2025届高三数学一轮复习对点练48：等差数列及其前n项和

2025届高三数学一轮复习对点练48　等差数列及其前n项和 【基础巩固】 1.(2024·福州质检)在等差数列{an}中，若a2＋2a6＋a10＝120，则a3＋a9＝(　　) A.30 B.40 C.60 D.80 2.《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，立春当日日影长为9.5尺，春分当日日影长为6尺，则立夏当日日影长为(　　) A.16.5尺 B.13尺 C.3.5尺 D.2.5尺 3.(2024·台州质检)已知数列{an}满足对于∀m，n∈N*，am＋n＝am＋an，若a2 024＝2 024，则a1＝(　　) A.1 B.2 C.3 D.2 022 4.(2024·成都诊断)设等差数列{an}的前n项和为Sn，5S9＝9a9－36，则a4＝(　　) A.－2 B.－1 C.1 D.2 5.(2024·河南名校联考)在等差数列{an}中，a1－2a2＝6，S3＝－27，当Sn取得最小值时，n的值为(　　) A.4或5 B.5或6 C.4 D.5 6.(2023·江西五市九校联考)设Sn是等差数列{an}的前n项和.若＝，则＝(　　) A. B. C.2 D.3 7.(多选)(2024·石家庄模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，若S11<S10<S12，则(　　) A.d>0 B.a1>0 C.S22<0 D.S21<0 8.设Sn是等差数列{an}的前n项和，S10＝16，S100－S90＝24，则S100＝________. 9.(2024·枣庄调研)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，且S1 001＝S1 024，则S2 024＝________. 10.已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2 022，－＝6，则S2 025＝________. 11.(2022·全国甲卷)记Sn为数列{an}的前n项和.已知＋n＝2an＋1. (1)证明：{an}是等差数列； (2)若a4，a7，a9成等比数列，求Sn的最小值. 12.(2023·全国乙卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a2＝11，S10＝40. (1)求{an}的通项公式； (2)求数列{|an|}的前n项和Tn. 【能力提升】 13.(多选)(2024·南通联考)已知数列{an}，{bn}均为公差大于零的等差数列，则下列说法正确的有(　　) A.数列{an＋bn}是递增数列 B.数列{anbn}是递增数列 C.数列{an＋bn}是等差数列 D.数列{anbn}不可能是等差数列 14.(多选)已知数列{an}是公差不为0的等差数列，前n项和为Sn，满足a1＋5a3＝S8，下列结论正确的有(　　) A.a10＝0 B.S10最小 C.S7＝S12 D.S20＝0 15.已知等差数列{an}共有2n＋1项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则an＋1的值为________. 16.(2023·新高考Ⅰ卷)设等差数列{an}的公差为d，且d>1.令bn＝，记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和. (1)若3a2＝3a1＋a3，S3＋T3＝21，求{an}的通项公式； (2)若{bn}为等差数列，且S99－T99＝99，求d. 参考答案 1.C　[由等差数列的性质可得 a2＋2a6＋a10＝4a6＝120，所以a6＝30， 所以a3＋a9＝2a6＝60.] 2.D　[设十二节气自冬至日起的日影长构成等差数列{an}，则立春当日日影长为a4＝9.5尺，春分当日日影长为a7＝6尺， 所以立夏当日日影长为a10＝2a7－a4＝2.5尺.] 3.A　[设等差数列{an}的公差为d， 令m＝1，则an＋1＝a1＋an，故an＋1－an＝a1， ∵a1为常数，故数列{an}是等差数列， ∴an＋1－an＝a1＝d. ∴a2 024＝a1＋(2 024－1)d＝2 024a1＝2 024， 则a1＝1.] 4.B　[设数列{an}的公差为d， 则Sn＝na1＋，an＝a1＋(n－1)d， 则由5S9＝9a9－36得 5(9a1＋36d)＝9(a1＋8d)－36， 则36(a1＋3d)＝－36，即a1＋3d＝－1， 又a4＝a1＋3d，则a4＝－1.] 5.A　[设等差数列{an}的首项为a1，公差为d， 则解得 则an＝3n－15， 所以Sn＝＝n2－n＝－， 由于n∈N*，故当n取4或5时，Sn取得最小值，故选A.] 6.D　[＝＝＝×＝3.] 7.AD　[设等差数列{an}的首项为a1，公差为d， 对于A，B，因为S11<S10<S12， 所以S11－S10＝a11<0，S12－S11＝a12>0， 故等差数列的首项为负，公差为正， 所以d>0，a1<0，故A正确，B错误； 对于C，由S10<S12， 可知S12－S10＝a12＋a11>0， 所以S22＝＝11(a11＋a12)>0，故C错误； 对于D，因为a11<0，所以S21＝21×＝21a11<0，故D正确.] 8.200　[依题意，S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90依次成等差数列，设该等差数列的公差为d. 又S10＝16，S100－S90＝24， 因此S100－S90＝24＝16＋(10－1)d＝16＋9d， 解得d＝， 因此S100＝10S10＋d ＝10×16＋×＝200.] 9.2　[设等差数列{an}的公差为d， ∵S1 001＝S1 024， ∴a1 002＋…＋a1 024＝23a1 013＝0， ∴a1 013＝a1＋1 012d＝0， ∵a1＝2，∴1 012d＝－2， S2 024＝2 024a1＋d＝2 024a1＋2 023×1 012d ＝2 024×2＋2 023×(－2)＝2.] 10.4 050　[∵为等差数列，设公差为d′， 则－＝6d′＝6， ∴d′＝1，首项为＝－2 022， ∴＝－2 022＋(2 025－1)×1＝2， ∴S2 025＝2 025×2＝4 050.] 11.(1)证明　由＋n＝2an＋1， 得2Sn＋n2＝2ann＋n，① 所以2Sn＋1＋(n＋1)2＝2an＋1(n＋1)＋(n＋1)，② ②－①，得2an＋1＋2n＋1＝2an＋1(n＋1)－2ann＋1， 化简得an＋1－an＝1， 所以数列{an}是公差为1的等差数列. (2)解　由(1)知数列{an}的公差为1. 由a4，a7，a9成等比数列，得a＝a4a9， 即(a1＋6)2＝(a1＋3)(a1＋8)， 解得a1＝－12. 所以Sn＝－12n＋＝＝－， 所以当n＝12或13时，Sn取得最小值，最小值为－78. 12.解　(1)设{an}的公差为d， 则 解得a1＝13，d＝－2. 所以{an}的通项公式为 an＝13＋(n－1)·(－2)＝15－2n. (2)由(1)得|an|＝ 当n≤7时， Tn＝13n＋×(－2)＝14n－n2； 当n≥8时，Tn＝T7＋1＋3＋5＋…＋(2n－15) ＝T7＋1＋3＋5＋…＋[2(n－7)－1] ＝14×7－72＋ ＝98－14n＋n2. 综上，Tn＝ 13.ACD　[对于A，C，∵数列{an}，{bn}均为公差大于零的等差数列， ∴可设an＝p1n＋q1(p1>0)， bn＝p2n＋q2(p2>0)， 其中p1，q1，p2，q2均为常数， ∴an＋bn＝(p1＋p2)·n＋q1＋q2， ∴an＋1＋bn＋1－(an＋bn)＝p1＋p2>0， ∴数列{an＋bn}是等差数列，且为递增数列，故A，C正确； 对于D，∵anbn＝(p1n＋q1)(p2n＋q2) ＝p1p2n2＋(p1q2＋p2q1)n＋q1q2， ∴an＋1bn＋1－anbn＝p1p2(n＋1)2＋(p1q2＋p2q1)·(n＋1)＋q1q2－[p1p2n2＋(p1q2＋p2q1)n＋q1q2] ＝p1p2(2n＋1)＋p1q2＋p2q1， p1p2>0，故an＋1bn＋1－anbn＝p1p2(2n＋1)＋p1q2＋p2q1不可能恒为常数， 故数列{anbn}不可能是等差数列，故D正确； 对于B，设an＝n－2，bn＝n－3， 则a1b1＝2，a2b2＝0，a3b3＝0，数列{anbn}不是递增数列，故B错误.] 14.AC　[根据题意，数列{an}是等差数列， 若a1＋5a3＝S8， 即a1＋5a1＋10d＝8a1＋28d，即a1＝－9d. 又由an＝a1＋(n－1)d＝(n－10)d， 得a10＝0，故A正确； 不能确定a1和d的符号，不能确定S10最小，故B不正确； 又由Sn＝na1＋＝－9nd＋＝×(n2－19n)， 得S7＝S12，故C正确； S20＝20a1＋d＝－180d＋190d＝10d. 因为d≠0，所以S20≠0，故D不正确.] 15.29　[奇数项共有n＋1项，其和为 ·(n＋1)＝·(n＋1)＝290， ∴(n＋1)an＋1＝290. 偶数项共有n项，其和为 ·n＝·n＝nan＋1＝261， ∴an＋1＝290－261＝29.] 16.解　(1)因为3a2＝3a1＋a3， 所以3(a1＋d)＝3a1＋a1＋2d， 所以a1＝d，所以an＝nd. 因为bn＝， 所以bn＝＝， 所以S3＝＝＝6d， T3＝b1＋b2＋b3＝＋＋＝. 因为S3＋T3＝21， 所以6d＋＝21，解得d＝3或d＝. 因为d>1，所以d＝3， 所以{an}的通项公式为an＝3n. (2)因为bn＝，且{bn}为等差数列， 所以2b2＝b1＋b3，即2×＝＋， 所以－＝， 所以a－3a1d＋2d2＝0， 解得a1＝d或a1＝2d. ①当a1＝d时，an＝nd， 所以bn＝＝＝， S99＝＝＝99×50d， T99＝＝＝. 因为S99－T99＝99， 所以99×50d－＝99， 即50d2－d－51＝0， 解得d＝或d＝－1(舍去). ②当a1＝2d时，an＝(n＋1)d， 所以bn＝＝＝， S99＝＝＝99×51d， T99＝＝＝. 因为S99－T99＝99， 所以99×51d－＝99， 即51d2－d－50＝0， 解得d＝－(舍去)或d＝1(舍去). 综上，d＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$