江苏省宿迁市2024届高三下学期三模数学试题

高三年级信息卷 数 学 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟。 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。将条形码横贴在答题卡上“条形码粘贴处”。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，若，则实数的取值范围为 A． B． C． D． 2．已知抛物线，点，则“”是“过且与仅有一个公共点的直线有3条”的 A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知函数为上的奇函数，且当时，，则 A． B． C． D． 4．已知函数，则下列结论正确的是 A．是的一个单调增区间 B．是的一个对称中心 C．在上值域为 D．将的图象向右平移个单位，再向下平移一个单位后所得图象的函数解析式为 5．已知在复平面内复数，对应的向量分别为，．若，，则在上的投影向量为 A． B． C． D． 6．在同一平面直角坐标系内，函数及其导函数的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为，则（第6题） A．函数的最大值为1 B．函数的最小值为1 C．函数的最大值为1 D．函数的最小值为1 7．甲、乙、丙等5人站成一排，甲乙相邻，且乙丙不相邻， 则不同排法共有 A．24 种 B．36 种 C．48 种 D．72 种 8．若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个球是这个多面体的内切球．在四棱锥中，侧面是边长为1的等边三角形，底面为矩形，且平面平面．若四棱锥存在一个内切球，设球的体积为，该四棱锥的体积为，则的值为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．为了研究y关于x的线性相关关系，收集了5对样本数据（见表格），若已求得一元线性回归方程为，则下列选项中正确的是 （第9题） A． B．当时的残差为 C．样本数据y的40百分位数为1 D．去掉样本点后，y与x的相关系数不会改变 10．在中，角所对的边分别为．若，且边上的中线长为，则 A． B．的取值范围为 C．面积的最大值为 D．周长的最大值为 11．已知定义在上不为常数的函数满足，则 A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设，若，且，则______． 13．表示不小于x的最小整数，例如，．已知等差数列的前n项和为，且，．记，则数列的前10项的和______． 14．若椭圆的左，右焦点分别为，离心率为，点在椭圆上，的内切圆的半径为1，则的值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．某批零件一级品的比例约为80%，其余均为二级品．每次使用一级品零件时肯定不会发生故障，而在每次使用二级品零件时发生故障的概率为0.1．某项任务需要使用该零件次（若使用期间出现故障则换一件使用）． （1）某零件在连续使用3次没有发生故障的条件下，求该零件为一级品的概率； （2）当时，求发生故障次数的分布列及期望． 16．如图所示的几何体是由等高的直三棱柱和半个圆柱组合而成，为半个圆柱上底面的直径，，，点，分别为，的中点，点为的中点． （第16题） （1）证明：平面平面； （2）若是线段上一个动点，当时， 求直线与平面所成角的正弦值的 最大值． 17．已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍． （1）求双曲线的标准方程； （2）若，是双曲线上的两个动点，且恒有，是否存在定圆与直线相切？若存在，求出定圆的方程，若不存在，请说明理由． 18．在数列中，． （1）求数列的通项公式； （2）已知数列满足； ①求证：数列是等差数列； ②若，设数列的前n项和为，求证：． 19．已知函数． （1）若曲线在处的切线的方程为，求实数的值； （2）若函数恒成立，求的取值范围． 数学试卷 第 4 页 （共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学试卷 第 1 页 （共 4 页） 高三年级信息卷 数 学 本试卷共 4 页，19 小题，满分 150 分，考试用时 120 分钟。 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。将条形码横 贴在答题卡上“条形码粘贴处”。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的 答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。答案不 能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题 目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新 答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1．已知集合    20 , 3 2 0A x x m B x x x       ，若 B AR ，则实数m 的取值范围为 A． ( ,2] B． (1,2] C．[2,+ ) D． (2,+ ) 2．已知抛物线 2:C x y ，点 ( ,1)M m ，则“ 1m  ”是“过M 且与C 仅有一个公共点的直 线有 3 条”的 A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知函数 ( )f x 为R 上的奇函数，且当 0x  时， 2 2 ( ) log 1 3 f x x  ，则 3( 4)f   A． 5 9 B． 5 9  C． 4 9 D． 4 9  4．已知函数 ( ) = cos cos( ) +1 3 f x x+ x   ，则下列结论正确的是 A．[ ] 2 4 ,    是 ( )f x 的一个单调增区间 B． 0 3  （ ，）是 ( )f x 的一个对称中心 C． ( )f x 在[ 0] 3 ,   上值域为 5 [ ] 2 2 ,   D．将 ( )f x 的图象向右平移 5 6  个单位，再向下平移一个单位后所得图象的函数解析 式为 3cosy x 数学试卷 第 2 页 （共 4 页） 5．已知在复平面内复数 1z ， 2z 对应的向量分别为 1OZ ， 2OZ ．若 1 1 iz   ， 2 4z  ，则 1 2Z Z 在 1OZ 上的投影向量为 A． (1 0)， B． (1 1)， C． (2 2)， D． (3 0)， 6．在同一平面直角坐标系内，函数 ( )y f x 及其导函数 ( )y f x 的图象如图所示，已知 两图象有且仅有一个公共点，其坐标为 (0 1)， ，则 A．函数 ( )exy f x 的最大值为 1 B．函数 ( )exy f x 的最小值为 1 C．函数 ( ) ex f x y  的最大值为 1 D．函数 ( ) ex f x y  的最小值为 1 7．甲、乙、丙等 5 人站成一排，甲乙相邻，且乙丙不相邻， 则不同排法共有 A．24 种 B．36 种 C．48 种 D．72 种 8．若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个球是这个多面体的内切球．在 四棱锥P ABCD 中，侧面 PAB 是边长为 1 的等边三角形，底面 ABCD为矩形，且平 面 PAB 平面 ABCD．若四棱锥P ABCD 存在一个内切球，设球的体积为 1V ，该四棱 锥的体积为 2V ，则 1 2 V V 的值为 A． 3π 6 B． 3π 12 C． 3π 18 D． 3π 54 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求，全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。 9．为了研究 y 关于 x 的线性相关关系，收集了 5 对样本数据（见表格），若已求得一元线 性回归方程为 0.34y ax  ，则下列选项中正确的是 A． 0.21a  B．当 5x  时的残差为0.06 C．样本数据 y 的 40 百分位数为 1 D．去掉样本点 (3,1) 后，y 与 x 的相关系数不会改变 10．在 ABC△ 中，角 A B C， ， 所对的边分别为 a b c， ， ．若 22 3 cos sin 2 A C c b C   ，且 边 AC 上的中线 BD 长为 3 ，则 A． 3 B   B．b的取值范围为[2,2 3) C． ABC△ 面积的最大值为 2 3 D．△ABC 周长的最大值为3 6 （第 6题） （第 9题） 数学试卷 第 3 页 （共 4 页） 11．已知定义在R 上不为常数的函数 ( )f x 满足 (2 ) ( ) ( ) 0f x f x y f x y    ，则 A． (0) 1f   B． 3(3) [ (1)]f f C． ( ) ( ) 2f x f x  D． ( ) ( ) 2f x f x  ≤ 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。 12．设 20 1 2(1 ) ( ) n n nx a a x a x a x n      N* ，若 5 4a a ，且 5 6a a ，则 0 n i i a   ______． 13． ( )x x   R 表示不小于 x 的最小整数，例如 2 2   ， 3 1 2         ．已知等差数列{ }na 的 前 n项和为 nS ，且 7 7S   ， 4 6 3a a   ．记 n nb a   ，则数列{ }nb 的前 10项的和______． 14．若椭圆 2 2 2 2 1( 0) x y C a b a b    ： 的左，右焦点分别为 1 2F F， ，离心率为 1 3 ，点 0 0( , )P x y 在椭圆C 上， 1 2PF F△ 的内切圆的半径为 1，则 0y 的值为______． 四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．某批零件一级品的比例约为 80%，其余均为二级品．每次使用一级品零件时肯定不会 发生故障，而在每次使用二级品零件时发生故障的概率为 0.1．某项任务需要使用该 零件n次（若使用期间出现故障则换一件使用）． （1）某零件在连续使用 3 次没有发生故障的条件下，求该零件为一级品的概率； （2）当 2n  时，求发生故障次数 X 的分布列及期望． 16．如图所示的几何体是由等高的直三棱柱和半个圆柱组合而成， 1 1B C 为半个圆柱上底面 的直径， 90ACB  ， 2AC BC  ，点 E ，F 分别为 AC ，AB 的中点，点 D 为 1 1B C 的中点． （1）证明：平面 BCD∥平面 1C EF ； （2）若 P 是线段 1C F 上一个动点，当 1 2CC  时， 求直线 1A P 与平面 BCD所成角的正弦值的 最大值． （第 16 题） 数学试卷 第 4 页 （共 4 页） 17．已知双曲线 2 2 2 2 : 1( 0, 0) x y C a b a b     的左、右焦点分别为 1 2F F， ，点 5 3 7 ( , ) 2 2 M 在双 曲线C 上，且直线 2MF 的倾斜角是直线 1MF 的倾斜角的 2 倍． （1）求双曲线C 的标准方程； （2）若 A ，B 是双曲线C 上的两个动点，且恒有 π 2 AOB  ，是否存在定圆与直线 AB 相切？若存在，求出定圆的方程，若不存在，请说明理由． 18．在数列 na 中， 11 3 (2, 2 *) n nna a na     N ． （1）求数列 na 的通项公式； （2）已知数列 nb 满足 1 2 11 14 4 4 n nb bbb na    ； ①求证：数列 nb 是等差数列； ②若 2 3b  ，设数列 1n n n n b b c a  的前n项和为 nT ，求证： 14nT  ． 19．已知函数 ( ) ln( ) 9 4 ( 0)f x x a a x a     ． （1）若曲线 ( )y f x 在 2x  处的切线的方程为 x y b  ，求实数b的值； （2）若函数 ( ) ln 2f x a a≤ 恒成立，求a的取值范围． 高三年级信息卷 数学答案 一、选择题： 1~4．D AAC 5~8．BCBC 二、选择题： 9．BD 10．AB 11．ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．1024 13． -15 14．4 四、解答题： 15．某批零件一级品的比例约为80%，其余均为二级品．每次使用一级品零件时肯定不会发生故障，而在每次使用二级品零件时发生故障的概率为0.1．某项任务需要使用该零件次（若使用期间出现故障则换一件使用）． （1）某零件在连续使用3次没有发生故障的条件下，求该零件为一级品的概率； （2）当时，求发生故障次数的分布列及期望． 解：记事件 “从这批产品中任取一件为一级品”，则， 记事件 “使用零件次，没有发生故障”，则，． （1）， ……………………………………………………3分 所以．……………………………6分 （2）可能取0，1，2. ， …………………8分 ， …………………10分 ， …………………12分 0 1 2 所以． …………………13分 16．证明：（1）连，由点为的中点，为半个圆柱上底面的直径知， 由，知，， 则，又四点共面，所以，…………2分 由为直三棱柱的侧面知，即，则， 由为的中点得， 所以四边形为平行四边形，则， 又，则， ………………4分 因为，分别为，的中点，所以， 又，，所以， ………………6分 又，所以平面平面．……………8分 （2）（法一）以为一组空间正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以，， 设， （第16题） 则， 由平面平面知直线与平面 所成角即为直线与平面所成角， 设平面的法向量为， 由，取， 则平面的一个法向量为， ……………11分 设直线与平面所成角为，则 ， …………………………14分 又，则时，的最大值为． …………………………15分 所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为． （第16题） （法二）在直三棱柱中，， 因为，所以， 由（1）知，，所以， 又， 所以， 因为， 所以， 过作， 因为，所以， 又平面平面， 则直线与平面所成角即为直线与平面所成角， 因为∽且正方形的边长为2， 所以，则， 又，要使值最大， 则最小，在中， 过作交于，由等面积可求出，此时． 所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为． 17．（1）设双曲线的焦距为，因为直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，所以， ，……………………2分 点在双曲线上 所以， 联立得或（舍去）， …………………………4分 所以双曲线方程为：． …………………………5分 （2）（ⅰ）若直线的斜率不存在，设方程为， 因为， 由解得，可得原点到直线的距离为．…………………7分 （ⅱ）若直线的斜率存在，设方程为， 又， 则，（*） …………………………9分 联立， 当且，即且时， ，代入（*） …………………………11分 得，即（），……12分 原点到直线的距离为． ………14分 综合（ⅰ）（ⅱ），存在以原点为圆心，半径为的圆与直线相切， 所求定圆的方程为． …………………………15分 18．（1）因为， 所以， 所以， 所以， ……………………………………………3分 因为，所以n=1时，， 所以数列是各项为0的常数列，即， 所以． ……………………………………………5分 （分奇偶项做每做出一种情况得2分，得出统一通项公式得1分） （2）①由得 所以① …………………………………………7分 所以② ②-①得：③ ……………………………………………9分 所以④ ④-③得，所以 即 所以数列是等差数列． ……………………………………………11分 ②当时，由得，所以， 又，所以， ……………………………………………13分 所以，…………………15分 即 ． …………………………………………17分 19．解：（1）因为，函数的定义域为， 所以， ………………………………2分 由曲线在处的切线的方程为，得， 所以， ………………………………4分 （方法一）方程化为， 两边平方并化简得， 所以， 又（）， 所以有唯一解（检验适合），………………………………6分 所以，， 所以切点坐标为，代入直线方程得． ………………………………8分 （法二）设，， 所以函数是上的递增函数，又， 所以方程有唯一解， （下同法一） （2）（法一），定义域为， ， 设，所以， 所以在上递减，又，， 所以，使得，即， ………………………………10分 当时，，即，函数递增， 当时，，即，函数递减， 所以函数的最大值 ， ………………12分 又， 所以， 所以， …………………………………………13分 因为恒成立，即恒成立， 设，则，所以递增， 所以，即恒成立， …………………………………………15分 因为在上递减，且， 所以只需恒成立，即， 又，所以． …………………………………………17分 （法二）因为函数恒成立，函数的定义域为， 所以成立，得，得，即， ， ， 设，所以， 所以在上递减，又，， 所以，使得，即， 当时，，即，函数递增， 当时，，即，函数递减， 所以函数有最大值， 又， 所以， 所以，又， 设，显然递增，且， 又，所以， 即函数恒成立，所以的取值范围是． 数学答案 第 1 页 （共 7 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$数学答案 第 1 页 （共 7 页） 高三年级信息卷 数学答案 一、选择题： 1~4．D AAC 5~8．BCBC 二、选择题： 9．BD 10．AB 11．ABD 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5 分，共 15 分。 12．1024 13． -15 14．4 四、解答题： 15．某批零件一级品的比例约为 80%，其余均为二级品．每次使用一级品零件时肯定不会发生故障， 而在每次使用二级品零件时发生故障的概率为 0.1．某项任务需要使用该零件 n次（若使用期间 出现故障则换一件使用）． （1）某零件在连续使用 3次没有发生故障的条件下，求该零件为一级品的概率； （2）当 2n  时，求发生故障次数 X 的分布列及期望． 解：记事件 A  “从这批产品中任取一件为一级品”，则 ( ) 0.8, ( ) 0.2P A P A  ， 记事件 nB  “使用零件 n次，没有发生故障”，则 ( | ) 1nP B A  ， ( | ) 0.9 n nP B A  ． （1） 33 3 3( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) 1 0.8 0.9 0.2 0.8 0.1458 0.9458P B P B A P A P B A P A         ， ……………………………………………………3分 所以 333 3 3 ( ) ( )( ) 1 0.8 4000( ) ( ) ( ) 0.9458 4729 P B A P AP AB P A B P B P B      ．……………………………6分 （2） X 可能取 0，1，2. 2 2 2( 0) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0.8 0.9 0.2 0.962P X P B A P A P B A P A        ， …………………8分 1 1 1 1( 1) ( ) ( ) ( ) ( ( ))P X P AB P A P AB P A B B      1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (( ) ) ( )P B A P A P A P B A P A P B B A P A     0.1 0.2(0.8 0.9 0.2) 0.9 0.1 0.2 0.0376        ， …………………10分  221( 2) [ ( )] 0.2 0.1 0.0004P X P AB     ， …………………12分 X 0 1 2 P 0.962 0.0376 0.0004 所以 ( ) 0.0384E X  ． …………………13分 16．证明：（1）连 1C D，由点D为1 1BC 的中点， 1 1BC 为半个圆柱上底面的直径知 1 1 45DC B   ， 由 90ACB  ， 2AC BC  知 1 1 1 45C B A  ， 1 2C D  ， 则 1 1 1 1 1DC B C B A   ，又 1 1 1A B D C， ， ， 四点共面，所以 1 1 1A B C D ，…………2分 数学答案 第 2 页 （共 7 页） 由 1 1A ABB 为直三棱柱的侧面知 1 1A B AB ，即 1 1A B FB ，则 1C D FB ， 由 F 为 AB的中点 2AC BC  得 12FB C D  ， 所以四边形 1FBDC 为平行四边形，则 1BD FC ， 又 1BD BCD FC BCD 平面 ， 平面 ，则 1FC BCD平面 ， ………………4分 因为 E， F 分别为 AC， AB的中点，所以 EF BC ， 又 EF BCD平面 ， BC BCD平面 ，所以 EF BCD平面 ， ………………6分 又 1 1 1, ,EF FC F EF FC EFC  平面 ，所以平面 BCD∥平面 1C EF．……………8分 （2）（法一）以 , ,CA CB CC   为一组空间正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz ， 则 1 1(1,0,0), (1,1,0), (0,0,2), (2,0,2)E F C A ， 所以 1 1(0,1,0), ( 1,0,2), ( 1,1, 2)EF EC A F         ， 1 ( 1, 1,2)FC     ， 设 1 ( , , 2 ), [0,1]FP FC           ， 则 1 1 ( 1, 1,2 2)A P A F FP              ， 由平面 BCD∥平面 1C EF知直线 1A P与平面 BCD 所成角即为直线 1A P与平面 1C EF所成角， 设平面 1C EF的法向量为  = x, y,zn ， 由 1 0 2 0 EF y EC x z             n n ，取 1z  ， 则平面 1C EF的一个法向量为  2,0,1=n ， ……………11分 设直线 AP与平面 1C EF所成角为 ，则 1sin cos ,A P   n 1 21 4 2 105 6( ) 3 3 A P A P         n n ， …………………………14分 又 [0,1]  ，则 2 3   时， sin 的最大值为 2 6 5 ． …………………………15分 所以直线 1A P与平面 BCD所成角的正弦值的最大值为 2 6 5 ． （法二）在直三棱柱 1 1 1ABC A BC 中， 1CC ABC底面 ， 因为 EF ABC底面 ，所以 1CC EF ， 由（1）知 EF BC ， BC AC ，所以 EF AC ， 又 1 1 1 1, ,AC CC C AC CC AAC C  平面 ， 所以 1 1EF AAC C平面 ， A B CE F D 1A 1B 1C P （第 16题） z x y A B CE F D 1A 1B 1C P （第 16题） H 数学答案 第 3 页 （共 7 页） 因为 1EF EFC平面 ， 所以 1 1 1EFC AAC C平面 平面 ， 过 1A作 1 1 1AH EC EC H 交 于 ， 因为 1 1 1 1EFC AAC C C E平面 平面 ，所以 1 1AH C EF平面 ， 又平面 BCD∥平面 1C EF， 则直线 AP与平面 BCD所成角即为直线 AP与平面 1C EF所成角 1A PH ， 因为 1Rt C EC△ ∽ 1 1Rt AHC△ 且正方形 ABCD的边长为 2， 所以 1 2 2 5 AH  ，则 1 4 5 AH  ， 又 11 1 1 4 5sin AHA PH A P A P    ，要使 1sin A PH 值最大， 则 1A P最小，在 1 1A FC△ 中 1 1 1 16, 2A F FC AC   ， 过 1A作 1 1A P C F 交 1FC 于 P，由等面积可求出 1 30 3 A P  ，此时 1 2 6sin 5 A PH  ． 所以直线 1A P与平面 BCD所成角的正弦值的最大值为 2 6 5 ． 17．（1）设双曲线的焦距为 2c，因为直线 2MF 的倾斜角是直线 1PF 的倾斜角的 2倍，所以 1 2 2F F F M ， 2 2 2 2 5 3 7 11( ) ( ) 5 22 2 , 2 2 2 3 FM c c c c c c        或 （舍），……………………2分 点 5 3 7( , ) 2 2 M 在双曲线C上 所以 2 2 25 63 4 a b   ， 联立 2 2 2 2 2 25 63 4 4 a b a b c         得 2 2 1 3 a b     ， 或 2 2 25 21. a b      ， （舍去）， …………………………4分 所以双曲线方程为： 2 2 1 3 yx   ． …………………………5分 （2）（ⅰ）若直线 AB的斜率不存在，设 AB方程为 x t ， 因为 π 2 AOB  ， 2 20 0 0( , ), ( , ), 0, 0A t y B t y OA OB t y       即设 则 ， 由 2 2 0 1 3 yt   解得 6 2 t   ，可得原点到直线 AB的距离为 6 2 ．…………………7分 （ⅱ）若直线 AB的斜率存在，设 AB方程为 :l y kx m  ， 又 π 2 AOB  ， 1 1 2 2 1 2 1 2( , ), ( , ), 0, 0A x y B x y OA OB x x y y      则 即设 ， 则 2 21 2 1 2( 1) ( ) 0k x x km x x m     ，（*） …………………………9分 数学答案 第 4 页 （共 7 页） 联立 2 2 22 2 (3 ) 2 3 0 1 3 y kx m k x kmx myx           得 ， 当 23 0k  且 2 2 2(2 ) 4(3 )( 3) 0km k m      ，即 3k   且 2 2 3k m  时， 2 1 2 1 22 2 2 ( 3), 3 3 mk mx x x x k k        ，代入（*） …………………………11分 得 2 2 2 2( 1) ( 3) 2 (3 ) 0k m km mk m k          ，即 2 22 3( 1)m k  （ 3k   ），……12分 原点O到直线 AB的距离为 2 2 2 22 3 ( 1) 3 62 1 1 2 21 km m k kk        ． ………14分 综合（ⅰ）（ⅱ），存在以原点为圆心，半径为 6 2 的圆与直线 AB相切， 所求定圆的方程为 2 2 3 2 x y  ． …………………………15分 18．（1）因为 1 *3 2 ( )n n naa n  N ， 所以 1 3 2nn naa      ， 所以 11 1 3 2 2 2 2 nn n n aa       ， 所以 11 11 ( 1) 2 2 2 n n n na a        ， ……………………………………………3分 因为 1 2a  ，所以 n=1时， 1 02 n n a   ， 所以数列{ 1} 2 n n a  是各项为 0的常数列，即 1 0 2 n n a   ， 所以 2nna  ． ……………………………………………5分 （分奇偶项做每做出一种情况得 2分，得出统一通项公式得 1分） （2）①由 1 2 11 14 4 4 n nb bbb na    得 21 ) 24 (2n n nbb nb n b n b      所以 1 2 ) 22( n nb b nb n b    ① …………………………………………7分 所以 2 111 ) 2(( ( 1)1)2 nnb n bb b n         ② ②-①得： 1( 1) 2n nn b nb    ③ ……………………………………………9分 所以 2 1( 1) 2n nn b n b     ④ ④-③得 2 12n n nn b nb nb    ，所以 2 12n n nb b b   即 2 1 1n n n nb b b b     所以数列 nb 是等差数列． ……………………………………………11分 ②当 1n  时，由 1 2 11 14 4 4 n nb bbb na    得 1 11 14 bb a  ，所以 1 2b  ， 数学答案 第 5 页 （共 7 页） 又 2 3b  ，所以 1nb n  ， ……………………………………………13分 所以 2 2 1 1 ( 1)( 2) 5 8 ( 1) 5( 1) 8 2 2 2 n n n n n n n b b n n n n n nc a               ，…………………15分 即 22 1 2 0 1 1 2 1 ( 1) 5( 1) 814 22 22 32 5 8( ) ( ) [ ] 2 2 2 2 2 2n n n n n nn nT c c c                   2( 1) 5( 1) 814 14 2n n n       ． …………………………………………17分 19．解：（1）因为 ( ) ln( ) 9 4 ( 0)f x x a a x a     ，函数的定义域为 9( , ] 4 aa ， 所以 1 2( ) 9 4 f x x a a x      ， ………………………………2分 由曲线 ( )y f x 在 2x  处的切线的方程为 x y b  ，得 (2) 1f    ， 所以 1 2(2) 1 2 9 8 f a a        ， ………………………………4分 （方法一）方程化为 1 21 2 9 8a a     ， 两边平方并化简得 3 29 66 145 88 0a a a    ， 所以 2( 1)(9 5 88) 0a a a    ， 又 29 5 88 0a a   （ 2( 5) 4 9 88 0       ）， 所以 2( 1)(9 5 88) 0a a a    有唯一解 1a  （检验适合），………………………………6分 所以 ( ) ln( 1) 9 4f x x x    ， (2) 1f  ， 所以切点坐标为 (2,1)，代入直线方程 x y b  得 3b  ． ………………………………8分 （法二）设 1 2 8( ) ( 2) 2 99 8 h a a a a       ， 2 1 9( ) 0 ( 2) (9 8) 9 8 h a a a a        ， 所以函数 ( )h a 是 8( ,2) 9 上的递增函数，又 (1) 1h   ， 所以方程 1 2 1 2 9 8a a      有唯一解 1a  ， （下同法一） （2）（法一） ( ) ln( ) 9 4 ( 0)f x x a a x a     ，定义域为 9( , ] 4 aa ， 9 4 2( )1 2( ) 9 4 ( ) 9 4 a x x af x x a a x x a a x           ， 设 ( ) 9 4 2( )g x a x x a    ，所以 2( ) 2 0 9 4 g x a x      ， 数学答案 第 6 页 （共 7 页） 所以 ( )g x 在 9( , ) 4 aa 上递减，又 ( ) 5 0g a a  ， 9 5( ) 0 4 2 a ag    ， 所以 0 9( , ) 4 ax a  ，使得 0( ) 0g x  ，即 0( ) 0f x  ， ………………………………10分 当 0( , )x a x 时， ( ) 0g x  ，即 ( ) 0f x  ，函数 ( )f x 递增， 当 0 9( , ) 4 ax x 时， ( ) 0g x  ，即 ( ) 0f x  ，函数 ( )f x 递减， 所以函数 ( )f x 的最大值 max 0( ) ( )f x f x  0 0ln( ) 9 4x a a x   ， ………………12分 又 0 0 0( ) 9 4 2( ) 0g x a x x a     ， 所以 0 09 4 2( )a x x a   ， 所以 max 0( ) ( )f x f x  0 0ln( ) 2( )x a x a   ， …………………………………………13分 因为 ( ) ln 2f x a a≤ 恒成立，即 0 0ln( ) 2( ) ln 2x a x a a a   ≤ 恒成立， 设 ( ) ln 2h x x x  ，则 1( ) 2 0h x x     ，所以 ( )h x 递增， 所以 0x a a ≤ ，即 0 2x a≤ 恒成立， …………………………………………15分 因为 ( )g x 在 9( , ) 4 aa 上递减，且 0( ) 0g x  ， 所以只需 (2 ) 0g a ≤ 恒成立，即 2 0a a ≤ ， 又 0a  ，所以 1 4 a≥ ． …………………………………………17分 （法二）因为函数 ( ) ln 2f x a a≤ 恒成立，函数的定义域为 9( , ] 4 aa ， 所以 (2 ) ln 2f a a a≤ 成立，得 ln ln 2a a a a ≤ ，得 2a a≤ ，即 1 4 a≥ ， ( ) ln( ) 9 4 ( 0)f x x a a x a     ， 9 4 2( )1 2( ) 9 4 ( ) 9 4 a x x af x x a a x x a a x           ， 设 ( ) 9 4 2( )g x a x x a    ，所以 2( ) 2 0 9 4 g x a x      ， 所以 ( )g x 在 9( , ) 4 aa 上递减，又 ( ) 5 0g a a  ， (2 ) 2 (1 2 ) 0g a a a a a    ≤ ， 所以 0 ( , 2 )x a a  ，使得 0( ) 0g x  ，即 0( ) 0f x  ， 当 0( , )x a x 时， ( ) 0g x  ，即 ( ) 0f x  ，函数 ( )f x 递增， 当 0 9( , ) 4 ax x 时， ( ) 0g x  ，即 ( ) 0f x  ，函数 ( )f x 递减， 数学答案 第 7 页 （共 7 页） 所以函数 ( )f x 有最大值 max 0( ) ( )f x f x  0 0ln( ) 9 4x a a x   ， 又 0 0 0( ) 9 4 2( ) 0g x a x x a     ， 所以 0 09 4 2( )a x x a   ， 所以 max 0( ) ( )f x f x  0 0ln( ) 2( )x a x a   ，又 0 ( , 2 )x a a ， 设 ( ) ln( ) 2( ),h x x a x a    ( , 2 )x a a ，显然 ( )h x 递增，且 (2 ) ln 2h a a a  ， 又 0 ( , 2 )x a a ，所以 0( ) (2 ) ln 2h x h a a a   ， 即函数 ( ) ln 2f x a a≤ 恒成立，所以 a的取值范围是 1 4 a≥ ． 数学 第 1 页（共 6 页） 数学 第 2 页（共 6 页） 数学 第 3 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 高三年级信息卷 数学答题卡 姓名：____________________ 班级：____________________ 准考证号：____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、单选题 （共 40 分） 二、多选题（共 18 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题 5 分，共 15分） 12．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 考生条形码粘贴处 四、解答题（共 77分，解答应写出文 字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13 分） 13．____________________ 此区域禁止答题 数学 第 4 页（共 6 页） 数学 第 5 页（共 6 页） 数学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17 分） 19.（17 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！