精品解析：2024年河北省保定市中考二模数学试题

2024年中考适应性训练 数学试卷 注意事项： 1.本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2.答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3.所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意本项”，按照“注意事项”的规定答题． 4.答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 5.考试结束时，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题有16个小题，共38分．1－6小题各3分，7－16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各数中，最小的有理数是（ ） A. 4 B. C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了有理数的大小比较．熟练掌握负数小于0小于正数，两个负数比大小，绝对值大的反而小是解题的关键． 根据负数小于0小于正数，两个负数比大小，绝对值大的反而小进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，， 故选：B． 2. 如图中四条线段a，b，c，d和线段e在同一条直线上的是（ ） A. a B. b C. c D. d 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了线段，射线，直线，利用直尺动手画出图形是解题的关键，利用直尺画出遮挡的部分即可得出结论． 【详解】解：利用直尺画出图形如下： 可以看出线段b与e在一条直线上． 故选：B． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘法、同底数幂的除法的运算法则逐项排查即可解答． 【详解】解：A.，故该选项不正确，不符合题意； B.，故该选项不正确，不符合题意； C.，故该选项正确，符合题意； D.，故该选项不正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘法、同底数幂的除法等知识，掌握运算法则是解题的关键． 4. 两个直角三角板如图所示摆放，其中， ， ，，则 的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质等知识．熟练掌握三角形内角和定理，平行线的性质是解题的关键． 由三角形内角和定理可求，，，由，可得，即，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，，， ∵， ∴，即， 解得，， 故选：B． 5. 如图，将由5个棱长为1的小正方体组成的几何体在桌面上顺时针旋转 后，主视图的面积为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，解题的关键是明确旋转后的主视图．先作出顺时针旋转后的主视图，再计算图形的面积即可． 【详解】如图，即是顺时针旋转后的主视图，由图可知，小正方体数量为3，面积为3． 故选A． 6. 如图，正五边形内接于，连接，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先计算正五边形的内角，再计算正五边形的中心角，作差即可． 【详解】∵， ∴， 故选D． 【点睛】本题考查了正五边形的外角，内角，中心角的计算，熟练掌握计算公式是解题的关键． 7. 一组数据3，0，，5，x，2，的平均数是1，则这组数据的众数是（ ） A. B. 2 C. 3和 D. 2和 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平均数和众数，先根据平均数的计算公式求出，再根据一组数据中出现次数最多的数据为该组数据的众数即可得到答案． 【详解】解：∵这组数据的平均数为1， ∴， 解得， ∴这组数据中出现次数最多的数据是3和，都出现2次， ∴这组数据的众数是3和， 故选：C． 8. 我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x尺，绳子长y尺，根据题意列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺可知：绳子比木条长4.5尺得：；绳子对折再量木条，木条剩余1尺可知：绳子对折后比木条短1尺得：；组成方程组即可．本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，列方程组时要抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系；因为此类题要列二元一次方程组，因此要注意两句话；同时本题要注意绳子对折，即取绳子的二分之一． 【详解】解：∵用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺可知：绳子比木条长4.5尺 ∴； ∵绳子对折再量木条，木条剩余1尺可知：绳子对折后比木条短1尺， ∴ 即． 故选：C． 9. 如图，在中，直线垂直平分，分别与边、相交于点D、E，连接 ．若点 恰为的中点， ，，则的长为（ ） A. 8 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查垂直平分线的性质，勾股定理，三角形中位线得性质，先根据垂直平分线的性质得到 ，，然后根据 是 的中位线，求出，然后根据勾股定理计算出即可解题． 【详解】解：∵直线垂直平分， ∴ ，， 又∵点 恰为的中点， ∴ 是 的中位线， ∴， ∴， 故选D． 10. 如图在电压不变的条件下，通过不断增加导体的电阻减小电流，导体的电阻与电流成反比例，I与R的函数图象如图所示，若电阻由减小到 ，则电流（ ）． A. 增大了 B. 增大了 C. 减小了 D. 减小了 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，先利用待定系数法求出，再分别求出电阻和 时相应的电流即可得到答案． 【详解】解：设， 把代入中得：， 解得， ∴， 当时，， 当时，， ∴若电阻由减小到 ，则电流增大了， 故选：A． 11. 如图，的对角线， 相交于点O， 的平分线与边相交于点P，E是 中点，若 ， ，则的长为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，三角形中位线定理，关键是由平行线的性质，角平分线定义，推出 ，由三角形中位线定理推出． 由平行四边形的性质推出，， ，由平行线的性质推出，由角平分线定义得到，因此，推出，求出，由三角形中位线定理得到． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， 平分 ， ， ， ， ， 是 中点，是 中点， 是的中位线， ． 故选：D． 12. 如图，为了测量空中某点A离地面的高度，小敏利用测角仪在点B、C分别测得A的仰角为，为 ，地面上点B、C、D在同一水平直线上， ，则点A离地面的高度长为（ ） （参考数据：， ， ） A. 30m B. 80m C. 60m D. 50m 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角函数解直角三角形．根据题意可设，再利用 中即可得到本题答案． 【详解】解：∵为 ， ∴设， ∵为， ， ∴， ∴点A离地面的高度长：， 解得：， 故选：C． 13. 如图，在直角坐标系中，存在三个定点分别为，，，顺次连接，现添加一点 ，使得，那么的长不可能为（ ） A. 4 B. 7 C. 11 D. 15 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形、勾股定理、点与圆的位置关系等知识，确定点 所处的位置是解题关键．首先根据点的坐标，确定 ，由题意可知点 在以点为圆心，以5为半径的圆上，然后确定的取值范围，即可获得答案． 【详解】解：如下图， ∵，，， ∴，， ， ∴， 由题意可知，， 则点 在以点为圆心，以5为半径的圆上， ∴当点 在线段上时，取最小值， 此时， 当点 在线段的延长线上时，取最大值， 此时， ∴的取值范围为， ∴的长不可能是4，选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意． 故选：A． 14. 如图，已知：在中，， 是边上的中线． 求作： ，使． 下面是甲、乙两名同学的作图过程， 下面说法正确的是（ A. 甲对乙不对 B. 甲不对乙对 C. 甲乙都不对 D. 甲乙都对 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了作图−复杂作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理等知识点， （1）根据作图过程得出同弧所对的圆周角为 ，，进而即可得解； （2）根据作图过程和等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得解； 解决本题的关键是掌握圆周角定理． 【详解】∵，是边的中线， ∴是边的垂直平分线，， 对于甲，由步骤一，二得出线段的垂直平分线与交于点O，得到的外接圆， ∴在中取了一点P，得到圆周角 ， 由圆周角定理的推论可得，符合题意； 对于乙，由步骤一得出平分， ∴ ， 由步骤二，步骤三得出， ∴， ∵， ∴，不符合题意， 故选：A． 15. 小明利用学习函数获得的经验研究函数的性质，得到如下结论： ①该函数自变量的取值范围为； ②该函数与轴交于点； ③该函数图象不经过第四象限； ④若，是该函数上两点，当时，一定有． ⑤该函数图象关于轴对称． 其中说法正确的有（ ）个． A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数的自变量取值范围，增减性，对称性，与坐标轴的交点，熟练掌握知识点是解题的关键． ①根据分式有意义的条件即可求解；②把代入即可；③当时，判断y是否大于0即可；④取两个点代入验证即可；⑤取两个点代入验证即可． 【详解】解：①：函数的等号右边为分式， ∴， ∴，故①正确； ②：当时，， ∴该函数与轴交于点，故②正确； ③：由得， ∴时，， ∴该函数图象不经过第四象限，故③正确； ④：当时，取，则， ∴不满足，故④错误； ⑤：若该函数图象关于轴对称，则函数图象上的每一个点都关于轴对称， 当，，当，， 而与不关于轴对称，故⑤错误， ∴说法正确的有3个， 故选：C． 16. 我国清代数学家李锐借助三个正方形用出入相补的方法证明了勾股定理．如图，直角三角形的三边a，b，c满足 ，分别以a、b、c为边作三个正方形：正方形、正方形、正方形，把它们拼成如图所示形状，使E、F、G三点在一条直线上，若 ，四边形与面积之和为7，则正方形的面积为（ ） A. 49 B. 28 C. 21 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是证明三角形全等，根据图形面积得到相应等式，从而进行计算．证明，得到，再证明，从而推出，化简得到，再根据 ，得到，结合两式可得，从而计算结果． 【详解】解：在与 中， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 即， 化简得：①， ∵ ， ∴②， ，得：， ∴． 故选：C． 二、填空题（本大题共3小题，17、18每小题3分：19小题4分，每空2分） 17. 分解因式___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 先提公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可． 【详解】 ． 故答案为：． 18. 已知等腰三角形的两边长满足，那么这个等腰三角形的周长为___________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查非负式和为零的条件、等腰三角形的定义等知识，根据，得到，结合非负式和为零的条件求出，由等腰三角形定义分类讨论求解即可得到答案，熟记非负式和为零的条件及等腰三角形定义是解决问题的关键． 【详解】解：等腰三角形的两边长满足， ，解得， 三角形是等腰三角形， 分两种情况：①是腰、是底；②是底、是腰； 当是腰、是底时，等腰三角形的边长为，由三角形三边关系可知，此种情况不存在； 当是底、是腰时，等腰三角形的边长为，则这个等腰三角形的周长为12； 故答案为：12． 19. 如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点在第一象限，点， ，，双曲线与边、分别交于、 两点，并且把分成两部分． （1）若，则___________． （2）横纵坐标都为整数的点称为整点，若双曲线把分成的两部分中的整点个数相等（不含边界），则的取值范围为___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解直角三角形，（1）过点作轴于点 ，过点 作轴于点，设，根据正切的定义得 ，得到，再根据 ，由正切的定义得 ，可确定，根据 ，，轴，利用锐角三角函数得，，可确定，再根据函数图像上点的坐标特征即可得解； （2）先确定正比例函数的解析式为，一次函数的解析式为 ，继而确定内部的整数点为，，和，再根据反比例函数（为常数， ）的图像上点的横纵坐标之积为，即可得解； 解题的关键是掌握：反比例函数（为常数， ）的图像上点的横纵坐标之积为． 【详解】解：（1）过点作轴于点 ，过点 作轴于点， 设， ∵， ∴，即， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴， ∵ ，轴， ∴， ∴ ，即， ∴， ∴， ∵ ，，轴， ∴，， ∴， ∴， ∵点在双曲线上， ∴， 故答案为：； （2）设正比例函数的解析式为，过点， ∴， 解得：， ∴正比例函数的解析式为， 设一次函数的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴一次函数的解析式为 ， 把代入，得：， 把代入 ，得： ， ∴内部的整数点为，，和， 当双曲线过点时，， 当双曲线过点时，， 当双曲线过点时，， 当双曲线过点时，， ∴双曲线把分成的两部分中的整点个数相等（不含边界），则的取值范围为， 故答案为：． 三、解答题 20. （1）计算： （2）嘉琪与小明通过计算发现的结果是个定值．下面是这两位同学的部分说理过程： 解：原式 解：原式 ①嘉琪同学解法的依据是__________，小明同学解法的依据是__________；（填序号） A.乘法分配律； B.乘法交换律； C.分式的基本性质； D.等式的基本性质． ②请选择其中一种解法，求出这个定值． 【答案】（1）；（2）①C，A；② 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的混合运算、实数的运算等知识点， （1）先计算乘方和乘法，然后计算加减法即可； （2）①嘉琪同学解法的依据是分式的基本性质，小明同学解法的依据是乘法分配律，本题得以解决；②选择嘉琪或小明，根据分式的运算法则计算即可； 熟练掌握其运算法则是解答本题的关键． 【详解】（1） ， （2）①嘉琪同学解法的依据是分式的基本性质，小明同学解法的依据是乘法分配律， 故答案为：C，A； ②嘉琪的做法： 原式 ， 或小明的做法： 原式 ． 21. 在综合实践活动中，老师让用一张周长为 的矩形纸片制作一个无盖长方体形盒子，应该如何设计？已知该矩形纸片的一条边长为 ． （1）该矩形纸片的另一边长为__________cm； （2）如图1，甲同学在四个角分别剪去了边长为 的四个小正方形，此时该纸片制作的无盖长方体形盒子的体积为__________；如图2，乙同学在四个角分别剪去了边长为 的四个小正方形，此时该纸片制作的无盖长方体形盒子的体积为__________； （3）甲同学和乙同学谁设计的盒子容积更大？请说明理由． 【答案】（1） （2）； （3） 甲同学设计的盒子容积更大． 理由： 甲同学设计的盒子容积更大． 【解析】 【分析】本题考查了长方体的展开图和列代数式，找出各条线段之间的关系是解题的关键． （1）根据题意列式即可； （2）分别求得长方体形盒子底面的边长，体积长方体的体积公式列式即可； （3）对（2）中的两个式子求差即可得解． 【小问1详解】 解：矩形的周长为 ，一条边长为 ， 则另一边长为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：矩形的周长为 ，四个角分别剪去了边长为 的四个小正方形， 长方体形盒子的底面一条边长为， 则另一边长为， 长方体形盒子的体积为； 矩形的周长为 ，四个角分别剪去了边长为 的四个小正方形， 长方体形盒子的一条边长为， 则另一边长为， 长方体形盒子的体积为； 故答案为：；； 【小问3详解】 略 22. 元宵节是中国传统节日，在这一天人们吃元宵、看花灯、猜灯谜，非常热闹．今年元宵节来临之际，某商场销售甲种元宵时节后每斤的进价比节前降了2元，同样用120元购进元宵的数量节前比节后少2斤．根据以上信息，解答下列问题： （1）该商场节前每斤甲种元宵的进价是多少元？ （2）如果该商场在节前和节后共购进甲种元宵200斤，且总费用不超过2300元，并按照节前每斤20元，节后每斤16元全部售出，那么该商场节前购进多少斤甲种元宵获得利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）12元 （2）节前购进150斤甲种元宵获得利润最大，最大利润是1500元 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程及一次函数的应用，正确找出等量关系及不等关系是解题的关键. （1）设商场节前每斤甲种元宵的进价是元，则节后每斤进价是 元，根据同样用120元购进元宵的数量节前比节后少2斤列分式方程求解即可； （2）设商场节前购进a斤甲种元宵，所获利润为y元，根据总费用不超过2300元得不等式，从而.再根据一次函数的性质求解即可. 【小问1详解】 解：设商场节前每斤甲种元宵的进价是元，则节后每斤进价是 元， ， 解得： . 经检验， 是所列方程的根. 答：商场节前每斤甲种元宵的进价是12元. 【小问2详解】 解：设商场节前购进a斤甲种元宵，所获利润为y元， ，. ， 随的增大而增大. 当时，最大，为（元） 答：该商场节前购进150斤甲种元宵获得利润最大，最大利润是1500元. 23. 开学后李老师为了解某班学生寒假语文阅读情况，对全班35名同学进行了阅读专项测试（满分100分），并对全班成绩进行了整理，绘制了如下的不完整统计图1.下面给出了部分信息． 根据以上信息，解答下列问题： （1）统计图1中成绩在 分的人数为_________，请补全成绩频数分布直方图； （2）全班阅读成绩的中位数所在的分数段为_________（填序号） ① ；② ；③ ；④ ；⑤ ． （3）李老师进一步调查了全班学生寒假阅读的时间情况，并将阅读时间和成绩进行整理，绘制了统计图2，下列说法合理的是__________（填序号）； ①寒假阅读时间在400分钟以上，且阅读成绩取得90分以上的学生恰有3人 ②小颖推断阅读成绩分布在 的同学阅读时间主要分布在200分 300分的时间段． （4）李老师准备从阅读成绩最高而且阅读时间最长的3名学生（1名为男生2名为女生）中随机选取2名在班里进行经验介绍，用列表成两树状图的方法求选中的2名同学恰好是一男一女的概率． 【答案】（1）8， 补全成绩频数分布直方图如下： （2）③ （3）① （4） 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图、统计图及概率的应用，理解统计图表中各个数量的关系是正确解答的关键． （1）先求出成绩在 分的人数，再补全频数分布直方图； （2）根据中位数的定义，将这组数据按照从小到大的顺序排列后，处于中间位置的数据（或中间两数据的平均数）即为中位数； （3）由表中的信息分析即可得出结果； （4）根据题意可以画出相应的树状图，从而可以求得相应的概率． 【小问1详解】 统计图1中成绩在 分的人数为 （人）， 故答案为：8； 【小问2详解】 由频数分布直方图中的数据可得，这35名学生成绩的中位数会落在 分数段； 故答案为：③； 【小问3详解】 由表中的信息得： ①寒假阅读时间在400分钟以上，且阅读成绩取得90分以上的学生恰有3人， ②不能得出成绩分布在 的同学阅读时间主要分布在200分 300分的时间段． ∴①说法合理， 故答案为：①； 【小问4详解】 将1名男生用A表示，2名女生分别用、表示，列表如下： A A 共有6种等可能的结果，其中选中的2名同学恰好是一男一女的情况有4种， （选中一男一女） 24. 如图，是的直径，弦 于点F，过A点作的切线m，在m上取一点P，使．直线 与的延长线交于点，， ． （1）求证：直线 是的切线； （2）求的半径和的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接 ，， 直线m与相切于点， ， ， 在 和 中， ， ， ， ， 直线 是的切线； （2）半径为3； 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质定理以及判定定理，解三角形的应用，全等三角形的判定和性质，证明圆的切线的问题常用的思路是根据切线的判定定理转化成证明垂直的问题． （1）连接 ，，证明，得出 即可证明结论； （2）在 中，由勾股定理列方程求出 ，得出，进而由，再由垂径定理得出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设的半径为， 在 中， ，由勾股定理可得， 即，解得： ． 在 中，， 在 中，， 弦 ， ． 25. 如图1，一块矩形电子屏中，G为上一感应点，，动点P为一光点，当光点在光带上运动时，会与感应点发生反应，照亮以为边的正方形区域．因发生故障，只有光带 和正常工作，，光点P以每秒1个单位的速度从C点出发，沿匀速运动，到达点B时停止．设光点P的运动时间为t秒，照亮的正方形区域的面积为S．图2为P点在运动过程中S与t的函数图像，其中点Q表示P点运动到B点时情形． （1）时，照亮的区域面积 ______，并求a值． （2）当点P经过M点又运动4秒时，照亮区域的面积达到了最小，已知此时S是t的二次函数． ①求出点P在线段上运动时S关于t的函数解析式； ②点P从开始运动到停止的整个过程中，直接写出t为何值时，照亮区域的面积S为17． 【答案】（1）； （2）①；②的值为、或时，照亮区域的面积为17 【解析】 【分析】（1）先得出，利用勾股定理求出的长即可得出，根据及图像得出点运动到点时，理由勾股定理求出 即可得值； （2）①如图连接 ，根据垂线段最短得出点经过点又运动4秒时，照亮区域的面积达到了最小时，利用证明，得出可求出此时的值，根据点纵坐标可得，利用勾股定理求出的长，根据，及 时的值，利用待定系数法即可求出关于的函数解析式；②分点在 和上两种情况，分别求出值即可． 【小问1详解】 解：∵，点的速度为每秒个单位， ∴， ∵四边形为矩形，，， ∴， ∴， 由图2可知，时， ∵， ∴时，点运动到点， ∴， ∴． 故答案为：； 【小问2详解】 如图，连接 ， ∵点经过点又运动4秒时，照亮区域的面积达到了最小， ∴此时，， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴时，， 由图2可知，点运动到点时，， ∴， ∴，， ∴ 时，， 设， ∴， 解得：， ∴． ②当点在 上时，， ∴， 解得：，（负值舍去） 当点在上时，， 解得：，， 综上所述：的值为、或时，照亮区域的面积为17． 【点睛】本题考查动点问题的函数图像、矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质及待定系数法求二次函数解析式，正确提取函数图像中的信息并分类讨论是解题关键． 26. 如图，在中， ， ，， ，其中点E为边上一定点，且，F从点A出发，沿折线运动，速度为每秒1个单位长度，到D点时停止运动，点是点A关于直线的对称点．设点F的运动时间为t秒，到的距离为h． （1） __________，点E到的距离为__________． （2）当点落在上时，求点运动轨迹的长，并求出此时h的长． （3）当时，求t的值． （4）当点到的距离小于等于1时，此时段称为点F的“最优时段”，直接写出点F从运动开始到结束时“最优时段”的总时长． 【答案】（1）， （2）； （3）2或 （4） 【解析】 【分析】（1）首先得到 是等腰直角三角形，然后利用勾股定理求出，得到，过点E作，勾股定理求出，然后利用代数求解即可； （2）过点，得到点运动的轨迹为的长度，然后利用特殊角的三角函数值求出，然后根据弧长公式即可求出点运动轨迹长，然后根据勾股定理求出，然后利用即可求出h的值； （3）根据题意分点F在线段上和点F在线段上两种情况讨论，分别根据折叠的性质和相似三角形的性质以及勾股定理求解即可； （4）根据题意画出图形，分3种情况讨论，然后根据三角函数和勾股定理分别求出点F的“最优时段”的时长，然后相加即可． 【小问1详解】 ∵ ， ， ∴ ∴ 是等腰直角三角形 ∴ ∴； ∵ ， ∴ 如图所示，过点E作 ∵， ， ∴ ∴， ∴ ∴ ∴点E到的距离为； 【小问2详解】 如图所示，过点 根据题意得，点运动的轨迹为的长度 ∵，， ∴ ∴ ∴ ∴； ∴ ∴ ∴ ∴ ∴； 【小问3详解】 如图所示，当点F在线段上时， 当时， ∴ 由折叠可得， ∴ ∴ ∵F从点A出发，沿折线运动，速度为每秒1个单位长度，设点F的运动时间为t秒， ∴（秒）； 如图所示，当点F在线段上时，延长 交于点G，过点F作 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ 由折叠可得， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∴ ∴ ∴（秒）； 【小问4详解】 如图所示，当点F在线段上时，当点到的距离等于1时， 过点作，连接，过点F作 ∴ 由折叠得， ∴， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴（秒）； 如图所示，当点F运动到此位置时，此时， 同理可得， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 过点E作 ∴ 是等腰直角三角形 ∴ ∴ ∴； 如图所示，当点F运动到此位置时，此时， 同理可得，此时 同理可得，， ∴ ∴ ∴； 如图所示，当点F运动到此位置时，此时， 同理可得，此时， ∴． ∴点F从运动开始到结束时“最优时段”的总时长为． 【点睛】此题考查了几何动点问题，勾股定理，解直角三角形，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是正确作出辅助线求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年中考适应性训练 数学试卷 注意事项： 1.本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2.答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3.所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意本项”，按照“注意事项”的规定答题． 4.答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 5.考试结束时，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题有16个小题，共38分．1－6小题各3分，7－16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各数中，最小的有理数是（ ） A. 4 B. C. 0 D. 2. 如图中四条线段a，b，c，d和线段e在同一条直线上的是（ ） A. a B. b C. c D. d 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 两个直角三角板如图所示摆放，其中， ， ，，则 的大小为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将由5个棱长为1的小正方体组成的几何体在桌面上顺时针旋转 后，主视图的面积为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 如图，正五边形内接于，连接，则（ ） A. B. C. D. 7. 一组数据3，0，，5，x，2，的平均数是1，则这组数据的众数是（ ） A. B. 2 C. 3和 D. 2和 8. 我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x尺，绳子长y尺，根据题意列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，直线垂直平分，分别与边、相交于点D、E，连接．若点恰为的中点， ，，则的长为（ ） A. 8 B. 6 C. 5 D. 4 10. 如图在电压不变的条件下，通过不断增加导体的电阻减小电流，导体的电阻与电流成反比例，I与R的函数图象如图所示，若电阻由减小到 ，则电流（ ）． A. 增大了 B. 增大了 C. 减小了 D. 减小了 11. 如图，的对角线，相交于点O， 的平分线与边相交于点P，E是 中点，若 ， ，则的长为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 12. 如图，为了测量空中某点A离地面的高度，小敏利用测角仪在点B、C分别测得A的仰角为，为 ，地面上点B、C、D在同一水平直线上， ，则点A离地面的高度长为（ ） （参考数据：， ， ） A. 30m B. 80m C. 60m D. 50m 13. 如图，在直角坐标系中，存在三个定点分别为，，，顺次连接，现添加一点，使得，那么的长不可能为（ ） A. 4 B. 7 C. 11 D. 15 14. 如图，已知：在中，，是边上的中线． 求作： ，使． 下面是甲、乙两名同学的作图过程， 下面说法正确的是（ A. 甲对乙不对 B. 甲不对乙对 C. 甲乙都不对 D. 甲乙都对 15. 小明利用学习函数获得的经验研究函数的性质，得到如下结论： ①该函数自变量的取值范围为； ②该函数与轴交于点； ③该函数图象不经过第四象限； ④若，是该函数上两点，当时，一定有． ⑤该函数图象关于轴对称． 其中说法正确的有（ ）个． A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 16. 我国清代数学家李锐借助三个正方形用出入相补的方法证明了勾股定理．如图，直角三角形的三边a，b，c满足 ，分别以a、b、c为边作三个正方形：正方形、正方形、正方形，把它们拼成如图所示形状，使E、F、G三点在一条直线上，若 ，四边形与面积之和为7，则正方形的面积为（ ） A. 49 B. 28 C. 21 D. 14 二、填空题（本大题共3小题，17、18每小题3分：19小题4分，每空2分） 17. 分解因式___________． 18. 已知等腰三角形的两边长满足，那么这个等腰三角形的周长为___________． 19. 如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点在第一象限，点， ，，双曲线与边、分别交于、两点，并且把分成两部分． （1）若，则___________． （2）横纵坐标都为整数的点称为整点，若双曲线把分成的两部分中的整点个数相等（不含边界），则的取值范围为___________． 三、解答题 20. （1）计算： （2）嘉琪与小明通过计算发现的结果是个定值．下面是这两位同学的部分说理过程： 解：原式 解：原式 ①嘉琪同学解法的依据是__________，小明同学解法的依据是__________；（填序号） A.乘法分配律； B.乘法交换律； C.分式的基本性质； D.等式的基本性质． ②请选择其中一种解法，求出这个定值． 21. 在综合实践活动中，老师让用一张周长为 的矩形纸片制作一个无盖长方体形盒子，应该如何设计？已知该矩形纸片的一条边长为 ． （1）该矩形纸片的另一边长为__________cm； （2）如图1，甲同学在四个角分别剪去了边长为 的四个小正方形，此时该纸片制作的无盖长方体形盒子的体积为__________；如图2，乙同学在四个角分别剪去了边长为 的四个小正方形，此时该纸片制作的无盖长方体形盒子的体积为__________； （3）甲同学和乙同学谁设计的盒子容积更大？请说明理由． 22. 元宵节是中国传统节日，在这一天人们吃元宵、看花灯、猜灯谜，非常热闹．今年元宵节来临之际，某商场销售甲种元宵时节后每斤的进价比节前降了2元，同样用120元购进元宵的数量节前比节后少2斤．根据以上信息，解答下列问题： （1）该商场节前每斤甲种元宵的进价是多少元？ （2）如果该商场在节前和节后共购进甲种元宵200斤，且总费用不超过2300元，并按照节前每斤20元，节后每斤16元全部售出，那么该商场节前购进多少斤甲种元宵获得利润最大？最大利润是多少？ 23. 开学后李老师为了解某班学生寒假语文阅读情况，对全班35名同学进行了阅读专项测试（满分100分），并对全班成绩进行了整理，绘制了如下的不完整统计图1.下面给出了部分信息． 根据以上信息，解答下列问题： （1）统计图1中成绩在 分的人数为_________，请补全成绩频数分布直方图； （2）全班阅读成绩的中位数所在的分数段为_________（填序号） ① ；② ；③ ；④ ；⑤ ． （3）李老师进一步调查了全班学生寒假阅读的时间情况，并将阅读时间和成绩进行整理，绘制了统计图2，下列说法合理的是__________（填序号）； ①寒假阅读时间在400分钟以上，且阅读成绩取得90分以上的学生恰有3人 ②小颖推断阅读成绩分布在 的同学阅读时间主要分布在200分 300分的时间段． （4）李老师准备从阅读成绩最高而且阅读时间最长的3名学生（1名为男生2名为女生）中随机选取2名在班里进行经验介绍，用列表成两树状图的方法求选中的2名同学恰好是一男一女的概率． 24. 如图，是的直径，弦 于点F，过A点作的切线m，在m上取一点P，使．直线 与的延长线交于点，， ． （1）求证：直线 是的切线； （2）求的半径和的长． 25. 如图1，一块矩形电子屏中，G为上一感应点，，动点P为一光点，当光点在光带上运动时，会与感应点发生反应，照亮以为边的正方形区域．因发生故障，只有光带 和正常工作，，光点P以每秒1个单位的速度从C点出发，沿匀速运动，到达点B时停止．设光点P的运动时间为t秒，照亮的正方形区域的面积为S．图2为P点在运动过程中S与t的函数图像，其中点Q表示P点运动到B点时情形． （1）时，照亮的区域面积 ______，并求a值． （2）当点P经过M点又运动4秒时，照亮区域的面积达到了最小，已知此时S是t的二次函数． ①求出点P在线段上运动时S关于t的函数解析式； ②点P从开始运动到停止的整个过程中，直接写出t为何值时，照亮区域的面积S为17． 26. 如图，在中， ， ，， ，其中点E为边上一定点，且，F从点A出发，沿折线运动，速度为每秒1个单位长度，到D点时停止运动，点是点A关于直线的对称点．设点F的运动时间为t秒，到的距离为h． （1） __________，点E到的距离为__________． （2）当点落在上时，求点运动轨迹的长，并求出此时h的长． （3）当时，求t的值． （4）当点到的距离小于等于1时，此时段称为点F的“最优时段”，直接写出点F从运动开始到结束时“最优时段”的总时长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $