重庆市开州区德阳初中教育集团2024年九年级中考数学三诊试卷　

2024年重庆市开州区德阳初中教育集团中考数学三诊试卷 一.选择题 1．5的绝对值是（　　） A．﹣5 B． C．﹣ D．5 2．下列图形中，是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．如图，O是直线AB上一点．若∠BOC＝26°，则∠AOC为（　　） A．154° B．144° C．116° D．64° 4．如图，在平面直角坐标系中，△OAB和△OCD是以原点O为位似中心的位似图形．若OB＝2OD，△OCD的周长为3，则△OAB的周长为（　　） A．6 B．9 C．12 D．30 5．一元二次方程2x2+3x+1＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 6．下列图形都是由同样大小的黑色三角形按一定规律组成的，其中第①个图形中有1个黑色三角形，第②个图形中有4个黑色三角形，第③个图形中有8个黑色三角形，第④个图形中有13个黑色三角形，…按此规律排列下去，则第⑦个图形中黑色三角形的个数为（　　） A．33 B．34 C．35 D．36 7．估计的值应在（　　） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 8．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠ACD＝22.5°，AB＝4，则CD的长为（　　） A． B．2 C． D． 9．如图，已知正方形ABCD的边长为1，点E为边BC上一点，连接AE，作∠DAE的平分线交CD于点F，若F为CD的中点，则BE的长为（　　） A． B． C． D． 10．对于若干个数，先将每两个数作差（大数减小数，相等的数差为0），再将这些差进行求和，这样的运算称为对这若干个数的“非负差值运算”，例如，对于1，2，3进行“非负差值运算”，（3﹣2）+（3﹣1）+（2﹣1）＝4．①对3，5，9进行“非负差值运算”的结果是12；②x，﹣2、5的“非负差值运算”的最小值是15；③a，b，c的“非负差值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有6种；以上说法中正确的个数为（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 二.填空题 11．计算：＝　 　． 12．2023年我国出生人口约为9020000人，将9020000用科学记数法表示为 　 　． 13．在一个不透明的袋中装着4个球，3个红球和1个黄球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出2个小球，两球恰好是一个黄球和一个红球的概率为 　 　． 14．如图是一台印刷机每年可印刷的书本数量y（万册）与它的使用时间x（年）的关系图，点P在图象上，则当x＝5年时，y＝　 　万册． 15．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，，以BC的中点E为圆心的与AD相切于点H，与AB，DC分别交于点M，N，连接EM，EN．则图中阴影部分的面积为 　 　． 16．如图，D，E是△ABC外两点，连接AD，AE，有AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝40°．连接CD，BE交于点F，则∠DFE的度数为 　 　． 17．如果关于x的不等式组的解集为x≥3，且关于y的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数m的值之和为 　 　． 18．如果一个四位自然数的各数位上的数字不全相等，满足，那么称这个四位数为“跳跃数”．例如：四位数1323，∵12+33＝5（1+2+3+3），∴1323是“跳跃数”；又如：四位数5324，∵52+34≠5（5+3+2+4），∴5324不是“跳跃数”．若一个“跳跃数”为，则这个数为 　 　；若一个“跳跃数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的差能被7整除，则满足条件的“跳跃数”的最大值是 　 　． 三.解答题 19．计算：（1）a（a﹣2b）+（a+b）2； （2）． 20．如图，AC是菱形ABCD的对角线． （1）作边AB的垂直平分线，分别与AB，AC交于点E，F，连接FB、FD（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证：点F在线段AD的垂直平分线上． 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴CD＝CB，　 　． 在△DCF和△BCF中， ∴△DCF≌△BCF， ∴　 　． ∵EF垂直平分AB， ∴　 　， ∴FA＝FD． ∴点F在线段AD的垂直平分线上（ 　 　）． 21．春节是中国重要的传统节日之一，我校组织学生参加关于中国传统文化知识的线上测试活动．为了了解七、八年级学生此次线上测试活动的成绩情况，分别随机在七、八年级各抽取了10名学生的成绩（百分制，单位：分）进行整理、描述和分析（学生成绩得分用x表示，共分为三个等级：合格80≤x＜85，良好85≤x＜95，优秀95≤x≤100），下面给出了部分信息： 七年级10名学生的成绩：83，84，84，88，89，89，89，95，95，98． 八年级10名学生的成绩中“良好”等级包含的所有数据为： 86，86，86，90，94． 抽取的七、八年级学生测试成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 “优秀”等级所占百分比 七 89.4 89 a 30% 八 89.4 b 86 30% 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：a＝　 　，b＝　 　，m＝　 　； （2）根据以上数据，你认为该学校哪个年级的学生测试成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）． （3）如果我校七年级有学生3500人，八年级有学生2800人，估计我校七、八年级此次线上测试成绩良好的总人数． 22．某天小明沿平路从家步行去图书馆借书，到达图书馆后，发现没有带借书证（停留时间忽略不计），立即骑共享单车沿原路返回家中取借书证．已知在平路上骑车的平均速度是步行平均速度的3倍，小明家到图书馆的平路距离为3600米，小明从离家到返回家中共用60分钟． （1）求小明在平路上骑车的平均速度（单位：米/分）是多少？ （2）小明找到借书证后，遇到上班高峰，平路拥堵，为了节约时间，小明骑共享单车选择走另外一条不拥堵的坡路去图书馆，小明骑车先上坡再下坡，只用了18分钟就到达图书馆．已知骑共享单车在上坡的平均速度是平路上的平均速度的，下坡的平均速度是平路上的平均速度的，且下坡的路程是上坡路程的3倍，求这段坡路的总路程是多少米？ 23．重庆动物园顶流明星—一大熊猫“渝可、渝爱”人气爆棚，吸引了全国各地的游客前来拍照打卡．如图，三角形观赏区ABE紧邻四边形熊猫馆ABCD．经测量，点C在点B的正东方向，点A在点B的北偏东45°方向，点E在点B的正北方向且在点A的正西方向，点D在点A的正东方向且在点C的北偏东60°方向．AD长30米，CD长40米．（参考数据：≈1.41，≈1.73） （1）求AB的长度；（结果精确到1米） （2）天气炎热时，饲养员会在点D处为熊猫放置冰块帮助熊猫降温．渝可从B出发沿B→A→D到达点D，渝爱从B出发沿B→C→D到达点D，请计算说明哪只熊猫选择的路线较近？ 24．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，动点E，F分别以每秒1个单位长度的速度同时从点A和点C出发，点E沿折线A→B→C方向运动，点F沿折线C→D→A方向运动，当点E到达点C时停止运动．设运动时间为x秒，△EFC的面积为y． （1）请直接写出y关于x的函数表达式并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象，写出当△EFC的面积不小于6且不大于11时x的取值范围（误差不超过0.2）． 25．如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴相交于点A，点B（A在B的左侧），与y轴相交于点C，A、B的坐标分别为：（﹣2，0）、（4，0），连接AC，BC． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点P是第一象限内抛物线上的动点，过点P作PE∥y轴，交直线BC于点E，当有最大值时，求PECE的最大值与点P的坐标； （3）将抛物线向右平移2个单位得到新抛物线y′，点F为原抛物线y与新抛物线y′的交点，点M是原抛物线y上一点，当∠MBA＝∠FAB时，直接写出点M的坐标． 26．在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝30°，△BDE是等边三角形，连接CD、AE． （1）如图1，当A、B、D三点在同一直线上时，AE、BC交于点P，且AE⊥AC．若PC＝8，求PE的长； （2）如图2，当B、E、C三点在同一直线上时，F是CD中点，连接AF、EF，求证：AE＝2AF； （3）如图3，在（2）的条件下，AB＝8，E在直线BC上运动，将△AEF沿EF翻折得到△MEF，连接DM，G是AB上一点，且，O是直线BC上的另一个动点，连接OG，将△BOG沿OG翻折得到△HOG，连接HM，当HM最小时，直接写出此时点D到直线EM的距离． 2024年重庆市开州区德阳初中教育集团中考数学三诊试卷 参考答案与试题解析 一.选择题 1．5的绝对值是（　　） A．﹣5 B． C．﹣ D．5 【分析】根据绝对值的性质求解． 【解答】解：根据正数的绝对值是它本身，得|5|＝5． 故选：D． 【点评】此题主要考查了绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 2．下列图形中，是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，由此即可判断． 【解答】解：A、C、D中的图形不是中心对称图形，故ACD不符合题意； B、图形是中心对称图形，故B符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义． 3．如图，O是直线AB上一点．若∠BOC＝26°，则∠AOC为（　　） A．154° B．144° C．116° D．64° 【分析】根据邻补角互补的性质计算即可． 【解答】解：∵∠BOC＝26°， ∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣26°＝154°， 故选：A． 【点评】本题考查了邻补角，熟练掌握邻补角的性质是解题的关键． 4．如图，在平面直角坐标系中，△OAB和△OCD是以原点O为位似中心的位似图形．若OB＝2OD，△OCD的周长为3，则△OAB的周长为（　　） A．6 B．9 C．12 D．30 【分析】根据位似比等于相似比，周长比等于相似比，即可得出结果． 【解答】解：∵△OAB和△OCD是以原点O为位似中心的位似图形，OB＝2OD， ∴△OAB和△OCD的相似比为：2：1， ∴△OAB和△OCD的周长比为：2：1， ∵△OCD的周长为3， ∴△OAB的周长为6； 故选：A． 【点评】本题考查坐标与位似，掌握位似比等于相似比，周长比等于相似比是解题的关键． 5．一元二次方程2x2+3x+1＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【分析】代入数据求出根的判别式Δ＝b2﹣4ac的值，根据Δ的正负即可得出结论． 【解答】解：∵Δ＝b2﹣4ac＝32﹣4×2×1＝1＞0， ∴该方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是求出根的判别式Δ＝1．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的判别式的正负确定根的个数是关键． 6．下列图形都是由同样大小的黑色三角形按一定规律组成的，其中第①个图形中有1个黑色三角形，第②个图形中有4个黑色三角形，第③个图形中有8个黑色三角形，第④个图形中有13个黑色三角形，…按此规律排列下去，则第⑦个图形中黑色三角形的个数为（　　） A．33 B．34 C．35 D．36 【分析】根据已知图形得出第（n+1）个图形中黑色三角形的个数为1+2+3+……+n+2n+1，据此可得． 【解答】解：∵第①个图形中黑色三角形的个数1＝1+2×（1﹣1）， 第②个图形中黑色三角形的个数4＝1+2×1+1， 第③个图形中黑色三角形的个数8＝1+2+2×2+1， 第④个图形中黑色三角形的个数13＝1+2+3+2×3+1， …… ∴第⑦个图形中黑色三角形的个数为1+2+3+4+5+6+2×6+1＝34， 故选：B． 【点评】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是得出第（n+1）个图形中黑色三角形的个数为1+2+3+……+n+2n+1． 7．估计的值应在（　　） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【分析】先计算括号里，再算括号外，然后再估算出的值的范围，即可解答． 【解答】解： ＝×（2﹣） ＝× ＝， ∵9＜10＜16， ∴3＜＜4， ∴估计的值应在3和4之间， 故选：C． 【点评】本题考查了无理数的大小，二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 8．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠ACD＝22.5°，AB＝4，则CD的长为（　　） A． B．2 C． D． 【分析】连接OD，由圆周角定理得出∠AOD＝45°，根据垂径定理可得CE＝DE＝CD，证出△DOE为等腰直角三角形，利用特殊角的三角函数可得答案． 【解答】解：连接OD，如图所示： ∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，AB＝4， ∴OD＝2，CE＝DE＝CD， ∵∠ACD＝22.5°， ∴∠AOD＝2∠ACD＝45°， ∴△DOE为等腰直角三角形， ∴DE＝OD＝， ∴CD＝2DE＝2， 故选：C． 【点评】此题主要考查了圆周角定理、垂径定理、以及三角函数的应用；关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 9．如图，已知正方形ABCD的边长为1，点E为边BC上一点，连接AE，作∠DAE的平分线交CD于点F，若F为CD的中点，则BE的长为（　　） A． B． C． D． 【分析】过点F作FH⊥AE，连接EF，证明△ADF≌△AHF，△EFH≌△EFC，得出AD＝AH，EH＝EC，设CE＝x，则AE＝1+x，BE＝1﹣x，再利用勾股定理即可解答． 【解答】解：过点F作FH⊥AE，连接EF， ∵F为CD中点， ∴DF＝CF＝， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠D＝∠C＝90°， ∵AF是角平分线， ∴DF＝HF＝CF， ∴Rt△ADF≌Rt△AHF（HL）， ∴AD＝AH＝1， 同理可得Rt△EFH≌Rt△EFC， ∴EH＝CH， 设CE＝x，则AE＝1+x，BE＝1﹣x， ∴12+（1﹣x）2＝（1+x）2， 解得x＝， ∴BE＝1﹣＝． 故选：C． 【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 10．对于若干个数，先将每两个数作差（大数减小数，相等的数差为0），再将这些差进行求和，这样的运算称为对这若干个数的“非负差值运算”，例如，对于1，2，3进行“非负差值运算”，（3﹣2）+（3﹣1）+（2﹣1）＝4．①对3，5，9进行“非负差值运算”的结果是12；②x，﹣2、5的“非负差值运算”的最小值是15；③a，b，c的“非负差值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有6种；以上说法中正确的个数为（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【分析】根据“非负差值运算”的定义逐项判断即可． 【解答】解：∵（9﹣5）+（9﹣3）+（5﹣3）＝12， ∴对3，5，9进行“非负差值运算”的结果是12，故①正确； 当x＝﹣2时，﹣2，﹣2、5的“非负差值运算”结果为（5+2）+（5+2）+0＝14，故②错误； ∵a，b，c的“非负差值运算”结果为|c﹣a|+|c﹣b|+|a﹣b|， ∴a≤b≤c时，a，b，c的“非负差值运算”结果为c﹣a+c﹣b+b﹣a＝2c﹣2a， 同理，a≤c≤b时，a，b，c的“非负差值运算”结果为2c﹣2a， b≤a≤c时，a，b，c的“非负差值运算”结果为2c﹣2b； b≤c≤a时，a，b，c的“非负差值运算”结果为2a﹣2b； c≤a≤b时，a，b，c的“非负差值运算”结果为2b﹣2c， c≤b≤a时，a，b，c的“非负差值运算”结果为2a﹣2c； ∴a，b，c的“非负差值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有6种，故③正确； ∴正确的有2个， 故选：B． 【点评】本题考查整式的混合运算，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，理解新定义． 二.填空题 11．计算：＝　　． 【分析】首先计算零指数幂、负整数指数幂，然后计算减法，求出算式的值即可． 【解答】解： ＝1﹣ ＝． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行． 12．2023年我国出生人口约为9020000人，将9020000用科学记数法表示为 　9.02×106　． 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数． 【解答】解：9020000＝9.02×106． 故答案为：9.02×106． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 13．在一个不透明的袋中装着4个球，3个红球和1个黄球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出2个小球，两球恰好是一个黄球和一个红球的概率为 　　． 【分析】画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出两名都是男生的结果数，然后根据概率公式计算． 【解答】解：画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中两名都是男生的结果数为6， 所以所选2人都是男生的概率＝＝． 故答案为：． 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率． 14．如图是一台印刷机每年可印刷的书本数量y（万册）与它的使用时间x（年）的关系图，点P在图象上，则当x＝5年时，y＝　8　万册． 【分析】根据图象推断为反比例函数，待定系数法求出反比例函数解析式，将x＝5代入解析式求出y值即可． 【解答】解：由图象可知，一台印刷机每年可印刷的书本数量y（万册）与它的使用时间（年）成反比例函数， 设函数解析式为：y＝（x＞0，k＞0）， 将P（1，40）代入所设解析式得： 40＝，解得：k＝40， ∴反比例函数解析式为：y＝， 当x＝5时，y＝＝8（万册）， 故答案为：8． 【点评】本题考查了反比例函数的应用，待定系数法求出函数解析式是解答本题的关键． 15．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，，以BC的中点E为圆心的与AD相切于点H，与AB，DC分别交于点M，N，连接EM，EN．则图中阴影部分的面积为 　π　． 【分析】连接EH，如图，根据切线的性质得EH⊥AD，则EH＝AB＝2，在Rt△BEM中，利用正弦的定义求出∠BEM＝30°，则∠MEN＝120°，然后根据扇形的面积公式计算． 【解答】解：连接EH，如图， ∵AD为切线， ∴EH⊥AD， ∴四边形ABEH是矩形， ∴EH＝AB＝2， 在Rt△BEM中，BM＝AB＝1， ∴sin∠BEM＝＝， ∴∠BEM＝30°， 同理可得∠NEC＝30°， ∴∠MEN＝180°﹣30°﹣30°＝120°， ∴图中阴影部分的面积＝＝π． 故答案为：π． 【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了矩形的性质和扇形的面积公式． 16．如图，D，E是△ABC外两点，连接AD，AE，有AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝40°．连接CD，BE交于点F，则∠DFE的度数为 　140°　． 【分析】设AB交CD于点G，由∠BAD＝∠CAE＝40°，推导出∠BAE＝∠DAC，而AB＝AD，AE＝AC，即可根据“SAS”证明△BAE≌△DAC，得∠ABE＝∠D，可求得∠BFD＝∠BAD＝40°，则∠DFE＝180°﹣∠DFB＝140°，于是得到问题的答案． 【解答】解：设AB交CD于点G， ∵∠BAD＝∠CAE＝40°， ∴∠BAE＝∠DAC＝40°+∠BAC， 在△BAE和△DAC中， ， ∴△BAE≌△DAC（SAS）， ∴∠ABE＝∠D， ∴∠BFD＝∠BGD﹣∠ABE＝∠BGD﹣∠D＝∠BAD＝40°， ∴∠DFE＝180°﹣∠BFD＝180°﹣40°＝140°， 故答案为：140°． 【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，证明△BAE≌△DAC是解题的关键． 17．如果关于x的不等式组的解集为x≥3，且关于y的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数m的值之和为 　4　． 【分析】先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出3＞m﹣1，求出m＜4，再根据分式方程的分母不能为0得出y≠1，根据等式的性质求出方程的解是y＝，根据分式方程的解为正数求出＞0，求出m＞﹣2，求出m的范围是﹣2＜m＜4且m≠1，求出整数m的值，再求出答案即可． 【解答】解：， 解不等式①，得x≥3， 解不等式②，得x＞m﹣1， ∵关于x的不等式组的解集为x≥3， ∴3＞m﹣1， 解得：m＜4， ， 方程两边都乘y﹣1，得m+1＝2（y﹣1）+（1+y）， m+1＝2y﹣2+1+y， ﹣2y﹣y＝﹣2+1﹣1﹣m， ﹣3y＝﹣2﹣m， y＝， ∵关于y的分式方程的解为正数， ∴＞0且1﹣y≠0， ∴m＞﹣2且y≠1， ∴≠1， 解得：m≠1， ∴m的取值范围是﹣2＜m＜4且m≠1， ∵m为整数， ∴m为﹣1，0，2，3， 和为﹣1+0+2+3＝4． 故答案为：4． 【点评】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式，解一元一次不等式组等知识点，能求出m的范围﹣2＜m＜4且m≠1是解此题的关键． 18．如果一个四位自然数的各数位上的数字不全相等，满足，那么称这个四位数为“跳跃数”．例如：四位数1323，∵12+33＝5（1+2+3+3），∴1323是“跳跃数”；又如：四位数5324，∵52+34≠5（5+3+2+4），∴5324不是“跳跃数”．若一个“跳跃数”为，则这个数为 　4437　；若一个“跳跃数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的差能被7整除，则满足条件的“跳跃数”的最大值是 　9369　． 【分析】①由是“跳跃数“，可得43+10m+7＝5（4+m+3+7），解出m的值可知这个数为4437； ②设满足条件的“跳跃数”的最大值是，可得90+c+10b+d＝5（9+b+c+d），b＝﹣9，即知c+d＝15，b＝3，而前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的差能被7整除，即可得2c+d是7的倍数，从而得c最大为6，d＝9，满足条件的“跳跃数”的最大值是9369． 【解答】解：①∵是“跳跃数“， ∴43+10m+7＝5（4+m+3+7）， 解得m＝4， ∴这个数为4437； ②设满足条件的“跳跃数”的最大值是， ∴90+c+10b+d＝5（9+b+c+d）， ∴b＝﹣9， ∵b，c，d是0～9中的整数， ∴c+d＝15，b＝3， ∴满足条件的“跳跃数”的最大值是， ∵前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的差能被7整除， 且930+c﹣（300+10c+d）＝630﹣9c﹣d＝7（90﹣c）﹣（2c+d）， ∴2c+d是7的倍数， ∵c+d＝15， ∴c+15的7的倍数， ∴c最大为6， ∴d＝9， ∴满足条件的“跳跃数”的最大值是9369； 故答案为：9369． 【点评】本题考查因式分解的应用，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，理解“跳跃数“的概念． 三.解答题 19．计算：（1）a（a﹣2b）+（a+b）2； （2）． 【分析】（1）利用单项式乘多项式，完全平方公式进行计算，即可解答； （2）先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答． 【解答】解：（1）a（a﹣2b）+（a+b）2 ＝a2﹣2ab+a2+2ab+b2 ＝2a2+b2； （2） ＝• ＝• ＝． 【点评】本题考查了分式的混合运算，单项式乘多项式，完全平方公式，整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 20．如图，AC是菱形ABCD的对角线． （1）作边AB的垂直平分线，分别与AB，AC交于点E，F，连接FB、FD（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证：点F在线段AD的垂直平分线上． 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴CD＝CB，　∠DCA＝∠BAC　． 在△DCF和△BCF中， ∴△DCF≌△BCF， ∴　FD＝FB　． ∵EF垂直平分AB， ∴　FA＝FB　， ∴FA＝FD． ∴点F在线段AD的垂直平分线上（ 　到线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上　）． 【分析】（1）根据线段垂直平分线的画法作图即可； （2）由菱形的性质易证△DCF≌△BCF，即得出FD＝FB，再根据线段垂直平分线的性质定理和判定定理求证即可． 【解答】解：（1）如图即为所作； （2）证明：∵四边形ABCD是菱形 ∴AB＝CB，CD∥AB，CD＝CB， ∴∠BCA＝∠BAC，∠DCA＝∠BAC， ∴∠DCA＝∠BCA， 在△DCF和△BCF中， ， ∴△DCF≌△BCF（SAS）， ∴FD＝FB． ∵EF垂直平分AB， ∴FA＝FB， ∴FA＝FD， ∴点F在线段AD的垂直平分线上（到线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）． 故答案为：∠DCA＝∠BAC；FD＝FB；FA＝FB；到线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 【点评】本题考查作图—线段垂直平分线，线段垂直平分线的判定定理和性质定理，菱形的性质，三角形全等的判定和性质等知识．掌握尺规基本作图方法和线段垂直平分线的判定定理和其性质定理是解题关键． 21．春节是中国重要的传统节日之一，我校组织学生参加关于中国传统文化知识的线上测试活动．为了了解七、八年级学生此次线上测试活动的成绩情况，分别随机在七、八年级各抽取了10名学生的成绩（百分制，单位：分）进行整理、描述和分析（学生成绩得分用x表示，共分为三个等级：合格80≤x＜85，良好85≤x＜95，优秀95≤x≤100），下面给出了部分信息： 七年级10名学生的成绩：83，84，84，88，89，89，89，95，95，98． 八年级10名学生的成绩中“良好”等级包含的所有数据为： 86，86，86，90，94． 抽取的七、八年级学生测试成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 “优秀”等级所占百分比 七 89.4 89 a 30% 八 89.4 b 86 30% 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：a＝　89　，b＝　88　，m＝　20　； （2）根据以上数据，你认为该学校哪个年级的学生测试成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）． （3）如果我校七年级有学生3500人，八年级有学生2800人，估计我校七、八年级此次线上测试成绩良好的总人数． 【分析】（1）根据中位数、众数和百分比的定义进行计算即可； （2）从中位数、众数的比较得出结论； （3）分别用七、八年级学生数乘成绩为良好的所占的百分比即可． 【解答】解：（1）七年级10名学生成绩中出现次数最多的是89分，共出现3次，因此众数是a＝89， ∵八年级10名学生的成绩中“良好”等级所占百分比为×100%＝50%，“优秀”等级所占百分为30%， ∴“合格”等级所占百分比100%﹣50%﹣30%＝20%， ∴m＝20，合格的人数为10×20%＝2人， ∴中位数是b＝＝88， 故答案为：89，88，20； （2）七年级的学生测试成绩更好， 理由：七年级学生成绩的中位数，众数都比八年级高； （3）3500×+2800×50%＝1400+1400＝2800（人）， 答：估计我校七、八年级此次线上测试成绩良好的总人数为2800人． 【点评】本题考查扇形统计图，中位数、众数、平均数以及样本估计总体，理解中位数、众数、平均数的定义，掌握中位数、众数、平均数的计算方法是正确解答的前提． 22．某天小明沿平路从家步行去图书馆借书，到达图书馆后，发现没有带借书证（停留时间忽略不计），立即骑共享单车沿原路返回家中取借书证．已知在平路上骑车的平均速度是步行平均速度的3倍，小明家到图书馆的平路距离为3600米，小明从离家到返回家中共用60分钟． （1）求小明在平路上骑车的平均速度（单位：米/分）是多少？ （2）小明找到借书证后，遇到上班高峰，平路拥堵，为了节约时间，小明骑共享单车选择走另外一条不拥堵的坡路去图书馆，小明骑车先上坡再下坡，只用了18分钟就到达图书馆．已知骑共享单车在上坡的平均速度是平路上的平均速度的，下坡的平均速度是平路上的平均速度的，且下坡的路程是上坡路程的3倍，求这段坡路的总路程是多少米？ 【分析】（1）设小明步行的平均速度为x米/分，则小明在平路上骑车的平均速度为3x米/分，利用时间＝路程÷速度，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出小明步行的平均速度，再将其代入3x中即可求出小明在平路上骑车的平均速度； （2）设这段坡路的总路程是y米，则上坡路程是y米，下坡路程是y米，利用时间＝路程÷速度，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）设小明步行的平均速度为x米/分，则小明在平路上骑车的平均速度为3x米/分， 依题意得：+＝60， 解得：x＝80， 经检验，x＝80是原方程的解，且符合题意， ∴3x＝3×80＝240． 答：小明在平路上骑车的平均速度为240米/分． （2）设这段坡路的总路程是y米，则上坡路程是y米，下坡路程是y米， 依题意得：+＝18， 解得：y＝4800． 答：这段坡路的总路程是4800米． 【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 23．重庆动物园顶流明星—一大熊猫“渝可、渝爱”人气爆棚，吸引了全国各地的游客前来拍照打卡．如图，三角形观赏区ABE紧邻四边形熊猫馆ABCD．经测量，点C在点B的正东方向，点A在点B的北偏东45°方向，点E在点B的正北方向且在点A的正西方向，点D在点A的正东方向且在点C的北偏东60°方向．AD长30米，CD长40米．（参考数据：≈1.41，≈1.73） （1）求AB的长度；（结果精确到1米） （2）天气炎热时，饲养员会在点D处为熊猫放置冰块帮助熊猫降温．渝可从B出发沿B→A→D到达点D，渝爱从B出发沿B→C→D到达点D，请计算说明哪只熊猫选择的路线较近？ 【分析】（1）过C作CH⊥DE于H，根据直角三角形的性质得到CH＝CD＝20米，根据矩形的性质得到BE＝CH＝20米，求得AB＝BE＝20≈28（米）； （2）根据直角三角形的性质得到DH＝＝20（米）根据等腰直角三角形 到现在得到AE＝BE＝20米，得到渝可从B出发沿B→A→D到达点D的路程＝20+30≈58（米），渝爱从B出发沿B→C→D到达点D的路程＝50﹣20+40＝90﹣20≈56（米），于是得到结论． 【解答】解：（1）过C作CH⊥DE于H， 在Rt△CDH中，∠DCH＝60°，∠DHC＝90°， ∴∠D＝30°， ∵CD＝40米， ∴CH＝CD＝20米， ∵∠E＝∠EBC＝∠CHE＝90°， ∴四边形BCHE是矩形， ∴BE＝CH＝20米， ∵∠ABE＝45°， ∴AB＝BE＝20≈28（米）， 答：AB的长度约为28米； （2）∵∠DHC＝90°，∠DCH＝60°， ∴DH＝＝20（米）， ∵∠E＝90°，∠ABE＝45°， ∴∠ABE＝∠BAE＝45°， ∴AE＝BE＝20米， ∵AD＝30米， ∴EH＝AE+AD﹣DH＝20+30﹣20＝（50﹣20）米， ∴BC＝EH＝（50﹣20）米， ∴渝可从B出发沿B→A→D到达点D的路程＝20+30≈58（米），渝爱从B出发沿B→C→D到达点D的路程＝50﹣20+40＝90﹣20≈55（米）， ∵58＞55， ∴渝爱选择的路线较近． 【点评】本题考查了是解直角三角形的应用﹣方向角问题，正确地作出辅助线是解题的关键． 24．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，动点E，F分别以每秒1个单位长度的速度同时从点A和点C出发，点E沿折线A→B→C方向运动，点F沿折线C→D→A方向运动，当点E到达点C时停止运动．设运动时间为x秒，△EFC的面积为y． （1）请直接写出y关于x的函数表达式并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象，写出当△EFC的面积不小于6且不大于11时x的取值范围（误差不超过0.2）． 【分析】（1）分0＜x≤4、4＜x＜10两种情况，根据矩形性质和和三角形的面积公式求解即； （2）根据（1）中表达式画出函数图象，根据图象写出函数的性质即可； （3）先求得y＝6和y＝11对应的自变量值，结合图象求解即可． 【解答】解：（1）在矩形ABCD中，AB＝CD＝4，AD＝BC＝6， 当0＜x≤4时，点E在AB上，点F在CD上，如图1.1， 则； 当4＜x＜10时，点E在BC上，点F在AD上，如图1.2， ∴， ∴y关于x的函数表达式为y＝； （2）当x＝4时，y＝12， 图象如图2所示： 性质：当x＝4时，y有最大值12．（答案不唯一）； （3）当y＝6时，x＝2或x＝7， 当y＝11时，或x＝4.5， 由图象知，当2.0≤x≤3.7或4.5≤x7.0时，△EFC的面积不小于6且不大于11． 【点评】本题考查矩形的性质、一次函数的图象与性质、三角形的面积公式，理解动点问题是解答本题的关键． 25．如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴相交于点A，点B（A在B的左侧），与y轴相交于点C，A、B的坐标分别为：（﹣2，0）、（4，0），连接AC，BC． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点P是第一象限内抛物线上的动点，过点P作PE∥y轴，交直线BC于点E，当有最大值时，求PECE的最大值与点P的坐标； （3）将抛物线向右平移2个单位得到新抛物线y′，点F为原抛物线y与新抛物线y′的交点，点M是原抛物线y上一点，当∠MBA＝∠FAB时，直接写出点M的坐标． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）证明xE＝CE，则PE﹣CE＝PE﹣xE＝（﹣x2+x+3）﹣（﹣x+3）﹣x＝﹣（x﹣）2+≤，即可求解； （3）tan∠FAB＝＝，而∠MBA＝∠FAB，则tan∠MBA＝＝＝，即可求解． 【解答】解：（1）由题意得：y＝a（x+2）（x﹣4）＝a（x2﹣2x﹣8）＝ax2+bx+3， 即﹣8a＝3， 解得：a＝﹣， 则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+3①； （2）由抛物线的表达式知，点C（0，3）， 则BC＝5， 在Rt△BOC中，sin∠BCO＝＝， 则xE＝CE， 由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为y＝﹣x+3， 设点E（x，﹣x+3），则点P（x，﹣x2+x+3）， 则PE﹣CE＝PE﹣xE＝（﹣x2+x+3）﹣（﹣x+3）﹣x＝﹣（x﹣）2+≤， ∴最大值为，此时，点P（，）； （3）y′＝﹣（x﹣2）2+（x﹣2）+3＝﹣x2+x②， 联立①②得：﹣x2+x+3＝﹣x2+x， 解得：x＝2， 则点F（2，3）， 设点M（x，﹣x2+x+3），过点F作FG⊥x轴，过点M作MN⊥x轴，如图所示， 而点A（﹣2，0）， ∴tan∠FAB＝＝， 又∵∠MBA＝∠FAB， ∴tan∠MBA＝＝＝， 解得：x1＝﹣4，x2＝0，x3＝4（舍去）， ∴点M的坐标为（﹣4，﹣6）或（0，3）． 【点评】本题考查二次函数的图象及性质，解直角三角形，勾股定理，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 26．在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝30°，△BDE是等边三角形，连接CD、AE． （1）如图1，当A、B、D三点在同一直线上时，AE、BC交于点P，且AE⊥AC．若PC＝8，求PE的长； （2）如图2，当B、E、C三点在同一直线上时，F是CD中点，连接AF、EF，求证：AE＝2AF； （3）如图3，在（2）的条件下，AB＝8，E在直线BC上运动，将△AEF沿EF翻折得到△MEF，连接DM，G是AB上一点，且，O是直线BC上的另一个动点，连接OG，将△BOG沿OG翻折得到△HOG，连接HM，当HM最小时，直接写出此时点D到直线EM的距离． 【分析】（1）解Rt△PAC求得AP，计算得出AP＝BP，然后解Rt△BPE求得PE； （2）延长AF至G，是FG＝AF，连接DG，EG，设DG与AB交于H，证明△AFC≌△GFD，进而证明得出△ABE≌△GDE，进一步得出结论； （3）作AP⊥BC于P，取AC点Q，连接PQ，QM，先证得点M在过点Q且与AC垂直的直线上l运动，点H在以点G为圆心，2为半径的圆上运动，过点G作l的垂线段GM′，交圆G于H，当点M运动到点M′时，此时HM最小，解直角梯形AGM′Q，求得AM′的值，进而求得PE′，BE′，作D′T⊥E′M′，解Rt△D′TE′，进一步求得结果． 【解答】（1）解：在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝30°，△BDE是等边三角形，A、B、D三点在同一直线上，AE、BC交于点P， ∴∠ACB＝∠ABC＝30°， ∴∠BAC＝120°， ∵AE⊥AC， ∴∠EAC＝90°， ∴∠BAE＝∠BAC﹣∠EAC＝120°﹣90°＝30°， ∴∠ABE＝60°， ∴∠AEB＝90°， ∵∠ABC＝∠BAE＝30°， ∴∠PBE＝∠ABE﹣∠ABC＝30°，AP＝BP， 在Rt△PAC中，PC＝8，∠ACB＝30°， ∴AP＝PC＝4， ∴BP＝4， 在Rt△BPE中，∠PBE＝30°，BP＝4， ∴PE＝BP＝2； （2）证明：如图2，B、E、C三点在同一直线上，F是CD中点， 延长AF至G，是FG＝AF，连接DG，EG，设DG与AB交于H， ∵CF＝DF，∠AFC＝∠CFD， ∴△AFC≌△GFD（SAS）， ∴DG＝AC，∠FDG＝∠ACF， ∴AC∥DG， ∴∠AHG＝180°﹣∠BAC＝180°﹣120°＝60°， ∴∠BHD＝∠AHG＝60°， ∵AB＝AC， ∴AB＝DG， ∵△BDE是等边三角形， ∴DE＝BE，∠BED＝60°， ∴∠BHD＝∠BED＝60°， ∵∠ADO＝∠BOE， ∴∠EDG＝∠ABE， 在△ABE和△GDE中， ， ∴△ABE≌△GDE（SAS）， ∴AE＝EG，∠AEB＝∠DEG， ∴∠AEB﹣∠AED＝∠DEG﹣∠AED， 即：∠BED＝∠AEG＝60°， ∴△AEG是等边三角形， ∴∠AEG＝60°，EF⊥AG， ∴∠AEF＝∠AEG＝30°， ∴AE＝2AF； （3）解：如图3，E在直线BC上运动，将△AEF沿EF翻折得到△MEF，连接DM，G是AB上一点，O是直线BC上的另一个动点，连接OG，将△BOG沿OG翻折得到△HOG，连接HM， 作AP⊥BC于P，取AC点Q，连接PQ，QM， ∴PQ＝AQ＝AC， ∵∠ACB＝30°， ∴AP＝AC， ∴AP＝PQ＝AQ， ∴∠PAQ＝60°， 由（2）得， △AEM是等边三角形， ∴∠EAM＝60°，AE＝AM， ∴∠AEM＝∠PAQ， ∴∠AEM﹣∠PAM＝∠PAQ﹣∠PAM， 即：∠EAP＝∠MAQ， ∴△EAP≌△MAQ（SAS）， ∴∠AQM＝∠APE＝90°， ∴点M在过点Q且与AC垂直的直线上l运动， ∵GH＝BG＝AB＝2， ∴点H在以点G为圆心，2为半径的⊙G上运动， 作GM′⊥直线l于M′，当点M在M′处时，交圆G于H，HM最小， 作AR⊥GM′于R， ∵∠AQM＝∠GM′Q＝90°， ∴AC∥GM′， ∴∠AGR＝180°﹣∠BAC＝60°， ∴AR＝AG•sin60°＝6×＝3， ∴QM′＝AR＝3， ∴AM′＝＝＝， ∴AE′＝， 在Rt△APE′中，AP＝4，AE′＝， ∴PE′＝3， ∵BP＝AB•cos∠ABC＝8×＝4， ∴D′E′＝BE′＝BP﹣PE′＝4﹣3＝， 作D′T⊥E′M′于T， ∵∠BE′T＝∠M′E′C， ∠D′E′B＝∠AE′M′＝60°， ∴∠D′E′T＝∠AE′P， ∴sin∠D'E'T＝sin∠AE'P＝＝， ∴D'T＝D'E•sin∠D'E'T＝×＝， ∴此时点D到直线EM的距离为：． 【点评】本题考查等腰三角形性质，解直角三角形，全等三角形判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$