2024年九年级中考数学专题复习：二次函数与特殊三角形

2024年九年级中考数学专题复习：二次函数与特殊三角形 1．如图，抛物线过点，，． (1)求抛物线的解析式． (2)在抛物线的对称轴上有一点，使得的周长最小，请求出点的坐标． (3)在轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，抛物线与轴的一个交点是，与轴交于点，点在拋物线上． (1)求的值； (2)过点作轴的垂线交直线于点，设点的横坐标为，，求关于的函数关系式； (3)当是直角三角形时，求点的坐标． 3．已知，如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（4，0），C（﹣1，0）两点，交y轴于点B（0，3）． (1)求抛物线y＝ax2+bx+c的解析式； (2)点P是直线AB上方抛物线（在点A与点B之间的部分）上的点，求三角形ABP的面积的最大值； (3)若点M在y轴上，且△ABM为等腰三角形，请直接写出M点坐标标． 4．如图，已知抛物线经过原点，顶点，且与直线相交于和两点．    （1）求抛物线和直线的解析式； （2）求证：是直角三角形； （3）抛物线上存在点（点不与点重合），使，求出点的坐标； （4）若直线交轴于点，在抛物线的对称轴上是否存在点，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标．若不存在，说明理由． 5．二次函数图象的顶点在原点O，经过点A（1，）；点F（0，1）在y轴上．直线y=﹣1与y轴交于点H． （1）求二次函数的解析式； （2）点P是（1）中图象上的点，过点P作x轴的垂线与直线y=﹣1交于点M，求证：FM平分∠OFP； （3）当△FPM是等边三角形时，求P点的坐标． 6．如图，已知抛物线的顶点坐标为Q，且与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），点P是该抛物线上一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作PDy轴，交AC于点D． (1)求该抛物线的函数关系式； (2)当△ADP是直角三角形时，求点P的坐标； 7．如图，直线与x轴、y轴分别交于点B、C，对称轴为的抛物线经过B、C两点，与x轴的另一个交点为A，顶点为D、点P是该抛物线上的一个动点，过点P作轴于点E，分别交线段BD、BC于点F、G，设点P的横坐标为． 求该抛物线所对应的函数关系式及顶点D的坐标； 求证：；； 当为等腰三角形时，求t的值． 8．抛物线y＝ax2+bx﹣2的图像经过M（﹣2，3），N（1，﹣3），与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)求A、B、C点的坐标； (3)求证：△ACB是直角三角形； (4)P为坐标平面内一点，如果以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形，求P点的坐标． 9．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点是线段上一动点，过点的直线平行于轴并交抛物线于点，当线段取得最大值时，在轴上是否存在这样的点，使得以点、、为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形？若存在，请求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 10．如图，抛物线经过原点O，对称轴为直线且与x轴交于点D，直线与y轴交于点A，与抛物线有且只有一个公共点B，并且点B在第四象限，直线l与直线交于点C． (1)连接，求证：． (2)求抛物线的函数关系式． (3)在直线l上有一点动点P，抛物线上有一动点Q，当是以为斜边的等腰直角三角形时，直接写出此时点P的坐标． 11．如图二次函数（）的图象，与直线相交于坐标轴上的B、C两点，并且与x轴的另一个交点为A (1)求此二次函数的表达式； (2)过点A，C作直线，求证：； (3)抛物线上是否存在点Q，使得？若存在，则求出直线的解析式；若不存在，请说明理由． 12．已知抛物线经过A（－1，0）、B（0、3）、 C（3，0）三点，O为坐标原点，抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，点M为射线BD上一动点，连接OM ，交BC于点F (1)求抛物线的表达式； (2)求证：∠BOF＝∠BDF ： (3)是否存在点M使△MDF为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME的长 13．如图，直线与轴、轴分别交于、两点，抛物线经过、两点，与轴的另一交点为点，顶点为点． (1)求抛物线的解析式； (2)设直线与抛物线两交点的横坐标分别为，，是否存在值使得，若存在，求的值；若不存在，说明理由； (3)在抛物线的对称轴上有一点，连接、，当时，求点坐标． 14．已知开口向下的抛物线与x轴的交点为A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴的交点为C，OC＝3OA． (1)求出该抛物线的解析式； (2)在抛物线第四象限上是否存在一点P，使得△PAC的面积等于△PBC的面积的3倍，若存在，求点P的坐标，若不存在，请说明理由； (3)P是该抛物线上位于对称轴右侧的动点，经过点P的直线交对称轴于G，作PH⊥PG，交对称轴于H，当直线PG与抛物线有且只有一个交点P时，求证△PGH的外心一定是某个定点，并求出这个定点的坐标． 15．如图，抛物线经过，两点，并与轴交于点． （1）求抛物线的解析式，写出的值； （2）若将绕点逆时针旋转，使点与轴正半轴上的点重合，求证：平分； （3）抛物线的对称轴上是否存在点，使得是以为腰的等腰三角形．若存在，写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$