精品解析：2024年湖南省永州市中考二模数学试题

2024年初中学业水平考试第二次适应性测试数学(试题卷) 温馨提示： 1．本试卷包括试题卷和答题卡．考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试卷上作答无效，考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题． 2．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 3．本试卷满分120分，考试时间120分钟，共26个小题．如有缺页，考生须声明． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；请将你认为正确的选项填涂到答题卡上） 1. 下列各数中最小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了绝对值，零指数幂，有理数的大小比较，掌握有理数的大小比较法则是解题关键．根据负数小于0，正数大于0判断即可． 【详解】解：，， ， 最小的是， 故选：A． 2. 下列几何图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意； B．不是中心对称图形，故本选项不合题意； C．是中心对称图形，故本选项符合题意； D．不是中心对称图形，故本选项不合题意； 故选：C． 3. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的加法、幂的运算法则，根据运算法则计算后即可得到答案． 【详解】解：A．与不是同类二次根式，不能合并，故选项错误，不符合题意； B．，故选项错误，不符合题意； C．，故选项正确，符合题意； D．，故选项错误，不符合题意． 故选：C． 4. 2024年五一假期，我国铁路发送旅客累计达亿人次，数据亿用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了大数的科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定大数的的方法为：先确定大数的位数 ，则． 【详解】解：亿， ， 故选：D． 5. “明天下雨的概率为 ”，下列对这句话的理解正确的是（ ） A. 明天一定下雨 B. 明天一定不下雨 C. 明天80%的地方下雨 D. 明天下雨的可能性很大 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查概率的意义，解题的关键是理解概率表示随机事件发生的可能性大小：可能发生，也可能不发生．据此可得答案． 【详解】解：“明天下雨的概率为 ”，说明明天下雨的可能性比较大． ∴选项D符合题意． 故选：D． 6. 2024年6月15日起，武广高铁全线将平均提速．动车提速后行驶与提速前行驶所用时间相同．设动车提速后的平均速度为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，根据动车提速后行驶与提速前行驶所用的时间相同，即可列出关于x的分式方程，此题得解，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 【详解】∵武广高铁全线将平均提速，设动车提速后的平均速度为， ∴动车提速前的平均速度为， 根据题意得：， 故选：B． 7. 在永州市中考体育测试中，某校10名考生的中长跑测试得分依次为：19，18，16，19，17，18，16，20，17，19．则这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 18，19 B. 19，18 C. 19，19 D. 19，17.5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了众数与中位数的概念，解题的关键是懂得众数与中位数的含义．众数就是出现频率最高的数据，中位数是指将一组数据按从小到大排列后，中间数据或中间两个数据的平均值．据此进行解答即可． 【详解】这组数据中，出现频率最多的是19，共有三次，故众数为19； 把10个数据按从小到大的顺序排序为：16，16，17，17，18，18，19，19，19，20，中间的数据是18，18，则中位数就是18． 故选：B． 8. 如图，直线，直角三角形如图放置，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质等知识点，先利用平行线的性质可得，然后利用角的和差关系进行计算，即可解答，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 【详解】如图： ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 9. 如图，的对角线 相交于点O，的平分线与边相交于点P，E是的中点，若，则 的长为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等角对等边，三角形中位线性质；熟练掌握这些知识是关键．由平行四边形的性质及角平分线的定义得，从而得的长，由三角形中位线定理即可求解． 【详解】解： 在中， ，， ， ； 平分， ， ， ； ； E是的中点， ， ； 故选：A． 10. 已知点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了图形的旋转，根据题意在坐标系中画出旋转后的图形，即可得到答案. 【详解】解：如图，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，则点C的坐标为， 故选：D 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分；请将答案填在答题卡的答案栏内） 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键．根据分式有意义的条件解答即可． 【详解】解： 式子在实数范围内有意义， ． ． 故答案为：． 12. 因式分解：__． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用平方差公式分解即可得． 【详解】解：原式． 故答案为：． 【点晴】本题考查了公式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 13. 等腰三角形的顶角的度数为，则它的底角的度数为_________． 【答案】##50度 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的定义，需熟练掌握其定义，根据等腰三角形的底角相等及内角和等于180度，可求得答案． 【详解】解：根据三角形的底角 ． 故答案为：． 14. 化简：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同分母分式的加法；把后一分母变形后就变为同分母分式的加法，则把分子相加并约分即可． 【详解】解： ； 故答案为：． 15. 如图是反比例函数的图象，点是反比例函数图象上任意一点，过点A作轴于点B，连接，则的面积是_______． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】本题考查反比例函数 值的几何意义．根据 值的几何意义，进行求解即可． 【详解】解：∵点是反比例函数图象上任意一点，轴于点B， ∴的面积为， 故答案为：． 16. 道县西洲公园是由一座三孔石拱桥将西洲与潇水西岸连在一起的．图为石拱桥的中孔侧面图，拱是圆弧形，桥的跨径所在弦，拱高，则拱所在圆的半径为______m． 【答案】 【解析】 【分析】将拱形图进行补充，构造直角三角形，利用勾股定理和垂径定理解答．本题考查了垂径定理和勾股定理；这两大定理是在圆有关运算中经常用到的． 【详解】解：依题意，拱桥的跨度，拱高， ， 利用勾股定理可得： ， 即 解得． 即圆弧半径为． 故答案为： 17. 将一个半径长为，面积为的扇形围成一个圆锥，则围成的圆锥的底面积为_____．（用含的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了圆锥的侧面积和底面积，根据圆锥的侧面积等于扇形面积求出圆锥底面半径，即可得到围成的圆锥的底面积． 【详解】解：设围成的圆锥的底面半径为r， 则， 解得， ∴围成的圆锥的底面积为， 故答案为： 18. 如图，在矩形中，，点E，F分别是边上的动点，且，当 最大时， ______． 【答案】 【解析】 【分析】设 ，由矩形性质得 ，易得，则可求得，进而得 ；而，当 最小时，最大，从而 最大；利用二次函数的性质即可求得 的最小值，从而求得的值． 【详解】解：设 ； 四边形是矩形， ， ； ， ， ； ， ， ， ， ； ， 当 最小时，最大，从而 最大； ， 当时， 最小，从而最大， 最大； ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，正切函数，二次函数的最值问题；由 最大转化为最大是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共66分，解答题要求写出证明步骤或解答过程） 19. 计算：． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查实数的混合运算，原式分别化简，，，，然后再进行加减运算即可 【详解】解： 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】；24 【解析】 【分析】本题主要考查整式的四则运算，原式根据完全平方公式和单项式乘以多项式法则将括号展开合并后得最简结果，再把代入计算即可． 【详解】解： ； 当时，原式． 21. 某礼品店准备从厂家选购甲、乙两种毛绒玩具，若购进甲种毛绒玩具3个和乙种毛绒玩具2个共需310元；若购进甲种毛绒玩具5个和乙种毛绒玩具6个共需730元． （1）求购进每个甲种、乙种毛绒玩具的价钱分别为多少元？ （2）若该礼品店每销售1个甲种毛绒玩具可获利15元，每销售一个乙种毛绒玩具可获利20元，且该礼品店将购进甲、乙两种毛绒玩具共50个全部售出后，要获得的利润不少于800元，问甲种毛绒玩具最多购进多少个？ 【答案】（1）购进每个甲种毛绒玩具的价钱为50元，购进每个乙种毛绒玩具的价钱为80元； （2）甲种毛绒玩具最多购进40个． 【解析】 【分析】（1）设购进每个甲种毛绒玩具的价钱为x元，购进每个乙种毛绒玩具的价钱为y元，根据“购进甲种毛绒玩具3个和乙种毛绒玩具2个共需310元；若购进甲种毛绒玩具5个和乙种毛绒玩具6个共需730元”列方程组求解即可； （2）设购进甲种毛绒玩具m个，根据全部售出后，要获得的利润不少于800元列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设购进每个甲种毛绒玩具的价钱为x元，购进每个乙种毛绒玩具的价钱为y元， 由题意得：， 解得：， 答：购进每个甲种毛绒玩具的价钱为50元，购进每个乙种毛绒玩具的价钱为80元； 【小问2详解】 解：设购进甲种毛绒玩具m个， 由题意得：， 解得：， 答：甲种毛绒玩具最多购进40个． 【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，找出合适的等量关系与不等关系列出方程组和不等式是解答本题的关键． 22. 如图，在菱形中，连接，过B作 交于点E，过D作 交于点F． （1）求证： ； （2）若 ，求 的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是菱形， ∴ ， ， ， ∴， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ，即 ， ∴． （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定，解直角三角形，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理． （1）根据菱形的性质，得到 ， ，，结合 ， ，得到 ，即可求证， （2）根据菱形的性质，特殊角三角函数值，即可得到 的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，交于点O， ∵四边形是菱形， ， ， ∴ ， ，， ∴和都是等边三角形， ， ∴ ， ， ∴ 23. 4月23日是世界读书日，学校开展主题为“我最喜欢阅读的书篇”的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：科技类，B：文学类，C：政史类，D：艺术类，E：其他类）．根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图（如下图所示）．根据图中信息，请回答下列问题： （1）填空：____， _____； （2）甲同学从A，B，C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B，C，D三类书籍中随机选择一种，请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图、扇形统计图，画树状图求概率，熟练掌握统计图的意义，准确画树状图是解题的关键． （1）根据调查的总人数=频数÷所占百分数，求得调查的总人数后，计算解答即可． （2）利用画树状图计算即可． 【小问1详解】 调查的总人数为：(人)， (人)， （人） 故答案为：，； 【小问2详解】 画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中抽到相同类有2种可能的结果， 甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率为． 24. 在初中物理中我们学过凸透镜的成像规律．如图为一凸透镜，F是凸透镜的焦点．在焦点以外的主光轴上垂直放置一小蜡烛，透过透镜后呈的像为．光路图如图所示：经过焦点的光线，通过透镜折射后平行于主光轴，并与经过凸透镜光心的光线汇聚于C点． （1）若焦距 ，物距．小蜡烛的高度 ，求蜡烛的像的长度； （2）设，，求y关于x的函数关系式，并通过计算说明当物距大于2倍焦距时，呈缩小的像． 【答案】（1）2米 （2） 解：由（1）得， ∴，即， ∴， 当，即 时，， ∴，即， ∴物高大于像高，即呈缩小的像． 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的实际应用，平行四边形的性质与判定； （1）先证明，利用相似三角形的性质得到，再证明四边形是平行四边形，可得米； （2）由（1）得，，则，据此可得，当，即 时，，据此可得结论． 【小问1详解】 解：由题意得，， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴米， ∴蜡烛的像的长度为2米； 【小问2详解】 略 25. 如图，四边形内接于直径为10的圆O，与交于点E，且 ， ． （1）若，求 ； （2）证明： ； （3）若，求四边形的面积． 【答案】（1） （2） 证明：设 ， ， , ， ， ， ， ； （3）24 【解析】 【分析】（1）连接，过点O作 于F，由垂径定理得 ，由勾股定理求得 ，由正弦函数定义即可求解； （2）设 ，由已知得 ， ，从而得，再由夹角相等即可证明相似； （3）由（2）中相似结论得 ， ；由同弧对的圆周角相等可得 ，故，；连接交于F，则垂直平分，由勾股定理求得，则可得，由勾股定理求得，从而得；过D作 于N，由 ，则其正切值相等，得 ，由勾股定理求得 ；由 ，得 ，则；由角平分线性质定理知，中边上的高等于 ，则 ，由此即可求得结果． 【小问1详解】 解：如图，连接，过点O作 于F， 由垂径定理得 ， 的直径为10， 则 ， 由勾股定理得： ， 则； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解： , ， ； ， ， ，； 如图，连接交于F，则垂直平分， ； 由勾股定理得 ， ， 由勾股定理得， 由（2）知，； 过D作 于N， ， ， ， 由勾股定理得 ， ； ， ， ， ， ； 由角平分线性质定理知，点D到的距离 的长， 即中边上的高等于 ； ． 【点睛】本题是圆的综合，考查了相似三角形的判定与性质，垂径定理，同弧对的圆周角相等，勾股定理，角平分线的性质定理，三角函数等知识，综合性较强，证明相似三角形、构造辅助线是关键． 26. 定义：对于一个函数，当自变量时，函数值，则实数x叫做这个函数的一个不动点值．根据定义完成下列问题： （1）求出反比例函数的不动点值； （2）若二次函数有和两个不动点值． ①求该二次函数的表达式； ②将该二次函数图象平移，使其顶点为，若平移后图象所对应函数总有两个不同的不动点值，记，求的取值范围； ③若该二次函数图象与 轴交于点M，过点M作分别交抛物线于A，B两点．（点A在 轴左侧），试探究直线是否恒过定点．如过定点，请求出该定点坐标．不过定点，请说明理由． 【答案】（1）和； （2）①；②；③过定点 【解析】 【分析】（1）根据新定义列方程，解方程即可； （2）①．将代入解析式，待定系数法求解析式，即可求解； ②根据题意可得，，根据新定义可得，根据一元二次方程根与系数的关系可得，进而根据二次函数的性质，即可求解； ③过点作 轴的平行线 ，过点作于点，过点作于点，证明得出，则，进而待定系数法求解析式即可求解． 【小问1详解】 解：当，时，，解得：， ∴反比例函数的不动点值为和； 【小问2详解】 ∵二次函数有和两个不动点值．将代入解析式得 ， 解得 ∴二次函数的表达式为； ②根据题意可得，， ∵平移后图象所对应函数总有两个不同的不动点值， 即 ∴ 即 ∵为方程的两个不相等的实数根， ∴，， ∴， ∵当时，随 的增大而减小， 当时， ∴； ③如图所示，过点作 轴的平行线 ，过点作于点，过点作于点，则， 设点的坐标为，则，设点的坐标为，则， ∵ ∴ ∴， ∴ ∴， ∴ 则 设直线的解析式为 ∴ 解得： 即直线的解析式为 当时， 即过定点 【点睛】本题考查了二次函数的性质，相似三角形的性质与判定，待定系数法求一次函数解析式，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年初中学业水平考试第二次适应性测试数学(试题卷) 温馨提示： 1．本试卷包括试题卷和答题卡．考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试卷上作答无效，考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题． 2．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 3．本试卷满分120分，考试时间120分钟，共26个小题．如有缺页，考生须声明． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；请将你认为正确的选项填涂到答题卡上） 1. 下列各数中最小的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列几何图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 2024年五一假期，我国铁路发送旅客累计达亿人次，数据亿用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 5. “明天下雨的概率为 ”，下列对这句话的理解正确的是（ ） A. 明天一定下雨 B. 明天一定不下雨 C. 明天80%的地方下雨 D. 明天下雨的可能性很大 6. 2024年6月15日起，武广高铁全线将平均提速．动车提速后行驶与提速前行驶所用时间相同．设动车提速后的平均速度为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 在永州市中考体育测试中，某校10名考生的中长跑测试得分依次为：19，18，16，19，17，18，16，20，17，19．则这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 18，19 B. 19，18 C. 19，19 D. 19，17.5 8. 如图，直线，直角三角形如图放置，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，的对角线 相交于点O，的平分线与边相交于点P，E是的中点，若，则 的长为（ ） A. 1 B. C. D. 2 10. 已知点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分；请将答案填在答题卡的答案栏内） 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是____． 12. 因式分解：__． 13. 等腰三角形的顶角的度数为，则它的底角的度数为_________． 14. 化简：______． 15. 如图是反比例函数的图象，点是反比例函数图象上任意一点，过点A作轴于点B，连接，则的面积是_______． 16. 道县西洲公园是由一座三孔石拱桥将西洲与潇水西岸连在一起的．图为石拱桥的中孔侧面图，拱是圆弧形，桥的跨径所在弦，拱高，则拱所在圆的半径为______m． 17. 将一个半径长为，面积为的扇形围成一个圆锥，则围成的圆锥的底面积为_____．（用含的代数式表示） 18. 如图，在矩形中，，点E，F分别是边上的动点，且，当 最大时， ______． 三、解答题（本大题共8个小题，共66分，解答题要求写出证明步骤或解答过程） 19. 计算：． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 某礼品店准备从厂家选购甲、乙两种毛绒玩具，若购进甲种毛绒玩具3个和乙种毛绒玩具2个共需310元；若购进甲种毛绒玩具5个和乙种毛绒玩具6个共需730元． （1）求购进每个甲种、乙种毛绒玩具的价钱分别为多少元？ （2）若该礼品店每销售1个甲种毛绒玩具可获利15元，每销售一个乙种毛绒玩具可获利20元，且该礼品店将购进甲、乙两种毛绒玩具共50个全部售出后，要获得的利润不少于800元，问甲种毛绒玩具最多购进多少个？ 22. 如图，在菱形中，连接，过B作 交于点E，过D作 交于点F． （1）求证： ； （2）若 ，求 的长． 23. 4月23日是世界读书日，学校开展主题为“我最喜欢阅读的书篇”的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：科技类，B：文学类，C：政史类，D：艺术类，E：其他类）．根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图（如下图所示）．根据图中信息，请回答下列问题： （1）填空：____， _____； （2）甲同学从A，B，C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B，C，D三类书籍中随机选择一种，请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率． 24. 在初中物理中我们学过凸透镜的成像规律．如图为一凸透镜，F是凸透镜的焦点．在焦点以外的主光轴上垂直放置一小蜡烛，透过透镜后呈的像为．光路图如图所示：经过焦点的光线 ，通过透镜折射后平行于主光轴，并与经过凸透镜光心的光线 汇聚于C点． （1）若焦距 ，物距．小蜡烛的高度 ，求蜡烛的像的长度； （2）设，，求y关于x的函数关系式，并通过计算说明当物距大于2倍焦距时，呈缩小的像． 25. 如图，四边形内接于直径为10的圆O，与交于点E，且 ， ． （1）若，求 ； （2）证明： ； （3）若，求四边形的面积． 26. 定义：对于一个函数，当自变量时，函数值，则实数x叫做这个函数的一个不动点值．根据定义完成下列问题： （1）求出反比例函数的不动点值； （2）若二次函数有和两个不动点值． ①求该二次函数的表达式； ②将该二次函数图象平移，使其顶点为，若平移后图象所对应函数总有两个不同的不动点值，记，求的取值范围； ③若该二次函数图象与 轴交于点M，过点M作分别交抛物线于A，B两点．（点A在 轴左侧），试探究直线是否恒过定点．如过定点，请求出该定点坐标．不过定点，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $