江西省抚州市金溪县第一中学2023-2024学年高一下学期第二次月考数学试卷

高一数学试卷 注意事项： 1,答题前，考生务必将自已的姓名、考生号，考场号、座位号填写在答题卡上， 2,回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在 的 答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.本试卷主要考试内容：北师大版必修第二册第一章占25%，第二、三章占35%， 第四章占25%，第五章占15%。 贸 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 却 题目要求的， 10i 1-+ 部 A.3+i B.3+3i C.-3-i D.3-i 长 2cos8cos+sm7登os A-号 B c-9 D号 3.某农户有一块扇形菜地，已知该菜地的曲边长（扇形的弧长）为8米，面积为8平方米，则该菜 地的周长为 都 A.9米 B.10米 C.12米 D.14米 4.已知复数3十4i是关于x的一元二次方程x2十mx十n=0(m,n∈R)的一个复数根，则复数 高 m十在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 齿 5.正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系.在如图 所示的正五角星ABCDE中，AB=6,O是该正五角星的中心，则OA·AB= A.-18 B.-12 C.12 D.18 6.2cos35° sin 65 -√3tan25°= A.√3 B.-√3 C.1 D.-1 7.如图，某数学兴趣小组成员为测量某塔的高度，在该塔的底部O点 的同一水平面上的A,B两处进行测量，已知在A处测得塔顶P的 仰角为45，在B处测得塔顶P的仰角为30°，∠AOB=150°，AB= 15√7米，则该塔的高度OP= A.15√7米 B.15√3米 C.30米 D.15米 【高一数学第1页（共4页）】 ·24-535A· Page 1 of 4 8已知ac0,m且osa=-7得ama-》=号则一2g A一开或 B.-3x 4 c-开 D-3平或7 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知向量a=(m,3),b=(n,一1)，则下列结论正确的是 A.若a∥b,则m=3n B.若a⊥b,则mn=3 C.若引a|=3,则m=0 D.若|a|=|bl,则n的取值范围是[22，十co) 10.已知，是两个不同的非零复数，则下列说法正确的是 A若1,2均为纯虚数，则·2为实数 B.若|=|2|=1，则川1·2|=1 C.若1=|2l,则刘=一之2或= D.若·=|l,则||=1 1.已知函数f代x)=2cos2(x+爱)-cos(2x+),则下列说法正确的是 A,将f(x)的图象向左平移器个单位长度后得到一个偶函数的图象 B.f(x)的图象关于点（经，0）中心对称 C方程了x1x-票=1在[-，2]止的所有解的和是 D.若[m,n]二[0，π]，对任意的x1,x2∈[m,n],且x1<x2,f(x)<f(x2)恒成立，则n-m 的最大值是贾 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,若Q=6,b=4,A=号，则cosB=△ 13.已知sin(a+号)=号，则sin(2a+吾)=△一 14.已知复数1=a(a-3i),2=-a十(a2+2)i(a∈Z),且|十2|=2√10，则2的实部为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知函数f(x)=sin2x十√3cos2.x十1. (1)求f(x)的单调递减区间； (2)求不等式f(x)≥2的解集 Page 2 of 4 16.(15分) 已知0a<x,且cosa+7)=是 (1)求cosa的值； (2)求tan2a的值. 17.(15分) 如图，在平行四边形ABCD中，AB=3,AD=2,∠BAD=60°，E是AB的中点，D市=2F式， AF与DE交于点P, (1)用AB,AD分别表示D克，A市； (2)求向量A市，D龙夹角的余弦值； (3)求AP在D方向上的投影数量. Page 3 of 4 18.(17分) 在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,且anA=1二c05B sin B (1)i证明：B=2A. (2)若b=4,求c的取值范围. 白出，西云坊共公蓝4是手 19.(17分) 已知函数f(x)=asin x-2sin2x-acos x十1. (1)若a=0,求f(x)的最大值及对应的x的取值集合； (2)若对任意的x1,x2∈R,|f(x)-f(x2)|≤9恒成立，求a的取值范围. :0州十g使-的 煤 路 蓝 3 、学 剑时 通 份润 【高一数学第4页（圯a明升of4 ·24-535A·高一数学试卷参考答案 1.D原式=i(-1-3i)=3-i. 2.Bcos登os5+sin登cos晋-cos登os吾十sn段n是=cos(0-=os哥-号 3.C 设该扇形菜地的半径为r米，则2×8=8，解得r=2,故该菜地的周长是8+2×2= 12米. 4.B由题意可得m=一6，n=3+4=25,则m十i在复平面内对应的点为（一6,25），位于第 二象限 5.A由题意可得Oi·AB=一2A亦=-18. 6.C 2c0s35°-5am25°=2c0s35°3sin25°_2c0s(60°-25)5sin25°-cos25 sin 65 c08s25 C0s25 c0s250=1. 7.D设OP=h米，则OA=h米，OB=3h米.在△OAB中，由余弦定理可得AB=OA十 OB-2OA·OBcos.∠AOB,即AB=h2+3h2-2×√3h2cos150°=7h2,解得h=15. 8.B因为0<a<x,cosa=- 所以s。号.所以1an。=-·吾<a<元因为0<长x, 72 所以-<-<0，所以-受<a一K元因为an(a一)=号>0，所以0<a一K受.因为 ma一0=号所以am2a0=。2n-是则tma-0=am2e-》-】- an2)tang=1,故a-29=kx十平(k∈D.因为0<a-受，所以0<2(a)<元 1+tan 2(a-B)tan a 因为tan2a-)=子>0，所以0<2a-<受.因为受<a<,所以-x<-a<-受，所以 一<a-230,所以。-2g=-3= 9.BC由a∥b,得m=一3，则A错误.由a⊥b,得mn=3,则B正确.由a=3,得√m+9= 3,解得m=0,则C正确.由a=|b,得√m+9=√2+1，即m2=n2一8，从而n一8≥0， 解得n≥2√2或1≤一2√2，则D错误. 10.ABD若，22均为纯虚数，则可设1=bi,2=b2i,其中b,b均为非零实数，则≈1·2= 一b1b∈R,故A正确.设=a十bi,2=c十di(a,b,c,d∈R,且a,b不同时为0，c,d不同时 为0)，则=a-i,2=c-di,1·2=ac-bd+(ad+bc)i.由=2=1，得a2+}=c2 +d2=1,(ac-bd)2+(ad+bc)2=a2c2+b2d2+a2d+bc2=(a2+2)(c2+d)=1,B 正确.当1=2，妇=2i时，满足=2|，此时1≠一2且名≠2，则C错误.由≈1·= |≈1，得a2+=√a2+,则a2+6=1,即=1，故D正确. 【高一数学·参考答案第1页（共5页）】 ·24-535A· 1.ACD由题意可得fx)=cos(2x+否)+1-cos(2x+受)=2sin(2x+没)+1，则f(x+ )=2sim[2x+费)++1=Ecos2x十1，从而fx+)是偶函数，故A正确由2z +登-x∈D.得x经-∈D.则fx)图象的对称中心为（弩-牙，1D∈D,故 B错误由)-71=1，得)= x-13 因为fx)的图象关于直线x=7对 4 称，函数y= 的图象也关于直线x= 要对称，所以方程x)x一=1在 24 [一，2]上有6个解，且在直线x=要两侧各有3个解，则它们所有解的和是×6 1严，故C正确由对任意的∈[m,],且<()<f()恒成立，得f)在 [m,]止单调递增.令2kx一吾<2x+登<2kx十受(k∈ZD,得x一≤r<kx十哥(k∈ Z).因为[m,n]二[0，元]，所以当k=0时，0≤x≤无，此时n一m的最大值是：当k=1时， <≤，此时m一m的最大值是故D正确。 24 12.9 由正弦定理可得AB则血B=A-得因为6a,所以B<A,则osB 、6 3 18-器 sm(2a+吾）=snm[2a+7)-]=-cos2a+爱)=2sm(a+号》-1=- 14.一3或1 由题意可得1+2=a2-a+(a2一3a十2)i,则1十2|= √/(a-a)2+(a2-3a+2)2=2√10，即a2(a-1)2+(a-2)2(a-1)2=40,即(a-1)(2a2 -4a+4)=40,故(a-1)2[(a-1)2+1]=20.因为a∈Z,所以(a-1)2+1∈Z,(a-1)2∈Z, 且(a-1)≥0.因为20=4×5=2×(2十1)，所以(a一1)=4，解得a=一1或a=3.故2 的实部为一3或1. 15.解：由题意可得f(.x)=sin2x十3cos2.x十1=2sin(2x+)+1. …3分 (1)令2kx十受≤2x+号<2kx+3(k∈0，… 5分 km十≤≤kπ十(kEZ.… 6分 故f()的单调递减区间是[kx十卺km十受]（∈D, …7分 【高一数学·参考答案第2页（共5页）】 ·24-535A· （2)由f代x22.得2sin（2x+骨)+1≥2，即sin2x+弩)≥号.…8分 则2kx+晋≤2x+晋<2kx+g(1∈Z, …10分 解得x一是<<1十平(h1∈Z.… 12分 故不等式f)≥2的解集是[1x一卺x+平](1∈Z). 13分 16.解：1)因为sin2(a+平)+cos2(a+平)=1，所以sin(a+平)=±√1-cos(a+平)=±号 2分 因为0<a<x,所以子<a+子<平 …3分 因为cos(a+平)=号>0，所以<a+<受，所以sin(a十平)=号， …5分 则cosa=oc[a+骨)-]=cosa+骨)eos子+sina+子)sin暮-7得 10 …7分 (2)因为0<a<π，所以sina>0. 8分 由1可知cs。-2语则ma- ② 10分 所以tana= sin a1 0sa7,… 12分 2tan a 2×7 故tan2a=1-tana 1-() 24 …15分 17.解：1)因为E是AB的中点，所以A花=号A市，则D=A花-A市=号AB-AD …2分 因为D亦=2F心，所以D亦=号D心-号A亦，则A=A市+D亦=号$+A 。…4分 (2)由1)可得.D成=（号B+动（号AB-D=专A存-专B.市-心.… …5分 因为AB=3,AD=2,∠BAD=60°，所以AB·AD=3×2X2=3,…6分 则市.D成=号×9-6×3-4=- …7分 所以=√号A花+d=√合亦+号恋.市+亦=23，…8分 D成-√兮B-=√存-恋市+市= 2 。t…0+t* 9分 【高一数学·参考答案第3页（共5页）】 ·24-535A· 故cos(Af,D)= AF·DE 39 AFLIDE 26 11分 (3)依题意可得△APED△FPD.则部崇 AE 12分 则A市-多A市， 13分 故A节在D心方向上的投影数量为市：D正 多亦.D成 913 IDE IDE 91· ……15分 1&证明：因为amA=g所以出A是， cos A sin B …1分 所以sin Asin B=cosA-cos Acos B,即cos Acos B+sin Asin B=cosA, 2分 所以C0s(B-A)=C0sA.…4分 因为0<A<x,0<B<π，所以B-A=A,即B=2A.…6分 (2解：由正弦定理可得BC·则(-细Sm2-曲升 sin B sin 2A sin2A· …7分 因为sin2A=2 sin Acos A,cos2A=2cos2A-1, 9分 所以sin3A=sin2 Acos A十cos2 Asin A=sinA(4cos2A-1),…11分 c-4sin 3A-4sin A(4cos AD)-8cos A-2 sin 2A 2sin Acos A cos A' …12分 0<A<π， 因为0<2A<π， 解得0<A<于，所以2<cosA<1. …14分 0<π-3A<x, 设1=0sA∈（1)，则y=81-兰在(2,1)上单调递增， ……15分 故y∈(0,6)，即c的取值范围是(0,6).…17分 19.解：(1)当a=0时，f(.x)=-2sin2.x十1，则f(.x)mx=3, 2分 此时2x=2kπ-(k∈Z),即x=kπ一牙(k∈Z),…4分 故f(x)的最大值为3，此时x的取值集合为xx=x一平，k∈Z.…5分 (2)设1=sinx-cosx=/2sim(x-于)e[-22],则sin rcos=1与 2 故y=g(t)=22十at-1(-√2≤1≤2).…6分 对任意的x1,x2∈R,|f(x1)一f(x2)≤9恒成立等价于对任意的t∈[一√2，w2],|g(t1) g(12)≤9恒成立，即对任意的t4,l2∈[-√2w2],0<g(t)mx一g(t)m≤9恒成立.…7分 当-4≤-√2，即a>42时，g()在[一√2w2]上单调递增， 则g(t)mmx=g(W2)=3十√2a,g(t)m=g(-√2)=3-√2a, 【高一数学·参考答案第4页（共5页）】 ·24-535A· 故g(t)mx-g(t)m=2√2a. 由0<g0m-g0<9,得0<2Ea<9,解得0<a<9.则。≥42不符合题意.… …9分 当-V2<-4<0,即0≤a<4v2时，g)在[一√2，-号]上单调递减，在(-号W2]上单调 递增，则g0）m=g2)=3+2a,g0)m=g(-早)=-342-1 故g)-g)m=ga2+2a+4. 由0<g0m-g)m≤9，得0<8a2+V2a十49，解得-10V2<a<-4v2或-4v2<a ≤2√2，因为0≤a<42,所以0≤a≤22符合题意.…11分 当0<-≤2，即-4v2<a<0时，g)在[一√2，-]上单调递减，在(-号W2]上单调 递增，则g)m=g一2)=3-2a,g)m=g(-)=- 8a2-1, g(w-g()m-ga-/Za+4. 由0<g0-g)m<9,得0<日a2-√2a十49，解得-22<a<102,且a≠4v2. 因为-42≤a<0,所以-2√2≤a<0符合题意.…13分 当-4>√2，即a<-4V2时，g)在[一√2w2]上单调递减， 则g(t)m=g(√2)=3十2a,g()mx=g(-√2)=3-V2a, 所以g(t)mx-g(t)m=-2√2a. 由0<g0)m一gm≤9，得0<-2v2u≤9，解得-92<a<0,则a<-42不符合题意. …444……………4……*40…4.4…4444……0……5f 综上，a的取值范围是[一2√2,22. …17分 【高一数学·参考答案第5页（共5页）】 ·24-535A·