湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2024届高三下学期高考模拟(三)数学试卷

湖南师大附中2024届模拟试卷（三） 数学 命题人、审题人：数学备课组 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，若，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示是函数的图象，图中曲线与直线无限接近但是永不相交，则以下描述正确的是（ ） A. 函数的定义域为 B. 函数的值域为 C. 此函数在定义域中不单调 D. 对于任意的，都有唯一的自变量x与之对应 3. 设表示向东走了10 km，表示向南走了5 km，则所表示的意义为（ ） A. 向东南走了 km B. 向西南走了 km C. 向东南走了 km D. 向西南走了 km 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3 5. 在数列中，若，则（ ） A. 1012 B. 1013 C. 2023 D. 2024 6. 设函数（a，b为常数），则“”是“为偶函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，一顾客到店购买黄金，售货员先将砝码放在天平左盘中，取出黄金放在右盘中使天平平衡；再将砝码放在天平右盘中，再取出黄金放在左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．你认为顾客购得的黄金（　　） A. 小于 B. 等于 C. 大于 D. 与左右臂的长度有关 8. 斜率为1的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为（ ） A. 0或2 B. 或2 C. 或0 D. 0或1 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于的展开式，下列判断正确的是（ ） A. 展开式共有6项 B. 展开式的各二项式系数的和为64 C. 展开式的第6项的系数为30 D. 展开式中二项式系数最大的项是第4项 10. 设抛物线：的焦点为，点在抛物线上，点，若，且，则抛物线的方程可以为（ ） A. B. C. D. 11. 在三棱锥中，平面，平面内动点的轨迹是集合.已知且在棱所在直线上，，则（ ） A. 动点的轨迹是圆 B. 平面平面 C. 三棱锥体积的最大值为3 D. 三棱锥外接球的半径不是定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数满足，则在复平面内对应的点形成区域的面积为________． 13. 在，已知，.则______. 14. 二战期间盟军的统计学家主要是将缴获的德军坦克序列号作为样本，用样本估计总体的方法得出德军某月生产的坦克总数．假设德军某月生产的坦克总数是N，缴获的该月生产的n辆坦克编号从小到大为，，…，，即最大编号为，且缴获的坦克是从所生产的坦克中随机获取的，因为生产坦克是连续编号的，所以缴获坦克的编号，，…，，，相当于从中随机抽取的n个整数，这n个数将区间分成个小区间，由于N是未知的，除了最右边的区间外，其他n个区间都是已知的．由于这n个数是随机抽取的，所以可以用前n个区间的平均长度估计所有个区间的平均长度，进而得到N的估计值．例如，缴获坦克的编号是3，5，12，18，20，则统计学家利用上述方法估计德军每月生产的坦克数为__________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在数轴上一个质点在外力的作用下，从原点出发，每隔向左或向右移动一个单位，向右移动的概率为，共移动，设随机变量为移动后质点的坐标. （1）求移动后质点的坐标为正数的概率； （2）求随机变量的分布列及数学期望. 16. 已知函数（）. （1）求函数的极值； （2）若集合有且只有一个元素，求的值. 17. 如图，在四棱锥中，平面，，底面为直角梯形，，，，是的中点，点，分别在线段与上，且，. （1）若平面平面，求、的值； （2）若平面，求的最小值. 18. 已知为坐标原点，双曲线和椭圆均过点且以的两个顶点和的两个焦点为顶点的四边形是面积为的正方形． （1）求，的方程； （2）是否存在直线，使得与交于，两点，与只有一个公共点，且？证明你的结论； （3）椭圆的右顶点为，过椭圆右焦点的直线与交于、两点，关于轴的对称点为，直线与轴交于点，，的面积分别为，，问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 19. 对于数列，，其中，对任意正整数都有，则称数列为数列的“接近数列”.已知为数列的“接近数列”，且，. （1）若（是正整数），求，，，的值； （2）若（是正整数），是否存在（是正整数），使得，如果存在，请求出的最小值，如果不存在，请说明理由； （3）若为无穷等差数列，公差为，求证：数列为等差数列的充要条件是. 湖南师大附中2024届模拟试卷（三） 数学 命题人、审题人：数学备课组 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】A 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】BD 【10题答案】 【答案】BC 【11题答案】 【答案】ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】24 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1） （2） 4 2 0 ， 【16题答案】 【答案】（1）极大值是，无极小值； （2）. 【17题答案】 【答案】（1）； （2）8. 【18题答案】 【答案】（1）， （2）不存在，理由如下： 假设存在直线方程满足条件， 当直线斜率不存在时，或，代入计算得到，验证不成立； 当直线斜率存在时，设直线方程为，则， 即，， 化简得到. 设，，，故， 故，，故， 即，即， 即，化简得到， 方程组无解，假设不成立. 故不存在直线满足条件. （3）是定值为 【19题答案】 【答案】（1），，， （2）存在， （3）证明如下： 充要条件为：. ①若时，由题意对于任意正整数均有恒成立，且， 则，， 从而，即. 因为，， 所以，即. 因此为等差数列，且公差也为； ②若为等差数列，设公差为， ， 又， 即，亦即对任意正整数都成立， 所以，，又，得. 因此，所求充要条件为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $