在中，已知于，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用直角三角形的正切定义由表示出和，结合列方程求解即可. 【详解】由可知均为直角三角形. 在中，，根据正切的定义， 可得； 在中，，同理可得. 将代入， 得，解得. 6. 为得到函数的图象，只需将函数图象上所有的点（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】D 【解析】 【分析】先得到，再利用平移变换求解. 【详解】解：因为， 将其图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图象.A，B，C都不满足. 故选：D 7. 已知，则sinα=（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过角的配凑将α表示为(α−β)+β，结合两角和的正弦公式，根据角的取值范围求解对应三角函数值后代入计算即可. 【详解】由 ，可得：， 因为，，所以， 因为，，所以， . 8. 蜂巢是大自然精妙构造的典范，蜜蜂建造的蜂巢正面呈正六边形结构，这种结构不仅能最大限度节省蜂蜡材料，还能增强蜂巢的稳固性，是数学与自然完美结合的杰作.某生物模型实验室复刻了一个边长为2的正六边形蜂巢结构，研究人员在正六边形内部任意取一点P记录蜜蜂的活动轨迹.设向量为蜂巢边AB的方向向量，为从顶点A到记录点P的位移向量，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系,将向量点积转化为点P横坐标的线性表达式，结合正六边形内部点的坐标范围求解取值范围. 【详解】如图，以正六边形的顶点为坐标原点， 所在直线为轴， 所以直线为轴，建立平面直角坐标系： 则，， 设，则， 则， 所以. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 若为复数，则下列选项一定正确的有（ ） A. B. C. 若，则 D. 【答案】AD 【解析】 【详解】选项A：设，则，则，该选项正确； 选项B：举反例，取，则， 显然，即，该选项错误； 选项C：举反例，取，满足，但均不为0，该选项错误； 选项D：设， 则， ， 所以，该选项正确. 10. 已知向量，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 与向量夹角相等的单位向量 C. 若要使最小，则 D. 若与的夹角为锐角，则 【答案】AC 【解析】 【分析】由两向量平行，求出的值，从而判断A；求出满足条件的向量，即可判断B；求出取最小值时的值，即可判断C；求出与的夹角为锐角时的范围，即可判断D. 【详解】对于A，因为，， 当时，则有， 解得，故A正确； 对于B，与向量夹角相等的单位向量， 则且， 即且， 所以，解得或， 所以或，故B错误； 对于C，因为， 所以当时，取最小值，即取最小值，故C正确； 对于D，当与的夹角为锐角时， 则有，解得且，故D错误. 11. “奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（）的很相似，故形象地称其为“奔驰定理.”奔驰定理：已知O是内一点，的面积分别为则.设O是内的一点，则以下命题正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则O为的重心 C. 若，且，则 D. 若为的内心，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据奔驰定理求出，即可判断A；先求出，再由面积公式推出为三条边中点的交点，即可判断B；先求出，再求出，然后根据比例关系求出，即可判断C；先求出，然后利用内切圆半径及面积公式将其转化为三边的比，再由勾股定理得到，即可判断D. 【详解】由奔驰定理可知，若，则，故A错误； 若，则，即. 因为和有相同的公共边，且面积相等， 所以可得两点到直线的距离相等，所以的延长线一定过中点， 同理，的延长线一定过中点，的延长线一定过中点， 所以为三条边中点的交点，即O为的重心，故B正确； 由，可得. 若，则， 所以，即，所以故C正确； 由，可得. 设内切圆半径为，则，，， 即，因为，所以，故D正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 在中，若三边的比是，则此三角形的最大角为_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用大边对大角确定最大角，再用余弦定理计算最大角即可. 【详解】不妨设，则c边对的角C最大，令， 得，而，故， 所以此三角形的最大角为. 故答案为：. 【点睛】本题考查了余弦定理的应用，属于基础题. 13. 在中，为上一点且满足．若P为线段上一点，且为正实数），则的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据向量线性运算及三点共线的充要条件推导与的等量关系，再利用基本不等式的“1的代换”求目标式的最小值． 【详解】由得，即， 则， 因为三点共线，所以， 则， 当且仅当，即时等号成立． 14. 已知函数 ，给出下列三个命题： ①该函数的值域为 ； ②当且仅当 时，； ③若，且方程有两个实根，则实数的取值范围为 其中正确的命题为_______ 【答案】①③ 【解析】 【分析】去掉绝对值分段化简，得到函数的解析式，利用三角函数的性质，作出函数图象，数形结合即可判断各项的正误. 【详解】去掉绝对值分段化简函数，可得， 即. 因为当时，； 当时，， 所以，函数为周期函数，最小正周期为. 如下图所示，作出函数的图象（图中实线）： 由图象可知，函数的值域为，故①正确； 当 时，，故②错误； 当，且方程有两个实根，则实数的取值范围为 ，故③正确. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知m为实数，i为虚数单位，复数． （1）若复数z的实部与虚部相等，求m的值； （2）若复数z在复平面内对应的点位于第二象限，求m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先对复数进行化简，利用复数z的实部与虚部相等构造方程求解； （2）利用复数在复平面内对应的点位于第二象限构造不等式组，解不等式组求出的取值范围． 【小问1详解】 ， 已知复数的实部与虚部相等，则，故，解得． 【小问2详解】 复数在复平面内对应的点位于第二象限，则， 解得，即． 16. 求值： （1）已知，求的值； （2）已知，用表示的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】利用正切差角公式、二倍角公式、同角三角函数关系，通过齐次化变形、代数化简求解目标式． 【小问1详解】 由正切差角公式：， ， 又， 所以． 【小问2详解】 ， 因为，所以， 则， 所以， 由同角三角函数的平方关系得，， 又，所以，则． 17. 已知，函数 （1）若当时，函数的值域为，求实数的值； （2）在（1）条件下，求函数图象的对称中心和在上的单调递减区间． 【答案】（1） （2）对称中心为；单调递减区间为 【解析】 【分析】（1）将函数化成正弦型函数，再根据正弦函数的性质求解； （2）根据正弦函数的对称中心和单调区间求解. 【小问1详解】 ， 当时，，所以， 因为，所以， 所以，解得； 【小问2详解】 由（1）可知， 令，解得， 所以函数图象的对称中心为， 令，解得， 当时，， 所以函数在上的单调递减区间为 18. 已知的内角所对边分别为，，． （1）求的外接圆的周长． （2）若为锐角三角形，求ΔABC周长的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用三角形内角关系化简已知等式，结合正弦定理求角，再利用正弦定理求外接圆周长； （2）利用正弦定理列出周长表达式，利用三角形是锐角三角形求出的取值范围，进而求出周长的取值范围． 【小问1详解】 由，得，， 故，， 可化为， 由正弦定理，则， 在中，，则，由二倍角公式得， ，则，， ，则，． 由正弦定理，故， 外接圆周长． 【小问2详解】 的周长，由，结合正弦定理得， ， ,则 ， 是锐角三角形，则三个内角均小于， ，解得， ，， 故， ． 19. 若函数满足且，则称函数为“函数”. （1）判断函数是否为“函数”，并说明理由； （2）已知函数是“函数”，且当时，，求函数在上的解析式，并求出在上的单调递减区间； （3）在（2）的条件下，当时，关于的方程(为常数）有解，记该方程所有解的和为，求的取值集合. 【答案】（1）不是“函数”，理由见解析； （2）解析式为，单调递减区间为和； （3）的取值集合为. 【解析】 【分析】（1）逐一验证“函数”的两个定义条件，判断是否同时满足周期为、对称轴为即可； （2）利用函数对称性将未知区间的自变量转化到已知解析式区间，求解分段解析式，再结合复合函数“同增异减”规则判断单调递减区间； （3）结合函数周期性与对称性，分类讨论参数的取值范围，根据根的对称性计算所有解的和即可. 【小问1详解】 ∵ 的最小正周期，满足； 又∵ ，. 取，得，，显然 ，即不能恒成立. 故 不是“函数”. 【小问2详解】 先求函数解析式： ∵ 是“函数”，∴ ，即对任意恒成立，且的周期为. 当时，，由已知得. ∴ . 因此的解析式为； 再求单调递减区间： ① 当时，，令 是 的减函数， 根据复合函数“同增异减”规则，的减区间对应的增区间. 当时，的增区间为，即，解得. ∴ 该区间内的减区间为. ② 当时，的减区间为. 综上，在上的单调递减区间为和. 【小问3详解】 ∵ 是“函数”，∴ 周期为，且图像关于直线对称. 区间的中点为，因此该区间关于直线对称： 若是方程的解，则其对称点也为方程的解，每对对称解的和恒为. 由（2）可知的值域为，分类讨论如下： 分类讨论如下： ① 当或时，方程无解，不符合题意； ② 当时，的解为， ∴ ； ③ 当时，方程有4个解，两两关于对称， ∴ ； ④当时，方程有6个解，两两关于对称， ∴ ； ⑤当时，方程有8个解，两两关于对称， ∴ ； ⑥当时，方程的解为、、、，共4个解，两两对称， ∴ . 综上，的取值集合为. 【点睛】易错归纳： 1. 验证函数对称性时，需确保等式对任意定义域内的成立，存在一个反例即可判定对称性不成立； 2. 复合函数单调性判断需严格遵循“同增异减”规则，避免单调性方向判断错误； 3. 分类讨论参数时，需结合函数值域确定边界点，避免漏解或重复计算解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $