复习06讲 立体几何中的平行和垂直问题（精讲+精练）-2024年高二数学暑假预习（人教A版2019选择性必修第一册）

2024年高二数学暑假自学提升课（人教A版2019选择性必修第一册） 复习06讲 立体几何中的平行和垂直问题（精讲+精练） ①线面平行的判定（中位线、平行四边形、线段成比例、线面平行的性质定理） ②面面平行的判定 ③面面平行证线面平行 ④线面垂直的判定（五种常见垂直关系） ⑤面面垂直的判定 ★⑥面面垂直的性质定理 一、直线与平面平行 1．定义：直线与平面没有公共点，则称此直线与平面平行，记作∥ 2．判定方法（文字语言、图形语言、符号语言） 文字语言 图形语言 符号语言 线∥线线∥面 如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行（简记为“线线平行线面平行 面∥面线∥面 如果两个平面平行，那么在一个平面内的所有直线都平行于另一个平面 3．性质定理（文字语言、图形语言、符号语言） 文字语言 图形语言 符号语言 线∥面线∥线 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行 二、平面与平面平行 1．定义 没有公共点的两个平面叫作平行平面，用符号表示为：对于平面和，若，则∥ 2．判定方法（文字语言、图形语言、符号语言） 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理线∥面面∥面 如果一个平面内有两条相交的直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（简记为“线面平行面面平行 线面面∥面 如果两个平面同垂直于一条直线，那么这两个平面平行 ∥ 3．性质定理（文字语言、图形语言、符号语言） 文字语言 图形语言 符号语言 面//面 线//面 如果两个平面平行，那么在一个平面中的所有直线都平行于另外一个平面 性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行（简记为“面面平行线面平行”） 面//面 线面 如果两个平面中有一个垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线 三、直线与平面垂直的定义 如果一条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直，那称这条直线和这个平面相互垂直． 四、直线与平面垂直判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 判断定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 面⊥面⇒线⊥面 两个平面垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 _ _ a 平行与垂直的关系 一条直线与两平行平面中的一个平面垂直，则该直线与另一个平面也垂直 _ 平行与垂直的关系 两平行直线中有一条与平面垂直，则另一条直线与该平面也垂直 _ b _ a 五、直线与平面垂直性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 垂直于同一平面的两条直线平行 _ b _ a 文字语言 图形语言 符号语言 垂直与平行的关系 垂直于同一直线的两个平面平行 _ 线垂直于面的性质 如果一条直线垂直于一个平面，则该直线与平面内所有直线都垂直 六、平面与平面垂直 如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直．（如图所示，若，且，则） 一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． 七、平面与平面垂直判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 _ 八、平面与平面垂直性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 _ _ a ①线面平行的判定（中位线、平行四边形、线段成比例、线面平行的性质定理） 策略方法 1.中位线 （1）可以拿一把直尺放在位置（与平齐），如图一； （2）然后把直尺平行往平面方向移动，直到直尺第一次落在平面内停止，如图二； （3）此时刚好经过点（这里熟练后可以直接凭数感直接找到点），此时直尺所在的位置就是我们要找的平行线，直尺与相交于点，连接，如图三； （4）此时长度有长有短，连接并延长刚好交于一点，刚好构成型模型（为中点，则也为中点，若为等分点，则也为对应等分点），，如图四． 2.平行四边形 （1）可以拿一把直尺放在位置，如图一； （2）然后把直尺平行往平面方向移动，直到直尺第一次落在平面内停止，如图二； （3）此时刚好经过点（这里熟练后可以直接凭数感直接找到点），此时直尺所在的位置就是我们要找的平行线，直尺与相交于点O，连接， 如图三； （4）此时长度相等（感官上相等即可，若感觉有长有短则考虑法一A型的平行），连接，刚好构成平行四边形型模型（为中点，O也为中点，为三角形中位线），，如图四． 图一 图二 图三 图四 3.线面平行性质定理 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行 【题型精练】 一、解答题 1．（22-23高一下·全国·课后作业）如图，在正方体中，点为棱的中点．    求证：平面． 2．（2024高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，点分别为的中点．求证：直线平面．    3．（23-24高一下·北京顺义·期中）如图，四棱锥的底面为平行四边形.设平面与平面的交线为m，分别为的中点. (1)求证：平面； (2)求证：. 4．（23-24高三上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）如图，在四棱锥中，平面，，，，为棱上的一点，且． (1)证明：平面； (2)求四棱锥的体积． 5．（22-23高一下·广西河池·阶段练习）如图所示，在多面体中，四边形，，ABCD均为边长为2的正方形，E为的中点，过，D，E的平面交于点F．    (1)证明：； (2)求三棱锥的体积． ②面面平行的判定 策略方法 常用证明面面平行的方法是在一个平面内找到两条相交直线与另一个平面分别平行或找一条直线同时垂直于这两个平面．证明面面平行关键是找到两组相交直线分别平行． 【题型精练】 一、解答题 1．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，四棱锥的底面为平行四边形，M，N，Q，S分别为PC，CD，AB，PA的中点．    (1)求证：平面平面； (2)求证：平面PBC． 2．（23-24高一下·广东广州·期中）由直四棱柱截去三棱锥后得到的几何体如图所示，四边形ABCD为平行四边形，O为AC与BD的交点. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)设平面与底面ABCD的交线为l，求证：. 3．（2023高三·全国·专题练习）如图，在正方体中，E，F分别为，中点，G，H分别为，中点，O为平面中心．证明：平面‖平面； 4．（23-24高一下·云南昆明·期中）如图，已知是平行四边形所在平面外一点，、分别是、的三等分点（靠近，靠近）； (1)求证：平面． (2)在上确定一点，使平面平面，并证明. 5．（23-24高一下·陕西咸阳·期中）如图，在直四棱柱中，底面为正方形，为棱的中点，． (1)求三棱锥的体积． (2)在上是否存在一点，使得平面平面.如果存在，请说明点位置并证明.如果不存在，请说明理由. ③面面平行证线面平行 策略方法 已知平面平面，则平面里的任意直线均与平面平行 【题型精练】 一、解答题 1．（2024高三·全国·专题练习）直四棱柱中，，求证：平面.    2．（2024高三·全国·专题练习）如图，在三棱柱中，侧面是矩形，侧面是菱形，，、分别为棱、的中点，为线段的中点．证明：平面.    3．（23-24高一下·浙江杭州·期中）正方体中，，分别是，的中点.      (1)求异面直线与所成角； (2)求证：平面 4．（22-23高一下·浙江嘉兴·期中）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为上的点，且，为中点．    (1)证明：平面. (2)在上是否存在一点，使得平面？若存在，指出点位置，并证明你的结论；若不存在，说明理由． 5．（23-24高一下·重庆·期中）如图，在四棱锥中，，. (1)若点为的中点，为的中点，求证：平面平面. (2)在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，请求出的值：若不存在，请说明理由. ④线面垂直的判定（五种常见垂直关系） 策略方法 【题型精练】 一、解答题 1．（22-23高二上·北京·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，为的中点． (1)求证：平面； (2)若点是棱的中点，求证：平面． 2．（2024高一下·全国·专题练习）如图，在圆锥中，已知，的直径，点C在上，且，点D为的中点．证明：平面 3．（23-24高二上·上海杨浦·期中）如图,为菱形外一点,平面,,为棱的中点. (1)求证:平面; (2)若,求到平面的距离. 4．（2024高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，已知，.证明：平面； 5．（2024高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，，，四边形是菱形，，是棱上的动点.证明：平面. 6．（2024高三·全国·专题练习）如图，在直三棱柱中，，M，N分别是，的中点，.证明：平面. 7．（2024·四川攀枝花·三模）如图，直三棱柱中，，点在线段上，且点为的重心，．    (1)证明：； (2)若，求三棱锥的体积． 8．（2023·河南·三模）如图，四棱锥中，四边形ABCD为梯形，，，，，，M，N分别是PD，PB的中点．    (1)求证：直线平面； (2)求证：． ⑤面面垂直的判定 证明面面垂直的两种方法 【题型精练】 一、解答题 1．（2023高三·全国·专题练习）如图，在圆锥中，是底面的直径，且， 是的中点．求证：平面平面；    2．（2023高三·全国·专题练习）如图，在三棱柱中，平面．证明：平面平面；    3．（23-24高三下·陕西安康·阶段练习）如图，在多面体ABCDE中，A，B，E，D四点共面，，，，，，F为BC的中点． (1)求证：平面ADF平面BCE； (2)求点E到平面ABC的距离． 4．（2024·青海西宁·二模）如图，在三棱柱中，． (1)求证：平面平面； (2)求四棱锥的体积． 5．（23-24高三上·陕西榆林·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，，是正三角形，已知，，. (1)证明：平面平面； (2)求点到平面的距离. 6．（22-23高一下·吉林长春·阶段练习）在四棱锥中，底面是正方形，若，，．    (1)求证：平面平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 7．（2024高二·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面为正三角形，且其所在平面垂直于底面． (1)求证：； (2)若为边的中点，则能否在棱上找到一点，使平面平面？并证明你的结论． 8．（23-24高二上·上海浦东新·期中）如图，在四棱锥，底面正方形，为侧棱的中点，. (1)求四棱锥体积； (2)在线段上是否存在一点，使得平面平面，若存在，请说明点的位置，若不存在，请说明理由. ★⑥面面垂直的性质定理 【题型精练】 一、解答题 1．（2024高三·全国·专题练习）如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD，M为CD的中点．将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM.点O是线段AM的中点．求证： (1)平面BDO⊥平面ABCM； (2)AD⊥BM. 2．（2024·广东·二模）如图，三棱柱的底面是等腰直角三角形，，侧面是菱形，，平面平面． (1)证明：； (2)求点到平面的距离． 3．（2024·四川成都·三模）如图，在三棱台中，在边上，平面平面，，，，，. (1)证明：； (2)若的面积为，求三棱锥的体积. 4．（2024高三·全国·专题练习）在三棱柱中，平面平面ABC，，，D为AC的中点．求证：平面平面.    5．（2024高三·全国·专题练习）如图，四棱锥中，平面平面为等边三角形，，是棱的中点. 证明：； 6．（23-24高一下·湖南衡阳·期中）如图，已知三棱柱的侧棱垂直于底面，，，点，分别为和的中点． (1)证明：平面； (2)设，当为何值时，平面？试证明你的结论． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年高二数学暑假自学提升课（人教A版2019选择性必修第一册） 复习06讲 立体几何中的平行和垂直问题（精讲+精练） ①线面平行的判定（中位线、平行四边形、线段成比例、线面平行的性质定理） ②面面平行的判定 ③面面平行证线面平行 ④线面垂直的判定（五种常见垂直关系） ⑤面面垂直的判定 ★⑥面面垂直的性质定理 一、直线与平面平行 1．定义：直线与平面没有公共点，则称此直线与平面平行，记作∥ 2．判定方法（文字语言、图形语言、符号语言） 文字语言 图形语言 符号语言 线∥线线∥面 如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行（简记为“线线平行线面平行 面∥面线∥面 如果两个平面平行，那么在一个平面内的所有直线都平行于另一个平面 3．性质定理（文字语言、图形语言、符号语言） 文字语言 图形语言 符号语言 线∥面线∥线 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行 二、平面与平面平行 1．定义 没有公共点的两个平面叫作平行平面，用符号表示为：对于平面和，若，则∥ 2．判定方法（文字语言、图形语言、符号语言） 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理线∥面面∥面 如果一个平面内有两条相交的直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（简记为“线面平行面面平行 线面面∥面 如果两个平面同垂直于一条直线，那么这两个平面平行 ∥ 3．性质定理（文字语言、图形语言、符号语言） 文字语言 图形语言 符号语言 面//面 线//面 如果两个平面平行，那么在一个平面中的所有直线都平行于另外一个平面 性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行（简记为“面面平行线面平行”） 面//面 线面 如果两个平面中有一个垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线 三、直线与平面垂直的定义 如果一条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直，那称这条直线和这个平面相互垂直． 四、直线与平面垂直判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 判断定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 面⊥面⇒线⊥面 两个平面垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 _ _ a 平行与垂直的关系 一条直线与两平行平面中的一个平面垂直，则该直线与另一个平面也垂直 _ 平行与垂直的关系 两平行直线中有一条与平面垂直，则另一条直线与该平面也垂直 _ b _ a 五、直线与平面垂直性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 垂直于同一平面的两条直线平行 _ b _ a 文字语言 图形语言 符号语言 垂直与平行的关系 垂直于同一直线的两个平面平行 _ 线垂直于面的性质 如果一条直线垂直于一个平面，则该直线与平面内所有直线都垂直 六、平面与平面垂直 如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直．（如图所示，若，且，则） 一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． 七、平面与平面垂直判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 _ 八、平面与平面垂直性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 _ _ a ①线面平行的判定（中位线、平行四边形、线段成比例、线面平行的性质定理） 策略方法 1.中位线 （1）可以拿一把直尺放在位置（与平齐），如图一； （2）然后把直尺平行往平面方向移动，直到直尺第一次落在平面内停止，如图二； （3）此时刚好经过点（这里熟练后可以直接凭数感直接找到点），此时直尺所在的位置就是我们要找的平行线，直尺与相交于点，连接，如图三； （4）此时长度有长有短，连接并延长刚好交于一点，刚好构成型模型（为中点，则也为中点，若为等分点，则也为对应等分点），，如图四． 2.平行四边形 （1）可以拿一把直尺放在位置，如图一； （2）然后把直尺平行往平面方向移动，直到直尺第一次落在平面内停止，如图二； （3）此时刚好经过点（这里熟练后可以直接凭数感直接找到点），此时直尺所在的位置就是我们要找的平行线，直尺与相交于点O，连接， 如图三； （4）此时长度相等（感官上相等即可，若感觉有长有短则考虑法一A型的平行），连接，刚好构成平行四边形型模型（为中点，O也为中点，为三角形中位线），，如图四． 图一 图二 图三 图四 3.线面平行性质定理 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行 【题型精练】 一、解答题 1．（22-23高一下·全国·课后作业）如图，在正方体中，点为棱的中点．    求证：平面． 【答案】证明见解析 【分析】连接交于，则为中点，连接OE，易知OE为三角形的中位线，应用线面平行的判定证结论. 【详解】正方体中，四边形是正方形， 连接交于，则为中点， 连接OE，由为中点，得：OE为三角形的中位线，    所以，又平面，平面， 所以平面． 2．（2024高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，点分别为的中点．求证：直线平面．    【答案】证明见解析 【分析】根据题意，取的中点，连接，即可证明四边形为平行四边形，再由线面平行的判定定理即可证明. 【详解】    证明：取的中点，连接， 在中，∵分别为的中点，可得且， 又∵为的中点，∴且， ∴且，∴四边形为平行四边形，∴， ∵平面，平面，∴平面． 3．（23-24高一下·北京顺义·期中）如图，四棱锥的底面为平行四边形.设平面与平面的交线为m，分别为的中点. (1)求证：平面； (2)求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）取的中点，利用中位线的性质先证明四边形为平行四边形，由线线平行证线面平行即可； （2）利用线线平行先证线面平行，再由线面平行的性质证线线平行即可. 【详解】（1） 取的中点，连接， 因为分别为的中点，底面为平行四边形， 则，且， 所以四边形为平行四边形，即， 显然平面，平面， 则平面； （2）易知，平面，平面， 所以平面， 又平面，平面与平面的交线为m， 所以. 4．（23-24高三上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）如图，在四棱锥中，平面，，，，为棱上的一点，且． (1)证明：平面； (2)求四棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接交于点，连接，通过证明可得平面； （2）取的中点，连接，通过体积公式计算即可. 【详解】（1）连接交于点，连接． 在底面中，因为，， 由，可得， 因为，即， 所以在中，，故， 因为平面，平面， 所以平面； （2）取的中点，连接，由，， 得为等边三角形，所以． 在等边三角形中，， 所以． 因为． 5．（22-23高一下·广西河池·阶段练习）如图所示，在多面体中，四边形，，ABCD均为边长为2的正方形，E为的中点，过，D，E的平面交于点F．    (1)证明：； (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由线面平行的性质定理即可证明； （2）由等体积法求解即可. 【详解】（1）∵，，∴四边形为平行四边形，∴， 又平面，平面，∴平面， ∵平面，平面平面，∴． （2）∵E为中点，∴点E到平面的距离d为点到平面距离的一半， 又点到平面距离等于点A到平面的距离， ∴点E到平面的距离，又， ∴． ②面面平行的判定 策略方法 常用证明面面平行的方法是在一个平面内找到两条相交直线与另一个平面分别平行或找一条直线同时垂直于这两个平面．证明面面平行关键是找到两组相交直线分别平行． 【题型精练】 一、解答题 1．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，四棱锥的底面为平行四边形，M，N，Q，S分别为PC，CD，AB，PA的中点．    (1)求证：平面平面； (2)求证：平面PBC． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意，分别证得和，利用线面平行的判定定理，证得平面，平面，结合面面平行的判定定理，即可得证； （2）取的中点，连接，证得且，得到四边形为平行四边形，得出，结合线面平行的判定定理，即可得证. 【详解】（1）证明：在中，由分别为的中点，可得， 在平行四边形中，由分别为的中点，可得， 因为平面，平面，且平面，平面， 所以平面，平面， 又因为且平面，所以平面平面. （2）证明：取的中点，连接， 在中，因为分别为的中点，所以且， 又因为为的中点，可得且， 所以且，所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面.    2．（23-24高一下·广东广州·期中）由直四棱柱截去三棱锥后得到的几何体如图所示，四边形ABCD为平行四边形，O为AC与BD的交点. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)设平面与底面ABCD的交线为l，求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）取的中点，连接，，结合四棱柱的几何性质，由线线平行证明即可； （2）由线线平行证平面，结合平面即可证平面平面； （3）由线面平行证线线平行即可． 【详解】（1）取的中点，连接，， 是四棱柱，平行且等于， 四边形为平行四边形，， 又平面，平面， 平面； （2）平行且等于，平行且等于， 平行且等于， 四边形是平行四边形，， 平面，平面， 平面， 由（1）得平面且，、平面， 平面平面； （3）由（2）得平面， 又平面，平面平面， ． 3．（2023高三·全国·专题练习）如图，在正方体中，E，F分别为，中点，G，H分别为，中点，O为平面中心．证明：平面‖平面； 【答案】证明见解析 【分析】根据中位线的性质和平行四边形的性质得到‖，‖，然后根据面面平行的判定定理证明即可． 【详解】连接，， ∵为正方体，为平面的中心， ∴‖，‖，，为中点， ∵为中点，为中点， ∴‖‖，， ∴四边形为平行四边形，‖， ∵分别为中点，分别为中点， ∴‖，‖， ∴‖， ∵平面，平面， ∴‖平面，∥平面， ∵，平面， ∴平面∥平面． 4．（23-24高一下·云南昆明·期中）如图，已知是平行四边形所在平面外一点，、分别是、的三等分点（靠近，靠近）； (1)求证：平面． (2)在上确定一点，使平面平面，并证明. 【答案】(1)证明见解析 (2)点为上靠近点的三等点时，能使得平面平面，证明见解析 【分析】（1）过点作，交于点，连接，证得证得四边形为平行四边形，得到，结合线面平行的判定定理，即可求解； （2）取取一点，使得，证得，得到平面，结合（1）中平面，利用面面平行的判定定理，证得平面平面． 【详解】（1）过点作，交于点，连接， 因为为的三等分点，可得， 又因为为的三等分点，可得， 因为且，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又由平面，平面，所以平面. （2）当点为上靠近点的三等点时，能使得平面平面，证明如下： 取取一点，使得，即点为上靠近点的三等点， 在中，因为分别为的三等分点，可得，所以， 因为平面，平面，所以平面； 又由（1）知平面，且，平面， 所以平面平面， 即当点为上靠近点的三等点时，能使得平面平面． 5．（23-24高一下·陕西咸阳·期中）如图，在直四棱柱中，底面为正方形，为棱的中点，． (1)求三棱锥的体积． (2)在上是否存在一点，使得平面平面.如果存在，请说明点位置并证明.如果不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在，为的中点 【分析】（1）根据计算可得； （2）当为的中点时满足平面平面，设，连接，即可证明、，从而得到平面，平面，即可得证. 【详解】（1）在直四棱柱中，底面为正方形， 所以平面， 所以. （2）当为的中点时满足平面平面， 设，连接， 因为为正方形，所以为的中点，又为棱的中点， 所以，又平面，平面，所以平面， 又为的中点，所以且，所以为平行四边形， 所以， 又平面，平面，所以平面， 又，平面， 所以平面平面. ③面面平行证线面平行 策略方法 已知平面平面，则平面里的任意直线均与平面平行 【题型精练】 一、解答题 1．（2024高三·全国·专题练习）直四棱柱中，，求证：平面.    【答案】证明见解析 【分析】 先证明平面，平面，可得平面平面，进而可得结论. 【详解】 因为直四棱柱中， 又，且平面，平面， 平面，平面 而，平面, 平面平面， 又平面平面 2．（2024高三·全国·专题练习）如图，在三棱柱中，侧面是矩形，侧面是菱形，，、分别为棱、的中点，为线段的中点．证明：平面.    【答案】证明见解析 【分析】取的中点，连接、、，易证四边形为平行四边形，得到，从而得到平面，同理得到平面，然后利用面面平行的判定定理得到平面平面，再利用面面平行的性质定理证明. 【详解】证明：如图所示：    取的中点，连接、、， 因为且，故四边形为平行四边形， 所以且， 因为为的中点，所以且， 因为、分别为、的中点， 所以且， 所以且，故四边形为平行四边形， 所以， 因为平面，平面， 所以平面， 因为、分别为、的中点， 所以， 因为平面，平面， 所以平面， 因为，、平面， 所以平面平面， 因为平面，故平面． 3．（23-24高一下·浙江杭州·期中）正方体中，，分别是，的中点.      (1)求异面直线与所成角； (2)求证：平面 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）连接，，即可得到，则或其补角为异面直线与所成的角，结合正方体的性质求出； （2）取的中点，连接，，即可证明平面平面，从而得证. 【详解】（1）连接，， 因为且，所以四边形为平行四边形， 所以，则或其补角为异面直线与所成的角， 在正方体中，可得，即为等边三角形， 所以，所以异面直线与所成角为；    （2）取的中点，连接，， 因为，分别是，的中点， 所以，， 而，所以， 又因为平面，平面，平面， 平面， 所以平面，平面， 又，平面， 所以平面平面， 因为平面， 所以平面． 4．（22-23高一下·浙江嘉兴·期中）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为上的点，且，为中点．    (1)证明：平面. (2)在上是否存在一点，使得平面？若存在，指出点位置，并证明你的结论；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)上存在点，且 【分析】（1）通过构造中位线的方法来证得平面. （2）通过证明面面平行的方法来确定点的位置. 【详解】（1）连交于，因为为中点， 所以是中位线，所以． 又平面AEC，平面． 所以平面AEC．    （2）上存在点，且，使得平面， 证明：上取点，且， 因为为上的点，且， 所以在中，，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又在中，，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为，，平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面．    5．（23-24高一下·重庆·期中）如图，在四棱锥中，，. (1)若点为的中点，为的中点，求证：平面平面. (2)在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，请求出的值：若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，，理由见解析 【分析】（1）通过证平面，平面，由线面平行即可证面面平行； （2）由面面平行的判定和性质，结合平行线的性质，即可判定存在性. 【详解】（1）因为，所以为等边三角形， 因为为的中点，所以， 因为，， 所以， 所以， 所以，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又点为的中点，为的中点， 所以， 因为平面，平面，所以平面， 又，平面，平面， 所以平面平面； （2）存在，， 过作交与，再过作，交于，连接， 则即为所求， 由，所以， 所以， 在直角，， 所以， 所以， 由得， 证明：当时，得， 由平面，平面，所以平面， 又，平面，平面，平面， ，平面，平面， 所以平面平面，因为平面， 所以平面. ④线面垂直的判定（五种常见垂直关系） 策略方法 【题型精练】 一、解答题 1．（22-23高二上·北京·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，为的中点． (1)求证：平面； (2)若点是棱的中点，求证：平面． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； 【分析】（1）利用线面垂直性质以及菱形性质可得,，根据线面垂直判定定理即可得出平面；； （2）依题意可得四边形为平行四边形，利用线面平行判定定理即可证明平面． 【详解】（1）由平面，平面，所以， 又因为底面为菱形，所以， 易知，平面， 所以平面； （2）连接，，如下图所示： 由底面为菱形可得，且， 又因为为的中点，点是棱的中点，所以可得，且， 所以可知四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面， 所以平面． 2．（2024高一下·全国·专题练习）如图，在圆锥中，已知，的直径，点C在上，且，点D为的中点．证明：平面 【答案】证明见解析 【分析】根据圆中直径所对圆周角为直角可得，由三角形中位线的性质可得，根据线面垂直的判定定理可得结果. 【详解】证明：连接，则，因为点D为的中点，所以， 因为为的直径，所以，所以， 因为为的中点，D为的中点，所以，所以， 因为，平面， 所以平面. 3．（23-24高二上·上海杨浦·期中）如图,为菱形外一点,平面,,为棱的中点. (1)求证:平面; (2)若,求到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 （1）连接，根据已知得和，再根据线面垂直的判定定理即可证明； （2）先把到平面的距离转化为点到平面的距离,再利用等体积法求解即可. 【详解】（1）连接,如图: 因为,四边形为菱形, 所以, 又为棱的中点, 所以, 因为, 所以, 因为平面,平面, 所以, 又平面,平面, 所以平面. （2）因为平面,平面, 所以平面, 则到平面的距离即为点到平面的距离, 设点到平面的距离为, 因为,,平面,,四边形为菱形, 所以, 解得, 即到平面的距离为. 4．（2024高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，已知，.证明：平面； 【答案】证明见解析 【分析】由余弦定理求得，由勾股定理逆定理得，然后可由线面垂直的判定定理得证线面垂直． 【详解】在中，， 所以. 所以，故，则. 又，即. 平面， 所以平面. 5．（2024高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，，，四边形是菱形，，是棱上的动点.证明：平面. 【答案】证明见解析 【分析】 先证平面，得，再证，可证平面. 【详解】 因为四边形是菱形，所以. 因为，，平面，且，所以平面. 因为平面，所以. 因为，所以，即. 因为，平面，且，所以平面. 6．（2024高三·全国·专题练习）如图，在直三棱柱中，，M，N分别是，的中点，.证明：平面. 【答案】证明见解析 【分析】由等腰三角形性质得到，再借助棱柱性质得到平面，由线面垂直性质得出，结合已知条件，根据线面垂直判定定理得证. 【详解】证明：因为是直三棱柱，所以平面，而平面，所以， 因为，M是的中点，所以， 因为,平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，,平面，所以平面. 7．（2024·四川攀枝花·三模）如图，直三棱柱中，，点在线段上，且点为的重心，．    (1)证明：； (2)若，求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）推导出，，从而得到面，进而得到，再结合题干条件，可证出面，由此得证所需结果； （2）根据等体积法可知，又因为M在上的三等分点的位置，根据相似关系可知三棱锥的高是三棱锥高的，通过求三棱锥的体积，可得三棱锥的体积，即为所求几何体体积. 【详解】（1）证明：延长交于点，连结， 点为的重心，∴为的中点， 由得， 直三棱柱中，平面， 平面， ∴平面，又∵平面， ， 又，且平面， 平面，又∵平面， ．    （2）解：由，又， 即，故， 所以， 则， 故三棱锥的体积为. 8．（2023·河南·三模）如图，四棱锥中，四边形ABCD为梯形，，，，，，M，N分别是PD，PB的中点．    (1)求证：直线平面； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连接，证明，再根据线面平行的判定定理即可得证； （2）利用勾股定理证明，，从而可得平面，即可得证. 【详解】（1）连接， 因为M，N分别是PD，PB的中点，所以， 又平面，平面， 所以直线平面； （2）因为， 所以，所以， 因为，， 所以，所以， 又平面， 所以平面， 又平面，所以， 又，所以．    ⑤面面垂直的判定 证明面面垂直的两种方法 【题型精练】 一、解答题 1．（2023高三·全国·专题练习）如图，在圆锥中，是底面的直径，且， 是的中点．求证：平面平面；    【答案】证明见解析 【分析】易得，证明，可得，再根据线面垂直的性质得到，则可证得平面，再根据面面垂直的判定定理即可得证. 【详解】因为是底面圆的直径，所以， 因为为的中点，为的中点，所以， 所以， 又因平面平面， 所以， 又，平面， 所以平面， 又平面， 所以平面平面. 2．（2023高三·全国·专题练习）如图，在三棱柱中，平面．证明：平面平面；    【答案】证明见解析 【分析】根据题意，由线面垂直的判定定理可得平面，再由面面垂直的判定定理，即可得到结果. 【详解】因为平面，平面, 所以, 又因为，即， 平面，, 所以平面， 又因为平面, 所以平面平面. 3．（23-24高三下·陕西安康·阶段练习）如图，在多面体ABCDE中，A，B，E，D四点共面，，，，，，F为BC的中点． (1)求证：平面ADF平面BCE； (2)求点E到平面ABC的距离． 【答案】(1)证明见解析. (2). 【分析】（1）利用线面垂直与面面垂直的判定与性质定理即可得证； （2）在四边形内，由、，可得互补，则由余弦定理解得，进而求出点E到平面ABC的距离． 【详解】（1），， ， 又，F为BC的中点， ， 又，， ， 又， . （2），， ， 连接，则，解得， 如图，在平面内，过作，连接， 则， ， 在四边形中，易知互补， 则， 即， 解得，，， 即点E到平面ABC的距离为. 4．（2024·青海西宁·二模）如图，在三棱柱中，． (1)求证：平面平面； (2)求四棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（1）取的中点，连接，即可证明、，从而得到平面，即可得证； （2）依题意可得，则，根据锥体的体积公式计算可得. 【详解】（1）如图，取的中点，连接， 因为，所以， 因为，所以，所以， 所以． 在中，，所以， 所以， 又平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面． （2）由（1）可知平面，， 所以四棱锥的体积 ． 5．（23-24高三上·陕西榆林·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，，是正三角形，已知，，. (1)证明：平面平面； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）分别作的中点，证得，得到，再由，得到，根据线面垂直的判定定理，证得平面，进而证得平面平面. （2）过作于，求得，，设点到平面的距离为，结合，即可求解. 【详解】（1）证明：分别作的中点，连接， 因为分别为的中点，且四边形为等腰梯形， 可得，所以， 在等腰梯形中，因为，， 可得，所以， 因为是正三角形，是中点，所以，又由，可知 又因为，所以，所以， 因为，，且平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面. （2）解：由（1）知，，且为的中点，可得， 过作于，因为，则为的中点， 且，所以， 又由，所以， 设点到平面的距离为，则，解得， 所以点到平面的距离为. 6．（22-23高一下·吉林长春·阶段练习）在四棱锥中，底面是正方形，若，，．    (1)求证：平面平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点为，连接，可证平面，从而得到平面平面. （2）连接，由可得与所成的角为异面直线与所成角，再求得，从而可得，即可得到答案. 【详解】（1）   取的中点为，连接. 因为，，则， 而，故. 在正方形中，因为，故，故， 因为，故，故为直角三角形且， 因为，平面，故平面， 因为平面，故平面平面. （2）   因为，连接， 则与所成的角为异面直线与所成角， 所以或它的补角为所求的角， 由题意可得，， 所以， 所以， 即异面直线与所成角的余弦值为. 7．（2024高二·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面为正三角形，且其所在平面垂直于底面． (1)求证：； (2)若为边的中点，则能否在棱上找到一点，使平面平面？并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析 (2)为的中点，证明见解析． 【分析】 （1）设为的中点，连接，，通过证明可得平面，进而可得结论； （2）当为的中点时，使平面平面，通过，可证明面面平行，进而可得面面垂直. 【详解】（1） 证明：设为的中点，连接，，如图． ∵为正三角形， ∴． 在菱形中，， ∴为正三角形，又为的中点， ∴． 又，面 ∴平面． ∵平面，∴； （2） 当为的中点时，满足平面平面． 证明如下： 在中，． 又平面，平面 ∴平面，同理，平面 在菱形中，． 平面，平面 ∴平面， 又平面，平面，， ∴平面平面． 由（1）得平面，而平面， ∴平面平面， ∴平面平面． 8．（23-24高二上·上海浦东新·期中）如图，在四棱锥，底面正方形，为侧棱的中点，. (1)求四棱锥体积； (2)在线段上是否存在一点，使得平面平面，若存在，请说明点的位置，若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在；点为线段中点. 【分析】（1）利用锥体的体积公式即可求解； （2）通过添加相应辅助线，然后结合面面垂直的判定定理即可求解. 【详解】（1）设四棱锥的体积为，正方形的面积为， 则：. 故四棱锥的体积为：. （2）存在，点为线段中点，理由如下： 取的中点，取中点，连接、，如下图： 因为、分别为、的中点，所以：，， 所以：，所以：四边形为平行四边形，所以：， 因为底面，平面，所以：， 又因为底面为正方形，所以：，且，平面， 所以：平面，因为：平面，所以：， 又因为：，点为中点，所以：， 又因为：，平面，所以：平面， 又因为：，所以：平面， 又因为：平面，所以：平面平面. 故当点为的中点时，平面平面. ★⑥面面垂直的性质定理 【题型精练】 一、解答题 1．（2024高三·全国·专题练习）如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD，M为CD的中点．将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM.点O是线段AM的中点．求证： (1)平面BDO⊥平面ABCM； (2)AD⊥BM. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】证明：（1） 在矩形ABCD中，AB＝2AD，M为CD的中点，∴ AD＝DM. ∵ O是AM的中点，∴ DO⊥AM. ∵ 平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM＝AM，∴ DO⊥平面ABCM， ∵ DO⊂平面BDO，∴ 平面BDO⊥平面ABCM. （2） 在矩形ABCD中，AB＝2AD，M为CD的中点， ∴ AM＝BM＝AD＝AB，则AM2＋BM2＝AB2， ∴ AM⊥BM. 由（1）知，DO⊥平面ABCM， ∵ BM⊂平面ABCM，∴ DO⊥BM. ∵ DO∩AM＝O，DO⊂平面ADM，AM⊂平面ADM， ∴ BM⊥平面ADM. ∵ AD⊂平面ADM，∴ AD⊥BM. 2．（2024·广东·二模）如图，三棱柱的底面是等腰直角三角形，，侧面是菱形，，平面平面． (1)证明：； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）利用线面垂直的判定可得平面，然后利用线面垂直性质定理结合平行即可得证. （2）根据给定条件，结合余弦定理，利用等体积法求出点到平面的距离. 【详解】（1）连接，由四边形为菱形，得，由，得， 又平面平面，平面平面，面ABC， 则平面，又平面，于是，而，则， 又，平面，因此平面，又平面， 所以 （2）点到平面的距离，即三棱锥的底面上的高， 由（1）知平面，则三棱锥的底面上的高为， 设点到平面的距离为d，由，得， 而，，则的面积， 由，，得，又，，则， 又，，由余弦定理得， 则，的面积， 则，即 ，所以点到平面的距离为. 3．（2024·四川成都·三模）如图，在三棱台中，在边上，平面平面，，，，，. (1)证明：； (2)若的面积为，求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）利用余弦定理结合勾股定理的逆定理，再利用面面垂直的性质、线面垂直的性质判定推理即得. （2）由已知求出，借助三角形面积求出，再利用锥体体积公式计算即得. 【详解】（1）在中，，，， 由余弦定理得，则， 即，而平面平面，平面平面， 平面，于是平面，又平面，则， 又，，平面，平面， 因此平面，而平面，则，又， 所以. （2）在中，，，，则， ， 由，解得，由，得， 因此， 所以三棱锥的体积是. 4．（2024高三·全国·专题练习）在三棱柱中，平面平面ABC，，，D为AC的中点．求证：平面平面.    【答案】证明见解析 【分析】依题意可取的中点，连接，利用棱长可证明，再由面面垂直性质可得平面，根据面面垂直判定定理可得出证明. 【详解】取的中点，连接，如下图所示：    由题意可知为等边三角形，则，且，可得， 因为平面平面ABC，平面平面，平面， 所以平面ABC，由平面ABC，可得， 又因为，，平面， 可得平面，且平面， 所以平面平面. 5．（2024高三·全国·专题练习）如图，四棱锥中，平面平面为等边三角形，，是棱的中点. 证明：； 【答案】证明见解析 【分析】首先由面面垂直的判定定理求证平面平面，再由面面垂直的性质定理得平面，进而可证得. 【详解】在梯形中，设， 由， ，， 即，所以可得. 又平面平面，平面平面平面， 所以平面，平面，所以平面平面 又等边是棱的中点，所以， 平面平面平面，所以平面， 平面，故. 6．（23-24高一下·湖南衡阳·期中）如图，已知三棱柱的侧棱垂直于底面，，，点，分别为和的中点． (1)证明：平面； (2)设，当为何值时，平面？试证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，的中点，连接，，，即可证明平面，平面，从而得到平面平面，即可得证； （2）连接，不妨设，依题意可得，由面面垂直的性质得到平面，从而得到，要使平面，只需即可，再由勾股定理计算可得. 【详解】（1）取的中点，的中点，连接，，， 则有，，，所以， 则与共面， 又平面，平面，所以平面， 又平面，平面，所以平面， 又，平面， 平面平面， 又平面，∴平面； （2）连接，不妨设，则， 所以， ∵三棱柱的侧棱垂直于底面， ∴平面平面， ∵，∴，又点是的中点，所以， 又平面平面，平面， ∴平面，平面，∴， 要使平面，只需即可， 又∵， ∴，即， ∴（负值舍去），即时，平面. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$