精品解析：2024年江苏省苏州高新区实验初级中学九年级数学中考二模试题

2023～2024学年初三年级模拟试卷 数学 本试卷由单选题、填空题和解答题三大题组成，共27题，满分130分，考试用时120分钟． 一、单选题（本题满分24分，共8小题，每小题3分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 中国古代数学著作《九章算术》中，将两底面是直角三角形的直棱柱称为“堑堵”.将一个“堑堵”按如图方式摆放，则它的左视图为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 明代《算法统宗》有一首饮酒数学诗：“肆中饮客乱纷纷，薄酒名醨厚酒醇。醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人.共同饮了一十九，三十三客醉颜生.试问高明能算士，几多醨酒几多醇？”设有醇酒瓶，薄酒瓶．根据题意可列方程组为（　　） A. B. C. D. 5. 如图，正方形的边，弧和弧都是以2为半径的圆弧，则图中空白两部分的面积之差是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，矩形中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P，作射线，过点C作的垂线分别交于点M，N，则的长为（ ） A. B. C. D. 4 7. 如图①，在矩形ABCD中，，点P从点B出发沿线段BC向点C运动，线段AP的垂直平分线分别交AB，DC于点M，N，设，，y与x之间的函数图象如图②所示，则图②中的a的值为（ ） A. 8 B. 12 C. 9 D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，点，都在反比例函数（）的图象上，延长交轴于点，过点作轴于点，连接并延长，交轴于点，连接．若，的面积是4.5，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 9 二、填空题（本题满分24分，共8小题，每小题3分） 9. 分解因式∶_____． 10. 华为非凡大师配备了令人惊艳的英寸显示屏，能够呈现出万种色彩，无论是视觉效果还是操作流畅度都达到了业界领先水平，则万用科学记数法表示为 __． 11. 已知抛物线与轴的两个交点为，则______． 12. 如图所示，在矩形中，以点B为圆心，的长为半径画弧，交于点E．若点E是的中点，，则扇形所围成圆锥的底面半径为______． 13. 如图，是的直径，点，在上，点是的中点，过点画的切线，交的延长线于点，连接．若，则的度数为________ 14. 已知二次函数（）图象的对称轴为直线，该二次函数图象上存在两点，，若对于，始终有，则的取值范围是______． 15. 如图，已知点、，点在轴上运动．将绕顺时针旋转45°得到，则的最小值为______． 16. 已知点是正方形内部一点，且，连接并延长交于点，若时，的值为______． 三、解答题（本题满分82分，共11小题） 17. 计算：． 18. 解不等式组，并将它的解集在数轴上表示出来． 19. 先化简，再求值：，其中是方程． 20. 如图，在四边形中，，，点O为的中点，连接并延长，交于点E． （1）求证：； （2）连接，若，请判断四边形的形状，并证明你的结论． 21. 不透明的袋子中装有4个小球，除标有的汉字不同外无其他差别，小球上分别标有汉字“最”、“美”、“泸”、“州”，每次摸球前先摇匀． （1）随机摸出一个小球，摸到“美”字的概率为______； （2）随机摸出一个小球后，不放回并摇匀，再随机摸出一个，请用列举法求两次摸到的球上的汉字，一个是“泸”，一个是“州”的概率． 22. 2024年3月22日是第32届世界水日，学校开展了节约和保护水资源的知识竞赛，从全校2000名学生中随机抽取部分学生的竞赛成绩进行调查分析，并将成绩（满分：100分）制成如图所示的扇形统计图和条形统计图． 请根据统计图回答下列问题： （1）本次调查共抽取了　　　　名学生，这些学生成绩的中位数是　　　； （2）补全上面不完整的条形统计图； （3）根据比赛规则，98分及以上（含98分）的学生有资格进入第二轮知识竞赛环节，请你估计全校2000名学生进入第二轮知识竞赛环节的人数． 23. 如图，点A在反比例函数的图像上，轴，垂足为B，． （1）求k的值： （2）点C在这个反比例函数图像上，且，求OC的长． 24. 图（1）为某大型商场的自动扶梯、图（2）中的为从一楼到二楼的扶梯的侧面 示意图．小明站在扶梯起点处时，测得天花板上日光灯的仰角为37°，此时他的眼睛与地面的距离，之后他沿一楼扶梯到达顶端后又沿（）向正前方走了，发现日光灯刚好在他的正上方．已知自动扶梯的坡度为，的长度是．（结果精确到十分位．参考数据：，，，） （1）求图中到一楼地面的高度； （2）求日光灯到一楼地面的高度． 25. 如图，是的直径，点在上，点为弧的中点，过点作，交的延长线于点，延长、相交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求． 26. 如图（1），已知二次函数（）的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为点．连接，． （1）点的坐标为______，点的坐标为______；（用含有的代数式表示） （2）如图（2），若平分，若点是二次函数图象上的点，且在直线下方． ①若对称轴与直线交于点，试说明与相等； ②求二次函数的表达式； ③点到直线距离的最大值为______； ④直线，分别交轴于点，，问是否为定值？若是，求出这个值；若不是，说明理由． 27. 如图（1），在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点E在边CD上（不与点C，D重合），连结AE，交BD于点F． （1）如图（2），若点M在BC边上，且DE＝CM，连结AM，EM．求证：三角形AEM为等边三角形； （2）设，求tan∠AFB的值（用x的代数式表示）； （3）如图（3），若点G在线段BF上，且FG＝2BG，连结AG、CG，，四边形AGCE的面积为S1，ABG的面积为S2，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023～2024学年初三年级模拟试卷 数学 本试卷由单选题、填空题和解答题三大题组成，共27题，满分130分，考试用时120分钟． 一、单选题（本题满分24分，共8小题，每小题3分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形与自身重合，对选项进行分析，即可得出答案． 【详解】解：A、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故不符合题意； B、既是轴对称图形也是中心对称图形，故符合题意； C、是轴对称图形但不是中心对称图形，故不符合题意； D、是轴对称图形但不是中心对称图形，故不符合题意； 故选B． 【点睛】本题主要考查中心对称图形及轴对称图形，熟练掌握中心对称图形及轴对称图形的定义是解题的关键． 2. 中国古代数学著作《九章算术》中，将两底面是直角三角形的直棱柱称为“堑堵”.将一个“堑堵”按如图方式摆放，则它的左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图，解题的关键是熟练运用数形结合思想．从左边观看立体图形即可得到． 【详解】解：从左边观看立体图形可得左视图为直角在左边的直角三角形， 故选：B． 3. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法，幂的乘方及积的乘方，完全平方和平方差公式，理解相关知识是解答关键．根据运算法则逐一判断即可． 【详解】解：解：A．，故原选项计算错误，此项不符合题意； B．，故原选项计算错误，此项不符合题意； C．，故原选项计算错误，此项不符合题意； D．，故原选项计算正确，此项符合题意． 故选：D． 4. 明代《算法统宗》有一首饮酒数学诗：“肆中饮客乱纷纷，薄酒名醨厚酒醇。醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人.共同饮了一十九，三十三客醉颜生.试问高明能算士，几多醨酒几多醇？”设有醇酒瓶，薄酒瓶．根据题意可列方程组为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组，解本题的关键是审题列出方程，设醇酒有x瓶，薄酒有y瓶；根据醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，建立二元一次方程组即可． 【详解】解：设醇酒有x瓶，薄酒有y瓶， 根据题意得：， 故选：D． 5. 如图，正方形的边，弧和弧都是以2为半径的圆弧，则图中空白两部分的面积之差是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设弧和弧的交点为E,连接作.先求出，再求出，即可得到.再根据即可得到空白的面积.再根据即可得到得到阴影的面积，再用即可得到空白的面积，最后用即可得到图中空白两部分的面积之差. 【详解】设弧和弧的交点为E,连接则是等边三角形 作，则 故选：D 【点睛】本题主要考查了圆中求不规则图形的面积，熟练掌握扇形的面积公式及拱形面积的计算方法是解题的关键 6. 如图，矩形中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P，作射线，过点C作的垂线分别交于点M，N，则的长为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由作图可知平分，设与交于点O，与交于点R，作于点Q，根据角平分线的性质可知，进而证明，推出，设，则，解求出．利用三角形面积法求出，再证，根据相似三角形对应边成比例即可求出． 【详解】解：如图，设与交于点O，与交于点R，作于点Q， 矩形中，， ， ． 由作图过程可知，平分， 四边形是矩形， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， ． ． ， ． ，， ， ，即， 解得． 故选A． 【点睛】本题考查角平分线的作图方法，矩形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等，涉及知识点较多，有一定难度，解题的关键是根据作图过程判断出平分，通过勾股定理解直角三角形求出． 7. 如图①，在矩形ABCD中，，点P从点B出发沿线段BC向点C运动，线段AP的垂直平分线分别交AB，DC于点M，N，设，，y与x之间的函数图象如图②所示，则图②中的a的值为（ ） A. 8 B. 12 C. 9 D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接PM，从图②可知，当x=6时，y=，即当BP=6时，BM=，利用勾股定理求出此时BM长，再根据线段垂直平分线性质求得AB长，即可求得答案． 【详解】解：由图②可知，当x=6时，y=，即当BP=6时，BM=， 连接PM，如图①， ∵矩形ABCD， ∴∠B=90°， ∴PM=， ∵MN是AP的垂直平分线， ∴AM=PM=， ∴AB=AM+BM=+=9， 当点P与B重合，∵MN是AP的垂直平分线， ∴点M为AB中点， ∴BM=AB=， ∴当BP=0时，BM=， 则当x=0时，y=a=， 故选：D． 【点睛】本题考查矩形的性质，函数的图象，线段垂直平分线的性质，勾股定理，从函数图象获取到信息，求出AB长是解题的关键． 8. 如图，在平面直角坐标系中，点，都在反比例函数（）的图象上，延长交轴于点，过点作轴于点，连接并延长，交轴于点，连接．若，的面积是4.5，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质、一次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式等知识，证明是解题的关键．过点B分别作于点M， 于点N，证明，得到，即，求出点，则点，进一步由，即可求解． 【详解】解：过点B分别作于点M， 于点N， 设点，则， ∵于点N， ∴， ∴ ∴， ∵ ∴， 即， 即， 则，则， 则点，则点， 设直线的表达式为，则 解得 ∴直线的表达式为：， 当，， 解得，， ∴点； 设直线的表达式为，则 解得 ∴直线的表达式为：， 当，， ∴点，则， ∵， 则， 故选：C． 二、填空题（本题满分24分，共8小题，每小题3分） 9. 分解因式∶_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，先提公因式，再利用平方差公式因式分解即可，掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 10. 华为非凡大师配备了令人惊艳的英寸显示屏，能够呈现出万种色彩，无论是视觉效果还是操作流畅度都达到了业界领先水平，则万用科学记数法表示为 __． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法：一个数表示成的形式，其中是整数且，根据科学记数法作答即可． 【详解】解：万． 故答案为：． 11. 已知抛物线与轴的两个交点为，则______． 【答案】29 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线与轴的交点．熟练掌握函数与方程的关系，一元二次方程根与系数和关系，根的概念，是解决问题的关键． 根据抛物线与轴的两个交点为，，得到方程的二根为，，根据根与系数的关系和根适合方程得到，， 分别代入化简即得． 【详解】∵抛物线与轴的两个交点为，， ∴方程的二根为，， ∴，， ∴ ， ∴． 故答案为：29． 12. 如图所示，在矩形中，以点B为圆心，的长为半径画弧，交于点E．若点E是的中点，，则扇形所围成圆锥的底面半径为______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据矩形，得到,结合点E是的中点，得到，得到，结合矩形性质，得到，根据公式计算即可，本题考查了矩形的性质，特殊角的三角函数，弧长公式，圆锥侧面展开，熟练掌握公式，特殊角的三角函数，侧面展开是解题的关键． 【详解】∵矩形， ∴,， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∴， 设圆锥的底面半径为r， 根据题意，得， 解得， 故答案为：1． 13. 如图，是的直径，点，在上，点是的中点，过点画的切线，交的延长线于点，连接．若，则的度数为________ 【答案】##31.5度 【解析】 【分析】根据切线的性质得到，根据直角三角形的性质求出，根据圆周角定理得到，进而求出，根据垂径定理得到，进而得出答案． 【详解】解：是的切线， ， ， ， 是的直径， ， ， 点是的中点， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、垂径定理，解题的关键是掌握圆的切线垂直于经过切点的半径． 14. 已知二次函数（）图象的对称轴为直线，该二次函数图象上存在两点，，若对于，始终有，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，首先根据得到二次函数图象开口向下，再得到点在对称轴左侧，结合题意可以得到t的最小值，即可得到答案． 【详解】解：二次函数（）图象开口向下，对称轴为直线， ∵二次函数图象上存在两点，，对于，始终有， ∴点在对称轴的左侧，如图， ， ∴， 故答案为：． 15. 如图，已知点、，点在轴上运动．将绕顺时针旋转45°得到，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定与性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键，取点．在x轴的负半轴上取点F，使得，连接，过点B作于点G，由“”可证，可得点D在过点F上升且于x轴夹角为45度的直线上移动，则求出BF，再利用三角形BFG是等腰直角三角形求出BG，即的最小值即可． 【详解】取点．在x轴的负半轴上取点F，使得，连接，过点B作于点G， ∵，， ∴，，， 又由旋转可知：， ∴，即， ∵ ，， ∴， ， 又∵， ∴， ∴点D在直线上移动，直线即为过点F上升且于x轴夹角为45度的直线， ∴， ∵，、 ∴， ∵，即 ∴， 由垂线段最短可知，的最小值即为BG的长度，即， 故答案为：． 16. 已知点是正方形内部一点，且，连接并延长交于点，若时，的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的相关性质以及全等三角形的判定与性质，正方形的性质，四点共圆，圆周角定理等知识内容，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先得出，因为，所以、、、共圆，结合圆周角定理得出，运用勾股定理得出，证明，结合解直角三角形的性质，列式计算，即可作答． 【详解】解：如图，分别延长，，分别交于，交于， ∵ 当时，即， 设， ， 、、、共圆， ， ， ， ∴ ∴ ∵ ， ， ， ， ， 故答案为： 【点睛】本题考查了解直角三角形的相关性质以及全等三角形的判定与性质，正方形的性质，四点共圆，圆周角定理等知识内容，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 三、解答题（本题满分82分，共11小题） 17. 计算：． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了求特殊角三角函数值，化简二次根式，负整数指数幂和实数的运算，先计算特殊角三角函数值，化简二次根式和计算负整数指数幂，最后根据实数的运算法则求解即可． 【详解】解： ． 18. 解不等式组，并将它的解集在数轴上表示出来． 【答案】， 将它的解集在数轴上表示出来，如图所示： ． 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式的解集，分别解出不等式组中两个不等式的解集，再根据“大小小大中间找”确定不等式组的解集，然后在数轴上表示其解集即可得到答案．熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 【详解】解：， 由①得； 由②得； 原不等式组得解集为， 将它的解集在数轴上表示出来，如图所示： ． 19. 先化简，再求值：，其中是方程． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式化简求值，因式分解法解一元二次方程，先通分合并括号内，得，再运算除法，化简得，再结合，解出，然后代入，即可作答． 【详解】解：(1) ， ∵， ∴解得：（舍去）， ∴把代入得：原式． 20. 如图，在四边形中，，，点O为的中点，连接并延长，交于点E． （1）求证：； （2）连接，若，请判断四边形的形状，并证明你的结论． 【答案】（1） 证明：∵， ∴ , 在和中， , ∴． （2）四边形是菱形， 证明如下： ∵, ∴, ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵， ∴, ∴，即， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质等知识点，掌握相关的判定与性质定理成为解题的关键． （1）由平行的性质可得，然后结合中点的定义、对顶角相等运用“角边角”即可证明结论； （2）先证明四边形是平行四边形，再说明，最后根据对角线垂直的平行四边形是菱形即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 不透明的袋子中装有4个小球，除标有的汉字不同外无其他差别，小球上分别标有汉字“最”、“美”、“泸”、“州”，每次摸球前先摇匀． （1）随机摸出一个小球，摸到“美”字的概率为______； （2）随机摸出一个小球后，不放回并摇匀，再随机摸出一个，请用列举法求两次摸到的球上的汉字，一个是“泸”，一个是“州”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了列表和画树状图求概率，掌握画树状图的方法和概率的计算公式是解题的关键． （1）先确定随机摸出一个小球，所有等可能的结果和摸到“美”字的结果，再用概率的计算公式求解即可； （2）先画树状图，再确定所有等可能的结果和两次摸到的球上的汉字，一个是“泸”，一个是“州”的结果，最后利用概率的公式计算即可． 【小问1详解】 解：∵随机摸出一个小球，有4种等可能的结果，摸到“美”字的结果只有1种， ∴摸到“美”字的概率为： 故答案为：； 【小问2详解】 解：将标有“最”、“美”、“泸”、“州”的4个小球分别用A，B，C，D表示，根据题意，画出如下树状图： 由树状图可以看出，所有可能出现的结果共有12种，且可能性相等， 两次摸到的球上的汉字，一个是“泸”，一个是“州”的结果有2种， ∴两次摸到的球上的汉字，一个是“泸”，一个是“州”的概率为：． 22. 2024年3月22日是第32届世界水日，学校开展了节约和保护水资源的知识竞赛，从全校2000名学生中随机抽取部分学生的竞赛成绩进行调查分析，并将成绩（满分：100分）制成如图所示的扇形统计图和条形统计图． 请根据统计图回答下列问题： （1）本次调查共抽取了　　　　名学生，这些学生成绩的中位数是　　　； （2）补全上面不完整的条形统计图； （3）根据比赛规则，98分及以上（含98分）的学生有资格进入第二轮知识竞赛环节，请你估计全校2000名学生进入第二轮知识竞赛环节的人数． 【答案】（1）60，96分 （2） 补全统计图： （3）900名 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图和条形统计图，中位数和平均数数，由样本所占百分比求总体数量，解题的关键是理解题意，结合图形求解． （1）结合图形求出被抽查的学生总数，再求出分数为94分的人数，利用中位数定义求解即可； （2）根据（1）中所求数值，补充条形统计图即可； （3）求出98分及以上（含98分）的学生所占的百分比，再乘以2000即可． 【小问1详解】 解：， ∴本次调查共抽取了60名学生， ∵， ∴94分的有12人， ∵，， ∴这些学生成绩的中位数是96分． 故答案为：60，96分； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：2000×=900（名）． 答：估计全校2000名学生进入第二轮知识竞赛环节的人数是900名． 23. 如图，点A在反比例函数的图像上，轴，垂足为B，． （1）求k的值： （2）点C在这个反比例函数图像上，且，求OC的长． 【答案】（1）8 （2） 【解析】 【分析】（1）利用正切函数的定义可求出OB的长度，进而根据反比例函数中k值的几何意义可求得k值． （2）连接OC,过点C作轴于点H，过点A作于点M，根据（1）中结论利用矩形的性质可求出OH，CH的长度，进而利用勾股定理可得OC长度． 【小问1详解】 解： 根据k值的几何意义可知： 【小问2详解】 解：如图所示，连接OC,过点C作轴于点H，过点A作于点M． 四边形AMHB是矩形 设，则， 解得：（舍去） 则 【点睛】本题考查了反比例函数的几何应用，涉及到勾股定理、矩形的判定与性质、以及反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数中的k值的几何意义是解决本题的关键． 24. 图（1）为某大型商场的自动扶梯、图（2）中的为从一楼到二楼的扶梯的侧面 示意图．小明站在扶梯起点处时，测得天花板上日光灯的仰角为37°，此时他的眼睛与地面的距离，之后他沿一楼扶梯到达顶端后又沿（）向正前方走了，发现日光灯刚好在他的正上方．已知自动扶梯的坡度为，的长度是．（结果精确到十分位．参考数据：，，，） （1）求图中到一楼地面的高度； （2）求日光灯到一楼地面的高度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题、解直角三角形的应用—坡度坡角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）过点作于，设，根据坡度比和勾股定理建立方程，解方程即可求出，从而求得答案； （2）过点作于交于，过点作于交于，先根据（1）的结论求出，再根据的正弦值即可求出，从而求出即可． 【小问1详解】 解：过点作于，如图（2）所示： 设， 的坡度为， ， ， 在中，由勾股定理得， 解得：， ，． 答：到一楼地面的高度为； 【小问2详解】 解：过点作于交于，过点作于交于， 则，四边形、四边形是矩形，， ，，， 由（1）可知，， ， 在中，， ， ， 答：日光灯到一楼地面的高度约为． 25. 如图，是的直径，点在上，点为弧的中点，过点作，交的延长线于点，延长、相交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求． 【答案】（1） 证明：连接， ， ∴， 点为弧的中点， ， ， ， ， ， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的判定，相似三角形的性质与判定，求角的正切值，平行线的性质与判定等等： （1）连接，由等边对等角得到，由等弧所对的圆周角相等得到，进而证明，从而得到，即可证明是的切线； （2）先证明，设半径为，则解得：，则，再证明，得到，解得：，由勾股定理得：，再根据正切的定义求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， 由（1）得：，， ， ， 设半径为， ， 解得：，则， 是的直径， ， ， ， ， ， 解得：， 由勾股定理得：， 在中，， ． 26. 如图（1），已知二次函数（）的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为点．连接，． （1）点的坐标为______，点的坐标为______；（用含有的代数式表示） （2）如图（2），若平分，若点是二次函数图象上的点，且在直线下方． ①若对称轴与直线交于点，试说明与相等； ②求二次函数的表达式； ③点到直线距离的最大值为______； ④直线，分别交轴于点，，问是否为定值？若是，求出这个值；若不是，说明理由． 【答案】（1）， （2）①根据题意作图， ②； ③； ④是定值4 【解析】 【分析】（1）令，解方程求得的值，可求得点的坐标，配成顶点式，即可求得顶点的坐标； （2）①利用平行线的性质结合等角对等边可求得； ②用表示点和点的坐标，得到的值，利用待定系数法求得直线的解析式，用表示点的坐标，根据列式计算求解即可； ③设点的坐标为，利用三角形面积公式求得的面积关于的二次函数，利用二次函数的性质即可求解； ④证明和，用表示出和的长，代入计算即可求解． 【小问1详解】 解：令，则， 解得或； ∴，， ∵， ∴顶点的坐标为， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：①根据题意作图， 平分， ， 对称轴与直线交于点， 在抛物线对称轴上， 轴， ， ， ； ②把代入，得， 点的坐标为， 点的坐标为， ， 设直线的解析式为，把，代入， 得：，解得：， 即直线的解析式为， 把代入，得， 点的坐标为， ， ， ，即， 解得，，， ， ， 二次函数的表达式为； ③设点的坐标为，点到直线的距离为， 过点作轴，交于点， 由直线的解析式为，得点的坐标为， 点是二次函数图象上的点，且在直线下方， ， 由②知，，则， ； 由，即当的面积取最大值时，取最大值， 由（）， 当时，取得最大值， 即，得， 点到直线距离的最大值为； 故答案为：； ④是定值，理由如下： 过点作轴，垂足为点， 由点的坐标为，则点的坐标为， 轴， ∴轴， ， ，即， 得， 轴， ， ，即， 得， ． 【点睛】本题考查了求二次函数解析式，相似三角形的判定和性质，二次函数和一次函数综合，要综合运用所学知识，读懂题意，特别是数形结合的应用． 27. 如图（1），在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点E在边CD上（不与点C，D重合），连结AE，交BD于点F． （1）如图（2），若点M在BC边上，且DE＝CM，连结AM，EM．求证：三角形AEM为等边三角形； （2）设，求tan∠AFB的值（用x的代数式表示）； （3）如图（3），若点G在线段BF上，且FG＝2BG，连结AG、CG，，四边形AGCE的面积为S1，ABG的面积为S2，求的最大值． 【答案】（1）证明：如图，连接 菱形ABCD中，∠ABC＝60°， 都为等边三角形， 是等边三角形； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）如图，连接 证明都为等边三角形，可得 再证明从而可得答案； （2）如图，记交于点 设 四边形为菱形， 表示 利用 则 再利用三角函数的定义可得答案； （3）如图，设证明 再表示 结合菱形的轴对称的性质可得： 表示 可得 可得 再利用二次函数的性质可得答案. 【详解】（1）略 （2）如图，记交于点 设 四边形为菱形， 则 （3）如图，设 四边形是平行四边形， FG＝2BG， 根据菱形的轴对称的性质可得： ， 所以有最大值， 当时，最大值为： 【点睛】本题考查的是菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，列二次函数关系式，二次函数的性质，锐角三角函数的应用，灵活运用以上知识解题是解本题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $