北京市2024年九年级中考数学复习 　第3课——整式、分式与因式分解　讲义

北京市2024年版中考复习 毕业年级 班级:________ 姓名:____________ 第3课 数与式——整式、分式与因式分解 【目标】借助现实情境了解代数式,进一步理解用字母表示数的意义;能分析具体问题中的简单数量关系,并用代数式表示;能根据特定的问题查阅资料,找到所需的公式;会把具体数代入代数式进行计算;了解整数指数幂的意义和基本性质;理解整式的概念,掌握合并同类项和去括号的法则;能进行简单的整式加减运算,能进行简单的整式乘法运算(多项式乘法仅限于一次式之间和一次式与二次式的乘法);理解乘法公式(a+b)(a-b)=a2-b2,(a±b)2=a2±2ab+b2,了解公式的几何背景,能利用公式进行简单的计算和推理;能用提公因式法、公式法(直接利用公式不超过二次)进行因式分解(指数为正整数);了解代数推理;了解分式和最简分式的概念,能利用分式的基本性质进行约分和通分;能对简单的分式进行加、减、乘、除运算. 【考点一】整式及其运算 一、代数式 代数式 用基本运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方)把数或表示数的字母连接而成的式子,单独的一个数或字母也是代数式 列代数式 例：打折问题:原价为a的商品打八折的价格为①　　　　;  增长率问题:原价为a的商品价格增长10%后的价格为②　　 　  二、单项式与多项式 类别 单项式 多项式 定义 数或字母的③　　　　组成的式子叫做单项式.单独的一个数或一个字母也是单项式 几个单项式的④　 　叫做多项式  次数 一个单项式中,所有字母的⑤　　　　叫做这个单项式的次数  多项式里,⑥　 　　　的项的次数,叫做这个多项式的次数  系数 单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数 无 项 无 多项式中,每个单项式叫做多项式的项 示例 三、整式的运算 类别 运算法则 加减运算 一般地,几个整式相加减,如果有括号就先去括号,然后再合并同类项 整数指数 幂的运算 (1)am·an=⑦　　　　(m,n都是整数);(2)am÷an=⑧　　　(a≠0,m,n都是整数);  (3)(am)n=⑨　　　(m,n都是整数);(4)(ab)n=⑩　　　　(n为整数); (5)a-m=⑪　　　　(a≠0,m为整数);(6)a0=⑫　　　　(a≠0)  乘法 运算 单项式×单项式 把它们的系数、同底数幂分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式 单项式×多项式 m(a+b+c)=⑬　　　　 　  多项式×多项式 (m+n)(a+b)=⑭　　　 　　  乘法公式 平方差公式:(a+b)(a-b)=⑮　　　  完全平方公式:(a±b)2=⑯　　　　　　.  除法 运算 单项式÷单项式 把系数与同底数幂分别相除作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式 多项式÷单项式 (am+bm)÷m=a+b 【考点二】分式及其运算 分式的 有关概念 分式 一般地,如果A,B表示两个整式,并且B中含有字母,那么式子叫做分式 最简分式 分子和分母没有公因式的分式 分式有意义 分式值为0 分式有意义的条件为　　　， =0的条件为　　 　  分式的 基本性质 ;(其中A,B,C是整式,B≠0,C≠0). 分子、分母都乘(或除以)同一个不为0的整式,分式的值不变 分式的 运算 加减 运算 (1)同分母:=㉒　　　　(分母不变,分子相加减);  (2)异分母:=㉓　　　　±㉔　　　　=  乘除 运算 (1)乘法法则:·=㉕　　　　(正确约分是求解的关键);  (2)除法法则:=㉖　　　　·㉗　　　　=  分式的 运算 乘方运算 )n=㉘　　　　(n为整数)  混合 运算 (1)实数的运算法则、运算顺序、各种运算律也适用于分式的运算; (2)分式运算的结果要化成最简分式或整式 【温馨提示】分式化简求值易错点:(1)通分时错误:分式通分时,防止分子漏乘;(2)去括号时,符号错误:当括号前是“-”号,去括号时要注意括号内各项均要改变符号;(3)不要把分式的化简与解分式方程的变形相混淆,随意将分母去掉 【考点三】因式分解 定义 把一个多项式化成几个整式的㉙　　　的形式,像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解  方法 提公因式法 ma+mb+mc=m(a+b+c) 公式法 十字相乘法* x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q), 如x2+5x+6=(x+2)(x+3),x2+5x-6=(x-1)(x+6) 一般步骤 一提(提公因式);二套(套乘法公式);三检验(检验是否分解彻底) 【考点精练】 基础练-2021-2023真题 1.[2022·西城校级模拟]单项式-xy2的次数是 (　　) A.0 B.1 C.2 D.3 2.[2023·东城八上期末]计算(2m+1)(3m-2),结果正确的是 (　　) A.6m2-m-2 B.6m2+m-2 C.6m2-2 D.5m-1 3.[2023·东城二模]下列运算结果正确的是 (　　) A.(-a)2=a2 B.a6÷a2=a3 C.(a-2)2=a2- D.3a+a=4 4.[2023·延庆一模改编]如页面右下图,是利用割补法求图形面积的示意图,下列公式中与之相对应的是______. 5.[2023·东城二模]分解因式:2x2-8=　 . 6.[2023·朝阳一模]分解因式:3a2-6a+3=　　　.  7.[2023·丰台一模]分解因式:xy2-2xy+x=　　　　　　　　　.  8.[2022·平谷一模]已知a2+2a-2=0,求代数式(a-1)(a+1)+2(a-1)的值. 9.[2023·朝阳二模]已知a2+b2-3=0,求代数式(a+b)2-2b(a-b)+2a2的值. 10.要使分式有意义,则x的取值范围是 (　　) A.x>1 B.x≠1 C.x=1 D.x≠0 11.下列分式中是最简分式的是 (　　) A. B. C. D. 12.如果把分式中的m,n都扩大为原来的2倍,那么分式的值 (　　) A.变为原来的2倍 B.变为原来的 C.变为原来的4倍 D.不变 13.一项工作,甲单独完成需要a天,乙单独完成需要b天.如果甲、乙二人合作,那么每天的工作效率是 (　　) A.a+b B. C. D. 14.[2022·昌平二模]若a+b=1,则代数式（-1）·的值为 (　　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 15.[2023·朝阳二模]若分式的值为零,则x的值为　　　　.  16.是物理学中的一个公式,其中各个字母都不为零且R1+R2≠0.用R1,R2表示R,则R=　　　　.  17.[2021·石景山一模]若,则代数式的值是　　　　.  18.[2023·石景山八上期末]下面是大山同学计算的过程: = [1] = [2] = [3] = [4] (1)运算步骤[2]为通分,其依据是　 ;  (2)运算结果的分子m应是代数式　 .  提升练 ※19.已知:当x=3时,代数式ax2023+bx2021-1的值是8,则当x=-3时,这个代数式的值是 (　　) A.-10 B.8 C.9 D.-8 20.已知x=-1,y=+1,那么代数式的值是 (　　) A.2 B. C.4 D.2 21.[2023·东城二模]先化简,再求值: （1-）÷,其中a=4. 3 学科网（北京）股份有限公司 $$