小升初典型应用题：圆和扇形(专项训练)-2023-2024学年六年级下册数学人教版

小升初典型应用题：圆和扇形 1．求图中阴影部分的面积． 2．如下图，直角三角形的两条直角边分别长和，分别以为圆心，为半径画圆，已知图中阴影部分的面积是，那么角是多少度() 3．图中阴影部分的面积是多少．(取) 4．如图，大圆半径为小圆的直径，已知图中阴影部分面积为，空白部分面积为，那么这两个部分的面积之比是多少？(圆周率取) 5．如下图所示，曲线和是两个半圆．平行于．如果大半圆的半径是1米，那么阴影部分是多少平方米？(取) 6．某仿古钱币直径为厘米，钱币内孔边缘恰好是圆心在钱币外缘均匀分布的等弧(如图)．求钱币在桌面上能覆盖的面积为多少？ 7．如图，是一个长为，宽为，对角线长为的正方形，它绕点按顺时针方向旋转，分别求出四边扫过图形的面积． 8．图中的长方形的长与宽的比为，求阴影部分的面积． 9．如图，在188的方格纸上，画有1，9，9，8四个数字．那么，图中的阴影面积占整个方格纸面积的几分之几？ 10．草场上有一个长20米、宽10米的关闭着的羊圈，在羊圈的一角用长30米的绳子拴着一只羊（如图）．问：这只羊能够活动的范围有多大？ 11．草场上有一个长20米、宽10米的关闭着的羊圈，在羊圈的一角用长30米的绳子拴着一只羊(见如图)．问：这只羊能够活动的范围有多大？(圆周率取) 12．图中给出了两个对齐摆放的正方形，并以小正方形中右上顶点为圆心，边长为半径作一个扇形，按图中所给长度阴影部分面积为多少？() 13．传说古老的天竺国有一座钟楼，钟楼上有一座大钟，这座大钟的钟面有10平方米．每当太阳西下，钟面就会出现奇妙的阴影(如右图)．那么，阴影部分的面积是多少平方米． 14．如下图，三个同心圆的半径分别是2、6、10，求图中阴影部分面积占大圆面积的百分之几？ 15．如图所示，三个圆的半径都是10厘米，三个圆两两相交于圆心．求三块阴影部分的面积之和． 16．一块圆形稀有金属板平分给甲、乙二人．但此金属板事先已被两条互相垂直的弦切割成如图所示尺寸的四块．现甲取②、③两块，乙取①、④两块．如果这种金属板每平方厘米价值1000元，问：甲应偿付给乙多少元？ 17．如下图，与是两条垂直的直径，圆的半径为15厘米，是以为圆心，为半径的圆弧，求阴影部分面积． 18．如下图，两个半径相等的圆相交，两圆的圆心相距正好等于半径，弦约等于17厘米，半径为10厘米，求阴影部分的面积． 19．如下图，两个大小相等的正方形内分别排列着九个等圆和十六个等圆，试比较这两个正方形内空隙的大小． 20．如图所示，阴影部分的面积为多少？(圆周率取) 21．如图，两个正方形摆放在一起，其中大正方形边长为12，那么阴影部分面积是多少？(圆周率取) 22．试问能否用大小不同的两种半圆，把一个圆分成面积相等的三个部分？若能，请给出分法；若不能，请说明理由． 23．如图，直角三角形中，为直角，且厘米， 厘米，则在将绕点顺时针旋转的过程中，边扫过图形的面积为多少．() 24．如下图所示，两个相同的正方形，左图中阴影部分是9个圆，右图中阴影部分是16个圆．哪个图中阴影部分的面积大？为什么？ 25．如图所示，在半径为的图中有两条互相垂直的线段，阴影部分面积与其它部分面积之差(大减小)是多少． 26．请计算图中阴影部分的面积． 27．圆周上放有N枚棋子，如图所示，小洪先拿走B点的一枚棋子，然后沿顺时针方向每隔一枚棋子拿走两枚棋子，这样连续转了10周，9次越过A，当将要第10次越过A取走其它子的时候，小洪停下来，发现圆周上剩下20多枚棋子，若已知N是14的倍数，请精确地算出圆周上现在还有多少枚棋子。 28．如下图，将直径AB为的半圆绕A逆时针旋转，此时AB到达AC的位置，求阴影部分的面积（计算结果保留） 29．图中大正方形边长为，将其每条边进行三等分，连出四条虚线，再将虚线的中点连出一个正方形(如图)，在这个正方形中画出一个最大的圆，则圆的面积是多少？() 30．在桌面上放置个两两重叠、形状相同的圆形纸片.它们的面积都是平方厘米，盖住桌面的总面积是平方厘米，张纸片共同重叠的面积是平方厘米.那么图中个阴影部分的面积的和多少是平方厘米？ 31．如图，大小两圆的相交部分(即阴影区域)的面积是大圆面积的，是小圆面积的．如果量得小圆的半径是5厘米，那么大圆半径是多少厘米？ 32．如图，三角形ABC是等腰直角三角形，AC=BC=10cm，分别以A、B为圆心，以AC、BC为半径在三角形ABC内画弧，求阴影部分的面积． 33．如图，等腰直角三角形ABC的腰为10；以A为圆心，EF为圆弧，组成扇形AEF；两个阴影部分的面积相等．求扇形所在的圆面积。 34．如图中，正方形的边长是，两个顶点正好在圆心上，求图形的总面积是多少？(圆周率取) 35．如图中三个圆的半径都是5，三个圆两两相交于圆心．求阴影部分的面积和．(圆周率取) 36．如图所示，大圆周长是小圆周长的()倍，当小圆在大圆内侧(外侧)作无滑动的滚动一圈后又回到原来的位置，小圆绕自己的圆心转动了几周？ 37．如果半径为25厘米的小铁环沿着半径为50厘米的大铁环的外侧作无滑动的滚动，当小铁环沿大铁环滚动一周回到原位时，问小铁环自身转了几圈？ 38．如图，边长为12厘米的正五边形，分别以正五边形的5个顶点为圆心，12厘米为半径作圆弧，请问：中间阴影部分的周长是多少？() 39．如图，已知扇形的面积是半圆面积的倍，则角的度数是多少？ 40．如右图，正方形的边长为5厘米，则图中阴影部分的面积是多少平方厘米，() 41．如图，在方格表中，分别以、、为圆心，半径为3、2、1，圆心角都是的三段圆弧与正方形的边界围成了两个带形，那么这两个带形的面积之比 42．如下图，圆的直径为8cm，求阴影部分的面积． 43．半径为25厘米的小铁环沿着半径为50厘米的大铁环的内侧作无滑动的滚动，当小铁环沿大铁环滚动一周回到原位时，问小铁环自身转了几圈？ 44．有七根直径5厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它们勒紧成一捆(如图)，此时橡皮筋的长度是多少厘米？(取3) 45．如图，枚相同的硬币排成一个长方形，一个同样大小的硬币沿着外圈滚动一周，回到起始位置．问：这枚硬币自身转动了多少圈？ 46．如图，、是以为直径的半圆的三等分点，是圆心，且半径为6．求图中阴影部分的面积． 47．一个长方形的长为9，宽为6，一个半径为l的圆在这个长方形内任意运动，在长方形内这圆无法运动到的部分，面积的和是多少．(取3) 48．如图，边长为3的两个正方形BDKE、正方形DCFK并排放置，以BC为边向内侧作等边三角形，分别以B、C为圆心，BK、CK为半径画弧．求阴影部分面积．() 49．如图，已知直角梯形的上底、下底与高之比是1：2：1，和为24厘米．图中阴影甲的面积比阴影乙的面积少多少？ 50．如图，若图中的圆和半圆都两两相切，两个小圆和三个半圆的半径都是1．求阴影部分的面积．（取3） 51．求图中阴影部分的面积． 52．先做一个边长为的等边三角形，再以三个顶点为圆心，为半径作弧，形成曲边三角形(如左图)．再准备两个这样的图形，把一个固定住(右图中的阴影)，另一个围绕着它滚动，如右图那样，从顶点相接的状态下开始滚动．请问此图形滚动时经过的面积是多少平方厘米？() 53．如图，大圆半径为小圆的直径，已知图中阴影部分面积为，空白部分面积为，那么这两个部分的面积之比是多少？(圆周率取) 54．如图，AB与CD是两条垂直的直径，圆O的半径为15，是以C为圆心，AC为半径的圆弧．求阴影部分面积． 55．在4×7的方格纸板上面有如阴影所示的”6”字，阴影边缘是线段或圆弧．问阴影面积占纸板面积的几分之几？ 56．如右图，以为斜边的直角三角形的面积是24平方厘米，斜边长10厘米，将它以点为中心旋转，问：三角形扫过的面积是多少？(取3) 57．直角三角形放在一条直线上，斜边长厘米，直角边长厘米．如下图所示，三角形由位置Ⅰ绕点转动，到达位置Ⅱ，此时，点分别到达，点；再绕点转动，到达位置Ⅲ，此时，点分别到达，点．求点经到走过的路径的长． 58．如图1所示，在一个大圆内有许多个小圆，其直径的和等于大圆的直径．请问：大圆周长与所有小圆周长之和，哪个长？为什么？ 59．如图所示，试求图中阴影部分的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．41.04 【详解】阴影部分面积半圆面积扇形面积三角形面积． 2．60 【详解】, 三角形内两扇形面积和为， 根据扇形面积公式两扇形面积和为, 所以,. 3．1.92 【详解】 如右上图，虚线将阴影部分分成两部分，分别计算这两部分的面积，再相加即可得到阴影部分的面积． 所分成的弓形的面积为：； 另一部分的面积为：； 所以阴影部分面积为：． 4．57:100 【详解】 如图添加辅助线，小圆内部的阴影部分可以填到外侧来，这样，空白部分就是一个圆的内接正方形．设大圆半径为，则，，所以． 移动图形是解这种题目的最好方法，一定要找出图形之间的关系． 5．1.07 【详解】如左下图所示，弓形的面积等于扇形的面积与三角形的面积之差，为(平方米)， 半圆的面积为(平方米)， 所以阴影部分的面积为(平方米)． 6．10.84 【详解】将古钱币分成个部分，外部的个弓形的面积和等于大圆减去内接正方形， 中间的四个扇形的面积恰好等于内接正方形内的内切圆面积，所以总面积等于： ． 7． 【详解】容易发现，边和边旋转后扫过的图形都是以线段长度为半径的圆的，如图： 因此DC边扫过图形的面积为，边扫过图形的面积为． 2、研究边的情况． 在整个边上，距离点最近的点是点，最远的点是点，因此整条线段所扫过部分应该介于这两个点所扫过弧线之间，见如图中阴影部分： 下面来求这部分的面积． 观察图形可以发现，所求阴影部分的面积实际上是： 扇形面积＋三角形面积－三角形面积一扇形面积＝扇形面积一扇形面积 3、研究边扫过的图形． 由于在整条线段上距离点最远的点是，最近的点是，所以我们可以画出边扫过的图形，如图阴影部分所示： 用与前面同样的方法可以求出面积为： 旋转图形的关键，是先从整体把握一下”变化过程”，即它是通过什么样的基本图形经过怎样的加减次序得到的．先不去考虑具体数据，一定要把思路捋清楚．最后你会发现，所有数据要么直接告诉你，要么就”藏”在那儿，一定会有． 可以进一步思考，比如平行四边形的旋转问题、一般三角形的旋转问题等等，此类问题的解决对提高解决几何图形问题的能力是非常有益的． 8．244 【详解】如下图，设半圆的圆心为，连接． 从图中可以看出，，，根据勾股定理可得． 阴影部分面积等于半圆的面积减去长方形的面积， 为：． 9． 【详解】我们数出阴影部分中完整的小正方形有8+15+15+1654个，其中部分有6+6+820个，部分有6+6+820(个)，而1个 和1个 正好组成一个完整的小正方形，所以阴影部分共包含54+2074(个)完整小正方形，而整个方格纸包含818144(个)完整小正方形．所以图中阴影面积占整个方格纸面积的，即． 10．2512平方米 【分析】由图意可知：羊活动的范围可以分为A，B，C三部分，其中A是半径为30米的 个圆，B、C分别是半径为20米和10米的个圆．分别求出三部分的面积，即可求得羊的活动范围． 【详解】π×302×+π×202×+π×102×， =π×（302×+202×+102×）， =3.14×（675+100+25）， =3.14×800， =2512（平方米）； 答：这只羊能够活动的范围有2512平方米． 【点睛】解答此题的关键是：将羊的活动范围分割，分别求出各部分的面积，问题即可得解． 11．2512 【详解】 如图所示，羊活动的范围可以分为，，三部分，其中是半径米的个圆，，分别是半径为米和米的个圆． 所以羊活动的范围是 ． 12．28.56 【详解】 连接小正方形,有图可见 ∵ ∴ 同理，∴ ∴ ， ∴ 13．5 【详解】等积变形，对应思想将中间的正三角形旋转如右图，图中阴影部分的面积与原图阴影部分的面积相等．由与，与面积相等，推知阴影部分占圆面积的一半．(平方米)． 14．33％ 【分析】通过观察可知，所给图形阴影的面积正好是大圆面积的四分之一加上中圆和小圆组成的圆环面积的四分之一，圆的半径已知，利用圆和圆环的面积公式可求得阴影的面积，然后在求出大圆的面积，用图中阴影部分的面积除以大圆的面积即可． 【详解】S阴影=π×102+（62-22） =33π S大圆=π×102=100π 33π÷100π=33％ 15．157平方厘米 【分析】阴影部分是由三块面积相等的图形组成的，但是每一块都是不规则图形，若用常规思路分析比较难以计算．但是根据图形的对称性，利用分割和移补的方法，将之转化为下图，这样可以看出阴影部分被分割移补成一个规则的图形——半圆形． 【详解】经过分割移补，阴影部分被拼成上图的半圆形，所以阴影部分的面积是 答：阴影部分的面积是157平方厘米． 16．5500 【详解】 如右上图所示，④的面积与Ⅰ的面积相等，①的面积等于②与Ⅱ的面积之和．可见甲比乙多拿的部分为中间的长方形，所以甲比乙多拿的面积为：，而原本应是两人平分，所以甲应付给乙：(元)． 17．225 【详解】 连接、．阴影部分面积等于半圆的面积减去弓形的面积，而弓形的面积又等于扇形的面积减去的面积． 的面积等于以为边的正方形的面积的，即，那么． 那么扇形的面积为，弓形的面积为， 所以阴影部分面积为． 18．124*（1/3） 【详解】阴影部分由两个相等的弓形组成，所以只需要求出一个弓形的面积就可以了． 由已知条件，若分别连结，，，，，如图所示，就可以得到两个等边三角形(各边长均等于半径)，则，即． 这样就可以求出以为圆心的扇形的面积，然后再减去三角形的面积，就得到弓形的面积，三角形的面积可采用面积公式直接求出，其中底是弦，高是的一半． 所以，阴影部分面积 (平方厘米)． 19．两图的空隙相等 【分析】要比较两个正方形内空隙的大小，由于两个正方形大小相等，所以只要比较两个正方形中的圆的总面积就可以了．由于正方形的边长未知，因此必须假设正方形的边长．同时，我们也可以将图1分成九个相同的小正方形，每个小正方形包含一个圆，将图2分成十六个相同的小正方形，分别求出每个小正方形中的空隙部分，再求总和． 【详解】解法一：设正方形的边长为a，则图1中圆的半径，其面积为．图2中圆的半径为，其面积为，所以图1、图2中两图中圆的面积是相等的，从而这两个正方形内空隙的大小是相等的． 解法二：将图1分成九个小正方形，每个小正方形内包含一个圆，设大正方形边长为a，则小正方形边长为，从而小正方形内的空隙为，从而图1中大正方形内的空隙为． 同理，将图2分成十六个小正方形，每个小正方形内包含一个圆，则小正方形的边长为，从而小正方形内的空隙为，因此图2中大正方形内的空隙为． 比较这两个结果可知，图1、图2中大正方形内的空隙是相等的． 20． 【详解】图中、两部分的面积分别等于右边两幅图中的、的面积． 所以． 21．113.04 【详解】 方法一：设小正方形的边长为，则三角形与梯形 的面积均为．阴影部分为：大正方形梯形三角形右上角不规则部分大正方形右上角不规则部分圆．因此阴影部分面积为：． 方法二：连接、，设与的交点为，由于四边形是梯形，根据梯形蝴蝶定理有，所以 22．能，分法见详解． 【详解】如图所示： 把圆的直径三等分，分别以其中一份和两份为直径各画两个半圆，就将大圆和面积三等分．因为：假设大圆的半径为r，两个小圆的半径分别为，于是，由对称性，，从而． 即按此分割将圆的面积分成大小相等的三部分． 23．12.56 【详解】 如右上图所示，假设旋转到达的位置．阴影部分为边扫过的图形． 从图中可以看出，阴影部分面积等于整个图形的总面积减去空白部分面积，而整个图形总面积等于扇形的面积与的面积之和，空白部分面积等于扇形的面积与的面积，由于的面积与的面积相等，所以阴影部分的面积等于扇形与扇形的面积之差，为(平方厘米)． 24． 【详解】 设正方形的边长为，每一个圆的半径为，则正方形的每一条边上都有个圆，从而正方形内部共有个圆，于是这些圆的总面积为：． 可见阴影部分的面积与正方形的面积的比是固定的，也就是说阴影部分的面积只与正方形的边长有关系，与圆的半径无关，无论圆的半径怎样变化，只要正方形的边长不变，那么阴影部分的面积就是一定的． 由于上图中两个正方形的边长相同，所以两图中阴影部分的面积相等． 25．8 【详解】 如图，将圆对称分割后，与中的部分区域能对应，仅比少了一块矩形，所以两部分的面积差为：． 26．30 【详解】法一： 为了求得阴影部分的面积，可以从下图的整体面积中扣掉一个圆的面积，就是要求的面积了． 要扣掉圆的面积，如果按照下图把圆切成两半后，从两端去扣掉也是一样．如此一来，就会出现一个长方形的面积． 因此，所求的面积为． 法二： 由于原来的月牙形很难直接计算，我们可以尝试构造下面的辅助图形： 如左上图所示，我们也可以这样来思考，让图形往右侧平移就会得到右上图中的组合图形，而这个组合图形中右端的月牙形正是我们要求的面积． 显然图中右侧延伸出了多少面积，左侧就会缩进多少面积． 因此，所求的面积是． 27．23枚 【分析】设圆周上余m枚棋子，因为从第九次越过A处拿走了2枚棋子，到第十次将要越过A处棋子时，小洪拿走了2m枚棋子，所以在第九次将要越过A处棋子时，圆周上有：m＋2m＝3m枚棋子；这样在第八次将要越过A处棋子时，圆周上有32m枚棋子，…在第一次将要越过A处棋子时有39m枚棋子，在第一次将要越过A处棋子之前，小洪拿走了2（39m﹣1）＋1枚棋子，所以原来共有N＝2（39m﹣1）＋1＋32m＝310m﹣1枚。然后分情况讨论32m＝310m﹣1必须是14的倍数满足的条件即可。 【详解】解：设圆周上余m枚棋子，因为从第九次越过A处拿走了2枚棋子，到第十次将要越过A处棋子时，小李拿走了2m枚棋子，所以在第九次将要越过A处棋子时，圆周上有：m＋2m＝3m枚棋子；这样在第八次将要越过A处棋子时，圆周上有32m枚棋子，…在第一次将要越过A处棋子时有39m枚棋子，在第一次将要越过A处棋子之前，小李拿走了2（39m﹣1）＋1枚棋子，所以原来共有N＝2（39m﹣1）＋1＋32m＝310m﹣1枚。 如果N＝310m﹣1＝59049m﹣1是14（2×7）的倍数，那么m必须是奇数，而59049m﹣1＝（7×8435＋4）m﹣1＝7×8435m＋4m﹣1是7的倍数，那么4m﹣1就必须是7的倍数，而m＝20多枚，所以m只能等于21，23，25，27，29，但是m＝21，25，27，29时4m﹣1都不是7的倍数，只有m＝23时4m﹣1才是7的倍数，所以当N是14的倍数，则圆周上还有23枚棋子。 【点睛】本题关键是根据每次取走的个数是余下的个数的2倍，得出总个数310m﹣1枚，难点是分情况讨论310m﹣1必须是14的倍数满足的条件。 28．平方厘米 【详解】阴影部分的面积=以AC为直径的半圆的面积+扇形ABC的面积-以AB为直径的半圆的面积=扇形ABC的面积． （平方厘米） 答：阴影部分的面积是平方厘米． 【点睛】本题主要考查了扇形的面积的计算，正确理解阴影部分的面积=以AC为直径的半圆的面积+扇形ABC的面积-以AB为直径的半圆的面积=扇形ABC的面积是解题的关键． 29．12.56 【详解】圆的直径也就是外切正方形的边长，它的长为： ∴圆的面积为： 30．72 【详解】根据容斥原理得，所以（平方厘米） 31．7.5 【详解】小圆的面积为，则大小圆相交部分面积为,那么大圆的面积为，而，所以大圆半径为厘米． 32．28.5平方厘米 【详解】如图： 阴影部分面积是扇形DBC与扇形EAC的重叠部分，所以阴影部分面积等于扇形DBC，扇形EAC面积之和减去三角形ABC的面积 3.14×102××2-×10×10=28.5（平方厘米） 33．400 【分析】既然两个阴影部分的面积相等，那么给两个阴影部分分别加上空白部分，得到的扇形和等腰直角三角形的面积也是相等的，等腰直角三角形ABC的腰为10，可以求出等腰直角三角形的面积，也就是扇形的面积，进而求扇形所在的圆面积。 【详解】给两个阴影部分分别加上空白部分，得到的扇形和等腰直角三角形的面积也是相等； 等腰直角三角形的面积： 扇形面积也是50； 扇形的圆心角是45°，扇形所在的圆的圆心角是360°； 圆的面积为： 答：扇形所在的圆面积是400。 【点睛】本题考查了三角形、扇形的面积计算，解题的关键是差不变原理。 34．142.75 【详解】． 35．39.25 【详解】 将原图割补成如图，阴影部分正好是一个半圆，面积为 36．n+1 【详解】为了确定圆绕圆心转动几周，首先要明确圆心转动的距离． 设小圆的半径为“单位1”，则大圆的半径为“”． ⑴在内测滚动时，如图⑴所示，因为圆心滚动的距离为． 所以小圆绕自己的圆心转动了：(圈)． ⑵在外侧滚动时，如图⑵所示． 因为圆心滚动的距离为． 所以小圆绕自己的圆心转动了：(圈)． 37．3 【详解】如图，同样考虑小圆的一条半径，当小圆在大圆的外侧滚动一周，即滚动了大圆的半周时，半径滚动了，滚动了一圈半，所以当小圆沿大圆外侧滚动一周时，小圆自身转了3圈． 也可以考虑小圆圆心转过的距离．小圆圆心转过的是一个圆周，半径是小圆的3倍，所以这个圆的周长也是小圆的3倍，由于小圆的圆心每转动一个自身的周长时，小圆也恰好转了一圈，所以本题中小圆自身转了3圈． 38．12.56 【详解】 如图，点是在以为中心的扇形上，所以，同理，则是正三角形，同理，有是正三角形．有，正五边形的一个内角是，因此，也就是说圆弧的长度是半径为12厘米的圆周的一部分，这样相同的圆弧有5个，所以中间阴影部分的周长是． 39．60 【详解】设半圆的半径为1，则半圆面积为，扇形的面积为．因为扇形的面积为，所以，，得到，即角的度数是60度． 40．7.125 【详解】观察可知阴影部分是被以为半径的扇形、以为直径的半圆形和对角线分割出来的，分头求各小块阴影部分面积明显不是很方便，我们发现如果能求出左下边空白部分的面积，就很容易求出阴影部分的面积了，我们再观察可以发现左下边空白部分的面积就等于三角形的面积减去扇形的面积，那么我们的思路就很清楚了． 因为， 所以扇形的面积为：(平方厘米)， 那么左下边空白的面积为：(平方厘米)， 又因为半圆面积为：(平方厘米)， 所以阴影部分面积为：(平方厘米)． 41．5:3 【详解】如右图，仔细观察图形不难发现带形的面积等于曲边三角形的面积减去曲边三角形 的面积，而这两个曲边三角形的面积都可以在各自所在的正方形内求出． 所以，的面积； 同理可求得带形的面积： 带形的面积曲边三角形的面积曲边三角形的面积； 所以，． 42．16平方厘米 【详解】如图： ①半圆面积减去三角形ABE的面积 3.14×（8÷2）2-8×4÷2=9.12(平方厘米) ②长方形ABCD的面积减去半圆面积：8×4-25.12=6.88（平方厘米） ③阴影部分面积即：①与②的和：9.12+6.88=16（平方厘米） 43．1 【详解】对于这类问题，可以在初始时在小环上取一点，观察半径，如图⑴，当小环沿大环内壁滚动到与初始相对的位置，即滚动半个大圆周时，如图⑵，半径也运动到了与初始时相对的位置．这时沿大环内壁才滚动了半圈．继续进行下半圈，直到与初始位置重合，这时自身转了1圈，因此小铁环自身也转了1圈． （1）          （2） 对于转动的圆来说，当圆心转动的距离为一个圆周长时，这个圆也恰好转了一圈．所以本题也可以考虑小铁环的圆心轨迹，发现是一个半径与小铁环相等的圆，所以小铁环的圆心转过的距离等于自己的圆周长，那么小铁环转动了1圈． 44．45 【详解】 由右图知，绳长等于6个线段与6个弧长之和． 将图中与弧相似的6个弧所对的圆心角平移拼补，可得到6个角的和是， 所以弧所对的圆心角是，6个弧合起来等于直径5厘米的圆的周长． 而线段等于塑料管的直径， 由此知绳长为：(厘米)． 45．6 【详解】当硬币在长方形的一条边之内滚动一次时，由于三个硬币的圆心构成一个等边三角形，所以这枚硬币的圆心相当于沿着半径为硬币2倍的圆旋转了．而硬币上的每一点都是半径等于硬币的圆旋转，所以硬币自身旋转了120°． 当硬币从长方形的一条边滚动到另一条边时，这枚硬币的圆心相当于沿着半径为硬币2倍的圆旋转了．而硬币上的每一点都是半径等于硬币的圆旋转，所以硬币自身旋转了300º． 长方形的外圈有12个硬币，其中有4个在角上，其余8个在边上，所以这枚硬币滚动一圈有8次是在长方形的一条边之内滚动，4次是从长方形的一条边滚动到另一条边．，所以这枚硬币转动了2160º，即自身转动了6圈． 另解：通过计算圆心轨迹的长度，每走一个即滚动了一周． 46．18.84 【详解】 如图，连接、、． 由于、是半圆的三等分点，所以和都是正三角形，那么与是平行的．所以的面积与的面积相等，那么阴影部分的面积等于扇形的面积，为． 47．1 【详解】方法一：圆在长方形内部无法运动到的地方就是长方形的四个角，而圆在角处运动时的情况如左下图，圆无法运动到的部分是图中阴影部分，那么我们可以先求出阴影部分面积，四个角的情况都相似，我们就可以求出总的面积是阴影部分面积的四倍． 阴影部分面积是小正方形面积减去扇形面积，所以我们可以得到： 每个角阴影部分面积为； 那么圆无法运动到的部分面积为 方法二：如果把四个角拼起来，则阴影如右上图所示，则阴影面积为 48．8.58 【详解】 根据题意可知扇形的半径恰是正方形的对角线，所以，如右图将左边的阴影翻转右边阴影下部， 49．11.61平方厘米 【分析】甲+丙=半圆 ，乙+丙=梯形-大圆，求出半圆面积与乙+丙（不规则图形）面积之差，也就是求出了甲与乙的面积之差． 【详解】上底：24× =6（厘米） 下底：6×2=12（厘米） 高：6×1=6（厘米） 梯形面积：（6+12）×6÷2=54（平方厘米） 扇形面积：3.14×62× =28.26（平方厘米） 半圆面积：3.14× 2×=14.13（平方厘米） 阴影乙-阴影甲：54-28.26-14.13=11.61（平方厘米） 50．2.5 【详解】 由于直接求阴影部分面积太麻烦，所以考虑采用增加面积的方法来构造新图形． 由右图可见，阴影部分面积等于大圆面积减去一个小圆面积，再加上的小扇形面积(即小圆面积)，所以相当于大圆面积减去小圆面积．而大圆的半径为小圆的3倍，所以其面积为小圆的倍，那么阴影部分面积为． 51．36 【详解】 如图，连接，可知阴影部分的面积与三角形的面积相等，即为． 52．25.12 【详解】在处理图形的运动问题时，描绘出物体的运动轨迹是解决问题的第一步，只有大的方向确定了，才能实施具体的计算． 在数学中，本题所作出的这个曲边三角形叫“莱洛三角形”，“莱洛三角形”有一个重要的性质就是它在所有方向上的宽度都相同． 为了求出“莱洛三角形”滚动时经过的面积，可以分2步来思考： 第1步：如图⑵所示，当“莱洛三角形”从顶点的上方滚动到顶点的左边时，这时阴影“莱洛三角形”滚动的这部分面积是以为圆心、为半径、圆心角为的扇形．在顶点、、处各有这样的一个扇形； 第2步：如图⑶所示，当“莱洛三角形”在边上滚动时，这时可以把阴影“莱洛三角形”看作是以图⑶中点为圆心的圆的一部分，这个圆在以点为圆心的弧上滚动，可知此时圆心运动的轨迹是图⑶中的弧，所以此时阴影“莱洛三角形”滚动的这部分面积是以为圆心、为半径、圆心角为的扇形减去半径为的的扇形； 综上所述，去掉图⑷中阴影“莱洛三角形”后所形成的组合图形就是要求的面积． 滚动时经过的面积是：． 53．57:100 【详解】 如图添加辅助线，小圆内部的阴影部分可以填到外侧来，这样，空白部分就是一个圆的内接正方形．设大圆半径为，则，，所以． 移动图形是解这种题目的最好方法，一定要找出图形之间的关系． 54．225 【详解】阴影部分是个月牙形，不能直接通过面积公式求，那么我们可以把阴影部分看成半圆加上三角形ABC再减去扇形ACB的结果． 半圆面积为， 三角形ABC面积为，又因为三角形面积也等于， 所以， 那么扇形ACB的面积为． 阴影部分面积 225 (平方厘米) 55． 【详解】矩形纸板共28个小正方格，其中弧线都是圆周，非阴影部分有3个完整的小正方形，其余部分可拼成6个小正方格．因此阴影部分共28－6－3=19个小正方格．所以，阴影面积占纸板面积的． 56．99 【详解】从图中可以看出，直角三角形扫过的面积就是图中图形的总面积，等于一个三角形的面积与四分之一圆的面积之和．圆的半径就是直角三角形的斜边． 因此可以求得，三角形扫过的面积为：(平方厘米)． 57． 【详解】由于为的一半，所以，则弧为大圆周长的，弧为小圆周长的，而即为点经到的路径，所以点经到走过的路径的长为(厘米)． 58．大圆的周长等于所有小圆周长之和．原因见详解． 【分析】本题并没有告诉我们大圆内有多少个小圆，又没有告诉我们大圆和小圆直径的长度，只告诉我们大圆的直径等于所有小圆直径的和．这样是不可能求出大圆以及所有小圆的周长的实际长度的，因此我们必须利用周长的计算公式来推出结果． 【详解】设大圆的直径为d，小圆的直径分别为；因此， 根据圆周长 而 因此，大圆的周长等于所有小圆周长之和． 59．114平方厘米 【分析】本题有常规解法和割法拼凑两种解法，我们用这两种方法来解，并比较哪种解法更简单． 【详解】解法一： 因此，此图中阴影部分的面积是57+57=114（平方厘米）． 解法二： 由圆的对称性，把下半圆到上半圆，如图所示： 【点睛】如何进行合适的割补，使不规则的图形转化成规则的图形，要靠仔细的观察和对图形的熟悉．虽然两种方法均能导出最后的正确结果，但我们推崇第二种解法，不仅它使计算量大大缩小，而且也显示了解题的技巧． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$