江苏省南京师范大学附属中学2024届高三下学期5月模拟考试数学试题

高三年级数学最后一卷 2024.05 (总分 150 分，考试时间 120 分钟) 注意事项： 1．本试卷考试时间为 120 分钟，试卷满分 150 分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分． 3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题 卡上. 第 I 卷(选择题 共 58 分) 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1． 已知集合 A＝(－∞，3)，B＝{x|log3x＜2}，则 A∩B＝ A.(0,9) B.(－∞,9) C.(0,3) D.(－∞,3) 2． 已知复数 z 满足 ＝(|z|－2)＋4i，则 z＝ A.1＋i B.1－i C.3＋4i D.3－4i 3． “m∈(1,2)”是“方程 ＝1 表示焦点在 y 轴上的椭圆”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4． 若向量 a，b 满足|a＋b|＝|a|＝1,2a·b＋a2＝0，则|a＋2b|＝ A.1 B. C.2 D.2 5． 已知数列{an}满足 a1＝1，an－an＋1＝3anan＋1，则数列{anan＋1}的前 8 项和为 A. B. C. D. 6． 已知 P(N)＝ ，P( |M)＝ ，P( )＝ ，则 P(N)＝ A. B. C. D. 7． 在长方体 ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝3，AB＝AD＝4，则异面直线 AB 与 A1C 的距离为 A. B. C. D.2 8． 已知函数 f(x)＝|x－2|＋|2lnx＋x2－4x＋3|，则 f(x)的最小值为 A.1 B.2 C.2ln2＋ D.2ln2－1 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得 0 分． 9． 若 2x＝3，y＝2log32，则 A.x＜ B.xy＝2 C.x＞y D. 10．已知函数 f(x)＝ ，则 A.f(x)的图象关于点( ，0)对称 B. 为 f(x)的一个周期 C.f(x)的值域为［－ ， ］ D.f(x)在［ ， ］上单调递增 11．将正方体的体心分别以正方体的六个面所在平面进行对称，将所得 的对称点与正方体的顶点按如图所示的方式连接，就形成了一个 “卡塔兰”多面体.已知该正方体的棱长为 2a，下面关于这个“卡 塔兰”多面体的说法中，正确的是 A.这是一个十二面体 B．该多面体的表面积为 12 a2 C．该多面体内切球的表面积为 8πa2 D.该多面体的表面所在平面中，相互垂直的平面共有十二对 第 II 卷(非选择题 共 92 分) 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12．已知由样本数据(xi，yi)(i＝1,2,3,…,10)组成的一个样本，得到经验回归方程为 ＝2x －3,则样本(4,4.8)的残差为 . 13．∆ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c．若 a＝ ，C＝ ，2－b2＝bc，则∆ABC 的面积为 . 14．已知 A，B，C 是双曲线 E： ＝1(a＞0，b＞0)上的三个点，AB 经过原点 O，AC 经过 E 的右焦点 F．若以 AB 为直径的圆经过点 F，且 ，则双曲线 E 的离心率 为 . 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分 13 分) 如图，在四棱锥 P－ABCD 中，底面是边长为 4 的菱形，∠BAD＝120°， 且 PA⊥平面 ABCD，PA＝6，M，N 分别为 PB，PD 的中点． (1) 证明：平面 AMN⊥平面 PAC； (2) 求平面 AMN 与平面 CMN 夹角的余弦值． 16．(本小题满分 15 分) 已知函数 f(x)＝ex－alnx，其中 a＞0． (1) 若 a＝e，求 f(x)的极值； (2) 若不等式 f(x)≥a 恒成立，求 a 的取值范围． 17．(本小题满分 15 分) 某地区的篮球协会组织民间篮球队开展比赛，一来促进全民健身，二来带动地方经济发 展.比赛最后由甲、乙两队进行决赛，为增加看点及提升篮球比赛的热度，主办方在征得 甲、乙两队同意后，决定决赛采取五场三胜制(每场比赛均没有平局，当一队赢得三场胜 利时，该队获胜，比赛结束).已知甲队的主客场安排依次为“主主客客主”，甲队主场取 胜的概率为 p，客场取胜的概率为 0.5，且各场比赛结果相互独立． (1) 若 p＝0.6，在比赛进行三场结束的条件下，求甲队获胜的概率； (2) 比赛场馆按需预定每场租金需要 1 万元，而一次性打包定五场每场 0.8 万元．小宁 通过计算判断打包预定五场更划算(租金的期望值小)，求 p 的取值范围. 18．(本小题满分 17 分) 已知点 F(0,1)，圆 F：x2＋(y－1)2＝1，一动圆在 x 轴上方与 x 轴相切，同时与圆 F 相外 切，此动圆的圆心轨迹为曲线 C. (1) 求曲线 C 的方程； (2) P，Q 是曲线 C 上的两点，设曲线 C 在 P，Q 两点处的切线分别为 l1，l2． ①若 l1，l2分别交 x 轴于点 A，B，且 PQ＝ AB，求直线 PQ 的斜率； ②若 l1，l2交于点 D，且点 D 在椭圆： ＝1 上，求∆DPQ 面积的最大值． 19．(本小题满分 17 分) 若数列{an}满足 a1＝1，an＋1＝qnan，则称{an}为“类等比数列”，记为“G(qn)”． (1) 已知数列{an}为“G( )”数列，求{an}的通项公式； (2) 已知数列{|bn|}为“G(2)”数列，记数列{bn}的前 n 项和为 Sn，设集合 A＝{Sm|Sm＞ 0}，求 A 中元素的个数(用含 m 的式子表示)； (3) 已知数列{cn}为“G(qn)”数列，且 qn为大于 1 的正整数，c0＝2024，证明：存在唯 一的正整数 m，使得 .