小升初典型应用题：平面图形之七大模型(专项训练)-2023-2024学年六年级下册数学人教版

小升初典型应用题：平面图形之七大模型 1．如图，，，，，．求． 2．如图ABCD是一个长方形，点E、F和G分别是它们所在边的中点．如果长方形的面积是36个平方单位，求三角形EFG的面积是多少个平方单位． 3．如图，是梯形的一条对角线，线段与平行， 与相交于点．已知三角形的面积比三角形的面积大平方米，并且．求梯形的面积． 4．如图，在平行四边形ABCD中，EF平行AC，连结BE、AE、CF、BF那么与BEC等积的三角形一共有哪几个三角形？ 5．如图，一个梯形的两条对角线把该梯形分成了4个部分，其中两个部分为12和36。这个梯形的面积是多少？ 6．如图，在中，延长至，使，延长至，使，是的中点，若的面积是，则的面积是多少？ 7．如图，四边形的面积是平方米，，，，，求四边形的面积． 8．右图，中，是的中点，、、是边上的四等分点，与交于，与交于，已知的面积比四边形的面积大平方厘米，则的面积是多少平方厘米？ 9．如图，面积为l的三角形ABC中，D、E、F、G、H、I分别是AB、BC、CA 的三等分点,求阴影部分面积. 10．如图在中，在的延长线上，在上，且，，平方厘米，求的面积． 11．如图，在三角形ABC中， BC＝8厘米，AD＝6厘米，E、F分别为AB和AC的中点。那么三角形EBF的面积是多少平方厘米？ 12．如图，平行四边形，，，，，平行四边形的面积是，求平行四边形与四边形的面积比． 13．如图所示，四边形ABCD是边长为18的正方形，E、F、G分别是AB、BC、CD的三等分点，H是AD上任意一点，求图中的阴影部分面积。 14．如图，与均为正方形，三角形的面积为6平方厘米，图中阴影部分的面积为多少． 15．如图，正方形的面积是，等腰三角形的面积是9，求阴影的面积． 16．如图，中，，，那么的面积是阴影三角形面积的多少倍． 17．如图，中，已知平方厘米。求： （1）的值； （2）阴影部分的面积。 18．如右图，正方形的面积是，正三角形的面积是，求阴影的面积． 19．如图，已知正方形的边长为，是边的中点，是边上的点，且，与相交于点，求 20．把任意一个三角形分成面积相等的2个小三角形，有许多种分法．请你画出3种不同的分法． 21．如图，三角形田地中有两条小路和，交叉处为，张大伯常走这两条小路，他知道,且．则两块地和的面积比是多少 22．如图所示,在长方形内有四条线段把长方形分成若干块,已知有三块图形的面积分别是13、35、49,那么图中阴影部分的面积是多少? 23．如图，三角形的面积为3平方厘米，其中，，三角形的面积是多少？ 24．如图所示，正方形的边长为厘米，长方形的长为厘米，那么长方形的宽为几厘米？ 25．如图在中，在的延长线上，在上，且，，平方厘米，求的面积． 26．是边长为12的正方形，如图所示，是内部任意一点，、，那么阴影部分的面积是多少？ 27．如图，梯形ABCD的上底AD长为3厘米，下底BC长为9厘米，而三角形ABO的面积为12平方厘米，则梯形ABCD的面积为多少平方厘米？ 28．图中是一个各条边分别为5厘米、12厘米、13厘米的直角三角形．将它的短直角边对折到斜边上去与斜边相重合，那么图中的阴影部分(即未被盖住的部分)的面积是多少平方厘米？ 29．下图中，四边形都是边长为1的正方形，、、、分别是，，，的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数，那么，的值等于多少？ 30．长方形的面积为36，、、为各边中点，为边上任意一点，问阴影部分面积是多少？ 31．正方形ABCD和正方形CEFG，且正方形ABCD边长为10厘米，则图中阴影面积为多少平方厘米？ 32．图中三角形的面积是180平方厘米，是的中点，的长是长的3倍，的长是 长的3倍．那么三角形的面积是多少平方厘米？ 33．如图，平行四边形的对角线交于点，、、、的面积依次是2、4、4和6． 求：⑴求的面积；⑵求的面积． 34．如图，在梯形中，，，且的面积比的面积小10平方厘米．梯形的面积是多少平方厘米． 35．已知的面积为平方厘米，，求的面积． 36．如图，在角的两边上分别有、、及、、六个点，并且、、、、的面积都等于1，则的面积等于 ． 37．如图在中，,求的值． 38．如图，三角形ABC的面积是24，D、E和F分别是BC、AC和AD的中点．求三角形DEF的面积． 39．如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知， 求：⑴三角形的面积；⑵？ 40．右图中是梯形，是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是多少平方厘米． 41．如下图，，，已知阴影部分面积为5平方厘米，的面积是多少平方厘米？ 42．如图，已知为内一点，线段相交于点，并将分成6个小三角形，其中3个小三角形的面积是已知的，那么的面积是多少平方厘米？ （单位：平方厘米） 43．图中是一个各条边分别为5厘米、12厘米、13厘米的直角三角形．将它的短直角边对折到斜边上去与斜边相重合，那么图中的阴影部分(即未被盖住的部分)的面积是多少平方厘米？ 44．如图，是等腰直角三角形，是正方形，线段与相交于点．已知正方形的面积48，，则的面积是多少？ 45．如图所示，已知，，，求图中阴影部分面积。 46．如图，长方形ABCD的长为8cm，宽为4cm，对角线AC、BD把它分成了4份，而对角线AC又被分成了相等的4段，求阴影部分的面积是多少？ 47．仔细看图，活学活用。 （1）画出三角形的边上的高。 （2）根据图中提供的信息，不用测量任何数据，画一个与三角形面积相等的三角形 （3）应用：在如图所示的梯形中，三角形与三角形的面积分别是4平方厘米和9平方厘米。梯形的面积是（    ）。 48．如右图，，，已知阴影部分面积为5平方厘米，的面积是多少平方厘米． 49．如图所示，已知平行四边形的面积是1，、是、的中点， 交于，求的面积． 50．如图，在中，延长至，使，延长至，使，是的中点，若的面积是，则的面积是多少？ 51．长方形的面积为36，、、为各边中点，为边上任意一点，问阴影部分面积是多少？ 52．如图，三角形的面积为1，其中，，三角形的面积是多少？ 53．如图，是梯形的一条对角线，线段与平行， 与相交于点．已知三角形的面积比三角形的面积大平方米，并且．求梯形的面积． 54．如图，长方形的面积是，是边的中点，在边上，且.那么，阴影部分的面积是多少？ 55．如图，在长方形中，是的中点，是的中点，如果厘米，厘米，求三角形的面积． 56．如图，已知长方形的面积平方厘米，三角形的面积是平方厘米，三角形的面积是平方厘米，那么三角形的面积是多少？ 57．如图，三角形中，是的5倍，是的3倍，如果三角形的面积等于1，那么三角形的面积是多少？ 58．如图，已知是梯形，∥，，，，求的面积． 59．如右图，和都是矩形，的长是厘米，的长是厘米，那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1． 【详解】本题题目本身很简单，但它把本讲的两个重要知识点融合到一起，既可以看作是”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”的反复运用，也可以看作是找点，最妙的是其中包含了找点的种情况． 最后求得的面积为． 2．9 【详解】如图分割后可得，（平方单位）． 3．28 【详解】连接． 根据差不变原理可知三角形的面积比三角形大4平方米，而三角形与三角形面积相等，因此也与三角形面积相等，从而三角形的面积比三角形的大4平方米． 但，所以三角形的面积是三角形的，从而三角形的面积是(平方米)，梯形的面积为：(平方米)． 4．△AEC、△AFC、△ABF． 【详解】△AEC、△AFC、△ABF． 5．192 【分析】根据蝴蝶定理公式：左边部分的面积＝右边部分的面积，上、下两部分面积之积＝左、右两部分面积之积，据此可得右边部分面积是36，进而求得下面部分面积及梯形的面积。 【详解】由＝36，可得：＝36 又：＝12 ∴＝36×36÷12＝108 ∴＝108＋12＋36＋36＝192 答：这个梯形的面积是192。 【点睛】正确理解蝴蝶定理公式，是解答此题的关键。 6．3.5 【详解】∵在和中，与互补， ∴． 又，所以． 同理可得，． 所以 7．13.2 【详解】连接． 由共角定理得，即 同理，即 所以 连接，同理可以得到 所以平方米 8．336 【详解】 连接、． 根据燕尾定理，，，所以； 再根据燕尾定理，，所以，所以，那么，所以． 根据题意，有，可得(平方厘米) 9． 【详解】 令BI与CD的交点为M，AF与CD的交点为N，BI与AF的交点为P,BI与CE的交点为Q,连接AM、BN、CP ⑴求：在中，根据燕尾定理， 设(份)，则(份),(份),(份), 所以，所以,, 所以, 同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是面积的 ⑵求：在中，根据燕尾定理, 所以,同理 在中，根据燕尾定理, 所以，所以 同理另外两个五边形面积是面积的，所以 10．50 【详解】 连接， ， 所以，设份，则份，平方厘米，所以份是平方厘米，份就是平方厘米，的面积是平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 11．6 【详解】略 12．1：18 【详解】 连接、．根据共角定理 ∵在和中，与互补， ∴． 又，所以． 同理可得，，． 所以． 所以． 13．108 【分析】图中阴影部分由不规则四边形和组成，无法直接求面积，需要运用“分解法”，做辅助线转化为三角形，再根据三角形的底和高与正方形边长的数量关系：三角形面积＝底×高÷2，可知等高的两个三角形，面积比等于底之比，再根据三角形面积和正方形面积公式，知底和高均等于正方形边长的三角形的面积是正方形面积的一半，从而将题目中边的关系转化为面积关系，据此列式求解。 【详解】连接HC、HB，如图所示： 答：图中阴影部分面积为108。 【点睛】本题考查巧求面积，运用“分解法”做辅助线将复杂图形转化为简单图形，并掌握等高模型的解法，明白等高的两个三角形，面积比等于底之比是解题的关键。 14．6 【详解】 如图，连接，比较与，由于，，即与的底与高分别相等，所以与的面积相等，那么阴影部分面积与的面积相等，为6平方厘米． 15．4 【分析】如图，连接AC，交BD于点O，连接PO，可以得到PO∥CD，那么三角形DPO的面积等于三角形CPO的面积，可以得到阴影部分的面积等于三角形BCP的面积减去三角形BCO的面积，也就是等腰三角形的面积减去正方形面积的。 【详解】如图所示： 连接AC，交BD于点O，连接PO，可以得到PO∥CD； 【点睛】本题考查的是等积变形。 16．7 【详解】 如图，连接．根据燕尾定理，，，所以，，那么，．同理可知和的面积也都等于面积的，所以阴影三角形的面积等于面积的，所以的面积是阴影三角形面积的7倍． 17．（1） （2）11平方厘米 【分析】（1）因为AE＝EC，则△ABE和△BEC是等底等高的三角形，两个三角形的面积是相等的，即。因为，其中△BED和△BEC是等高的两个三角形，则三角形的底的比等于面积比，即。则。 （2）因为AE＝EC， 平方厘米，，平方厘米。从（1）得出，这两个三角形的底都是BE，则面积比就是高的比即。△ABO、△ABE、△AEO的高是AH，△BDE、△BOD、△EDO的高都是DF。其中△ABO和△BOD是等底的三角形，则高之比等于面积比即。，这两个三角形的面积和是20平方厘米，按比例分配，。E是AC的中点，△AED和△EDC等底等高，即面积相等，（平方厘米），（平方厘米），，按比例分配，。最后相加即可。 【详解】（1）因为AE＝EC 所以 因为 所以 （2）（平方厘米） （平方厘米） （平方厘米） （平方厘米） （平方厘米） 3＋8＝11（平方厘米） 答：阴影部分的面积11平方厘米。 【点睛】两个三角形，等底等高面积相等。 两个三角形高相等的情况下，面积比等于底之比。 两个三角形底相等的情况下，面积比等于高之比。 18．10 【详解】 连接交于点，并连接．如下图所示， 可得，所以与面积相等(同底等高)，所以有： ， 因为，所以． 19．32/11 【详解】 方法一：连接，延长，两条线交于点，构造出两个沙漏，所以有，因此，根据题意有，再根据另一个沙漏有，所以． 方法二：连接，分别求，，根据蝴蝶定理，所以． 20． 【详解】根据等底等高的三角形面积相等这一结论，只要把原三角形分成2个等底等高的小三角形，它们的面积必定相等．而要得到这2个等底等高的小三角形，只需找出原三角形的某条边的中点与这边相对的顶点连接起来就行了． 21．1：2 【详解】 方法一：连接． 设的面积为1， 的面积，则根据题上说给出的条件，由得， 即的面积为、; 又有，、，而； 得，所以． 方法二：连接，设(份)，则,设则有，解得，所以 方法三： 过点作∥交于点，由相似得,又因为，所以，所以两块田地ACF和CFB的面积比 22．解：设长方形的面积为S，则 由图形可知， 【详解】略 23．12.5 【详解】由于，所以可以用共角定理，设份，份，则份， 份，由共角定理，设份，恰好是平方厘米，所以份是平方厘米，份就是平方厘米，三角形的面积是平方厘米 24．6.4 【详解】本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)．三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半． 证明：连接．(我们通过把这两个长方形和正方形联系在一起)． ∵在正方形中，边上的高， ∴(三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半) 同理，． ∴正方形与长方形面积相等． 长方形的宽(厘米)． 25．50 【详解】 连接， ， 所以，设份，则份，平方厘米，所以份是平方厘米，份就是平方厘米，的面积是平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 26．34 【详解】 （法1）特殊点法．由于是内部任意一点，不妨设点与点重合(如上中图)，那么阴影部分就是和．而的面积为，的面积为，所以阴影部分的面积为． （法2）寻找可以利用的条件，连接、、、可得右上图所示： 则有: 同理可得：; 而,即； 同理：,,; 所以： 而； ； 所以阴影部分的面积是： 即为：． 27．64平方厘米 【分析】△ADO与△BCO的面积比为AD平方与BC平方的比，即为9∶81＝；而△CDO与△ABO的面积相等为12，又＝12×12＝144，因为144÷9＝4×4，所以＝4，则＝4×9＝36；而梯形ABCD的面积为△ADO、△BCO、 △ABO、 △CDO 的面积和，即为：4＋36＋12＋12＝64（平方厘米），即梯形ABCD的面积为64平方厘米。 【详解】根据蝴蝶定理可得： ∶＝（3×3）∶（9×9）＝9∶81＝， ∵＝12（平方厘米）， ∴＝12（平方厘米）， 又：＝12×12＝144， ∵144÷9＝4×4， ∴＝4（平方厘米）， 则＝4×9＝36（平方厘米）； ＝4＋36＋12＋12＝64（平方厘米） 答：梯形ABCD的面积为64平方厘米。 【点睛】正确理解蝴蝶定理公式，是解答此题的关键。 28． 【详解】 如下图，为了方便说明，将某些点标上字母． 有为直角，而，所以也为直角.而.与同高，所以面积比为底的比，及===，设的面积为“8”，则的面积为“5”．是由折叠而成，所以有、面积相等，是由、、组成，所以=“8”+“5”+“5”=“18”对应为，所以“1”份对应为，那么△ADE的面积为=平方厘米．即阴影部分的面积为平方厘米． 29．5 【详解】左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形，不方便直接求面积，观察发现两个图中的空白部分面积都比较好求，所以可以先求出空白部分的面积，再求阴影部分的面积． 如下图所示，在左图中连接．设与的交点为．左图中为长方形，可知的面积为长方形面积的，所以三角形的面积为．又左图中四个空白三角形的面积是相等的，所以左图中阴影部分的面积为． 如上图所示，在右图中连接、．设、的交点为．可知∥且．那么三角形的面积为三角形面积的，所以三角形 的面积为，梯形的面积为．在梯形中，由于，根据梯形蝴蝶定理，其四部分的面积比为：，所以三角形的面积为，那么四边形的面积为．而右图中四个空白四边形的面积是相等的，所以右图中阴影部分的面积为． 那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为，即， 那么． 30．13.5 【详解】解法一：寻找可利用的条件，连接、，如下图： 可得：、、，而 即； 而， ． 所以阴影部分的面积是： 解法二：特殊点法．找的特殊点，把点与点重合， 那么图形就可变成右图： 这样阴影部分的面积就是的面积，根据鸟头定理，则有： ． 31．50 【详解】 方法一：三角形BEF的面积，梯形EFDC的面积三角形BEF的面积，而四边形CEFH是它们的公共部分，所以，三角形DHF的面积三角形BCH的面积，进而可得，阴影面积三角形BDF的面积三角形BCD的面积(平方厘米)． 方法二：连接CF，那么CF平行BD ， 所以，阴影面积三角形BDF的面积三角形BCD的面积(平方厘米)． 32．22.5 【详解】，等高，所以面积的比为底的比，有, 所以=(平方厘米)．同理有 (平方厘米)， (平方厘米)．即三角形的面积是22.5平方厘米． 33．(1) 4   （2） 【详解】⑴根据题意可知，的面积为，那么和的面积都是，所以的面积为； ⑵由于的面积为8，的面积为6，所以的面积为， 根据蝴蝶定理，，所以， 那么． 34．115 【详解】根据题意可知，则，， 而平方厘米，所以 ，则平方厘米． 又，所以平方厘米． 所以(平方厘米)． 35．24 【详解】， 设份，则份，份，份，份，恰好是平方厘米，所以平方厘米 36． 【详解】根据题意可知，，所以，． 37． 【详解】 连接BG,设1份，根据燕尾定理,,得(份)，(份),则(份)，因此,同理连接AI、CH得,,所以如果任意一个三角形各边被分成的比是相同的，那么在同样的位置上的图形，虽然形状千变万化，但面积是相等的，这在这讲里面很多题目都是用“同理得到”的，即再重复一次解题思路，因此我们有对称法作辅助线. 38．3 【详解】三角形ADC的面积是三角形ABC面积的一半， 三角形ADE又是三角形ADC面积的一半． 三角形FED的面积是三角形ADE面积的一半，所以三角形FED的面积． 39．6；1：3 【详解】⑴根据蝴蝶定理，，那么；⑵根据蝴蝶定理，． 40．6 【详解】 连接．由于与是平行的，所以也是梯形，那么．根据蝴蝶定理，，故，所以(平方厘米)． 41．30平方厘米 【详解】 连接．根据题意可知，的面积为面积的，的面积为面积的，所以的面积为面积的．而的面积为5平方厘米，所以的面积为(平方厘米)． 42．315 【分析】△AOC和△AOF是两个等高的三角形，即两个三角形的底的比就等于两个三角形的面积比，其中，即是70平方厘米，则，且△BOC和△AOC也是两个等高的三角形，则，则根据比例的基本性质。根据燕尾定理，，设△BOF为x平方厘米，其中，，列出比例，求出△BOF的面积，即△BOC也可以得出，最后。 【详解】解：设△BOF为x平方厘米。 因为 所以 又因为 则 2×70＝140（平方厘米） 140＋70＋40＋30＋35＝315（平方厘米） 答：的面积是315平方厘米。 【点睛】如下图，在三角形ABC中，AD、BE、CF相交于同一点O，那么△ABO的面积∶△ACO 的面积＝BD∶DC。 上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为△ABO和△ACO的形状很像燕子的尾巴，所以把这个定理称为燕尾定理。它可以存在于任何一个三角形中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径。 43． 【详解】如下图，为了方便说明，将某些点标上字母． 有为直角，而，所以也为直角.而.与同高，所以面积比为底的比，及===，设的面积为“8”，则的面积为“5”．是由折叠而成，所以有、面积相等，是由、、组成，所以=“8”+“5”+“5”=“18”对应为，所以“1”份对应为，那么△ADE的面积为=平方厘米．即阴影部分的面积为平方厘米． 44．12 【详解】 由于是正方形，所以与平行，那么四边形是梯形．在梯形中，和的面积是相等的．而，所以的面积是面积的，那么的面积也是面积的．由于是等腰直角三角形，如果过作的垂线，为垂足，那么是的中点，而且，可见和的面积都等于正方形面积的一半，所以的面积与正方形的面积相等，为48． 那么的面积为． 45．12.5 【分析】图中阴影部分是不规则的四边形，无法直接求面积，连接CF，根据等高模型，可知S△CDF∶S△BDF ＝CD∶BD＝1∶1，S△CEF∶S△AEF ＝CE∶AE＝2∶1，设S△AEF＝，则S△CEF＝，S△ACF＝S△CEF＋ S△AEF＝，根据燕尾定理知，S△ABF∶S△ACF＝BD∶CD＝1∶1，S△ABF∶S△BCF＝AE∶EC＝1∶2所以S△ABF＝S△ACF＝，S△BCF＝，再根据S△ABC＝ S△ABF＋S△ACF＋ S△BCF列方程求出，而阴影部分面积＝S△CDF＋S△CEF＝S△BCF＋S△CEF＝，据此求解。 【详解】方法一：连接CF，如图所示： 设S△AEF＝，则S△CEF＝， S△ACF＝S△CEF＋ S△AEF＝ S△ABF＝S△ACF＝ S△BCF＝ S△ABC＝ S△ABF＋S△ACF＋ S△BCF 解得， S阴影＝S△CDF＋S△CEF ＝S△BCF＋S△CEF ＝5×2.5 ＝12.5 方法二：设， 则， 答：图中阴影部分面积为12.5。 【点睛】本题主要考查等高模型和燕尾模型，熟练掌握模型并设未知数，将△ABC的面积用含未知数的表达式表示出来是解题的关键。 46．8cm2 【分析】首先两块阴影的面积是一样的，都等于长方形面积的一半的，求出长方形面积，然后计算阴影面积。 【详解】（cm2） （cm2） 答：阴影部分的面积是8cm2。 【点睛】本题实质上考查的是等高模型的应用，高相等，底是几倍的关系，面积就是几倍的关系。 47．（1）见详解 （2）见详解 （3）25平方厘米 【分析】（1）从边相对的顶点A向边上画垂直线段，与边相交于D点，线段AD就是三角形边上的高； （2）等底等高的三角形面积相等，图中经过点A的虚线与BC边平行，在虚线上任选一点P，分别与B点、C点连接，所形成的三角形都与三角形ABC等底等高且面积相等。 （3）根据蝴蝶原理，图中梯形的上、下两部分面积之积等于左、右两部分面积之积，左、右两部分面积相等。则左、右两部分面积之积＝4×9＝36（平方厘米），36＝6×6，所以左、右两部分面积都是6平方厘米。最后把四部分面积全部加起来即可。 【详解】（1）如下图： （2）如下图： （3）根据蝴蝶定理，梯形左、右两部分面积都是6平方厘米，梯形的面积＝4＋9＋6＋6＝25（平方厘米） 【点睛】本题考查画三角形的高、三角形的面积和梯形的面积，利用蝴蝶定理求出梯形左右两部分的面积是题目中的难点。 48．30 【详解】 连接．根据题意可知，的面积为面积的，的面积为面积的，所以的面积为面积的．而的面积为5平方厘米，所以的面积为(平方厘米)． 49．1/30 【详解】 解法一：由题意可得，、是、的中点，得，而，所以， 并得、是的三等分点，所以，所以，所以，； 又因为，所以． 解法二：延长交于，如右图， 可得，，从而可以确定的点的位置， ，，(鸟头定理)， 可得 50．3.5 【详解】∵在和中，与互补， ∴． 又，所以． 同理可得，． 所以 51．13.5 【详解】 （法1）特殊点法．由于为边上任意一点，找的特殊点，把点与点重合（如左上图），那么阴影部分的面积就是与的面积之和，而这两个三角形的面积分别为长方形面积的和，所以阴影部分面积为长方形面积的，为． （法2）寻找可利用的条件，连接、，如右上图． 可得：、、，而， 即； 而，． 所以阴影部分的面积是：． 52．4 【详解】 连接，∵，∴， 又∵，∴ 53．28 【详解】 连接．根据差不变原理可知三角形的面积比三角形大4平方米，而三角形与三角形面积相等，因此也与三角形面积相等，从而三角形的面积比三角形的大4平方米． 但，所以三角形的面积是三角形的，从而三角形的面积是(平方米)，梯形的面积为：(平方米)． 54．5/12 【详解】连接，因为是中点所以的面积为又因为，所以的面积为，又因为面积为，所以阴影部分的面积为：. 55．24 【详解】∵是的中点，是的中点，∴，， 又∵是长方形，∴ (平方厘米)． 56．6.5平方厘米 【分析】连接长方形对角线AE，通过S△AFC和S△ACE来判定C是EF边的中点，然后通过S△ADB和S△ABE，来判定DB：BE＝3：5，从而求出S△BCE的面积，最后用长方形的面积减去S△ADB、S△ACF和S△BCE的面积即可。 【详解】连接长方形对角线AE，如下图： 可知S△ADE＝S△AEF＝8（平方厘米）， 因为S△AFC＝4（平方厘米），所以S△ACF＝4（平方厘米），由此可知C是EF边的中点， 因为S△ADB＝3（平方厘米），所以S△ABE＝5（平方厘米），由此可知DB∶BE＝3∶5， S△BCE＝×CE×BE ＝×AD×BE ＝S△ABE ＝×5 ＝2.5（平方厘米）， S△AEF＝S长－S△ADB－S△ACF－S△BCE， ＝16－3－4－2.5 ＝6.5（平方厘米） 答：三角形ABC的面积是6.5平方厘米。 57．15 【详解】 连接． ∵ ∴ 又∵ ∴，∴． 58．6 【详解】 本题是09年六年级试题，初看之下，是梯形这个条件似乎可以用到梯形蝴蝶定理，四边形内似乎也可以用到蝴蝶定理，然而经过试验可以发现这几个模型在这里都用不上，因为、这两个点的位置不明确．再看题目中的条件，，，这两个条件中的前一个可以根据差不变原理转化成与的面积差，则是与的面积差，两者都涉及到、以及有同一条底边的两个三角形，于是想到过、分别作梯形底边的平行线． 如右图，分别过、作梯形底边的平行线，假设这两条直线之间的距离为．再过作的垂线． 由于，所以，故．根据差不变原理，这个差等于与的面积之差．而与有一条公共的底边，两个三角形边上的高相差为，所以它们的面积差为，故． 再看，它的面积等于是与的面积之差，这两个三角形也有一条公共的底边，边上的高也相差，所以这两个三角形的面积之差为，故． 由于，所以，则， 所以． 59．6 【详解】图中阴影部分的面积等于长方形面积的一半，即(平方厘米)． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$