2025届高三数学一轮复习对点练33：和、差、倍角的正弦、余弦和正切公式

2025届高三数学一轮复习对点练33　和、差、倍角的正弦、余弦和正切公式 【基础巩固】 1.(2024·惠州调研)cos 50°cos 160°－cos 40°sin 160°＝(　　) A. B. C.－ D.－ 2.(2024·宜宾诊断)在平面直角坐标系xOy中，已知角α的终边上一点P的坐标为 (－1，2)，角β的终边与角α的终边关于x轴对称，则tan＝(　　) A.－ B. C.－3 D.3 3.等于(　　) A.1 B. C. D. 4.若α＋β＝－，则(1＋tan α)(1＋tan β)＝(　　) A. B.1 C.2 D. 5.(多选)(2023·海南调研)已知α∈，且cos2α－cos 2α＝，则(　　) A.tan α＝－ B.sin 2α＝ C.cos 2α＝ D.tan 2α＝－ 6.(2024·南通模拟)4sin 40°－tan 40°的值为(　　) A. B. C. D.2－1 7.已知α∈，cos2＝，则sin＝(　　) A. B. C. D. 8.cos4－sin4＝________. 9.(2024·郑州调研)log2sin 15°－logcos 345°＝________. 10.(2024·杭州质检)已知α为锐角，sin＝，则cos＝________. 11.已知α，β均为锐角，且sin α＝，tan(α－β)＝－. 求：(1)sin(α－β)的值； (2)cos β的值. 12.已知函数f(x)＝2cos，x∈R. (1)求f(π)的值； (2)若f＝，α∈，求f(2α)的值. 【能力提升】 13.若0<α<，－<β<0，cos＝，cos＝，则cos等于(　　) A. B.－ C. D. 14.(多选)(2024·常德段考)定义μ＝ 为集合A＝{θ1，θ2，…，θn}相对常数θ0的“余弦方差”.若θ∈，则集合A＝相对θ的“余弦方差”的取值可能为(　　) A. B. C. D. 15.(2024·秦皇岛模拟)已知α为锐角，且tan α＋tan＝，则＝________. 16.如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点是坐标原点，始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆O交于点A(x1，y1)，将角α的终边绕原点逆时针方向旋转，交单位圆O于点B(x2，y2). (1)若x1＝，求x2的值； (2)分别过点A，B向x轴作垂线，垂足分别为C，D，记△AOC，△BOD的面积分别为S1，S2.若S1＝2S2，求角α的大小. 参考答案 1.D　[原式＝cos 50°cos 160°－sin 50°sin 160° ＝cos(50°＋160°)＝cos 210°＝－cos 30°＝－.] 2.C　[因为角α的终边上一点P的坐标为(－1，2)，角β的终边与角α的终边关于x轴对称， 所以点(－1，－2)是角β的终边上的点， 所以tan β＝2， 所以tan＝＝＝－3.] 3.B　[＝ ＝＝ ＝.] 4.C　[tan＝tan(α＋β)＝＝1， 所以1－tan αtan β＝tan α＋tan β， 则1＋tan α＋tan β＋tan αtan β＝2， 即(1＋tan α)·(1＋tan β)＝2.] 5.AC　[cos2α－cos 2α＝cos2α－(cos2α－sin2α)＝sin2α＝，因为α∈， 所以sin α＝，cos α＝－＝－， 所以tan α＝＝－， sin 2α＝2sin αcos α＝－， cos 2α＝1－2sin2α＝， tan 2α＝＝－.] 6.A　[4sin 40°－tan 40°＝4sin 40°－ ＝＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝＝.] 7.A　[由已知可得cos＝2cos2－1＝2×－1＝， ∵α∈，∴α＋∈， ∴sin＝， ∴sin＝sin＝sin·cos －cos·sin ＝.] 8.　[原式＝＝cos2－sin2＝cos ＝.] 9.－2　[因为cos 345°＝cos(360°－15°)＝cos 15°， 所以log2sin 15°－logcos 345° ＝log2sin 15°＋log2cos 15° ＝log2(sin 15°cos 15°) ＝log2＝log2＝－2.] 10.　[因为sin＝，α为锐角， 所以cos＝， cos＝cos＝＝.] 11.解　(1)因为α，β∈， 所以－＜α－β＜. 又因为tan(α－β)＝－＜0， 所以－＜α－β＜0， 且sin(α－β)＝－cos(α－β)， 又sin2(α－β)＋cos2(α－β)＝1， 解得cos(α－β)＝，sin(α－β)＝－. (2)由(1)可得cos(α－β)＝. 因为α为锐角，且sin α＝，所以cos α＝. 所以cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝×＋×＝. 12.解　(1)f(π)＝2cos＝－2cos ＝－2×＝－. (2)因为f＝2cos＝－2sin α＝，所以sin α＝－. 又α∈， 所以cos α＝＝＝， 所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－， cos 2α＝2cos2α－1＝2×－1＝. 所以f(2α)＝2cos ＝2cos 2αcos ＋2sin 2αsin ＝2××＋2×× ＝. 13.C　[cos＝cos ＝coscos＋sinsin. ∵0<α<，则<＋α<， ∴sin＝. 又－<β<0，则<－<， ∴sin＝. 故cos＝×＋×＝.] 14.ABC　[依题意， μ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝＋ ＝sin＋. 因为θ0∈， 所以2θ0＋∈， 所以sin∈， 所以μ∈.故选ABC.] 15.－3　[由tan α＋tan＝， 得tan α＋＝， 即3tan2α－5tan α－2＝0， 解得tan α＝2或tan α＝－， 因为α为锐角，所以tan α＝2， 故＝ ＝＝＝－3.] 16.解　(1)由已知得cos α＝x1＝， sin α＝＝＝， 所以x2＝cos＝cos αcos －sin αsin ＝×－×＝. (2)根据条件知S1＝sin αcos α＝sin 2α， S2＝－sincos＝－sin. 因为S1＝2S2， 所以sin 2α＝－2sin＝－2 ＝sin 2α－cos 2α， 于是cos 2α＝0， 因为<α<，所以<2α<π， 所以2α＝，解得α＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$