精品解析：2024年海南省琼海市中考二模考试数学试题

琼海市 2024年中考模拟考试 （二） 九年级数学科试题 （考试时间： 100分钟 满分： 120分） 欢迎你参加本次考试，祝你取得好成绩！ 一、选择题（本大题满分36分，每小题3分）在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的，请把你认为正确的答案的字母代号填写．在答题卷相应题号的表格内． 1. 的相反数是（ ） A. 2 B. C. D. 2. 2023年5月28日，我国自主研发的C919国产大飞机商业首航取得圆满成功，C919可储存约186000升燃油，将数据186000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 分别由5个大小相同的正方体组成的甲、乙两个几何体，从同一个方向看到的几何体形状图完全一致的是（ ） A. 从正面看 B. 从左面看 C. 从上面看 D. 以上都不对 4. 下列运算一定正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 2024年，中国将迎来一系列重要的周年纪念活动，某校开展了主题为“牢记历史·吾辈自强”的演讲比赛，九年级8名同学参加该演讲比赛的成绩分别为76，78，80，85，80，74，78，80．则这组数据的众数和中位数分别为（ ） A. 80，79 B. 80，78 C. 78，79 D. 80，80 7. 如图，综合实践小组的同学们用自制“密度计”测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度（单位：）是液体的密度（单位： ）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为的水中时，，当密度计悬浮在另一种液体中时，，则该液体的密度为（ ） A. B. C. D. 8. 分式方程的解为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，直线m∥n，点A在直线m上，点B，C在直线n上，AB=BC，∠1=70°，CD⊥AB于D，∠2等于 （ ） A. 20° B. 30° C. 32° D. 25° 10. 如图，在中，以点A为圆心，长为半径作弧，交于点D，再分别以点B，点D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于M，N两点，连接交于点E，已知，则的周长为（　　） A. B. C. D. 11. 如图，把直角三角形ABO放置在平面直角坐标系中，已知，B点的坐标为，将沿着斜边AB翻折后得到，则点C的坐标是　　 A. B. C. D. 12. 如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，矩形BEFG的边EF经过点C，且点G在边AD上，若BG＝4，则BE的长为（　　） A. B. C. D. 3 二、填空题（本大题满分12分，每小题3分） 13. 分解因式：a2﹣4b2=_____． 14. 已知 且m是整数，请写出一个符合要求的m的值__________． 15. 如图，五边形是的内接正五边形，直线与相切于点，则__________°． 16. 如图，已知矩形纸片，，，将B点折到的中点E，则的长度为______，折痕的长度为_____． 三、解答题（本大题满分72分） 17. （1）计算： （2）计算： 18. 《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，一车空：二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每人共乘一车，最终剩余辆车：若每人共乘一车，最终剩余个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？ 19. 自从国家出台“双减”政策以来，全国各地纷纷响应落实该政策．琼海某学校在课后托管时间里开展了“A．音乐、B．体育、C．演讲、D．美术”四项社团活动，学校从全校1200名学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪一种社团活动”的问卷调查（每人必选且只选一种），并根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，根据图中信息，解答下列问题： （1）本次调查采用的调查方式为 （填写“普查”或“抽样调查”） （2）参加调查的学生共有 人；条形统计图中m的值为 ； （3）根据调查结果，请估计该校 1200名学生中最喜欢“音乐”社团的约有 人； （4）现从“演讲”社团里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，则恰好选中甲和乙两名同学的概率是 ． 20. 如图，货船在港口A装货，要运至其正北方向300海里处的港口B，由于环境因素影响，其航行路线有两条：①由港口A出发，经港口C、D休整，最后驶向港口 B；②由港口A出发，经港口 E休整，最后驶向港口 B（休整时间忽略不计）．经勘测，港口C在港口A西北方向．港口D在港口C正北方向60海里处，在港口B西南方向．港口E在港口B南偏东方向，在港口A北偏东方向． （1）填空： 度 （2）求港口A和港口C之间的距离（结果精确到个位）； （3）由于时间关系，货船需要选择路程更短的路线，请通过计算说明是选择路线①还是路线②?（参考数据： ） 21. 综合与实践 【问题提出】数学课上，老师给出了这样一道题：如图，在正方形中，E是对角线上一动点，过点D作的垂线，过点C作的垂线，两垂线相交于点F，作射线，分别交边，于点G，H．试探究线段与的数量关系． 小明在解决这道题时，借助“从特殊到一般”的方法进行了探究，过程如下． 【观察猜想】 小明先对点E在特殊位置时的图形进行了探究． （1）如图1，若E是对角线的中点，则线段与的数量关系为______． 【推理验证】 （2）小明认为当点E是对角线AC上任意一点时，（1）中的结论仍然成立，请你就图2的情形判断他的说法是否正确，并说明理由． 【拓展应用】 （3）已知正方形的边长为3，以点E为线段的三等分点时，请直接写出线段的长． 22. 如图， 抛物线与x轴交于，两点，直线与抛物线交于，两点，其中点的横坐标为． （1）求抛物线的解析式； （2）是线段上的一个动点（与， 不重合），过 点作轴的平行线交抛物线于点 ，求面积的最大值； （3）点是抛物线上的动点，在轴上是否存在点，使、、、四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出所有满足条件的点坐标；如果不存在，请说明理由． （4）若直线为抛物线的对称轴，抛物线与轴交于点 ，直线与轴交于点，点为直线上一动点，则在轴上是否存在一点，使四边形的周长最小？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 琼海市 2024年中考模拟考试 （二） 九年级数学科试题 （考试时间： 100分钟 满分： 120分） 欢迎你参加本次考试，祝你取得好成绩！ 一、选择题（本大题满分36分，每小题3分）在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的，请把你认为正确的答案的字母代号填写．在答题卷相应题号的表格内． 1. 的相反数是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据相反数定义解答即可． 【详解】解：的相反数是． 故选B． 【点睛】本题主要考查了相反数的定义，掌握相反数的概念成为解答本题的关键． 2. 2023年5月28日，我国自主研发的C919国产大飞机商业首航取得圆满成功，C919可储存约186000升燃油，将数据186000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：将数据186000用科学记数法表示为； 故选B 【点睛】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键． 3. 分别由5个大小相同的正方体组成的甲、乙两个几何体，从同一个方向看到的几何体形状图完全一致的是（ ） A. 从正面看 B. 从左面看 C. 从上面看 D. 以上都不对 【答案】B 【解析】 【分析】分别求得两个几何体的三视图，即可求解，注意“长对正，宽相等、高平齐”，根据所放置的小立方体的个数判断出主视图图形即可． 【详解】根据题意，甲的三视图如下， 乙的三视图如下， 所以，从左面看到的几何体形状图完全一致的． 故选B 【点睛】考查几何体的三视图的知识，从正面看的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图象是俯视图．掌握以上知识是解题的关键． 4. 下列运算一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据积的乘方、同类项的定义、幂的乘方和平方差公式逐一判断即可． 【详解】A． ，故本选项原说法错误； B． ，故本选项原说法错误； C． ，故本选项原说法错误； D． ，故本选项正确． 故选D． 【点睛】此题考查的是幂的运算性质和整式的运算，掌握积的乘方、合并同类项和幂的乘方是解决此题的关键． 5. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项可得． 【详解】解：∵x+1＜-1， ∴x＜-2， 故选：A． 【点睛】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知“小于向左，大于向右”是解答此题的关键． 6. 2024年，中国将迎来一系列重要的周年纪念活动，某校开展了主题为“牢记历史·吾辈自强”的演讲比赛，九年级8名同学参加该演讲比赛的成绩分别为76，78，80，85，80，74，78，80．则这组数据的众数和中位数分别为（ ） A. 80，79 B. 80，78 C. 78，79 D. 80，80 【答案】A 【解析】 【分析】根据有序数组中间的一个数据或中间两个数据的平均数是中位数计算即可．本题考查了中位数的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：将这组数据从小到大排列为：74，76，78，78，80，80，80，85． 80出现3次，出现的次数最多，故众数是80， 最中间两个数据是78，80， 故中位数是． 故选：A 7. 如图，综合实践小组的同学们用自制“密度计”测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度（单位：）是液体的密度（单位： ）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为的水中时，，当密度计悬浮在另一种液体中时，，则该液体的密度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的应用，设关于的函数解析式为，把，代入求出解析式，再把代入解析式即可得到结论．正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键． 【详解】解：设关于的函数解析式为， 把，代入解析式，得：， ∴关于的函数解析式为， 当时，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∴该液体的密度为． 故选：C． 8. 分式方程的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，在方程两边同乘以，化为整式方程，求解后再进行检验即可．掌握解分式的方程的一般步骤是解题的关键． 【详解】解：在方程两边同乘以，得： ， 解得：， 检验：把代入，得：， ∴是原方程的解． 故选：C． 9. 如图，直线m∥n，点A在直线m上，点B，C在直线n上，AB=BC，∠1=70°，CD⊥AB于D，∠2等于 （ ） A. 20° B. 30° C. 32° D. 25° 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵m∥n， ∴∠ACB=∠1=70°， ∵AB=BC， ∴∠BAC=∠ACB=70°， ∵CD⊥AB于D， ∴∠ADC=90°， ∴∠2=90°-∠DAC=90°-70°=20°． 故选A． 10. 如图，在中，以点A为圆心，长为半径作弧，交于点D，再分别以点B，点D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于M，N两点，连接交于点E，已知，则的周长为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了作垂线，垂直平分线的性质等知识．熟练掌握作垂线，垂直平分线的性质是解题的关键． 解：由作图可知，，直线为线段的垂直平分线，则，根据的周长为，计算求解即可． 【详解】解：由作图可知，，直线为线段的垂直平分线， ∴， ∴的周长为． 故选：D． 11. 如图，把直角三角形ABO放置在平面直角坐标系中，已知，B点的坐标为，将沿着斜边AB翻折后得到，则点C的坐标是　　 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点C作CD⊥y轴，垂直为D，首先证明△BOA≌△BCA，从而可求得BC的长，然后再求得∠DCB=30°，接下来，依据在Rt△BCD中，求得BD、DC的长，从而可得到点C的坐标． 【详解】，，， ≌， ，， 过点C作轴，垂直为D，则， ，， ， 故选C． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定、含30°角的直角三角形的性质，正确添加辅助线、熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． 12. 如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，矩形BEFG的边EF经过点C，且点G在边AD上，若BG＝4，则BE的长为（　　） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】过点G作GM⊥BC于点M，过点C作CN⊥AD于点N，由菱形的性质得出AB＝BC＝CD＝ ，AD＝BC，∠ABC＝∠D＝60°，AD∥BC，由直角三角形的性质求出MG＝3，证明△GBM∽△BCE，由相似三角形的性质得出 ，则可求出答案． 【详解】解：过点G作GM⊥BC于点M，过点C作CN⊥AD于点N， ∵四边形ABCD为菱形， ∴AB＝BC＝CD＝，AD＝BC，∠ABC＝∠D＝60°，AD∥BC， ∴∠MGN＝90°， ∴四边形GMCN为矩形， ∴GM＝CN， 在△CDN中，∠D＝60°，CD＝， ∴CN＝CD•sin60°＝， ∴MG＝3， ∵四边形BEFG为矩形， ∴∠E＝90°，BG∥EF， ∴∠BCE＝∠GBM， 又∵∠E＝∠BMG， ∴△GBM∽△BCE， ∴， ∴， ∴BE＝ ， 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 二、填空题（本大题满分12分，每小题3分） 13. 分解因式：a2﹣4b2=_____． 【答案】（a+2b）（a﹣2b） 【解析】 【详解】首先把4b2写成（2b）2，再直接利用平方差公式进行分解即可． 解：a2－4b2=a2-（2b）2=（a+2b）（a－2b）， 故答案为（a+2b）（a－2b）． 14. 已知 且m是整数，请写出一个符合要求的m的值__________． 【答案】3（或4） 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算．熟练掌握无理数的估算是解题的关键． 根据无理数的估算求解作答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴符合要求的m的值为或4， 故答案为：3（或4）． 15. 如图，五边形是的内接正五边形，直线与相切于点，则__________°． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形和圆、圆周角定理、切线的性质定理等知识点；连接，多边形是正五边形，可求出的度数，再根据三角形内角和即可求出的度数，利用切线的性质求出即可，作出适当的辅助线是解答此题的关键． 【详解】解：连接， ∵多边形是正五边形， ∴， ∵， ∴， ∵直线与相切于点， ∴， ∴． 故答案为：． 16. 如图，已知矩形纸片，，，将B点折到的中点E，则的长度为______，折痕的长度为_____． 【答案】 ①. 4 ②. 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、折叠性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，过M作于H，延长、交于点P，则四边形是矩形，根据矩形性质和折叠性质以及勾股定理得到,,再证明得到，进而得到，然后利用勾股定理求解即可．熟练掌握矩形的性质和勾股定理是解答的关键． 【详解】解：过M作于H，延长、交于点P，则， ∵四边形是矩形，， ∴，，, ∴四边形是矩形，, ∴，, 由折叠性质得，, ∴，则, ∵E为的中点， ∴，又， ∴在中，由得， ∴， ∵，，， ∴， ∴，则， 在中，， ∴， ∴， 在中，， 故答案为：4，． 三、解答题（本大题满分72分） 17. （1）计算： （2）计算： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查实数混合运算，整式混合运算 （1）先计算算术平方根，绝对值，零指数幂与负整数指数幂，最后计算加减即可； （2）先用完全平方公式和平方差公式展开，再合并同类项即可． 【详解】（1） ； （2） 18. 《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，一车空：二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每人共乘一车，最终剩余辆车：若每人共乘一车，最终剩余个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？ 【答案】共有人，辆车 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设共有人，辆车，根据“每人共乘一车，最终剩余辆车：若每人共乘一车，最终剩余个人无车可乘”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论．找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：设共有人，辆车， 依题意得：， 解得：． 答：共有人，辆车． 19. 自从国家出台“双减”政策以来，全国各地纷纷响应落实该政策．琼海某学校在课后托管时间里开展了“A．音乐、B．体育、C．演讲、D．美术”四项社团活动，学校从全校1200名学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪一种社团活动”的问卷调查（每人必选且只选一种），并根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，根据图中信息，解答下列问题： （1）本次调查采用的调查方式为 （填写“普查”或“抽样调查”） （2）参加调查的学生共有 人；条形统计图中m的值为 ； （3）根据调查结果，请估计该校 1200名学生中最喜欢“音乐”社团的约有 人； （4）现从“演讲”社团里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，则恰好选中甲和乙两名同学的概率是 ． 【答案】（1）抽样调查 （2）60，11， （3）最喜欢“音乐”社团的约有200人 （4） 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图信息关联，列表法或树状图法求概率； （1）根据题意，学校从全校1200名学生中随机抽取了部分学生进行调查，即可求解； （2）用B组的人数除以B组所占的百分比，即可求出参加调查的学生总人数；用参加调查的学生总人数分别减去A、B、C组的人数，即可求出m的值； （3）用该校总人数，乘以最喜欢“音乐”社团人数所占百分比，即可求解； （4）根据题意列出表格，数出所有的情况数和符合条件的情况数，再根据概率公式，即可解答． 【小问1详解】 依题意，本次调查采用的调查方式为抽样调查， 故答案为：抽样调查． 【小问2详解】 解：参加调查的学生共有（人）， ， 故答案为：60，11； 【小问3详解】 解：（人）， 答：最喜欢“音乐”社团的约有200人． 【小问4详解】 解：根据题意列出表格如下： 甲 乙 丙 丁 甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁） 乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，丁） 丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丁） 丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙） 由表可知，一共有12种情况，恰好选中甲和乙两名同学的情况有两种， ∴恰好选中甲和乙两名同学的概率， 20. 如图，货船在港口A装货，要运至其正北方向300海里处的港口B，由于环境因素影响，其航行路线有两条：①由港口A出发，经港口C、D休整，最后驶向港口 B；②由港口A出发，经港口 E休整，最后驶向港口 B（休整时间忽略不计）．经勘测，港口C在港口A西北方向．港口D在港口C正北方向60海里处，在港口B西南方向．港口E在港口B南偏东方向，在港口A北偏东方向． （1）填空： 度 （2）求港口A和港口C之间的距离（结果精确到个位）； （3）由于时间关系，货船需要选择路程更短的路线，请通过计算说明是选择路线①还是路线②?（参考数据： ） 【答案】（1）45 （2）港口A和港口C之间的距离是170海里 （3）路线②路程更短 【解析】 【分析】 本题考查了方向角问题，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形模型，并利用解直角三角形求解． （1）由题意提取条件港口B在港口A正北方向，港口C在港口A西北方向，即可得 （2）作，先求出海里，再根据三角函数求出答案； （3）分别求出两种路线的路程，再进行比较即可得出答案． 【小问1详解】 港口B在港口A正北方向，港口C在港口A西北方向， 【小问2详解】 由题意得，， ， ， 作， ，四边形是矩形， ， ，， ， ， ， ， 在中， ， （海里） 答：港口A和港口C之间的距离是170海里． 【小问3详解】 在中，， ， 在中，， （海里）（海里） 路线①的路程为（海里）； 路线②的路程为（海里）； 路线②路程更短． 21. 综合与实践 【问题提出】数学课上，老师给出了这样一道题：如图，在正方形中，E是对角线上一动点，过点D作的垂线，过点C作的垂线，两垂线相交于点F，作射线，分别交边，于点G，H．试探究线段与的数量关系． 小明在解决这道题时，借助“从特殊到一般”的方法进行了探究，过程如下． 【观察猜想】 小明先对点E在特殊位置时的图形进行了探究． （1）如图1，若E是对角线的中点，则线段与的数量关系为______． 【推理验证】 （2）小明认为当点E是对角线AC上任意一点时，（1）中的结论仍然成立，请你就图2的情形判断他的说法是否正确，并说明理由． 【拓展应用】 （3）已知正方形的边长为3，以点E为线段的三等分点时，请直接写出线段的长． 【答案】（1）； （2）正确． 理由如下：过点E作于点M，过点F作于点P，如图所示． ∵四边形ABCD是正方形， ∴，，，． ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． （3）或． 【解析】 【分析】（1）先证得四边形是正方形，得到，再通过“”证得，得到，从而得证； （2）根据正方形的性质和垂直的定义证得，得到，根据，，得到，证得，从而得证； （3）由正方形的边长为3可求得，由点E是的三等分点，得到或．分两种情况讨论：①当时，，在中，，从而，根据得到，从而求得，进而即可解答；②当时，同①思路即可解答． 【详解】（1）∵在正方形中，，又点E是的中点， ∴， ∵，， ∴四边形是矩形， ∵在正方形中，，又点E是的中点， ∴，， ∴， ∴矩形是正方形， ∴， ∵在正方形中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为： （2）略 （3）∵在正方形中，，， ∴ ∵点E是的三等分点， ∴或． ①当时，由（2）可得， ∵， ∴在中，， ∵， ∴，即， ∵在正方形中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②当时，由（2）可得， ∵， ∴在中，， ∵， ∴，即， ∵在正方形中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查正方形的判定及性质，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，勾股定理，综合运算相关知识是解题的关键． 22. 如图， 抛物线与x轴交于，两点，直线与抛物线交于，两点，其中点的横坐标为． （1）求抛物线的解析式； （2）是线段上的一个动点（与， 不重合），过 点作轴的平行线交抛物线于点 ，求面积的最大值； （3）点是抛物线上的动点，在轴上是否存在点，使、、、四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出所有满足条件的点坐标；如果不存在，请说明理由． （4）若直线为抛物线的对称轴，抛物线与轴交于点 ，直线与轴交于点，点为直线上一动点，则在轴上是否存在一点，使四边形的周长最小？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在个这样的点，坐标分别是，，，，使、、、四个点为顶点的四边形是平行四边形 （4） 【解析】 【分析】（1）根据点，在抛物线上，得到关于，的二元一次方程组，求解即可； （2）设出点的坐标，继而得到点坐标，因为都在垂直于轴的直线上，得到，然后根据，两点之间横坐标的距离为，列出面积的函数关系式后结合二次函数的性质即可得出答案； （3）存在四个这样的点．①连接点与抛物线和轴的交点，则轴，此时，可得点的坐标；②，，可得点的坐标；③此时，两点的纵坐标关于轴对称，因此点的纵坐标为，代入抛物线中即可得出点的坐标为，然后根据平行四边形的性质及中点坐标公式可得点的坐标；④同③可求出点的坐标；综合四种情况可得出，存在个符合条件的点； （4）由抛物线的对称轴是直线：，得点关于直线对称点为点，确定，取点关于轴的对称点为，连接交直线于点，交轴于点，当点、、、四点共线时，四边形的周长的最小值为，确定直线的解析式为，即可得解． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴交于，两点， ∴， 解得： ∴抛物线的解析式是； 【小问2详解】 ∵点在抛物线上，且点的横坐标为， ∴当时，得：， ∴， 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵是线段上的一个动点（与， 不重合），且轴， 设，则， ∵点在点的上方， ∴， ∵，， ∴、两点之间横坐标的距离为：， ∴， ∴， 当时，最大为， ∴面积的最大值为； 【小问3详解】 存在个这样的点，坐标分别是，，，，使、、、四个点为顶点的四边形是平行四边形． 设抛物线与轴交于点， 当时，得：， ∴， ∵， ∴轴，， ①如图，四边形为平行四边形（点与点重合）， ∵，，， ∴， ∴， ②如图，四边形为平行四边形（点与点重合）， ∵，，， ∴， ∴； ③如图，四边形为平行四边形，点在轴右侧， ∵点在轴上，，， ∴是平行四边形的对角线，且在轴上， ∴点和点到轴的距离相等， ∴，两点的纵坐标关于轴对称， ∴点的纵坐标为， ∵点在抛物线上， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， 设， ∵四边形是平行四边形， ∴， 解得：， ∴； ④如图，四边形为平行四边形，点在轴左侧， ∵点在轴上，，， ∴是平行四边形的对角线，且在轴上， ∴点和点到轴的距离相等， ∴，两点的纵坐标关于轴对称， ∴点的纵坐标为， ∵点在抛物线上， ∴， 解得：（舍去）或， ∴， 设， ∵四边形是平行四边形， ∴， 解得：， ∴； 综上所述，存在4个符合条件的点，坐标分别是，，，，使、、、四个点为顶点的四边形是平行四边形； 【小问4详解】 ∵抛物线， ∴它的对称轴的解析式：， ∵，， ∴点关于直线对称点为点， ∵直线的解析式为， 当时，得：， ∴， ∵， ∴， 取点关于轴的对称点为， 连接交直线于点，交轴于点， ∴四边形的周长： ， 当点、、、四点共线时，取“”，此时四边形的周长的最小值为， 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，得：， 解得： ， ∴． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法函数解析式，函数图像上点的坐标特征，平行四边形的判定和性质，二次函数的性质，对称的性质，最短路径等知识点，运用了分类讨论，数形结合的数学思想方法．解题的关键是掌握二次函数的图像与性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $