山东省淄博市淄川区2023-2024学年高二下学期5月期中考试数学试题

高二下学期期中考试 数学试题 本试卷共4页，22题，全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．曲线在点（1，0）处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 已知数列满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 若函数，满足且，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同安排方法共有 (　　) A．120种 B．90种 C．60种 D．30种 5．若函数在内无极值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6. 已知数列是递增的等比数列，，若的前项和为，则，则正整数等于（ ） A.3 B.4 C.5 D.6 7. 若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ）D A B. C. D. 8. 定义：设函数在上的导函数为，若在上也存在导函数，则称函数在上存在二阶导函数，简记为.若在区间上，则称函数在区间上为“凹函数”.已知在区间上为“凹函数”，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.记等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a5＝3，S3＝－9，则有(　　) A．a1＝－5 B．a4＜0 C．S6＝0 D．S3＜S4 10．在的展开式中，下列说法正确的是（ ） A．常数项是24 B．第4项系数最大 C．第3项是 D．所有项的系数的和为1 11． 下列说法正确的是（    ） A．甲､乙､丙､丁4人站成一排，甲不在最左端，则共有种排法 B．3名男生和4名女生站成一排，则3名男生相邻的排法共有种 C．3名男生和4名女生站成一排，则3名男生互不相邻的排法共有种 D．3名男生和4名女生站成一排，3名男生互不相邻且女生甲不能排在最左端的排法共有1296种 12. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，.则下列结论正确的是（ ）. A. 当时， B. 函数在上有且仅有三个零点 C. 若关于的方程有解，则实数的取值范围是 D. ， 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13. 数列满足，，则___________． 14．的展开式中的系数为___________． 15.某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种（用数字作答）． 16. 已知偶函数，其导函数为，当时，，，则不等式的解集为__________． 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.己知展开式的二项式系数和为64，且． （1）求的值； （2）求展开式中二项式系数最大的项； （3）求的值． 18. 已知等差数列的首项为1，且，___． 在①；②成等比数列；③，其中是数列}的前n项和．在这三个条件中选择一个，补充在横线中，并进行解答． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列{}的前n项和． 注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分， 19.某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元（π为圆周率）． （1）将V表示成r的函数V（r），并求该函数的定义域； （2）讨论函数V（r）的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大． 20．设函数，已知是函数的极值点． (1)求a； (2)设函数．证明:． 21.已知数列的前项和为满足：，. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足. ①求数列的前项和； ②若对于一切正整数恒成立，求实数的取值范围. 22. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）证明：当时， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二下学期期中考试 数学参考答案 本试卷共4页，22题，全卷满分150分．考试用时120分钟． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. A 2. C 3. C 4. C 5. C 6. B 7. B 8. D 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9. ACD 10. AD 11. ACD 12. BD 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13. 14． 15. 16. 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. 【解析】（1）的展开式的所有项的二项式系数和为． 2分 展开式中第三项为：， 所以． 4分 （2） 第四项的二项式系数最大， 6分 8分 （3）， ， 10分 令，可得 12分 18. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设的公差为d，选择①，结合等差数列求和公式列方程求，由此可得的通项公式；选择②，由条件结合等比中项列方程求，由此可得的通项公式；选择③，结合等差数列求和公式和通项公式列方程求，由此可得的通项公式； （2）由（1），利用组合求和法，结合等差数列求和公式和等比数列求和公式求数列{}的前n项和． 【小问1详解】 若选择①：设的公差为d， 因为，， 所以， 所以， 所以； 若选择②：因为成等比数列， 所以， 又，所以， 又，设的公差为， 所以，解得， 所以； 若选择③：设的公差为d， 因为， 所以，又， 即， 解得， 所以； 【小问2详解】 由题知． 所以， 所以， 所以， 所以. 19. 【答案】（1）V（r）=（300r﹣4r3） （0，5） （2）见解析 【解析】 【详解】试题分析：（1）先由圆柱的侧面积及底面积计算公式计算出侧面积及底面积，进而得出总造价，依条件得等式，从中算出，进而可计算，再由可得；（2）通过求导，求出函数在内的极值点，由导数的正负确定函数的单调性，进而得出取得最大值时的值. （1）∵蓄水池的侧面积的建造成本为元，底面积成本为元 ∴蓄水池的总建造成本为元 所以即 ∴ ∴ 又由可得 故函数的定义域为 （2）由（1）中， 可得（） 令，则 ∴当时，，函数为增函数 当，函数为减函数 所以当时该蓄水池的体积最大 考点：1.函数的应用问题；2.函数的单调性与导数；2.函数的最值与导数. 20． 【答案】；证明见详解 解析：(1)由，， 又是函数的极值点，所以，解得； (2)由(1)得，，且， 当 时，要证，， ，即证，化简得； 同理，当时，要证，， ，即证，化简得； 令，再令，则，， 令，， 当时，，单减，假设能取到，则，故； 当时，，单增，假设能取到，则，故； 综上所述，在恒成立 【点睛】本题为难题，根据极值点处导数为0可求参数，第二问解法并不唯一，分类讨论对函数进行等价转化的过程，一定要注意转化前后的等价性问题，构造函数和换元法也常常用于解决复杂函数的最值与恒成立问题． 【题目栏目】导数\导数的综合应用 【题目来源】2021年高考全国乙卷理科·第20题 21. 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）利用与关系可证得数列自第二项起为等比数列，由等比数列通项公式可求得此时，验证可知数列为分段数列，由此可得通项公式； （2）①由（1）可得，当时，采用错位相减法可求得，验证可知满足的表达式，由此可得结论； ②采用作差法可确定数列的单调性，得到，由此可构造不等式求得范围. 【详解】（1）当时，； 当时，，，， 即； 又，， 数列自第二项起为等比数列，公比为，此时； 经检验：不满足，. （2）①由（1）得：，则； 当时，，， ， ； 经检验：满足，； ②当时，， 当时，，，则当时，， 又，，即； ，即，解得：或， 即实数的取值范围为. 22. 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先求导，再分类讨论与两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解； （2）方法一：结合（1）中结论，将问题转化为的恒成立问题，构造函数，利用导数证得即可. 方法二：构造函数，证得，从而得到，进而将问题转化为的恒成立问题，由此得证. 【小问1详解】 因为，定义域为，所以， 当时，由于，则，故恒成立， 所以在上单调递减； 当时，令，解得， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增； 综上：当时，在上单调递减； 当时，上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 方法一： 由（1）得，， 要证，即证，即证恒成立， 令，则， 令，则；令，则； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，则恒成立， 所以当时，恒成立，证毕 方法二： 令，则， 由于在上单调递增，所以在上单调递增， 又， 所以当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增， 故，则，当且仅当时，等号成立， 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以要证，即证，即证， 令，则， 令，则；令，则； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，则恒成立， 所以当时，恒成立，证毕. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$