2024年北京市九年级中考数学二模圆综汇编

2024年北京市二模圆综汇编 1.（丰台）如图，AB是⊙O的直径，点C，E在⊙O上，∠CAB＝2∠EAB，点F在线段AB的延长线上，且∠AFE＝∠ABC． （1）求证：EF与⊙O相切； （2）若BF＝1，，求BC的长． 2.（海淀）如图，P是⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于点A，B，PO与⊙O交于点H，. （1）求证：△ABP是等边三角形；H B A O P （2）过点A作PO的平行线，与⊙O的另一个交点为C，连接CP． 若，求⊙O的半径和的值. 3.（石景山）如图，过外一点作的两条切线，切点分别为，是 的直径，连接并延长交直线于点． （1）求证：； （2）延长交的延长线于点．若的半径为，，求的长． 4.（昌平）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，若弦CD平分∠ACB，交AB于点E，过点C作⊙O的切线CF，交AB的延长线于点F. （1）求证：∠ECF=∠FEC；24题图 （2）连接BD，若∠CDB=30°，BF=2，求⊙O半径的长. 5.（东城）如图，在△ABC中， AB = AC，CD⊥BC于点C，交△ABC的外接圆于点D. 连接BD，AE⊥BD于点E，交BC的延长线于点F． （1）求证：∠BAF=∠ABF； （2）当AE=1，BE=2时，求线段EF的长及△ABC的外接圆的半径长． 6.（房山）如图，是⊙的直径，点，在⊙上，且，连接并延长到点，连接，若. （1）求证：是⊙的切线； （2）若，，求的长. 7.（门头沟）如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，连接BC交⊙O于点D，AC=CF，连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD． （1）求证：∠EBD=∠EAB； （2）若AB=4，CF=3，求AF的值． 8.（燕山）如图，⊙O为四边形ABCD的外接圆，BD平分∠ABC，OC⊥BD于点E． (1) 求证：AD＝BC； (2) 延长CO交⊙O于点F，连接AF，若AD＝5， sin∠CBD＝，求AF的长． 9.（朝阳）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BAC的角平分线交⊙O于点D，过点D的直线 EF‖BC，分别交AB，AC的延长线于点E，F． （1）求证：直线EF是⊙O的切线； （2）若sin∠ABC=，BE=2，求BC的长． 10.（顺义）如图，⊙O 是 △ABC 的外接圆，AB 是 OO 的直径，过BC 上 一 点D 作 DE⊥AB 于 点E, 过点 C 作⊙0的切线交 ED 的延长线于点 F. (1)求证：∠DCF=∠CDF; (2)若D 为BC的中点，⊙0的半径为5, , 求 CF 的长 . 2024二模圆综汇编答案 1.（丰台）（1）证明：连接OE， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°． ∴∠CAB+∠ABC=90°． ∵所对的圆心角为∠BOE， 圆周角为∠EAB， ∴∠BOE=2∠EAB． ∵∠CAB＝2∠EAB， ∴∠BOE＝∠CAB． ∵∠AFE＝∠ABC， ∴∠BOE+∠AFE=90°． ∴OE⊥EF． ∴EF与⊙O相切． 3分 （2）解：设⊙O的半径为x， ∴OE=OB=x． ∵BF=1， ∴OF=x+1． ∵在Rt△OEF中，， ∴． ∴． ∴x=4． ∴AB=8． ∵∠AFE＝∠ABC， ∴． ∵在Rt△ACB中，AB=8， ∴． ∴AC=． ∴BC=． 2.（海淀）（1）证明：连接，如图. ∵，， ∴. ∴△为等边三角形. ∴. ∵PA切于点A， ∴. ∴. ∴. ∵PA，PB分别切于点A，B， ∴，. ∴. ∴△ABP为等边三角形. （2）解：如图，连接BC. ∵△ABP为等边三角形，， ∴. 由（1）得，在Rt△PAO中，，. ∴. ∴的半径为. ∵△AOH为等边三角形. ∴. 由（1）得，， ∴. ∵AC // PO， ∴. ∴. ∴BC是的直径. ∴. ∵PB切于点B， ∴. ∴. ∴. 3.（石景山）（1）证明：连接，如图1． ∵是的切线，是的半径， ∴，．图1 ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴． ………………………… 3分 （2）解：连接，，如图2． 在中，， 设．图2 则，． 在中，， 即． 解得． ∴，． ∵是的直径， ∴． ∵，， ∴∽． ∴． ∴ 4.（昌平）（1）证明：连接OD，OC. ∵CD平分∠ACB ∴∠ACD=∠BCD ∴ ……………………………………….………………………………………………………1分 ∵AB是直径， ∴∠AOD=∠BOD=90° ∴在Rt△EOD中，∠ODE+∠OED=90° ∵CF是⊙O切线 ∴∠OCF=∠OCE+∠FCE=90° ……….……………………………………………………………2分 ∵OD=OC ∴∠ODE=∠OCE ∴∠OED=∠FCE ∵∠OED=∠FEC ∴∠FCE=∠FEC ……………………….……………………………………………………………3分 （2）解：∵AB是直径 ∴∠ACB =90° ∵ ∴∠CDB=∠CAB =30° ∴∠ABC=60° ∵OB=OC ∴△OBC为等边三角形 ……………………….……………………………………………………………4分 ∴∠BOC=∠OCB =∠ABC=60° ∵Rt△COF中， 设OC=OB=r，则OF=r+2 ∴ …………………………………………………………………………….…………………5分 5.（东城）解：（1）∵CD⊥BC， ∴∠BCD=∠ACB＋∠ACD=90°. ∵AE⊥BD， ∴∠AEB=90°. ∴∠BAF＋∠ABD=90°. ∵， ∴∠ACD =∠ABD. ∴∠ACB =∠BAF. ∵AB＝AC， ∴∠ABF=∠ACB. ∴∠BAF =∠ABF. -----------------------------------------------------------------------3分 （2）∵∠BAF =∠ABF， ∴BF＝AF. 设EF=x，则BF=. 在Rt△BEF中，∠BEF＝90°， 由勾股定理，得, 即 . 解得. ∴. 在Rt△AEB中，∠AEB＝90°，AE=1，BE=2， ∴. ∵∠BCD =90°， ∴BD是圆的直径.----------------------------------------------------------------------------5分 连接AD，则∠DAB =90°. 由cos∠ABD＝，得. ∴△ABC的外接圆的半径长为.- 6.（房山）（1）证明：连接， ∵是⊙的直径， ∴. …..……….1分 ∴ ∵ ， ∴. ∵， ∴. ………….………..……….2分 ∴. ∴. ∵是⊙的直径， ∴是⊙的切线. ………….………..……….3分（2）过点作于点. ∴. ∵ ，， ∴. ∵， . ∴. ∵是⊙的切线， ∴. ∴. ∵， ∴. 在， ∴. 在，， ∴. ………….………..……….4分 在， ∴. ………….………..……….5分 ∴. 7.（门头沟） 证明：（1）∵AB是⊙O的直径， ∴∠AEB=90°． ……………………………………1分 ∴∠EBD+∠EFB=90°， ∵AC切⊙O于点A， ∴∠BAC=90°． ∴∠CAF+∠EAB=90° ∵AC=CF， ∴∠CAF=∠CFA． ∵∠EFB=∠CFA． ∴∠EBD=∠EAB．……………………………………3分 （2）解：连接AD ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°． ∵由（1）可得∠CAB=90°． ∴ ∴ ∵AB=4，AC=3，由勾股定理可得BC=5．……………4分 ∴ 由△CAD∽△CAB可得 ∴ ……………5分 ∴ 在△ADF中，由勾股定理可得． ……………6分 8.（燕山）(1) 证明：∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， ∴＝． ∵半径OC⊥BD， ∴点C为的中点，即＝， ∴＝， ∴BC＝AD． ……………………………………………3分 (2) 解：如图，连接AC，BF， ∵CF是⊙O的直径， ∴∠CBF＝∠CAF＝90°． ∵半径OC⊥BD， ∴BD＝2BE． 在Rt△BEC中，∠BEC＝90°， BC＝AD＝5，sin∠CBE＝＝， ∴CE＝3， ∴BE＝4， ∴BD＝8． ∵＝， ∴AC＝BD＝8． ∵在Rt△BEC和Rt△FBC中， ∠BEC＝∠FBC＝90°，∠ECB＝∠FCB， ∴△BEC∽△FBC， ∴＝， ∴CF＝＝． 在Rt△CAF中，∠CAF＝90°，CF＝，AC＝8， ∴AF＝＝． 9.（朝阳）证明：（1）如图，连接OD． ∵OA=OD， ∴∠OAD=∠ODA． ∵AD平分∠BAC， ∴∠OAD=∠DAC． ∴∠ODA=∠DAC． ∴AC//OD． 1分 ∴∠ODE=∠F． ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°． 2分 ∵EF//BC， ∴∠F=∠ACB =90°． ∴∠ODE=90°． 即OD⊥EF． ∴直线EF是⊙O的切线． 3分 （2）∵BE=2， 设⊙O的半径为r，则OE=r+2． ∵EF//BC， ∴∠ABC=∠E． 4分 ∵sin∠ABC =， 在Rt△OED中，sin∠E=． 即． ∴r = 3． 5分 ∴AB=6． ∴ 在Rt△ABC中，由勾股定理得BC=． 学科网（北京）股份有限公司 $$