精品解析：2024年山东省德州市平原县九年级中考第二次练兵考试数学试题

平原县 2023-2024学年九年级第二次练兵检测 数学试题 第I卷 （选择题 共48分） 一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分． 1. 的倒数是（ ） A. B. 2024 C. D. 2. 我国古代数学的许多创新和发展都曾位居世界前列，如杨辉三角、赵爽弦图、刘徽的割圆术、李冶天元术图就是其中四例．在这四个图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 2014年1月6日，国家知识产权局最新发布的数据显示，目前我国太阳能电池全球专利申请量为12.64万件，全球排名第一，具有较强的创新能力．用科学记数法表示 12.64万是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 榫卯是中国传统建筑、家具及其他器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传承，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯．某个部件“卯”的实物图如图所示，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 6. 二次函数． 的图象如图所示，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 7. 某市为解决部分市民冬季集中取暖问题需铺设一条长3000米的管道，为尽量减少施工对交通造成的影响，实施施工时“……”，设实际每天铺设管x米，则可得方程，根据此情景，题中用“……”表示的缺失的条件应补为（ ）． A. 每天比原计划多铺设10米，结果延明15天才完成 B. 每天比原计划少铺设10米，结果延期15天才完成 C. 每天比原计划多铺设10米，结果提前15天完成 D. 每天比原计划少铺设10米，结果提前15天完成 8. 王同学用长方形纸片折纸飞机，前三步分别如图①、②、③．第一步：将长方形纸片沿对称轴对折后展开，折出折痕；第二步：将和分别沿翻折，重合于折痕上；第三步：将和分别沿翻折，重合于折痕上．已知，，则的长是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，中，，将绕点O逆时针旋转至，点 在 的延长线上，则边扫过区域（图中阴影部分）的面积是（ ） A. B. C. D. 10. 对于任意实数a，b，定义一种新运算：．例如，，请根据上述定义解答如下问题：若关于x的不等式组有3个整数解，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，是半圆的直径，点在半圆上，，连接，过点作，交 的延长线于点 ．设的面积为的面积为，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，正方形中，E、H 分别为边、上的点，连接 、、，在的延长线上取一点F，连接，是以点E为直角顶点的等腰直角三角形，则下列结论：①；②；③；④当时，．其中正确结论有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 第II卷 （非选择题 共 102分） 二、填空题：本大题共6小题，共24分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分． 13. 方程的根为_______． 14. 在创建“文明校园”的活动中，班级决定从四名同学（两名男生，两名女生）中随机抽取两名同学担任本周的值周长，那么抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率是______． 15. 如图，在中， ，，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交 ，于点， ，再以， 为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点 ，连接 并延长，交于点 ，称点 为线段的白银分割点，若 则 ___． 16. 如图，点A在反比例函数 的图象上，且A是线段的中点，过点A作 轴于点D，连接交反比例函数的图象于点C，连接，若，，则k的值为___________． 17. 菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中 ，点，若将菱形绕点O顺时针旋转，每秒旋转 ，则第202秒时，点C的对应点的坐标为____________． 18. 二次函数 的图象如图所示，其对称轴 ，且与x轴交于，点，点P为x轴上一动点，则的最小值为________________． 三、解答题：本大题共7小题，共78分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 19. （1）化简：； （2）解分式方程： ． 20. 法律是社会的温度，青少年要学会尊重法律．为了宣传普法知识，我校在普法宣传日中开展了法律知识竞赛，现从该校七、八年级中各抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（表示竞赛成绩，取整数）：A．；B．；C．；D．，下面给出了部分信息： 七年级抽取20名学生的竞赛成绩在B组中的数据为：93，92，92，93，90，93； 八年级抽取20名同学竞赛成绩数据为：80，81，82，85，86，88，88，92，93，93，94，95，96，96，96，96，96，97，97，99． 七年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图 八年级抽取的学生竞赛成绩条形统计图 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均分 中位数 众数 七年级 91.5 93 八年级 91.5 93.5 请根据相关信息，回答以下问题： （1）______，______，______，并补全八年级抽取的学生竞赛成绩条形统计图； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握法律知识较好？请说明理由（写一条理由即可）； （3）该校七年级有600人，八年级有800人参加了此次竞赛活动，请估计参加此次竞赛活动成绩优秀的学生人数是多少？ 21. 2024年4月25日，神舟十八号载人飞船与长征二号F遥十八运载火箭组合体在酒泉卫星发射中心发射成功，这是中国载人航天工程进入空间站应用与发展阶段的第3次载人飞行任务．运载火箭从地面L处发射，当火箭到达A 点时，在监测点 R 处的测得仰角为 在监测点 P处测得仰角为 ，后火箭到达B点，此时在P处测得仰角为若两监测点 R，P的距离为2千米，求火箭从A到B的平均速度．（） 22. 如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB，⊙O交直线OB于E，D，连接EC，CD． （1）求证：直线AB是⊙O的切线； （2）试猜想BC，BD，BE三者之间的等量关系，并加以证明； （3）若tan∠CED＝，⊙O的半径为3，求OA的长． 23. 随着通讯网络的迅猛发展，“成本低、受众广、销售展示更真实”的直播带货走进了人们的生活，某电商对一款进价20元的商品进行直播销售，每日销售该种产品的总开支（不含进价）总计400元，在销售过程中发现，日销售量y（件）与销售单价x（元）之间存在着某种函数关系，部分对应值如表所示． x …… 22 24 26 28 y …… 360 320 280 240 （1）求y与x的函数关系式； （2）求出商家销售该种产品的日获利W（元）关于销售单价x（元）的函数关系式，当销售单价x为何值时，日获利最大？最大利润是多少？ （3）借助（2）中函数的图象思考：若商家希望该产品的日获利不低于1100元，求该商品销售单价的范围． 24. 【感知】（1）小明同学在学习相似三角形时遇到这样一个问题： 如图①，在中，点D是的中点，点E是的一个三等分点，且．连结， 交于点G，求值． 小明发现，过点D作的平行线或过E作的平行线，利用相似三角形的性质即可得到问题的答案．请你根据小明的提示（或按自己的思路）写出求解过程 【尝试应用】 （2）如图②，在中，D为上一点，，连结，若，交于点E、F．若，，，则的长为 ． 【拓展提高】 （3）如图③，在平行四边形中，点E为的中点，点F为上一点，与、分别交于点G、M，若，若的面积为2，则的面积为 ． 25. 如图，对称轴为直线的抛物线与轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与 轴交于点，其中点的坐标为，点的坐标为． （1）求该抛物线的解析式； （2）如图①，若点 为抛物线上第二象限内的一点，且到 轴的距离是2.点 为线段 上的一个动点，求周长的最小值； （3）如图②，将原抛物线绕点旋转 ，得新抛物线，在新抛物线的对称轴上是否存在点，使得为等腰三角形?若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 平原县 2023-2024学年九年级第二次练兵检测 数学试题 第I卷 （选择题 共48分） 一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分． 1. 的倒数是（ ） A. B. 2024 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查绝对值与倒数，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 根据倒数的定义以及绝对值的性质进行解题即可． 【详解】解：∵， ∴的倒数为． 故选：C． 2. 我国古代数学的许多创新和发展都曾位居世界前列，如杨辉三角、赵爽弦图、刘徽的割圆术、李冶天元术图就是其中四例．在这四个图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形与轴对称图形，熟练掌握中心对称图形与轴对称图形的定义是解决问题的关键．中心对称图形定义：把一个图形绕着某个点旋转 ，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；轴对称图形定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，根据定义逐项判断即可得出结论． 【详解】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故选项不符合题意； B、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故选项符合题意； C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故选项不符合题意； D、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故选项不符合题意； 故选：B． 3. 2014年1月6日，国家知识产权局最新发布的数据显示，目前我国太阳能电池全球专利申请量为12.64万件，全球排名第一，具有较强的创新能力．用科学记数法表示 12.64万是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 【详解】解：12.64万 故选：C． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方，负整数指数幂，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．利用合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方，负整数指数幂的法则对各项进行运算即可． 【详解】解：A、，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D符合题意； 故选：D 5. 榫卯是中国传统建筑、家具及其他器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传承，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯．某个部件“卯”的实物图如图所示，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图，掌握组合体的三视图是解题的关键． 根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案． 【详解】解：从上面看，是一个矩形，矩形的中间有2条纵向的实线和2条纵向的虚线．2条实线在2条虚线之间，即 故选：A． 6. 二次函数． 的图象如图所示，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系、一次函数的图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 根据二次函数的图象可以得到 、 的正负，从而可以得到一次函数的图象，本题得以解决． 【详解】解：由二次函数的图象开口向上，可得， ， 又函数图象的对称轴在y轴右侧，则， ∴， 一次函数的图象经过第一、二、三象限， 故选：C． 7. 某市为解决部分市民冬季集中取暖问题需铺设一条长3000米的管道，为尽量减少施工对交通造成的影响，实施施工时“……”，设实际每天铺设管x米，则可得方程，根据此情景，题中用“……”表示的缺失的条件应补为（ ）． A. 每天比原计划多铺设10米，结果延明15天才完成 B. 每天比原计划少铺设10米，结果延期15天才完成 C. 每天比原计划多铺设10米，结果提前15天完成 D. 每天比原计划少铺设10米，结果提前15天完成 【答案】C 【解析】 【分析】根据每个分式表示的含义，进行判断即可． 【详解】解：∵实际每天铺设管x米， ∴表示原计划每天铺设管道的长度， 即：每天比原计划多铺设10米， 方程表示：原计划的所用天数减去实际所用天数等于15，即：结果提前15天完成； 故选C． 【点睛】本题考查分式方程的应用，正确理解每个分式表示的含义，是解题的关键． 8. 王同学用长方形纸片折纸飞机，前三步分别如图①、②、③．第一步：将长方形纸片沿对称轴对折后展开，折出折痕；第二步：将和分别沿翻折，重合于折痕上；第三步：将和分别沿翻折，重合于折痕上．已知，，则的长是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据第一、二步折叠易得四边形为正方形，，以此得出，根据勾股定理求出，根据第三步折叠可得，进而得到，则，于是，即可求解． 【详解】解：∵四边形 为矩形，， ∴， 由第一步折叠可得，，， 由第一步折叠可得，，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵，， ∴平行四边形为正方形， ∴， ∴， 在中，， 根据第三步折叠可得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查折叠的性质、矩形的性质、正方形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握折叠的性质是解题关键． 9. 如图，中，，将绕点O逆时针旋转至，点 在 的延长线上，则边扫过区域（图中阴影部分）的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要是考查了旋转，扇形面积．熟练掌握旋转的性质，扇形面积公式，含 角的直角三角形性质，是解答本题的关键． 先在中利用 角求出、、，接着可以求出，则可以表示出、、，则阴影部分的面积可求． 【详解】在中，，，， ∴，， ∴， ∴，， 由旋转知，，，， ∴，， ∴． ∴阴影部分的面积为． 故选：A． 10. 对于任意实数a，b，定义一种新运算：．例如，，请根据上述定义解答如下问题：若关于x的不等式组有3个整数解，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了新定义，以及一元一次不等式组的整数解，弄清题中的新定义是解本题的关键． 利用题中的新定义得出不等式组，解不等式组求出不等式组的解集及整数解，再根据不等式组有3个整数解，确定出的范围即可． 【详解】解：根据题中的新定义得不等式组为： ，解得：， ∵不等式组有3个整数解，即整数解为1，2，3， ∴ 故选：B． 11. 如图， 是半圆 的直径，点在半圆上，，连接，过点 作，交 的延长线于点 ．设的面积为的面积为，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图，过 作于 ，证明，由，即，可得，证明，可得，设，则，可得，，再利用正切的定义可得答案． 【详解】解：如图，过 作于 ， ∵， ∴， ∵，即， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选A 【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线构建直角三角形是解本题的关键． 12. 如图，正方形 中，E、H 分别为边、上的点，连接 、、，在的延长线上取一点F，连接，是以点E为直角顶点的等腰直角三角形，则下列结论：①；②；③；④当时，．其中正确结论有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】A 【解析】 【分析】将 绕点 逆时针旋转 ，得到，证明，即可得出，可判断①正确；过点作，交延长线于 ，证明，得，，从而可证明是等腰直角三角形，得，则，可判断②正确；由勾股定理，得，可判断③正确；求得，得出，可判断④正确． 【详解】解： 正方形 ， ，， 将 绕点 逆时针旋转 ，得到，如图， 由旋转可得：，，，， ， 、 、 三点共线，即， 是等腰直角三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， 故①正确； 过点作，交延长线于 ，如图， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 在 与中， ， ， ，， ，即， ， 是等腰直角三角形， ， ， 故②正确； 是等腰直角三角形， ， 由勾股定理，得， 故③正确； ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故④正确． ∴正确结论有①②③④，共4个． 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，旋转的性质，恰当添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第II卷 （非选择题 共 102分） 二、填空题：本大题共6小题，共24分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分． 13. 方程的根为_______． 【答案】 【解析】 【详解】解：x（x－3）=0 ， 解得：x1=0，x2=3． 故答案为：x1=0，x2=3． 14. 在创建“文明校园”的活动中，班级决定从四名同学（两名男生，两名女生）中随机抽取两名同学担任本周的值周长，那么抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】画树状图得出所有等可能的结果数和抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：设两名男生分别记为 ， ，两名女生分别记为 ， ， 画树状图如下： 共有 种等可能的结果，其中抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的结果有 种， 抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率为． 故答案为：． 【点睛】本题考查列表法与树状图法，解题时要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率． 15. 如图，在 中， ，，以点 为圆心，任意长为半径作弧，分别交 ，于点 ， ，再以 ， 为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点，连接并延长，交 于点 ，称点 为线段 的白银分割点，若 则 ___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查尺规基本作图—作已知角的角平分线，角平分线的性质定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 如图，过点 作于点 ．证明，解直角三角形求出即可． 【详解】解：如图，过点 作于点 ． 由作图可知平分， ，， ， ，， ， ， ， ∴ 故答案为：． 16. 如图，点A在反比例函数 的图象上，且A是线段的中点，过点A作 轴于点D，连接 交反比例函数的图象于点C，连接，若，，则k的值为___________． 【答案】18 【解析】 【分析】本题考查反比例函数系数 的几何意义，三角形面积，解题的关键是得到． 首先求出，，再求出，然后由即可解决问题． 【详解】解：，， ， ∵A是线段的中点 ， ∴， ∵轴于点D， ∴． 故答案为：18． 17. 菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中 ，点，若将菱形绕点O顺时针旋转，每秒旋转 ，则第202秒时，点C的对应点的坐标为____________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了图形的旋转、菱形的性质、解直角三角形等知识，先求出,根据点C旋转一周所用时间得到点C旋转（n为正整数）秒后回到初始位置，则点C旋转200秒回到初始位置，又旋转了2秒，即旋转了 ，故此时点C的位置与初始位置关于原点对称，即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴，， ∴， 如图，连接 ，则是等边三角形， 过点C作轴于点E，则， ∴，， ∴， ∵将菱形绕点O顺时针旋转，每秒旋转 ， 故点C旋转一周所用时间为（秒），故点C旋转（n为正整数）秒后回到初始位置， ∵， ∴点C旋转200秒回到初始位置，又旋转了2秒，即旋转了 ，故此时点C的位置与初始位置关于原点对称， ∴第202秒时，点C的对应点的坐标为， 故答案为：． 18. 二次函数 的图象如图所示，其对称轴 ，且与x轴交于，点，点P为x轴上一动点，则的最小值为________________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，添加辅助线，转化线段是解题的关键．过点C作交y轴于点E，过点P作于点F，过点D作于点H，先用待定系数法求二次函数的解析式，再证明，然后将转化为，当D，P，F三点共线时，取最小值 ，再求出 的长，即得答案． 【详解】解：如图，过点C作交y轴于点E，过点P作于点F，过点D作于点H， 由题意得， 解得， 所以二次函数的解析式为， 令 ，则， ， 令 ，则， 解得 ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 当D，P，F三点共线时，取最小值 ， ，， ， ， ， ， 而在中，， ， 即取最小值为， 的最小值为． 故答案为：4． 三、解答题：本大题共7小题，共78分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 19. （1）化简：； （2）解分式方程： ． 【答案】（1） （2）方程无实数解 【解析】 【分析】本题考查分式的混合运算以及解分式方程，熟练掌握分式加减混合运算法则和分式方程的解法和步骤是解题的关键． （1）先根据分式减整理式法则计算括号内的，再运用分式加法法则计算即可． （2）根据解分式方程的方法和步骤进行计算即可． 【详解】解（1）原式 ． （2）两边都乘以得， ， 整理得，， 解得 ， 经检验， 是原方程的增根， 所以原方程无实数解． 20. 法律是社会的温度，青少年要学会尊重法律．为了宣传普法知识，我校在普法宣传日中开展了法律知识竞赛，现从该校七、八年级中各抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（ 表示竞赛成绩， 取整数）：A．；B．；C．；D．，下面给出了部分信息： 七年级抽取20名学生的竞赛成绩在B组中的数据为：93，92，92，93，90，93； 八年级抽取20名同学竞赛成绩数据为：80，81，82，85，86，88，88，92，93，93，94，95，96，96，96，96，96，97，97，99． 七年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图 八年级抽取的学生竞赛成绩条形统计图 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均分 中位数 众数 七年级 91.5 93 八年级 91.5 93.5 请根据相关信息，回答以下问题： （1）______，______，______，并补全八年级抽取的学生竞赛成绩条形统计图； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握法律知识较好？请说明理由（写一条理由即可）； （3）该校七年级有600人，八年级有800人参加了此次竞赛活动，请估计参加此次竞赛活动成绩优秀的学生人数是多少？ 【答案】（1），，，图形见解析 （2）八年级法律知识较好，理由见解析 （3）参加此次竞赛活动成绩优秀的人数为850人 【解析】 【分析】本题考查中位数、众数、用样本估计总体以及条形统计图，理解中位数、众数的意义，掌握用样本估计总体的方法是正确解答的关键． （1）用 组人数除以样本容量可得 组所占百分比，进而得出 的值；根据中位数的定义可得 的值；根据众数的定义可得 的值；求出 组人数后，即可补全条形统计图； （2）从中位数、众数的角度比较得出结论； （3）分别计算七年级、八年级优秀人数即可． 【小问1详解】 由题意可知，B组占比为， ， ； 把七年级20名同学竞赛成绩从大到小排列排在第10和第11个数是92，90，故中位数； 八年级20名同学竞赛成绩中96出现的次数最多，故众数； 八年级抽取20名同学竞赛成绩中 组人数为4人，补全条形统计图如下： 故答案为：25，91，96； 【小问2详解】 八年级成绩较好，理由如下： 八年级学生成绩的中位数、众数都比七年级的高； 【小问3详解】 （人， 答：估计参加此次竞赛活动成绩优秀的学生人数是850人． 21. 2024年4月25日，神舟十八号载人飞船与长征二号F遥十八运载火箭组合体在酒泉卫星发射中心发射成功，这是中国载人航天工程进入空间站应用与发展阶段的第3次载人飞行任务．运载火箭从地面L处发射，当火箭到达A 点时，在监测点 R 处的测得仰角为 在监测点 P处测得仰角为 ，后火箭到达B点，此时在P处测得仰角为若两监测点 R，P的距离为2千米，求火箭从A到B的平均速度．（） 【答案】千米/秒 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握三角形函数的定义，先证明为等腰直角三角形，设千米，得出千米，根据，得出，求出，在中，根据，得出千米，求出千米，最后求出结果即可． 【详解】解：由题意得，，，设千米， 在中，， ∴为等腰直角三角形， 设千米， 在中，， ∴， ∴千米， ∴，即， 解得：， ∴千米，千米， ∵在中，， ∴， ∴千米， ∴千米， ∴火箭从A到B的平均速度=（千米/秒）． 22. 如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB，⊙O交直线OB于E，D，连接EC，CD． （1）求证：直线AB是⊙O的切线； （2）试猜想BC，BD，BE三者之间的等量关系，并加以证明； （3）若tan∠CED＝，⊙O的半径为3，求OA的长． 【答案】 （1）证明：如图，连接OC， ∵OA＝OB，CA＝CB， ∴OC⊥AB， ∴AB是⊙O的切线． （2）解：BC2＝BD•BE． 证明：∵ED是直径， ∴∠ECD＝90°， ∴∠E+∠EDC＝90°． 又∵∠BCD+∠OCD＝90°，∠OCD＝∠ODC（OC＝OD）， ∴∠BCD＝∠E． 又∵∠CBD＝∠EBC， ∴△BCD∽△BEC． ∴． ∴BC2＝BD•BE． （3）5 【解析】 【分析】（1）连接OC，根据等腰三角形的性质易得OC⊥AB；即可得到证明； （2）易得∠BCD＝∠E，又有∠CBD＝∠EBC，可得△BCD∽△BEC；故可得BC2＝BD•BE； （3）易得△BCD∽△BEC，BD＝x，由三角形的性质，易得BC2＝BD•BE，代入数据即可求出答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵tan∠CED＝， ∴． ∵△BCD∽△BEC， ∴． 设BD＝x，则BC＝2x， ∵BC2＝BD•BE， ∴（2x）2＝x•（x+6）． ∴x1＝0，x2＝2． ∵BD＝x＞0， ∴BD＝2． ∴OA＝OB＝BD+OD＝3+2＝5． 【点睛】本题考查常见的几何题型，包括切线的判定，线段等量关系的证明及线段长度的求法，要求学生掌握常见的解题方法，并能结合图形选择简单的方法解题． 23. 随着通讯网络的迅猛发展，“成本低、受众广、销售展示更真实”的直播带货走进了人们的生活，某电商对一款进价20元的商品进行直播销售，每日销售该种产品的总开支（不含进价）总计400元，在销售过程中发现，日销售量y（件）与销售单价x（元）之间存在着某种函数关系，部分对应值如表所示． x …… 22 24 26 28 y …… 360 320 280 240 （1）求y与x的函数关系式； （2）求出商家销售该种产品的日获利W（元）关于销售单价x（元）的函数关系式，当销售单价x为何值时，日获利最大？最大利润是多少？ （3）借助（2）中函数的图象思考：若商家希望该产品的日获利不低于1100元，求该商品销售单价的范围． 【答案】（1） （2）销售单价为30元时，日获利最大，最大利润是1600元． （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的应用、二次函数的性质，二次函数与一元二次方程、不等式的联系，解题的关键是会用待定系数法求函数的解析式． （1）设与 的关系式为 ，然后用待定系数法求解； （2）先计算出利润W（元）关于销售单价x（元）的函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可； （3）根据二次函数，一元二次方程、不等式的关系，利用图象法结合二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：由表格可看出y随x增大而减小，且减小一致， ∴设与 的关系式为 ，把和分别代入得： ，解得：， ∴y与x的函数关系式为． 【小问2详解】 解： ， ∴当时，W取最大值，， 答：当销售单价x为30元时，日获利最大，最大利润是1600元． 【小问3详解】 解：令， 解得：，， ∵，， ∴抛物线开口向下， ∴当时，利润不低于1100元． 24. 【感知】（1）小明同学在学习相似三角形时遇到这样一个问题： 如图①，在 中，点D是的中点，点E是的一个三等分点，且．连结， 交于点G，求值． 小明发现，过点D作的平行线或过E作的平行线，利用相似三角形的性质即可得到问题的答案．请你根据小明的提示（或按自己的思路）写出求解过程 【尝试应用】 （2）如图②，在 中，D为上一点，，连结 ，若，交于点E、F．若，，，则的长为 ． 【拓展提高】 （3）如图③，在平行四边形 中，点E为的中点，点F为上一点，与、分别交于点G、M，若，若的面积为2，则 的面积为 ． 【答案】（1）3（2）7（3）10 【解析】 【分析】（1）过点D作交 于H，则，而，所以，则，所以，由，得，所以，可证明，得，可推导出，则； （2）取的中点H，连结，由，于点E，得，则，可证明，得，所以，求得，于是得到问题的答案； （3）设的面积为，求出，，过点 作交于点 ，证明，得，，再证明，得，由列式求出的值即可得出 的面积 【详解】解：解：如图①，过点D作交 于H，则， 图① ∵D是的中点， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴， ∵E是的一个三等分点，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的值为3； （2）如图②，取的中点H，连结，则， ∵于点E，， ∴， ∴ 为 的中点， ∴为 的中位线， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴故答案为：7． （3）如图③，设的面积为， ∴， ∵ 原来的中点， ∴且， 连接 ，则 ∵， ∴， 过点 作交于点 ， ∴， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴， 又 ∴ ∵ ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴ 的面积为10， 故答案为：10 【点睛】本题主要考查等腰三角形的“三线合一”、三角形的中位线定理、全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 25. 如图，对称轴为直线的抛物线与 轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与轴交于点 ，其中点 的坐标为，点 的坐标为． （1）求该抛物线的解析式； （2）如图①，若点 为抛物线上第二象限内的一点，且到轴的距离是2.点 为线段 上的一个动点，求周长的最小值； （3）如图②，将原抛物线绕点 旋转 ，得新抛物线，在新抛物线的对称轴上是否存在点，使得为等腰三角形?若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）周长的最小值为 （3）存在点，使得为等腰三角形，点坐标为或或 【解析】 【分析】（1）先根据对称轴确定 的值，再将，代入，求函数的解析式即可； （2）先确定 点坐标，作 点关于轴的对称点为，连接与轴交于点 ，则有，所以周长的最小值为； （3）先求出旋转后 点旋转后的点，，再用待定系数法求旋转后的抛物线解析式，设，分别求出，，，再根据等腰三角形边的性质，分三种情况讨论即可求解． 【小问1详解】 解： 对称轴为直线 ， ， ， 将，代入， ， 解得， ； 【小问2详解】 解： 点到轴的距离是2， 点横坐标为 ， ， 令 ，则， 解得 或， ，， 点关于轴的对称点为， 连接与轴交于点 ， ， ， ，， 周长的最小值为； 【小问3详解】 解：存在点，使得为等腰三角形，理由如下： ，， 点旋转后的点，， 设旋转后的抛物线解析式为 ， ， 解得， ， 抛物线的对称轴为直线， 设， ，，， 当时，， 解得或， 或； 当时，， 此时不存在； 当时，， 解得 ， ； 综上所述：点坐标为或或． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象旋转的性质，等腰三角形的性质，轴对称求最短距离是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $