精品解析：2024年天津市滨海新区中考二模数学试题

天津市滨海新区2024年中考二模考试数学试题 第Ⅰ卷 注意事项： 1．每题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点． 2．本卷共12题，共36分． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 计算的结果等于（ ） A. B. C. D. 2 2. 据年月日《天津日报》报道，今年清明假期，围绕赏花踏青、弘扬传统文化、缅怀革命先烈等内容，天津文旅热度持续攀升，文旅市场持续火爆．根据联通大数据，清明假期天，全市共接待游客人次，单日游客接待量创今年新高，将数据用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 3. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 估计的值在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 5. 如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 6. 的值等于（ ） A. B. 0 C. 1 D. 7. 计算的结果等于（ ） A. B. C. D. 8. 若点，，都在反比例函数图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 若是方程的两个根，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，，以A为圆心，适当长为半径画弧，交于点D，E两点，再分别以D，E为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点M，作射线交于点F，则线段的长为（ ） A. B. C. 4 D. 2 11. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别是，，边经过点，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条拋物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：m）与飞行时间（单位：）之间具有函数关系．有下列结论：①小球从飞出到落地用时为；②小球飞行的最大高度为；③小球的飞行高度为时，小球飞行的时间是．其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 第Ⅱ卷 注意事项：1．用黑色字迹的签字笔将答案写在“答题卡”上（作图可用2B铅笔）． 2．本卷共13题，共84分． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 计算的结果为______． 14. 计算的结果是_______． 15. 不透明袋子中装有9个球，其中有7个绿球、2个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率是___________． 16. 若直线向下平移2个单位长度后，经过点，则的值为______． 17. 如图，四边形是正方形，边长为，是边上的动点，在正方形的外侧以为边作正方形，连接，若为的中点，连接，则线段的最小值为______． 18. 如图，在每个小正方形的边长为的网格中，内接于圆，且顶点在格点上，点在格线上，为圆的直径． （）的度数为______； （）在如图所示网格中，请用无刻度的直尺，在上画出一点，使，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）______． 三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19 解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得______________； （2）解不等式②，得______________； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为________________． 20. 某校为了解学生参加社区活动的情况，随机调查了部分学生，对他们参加社区活动的天数进行了统计．根据统计的结果，绘制出如下统计图和图．请根据相关信息，解答下列问题： （1）本次接受调查的学生人数为______，图中的值为______； （2）求统计的这组学生活动天数数据的平均数、众数和中位数． 21. 在中，是的直径，弦垂直于，垂足为点，过点作的切线交的延长线于点． （1）如图①，若，求； （2）如图②，若，，是的中点，连接，求的长． 22. 如图，学校数学兴趣小组计划测量建筑物的高度，先在处测得该建筑物顶端的仰角为，从处前进到达处，在处测得该建筑物顶端的仰角为，点，，在同一条直线上，且．求建筑物的高度（结果精确到）．（参考数据：，，，） 23. 已知小明家、公园、科技馆依次在同一条直线上，公园离小明家，科技馆离小明家．早晨，小明从家骑自行车出发，先匀速骑行到达公园，在公园里游玩了后，又匀速骑行了到达科技馆，在科技馆参观了，然后匀速骑行了回到家．下面图中表示时间，表示小明离家的距离．图象反映了这个过程中小明离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： （1）填表： 小明离开家的时间 小明离家的距离 填空：小明从公园到科技馆的速度为______； 当时，请直接写出小明离家的距离关于时间的函数解析式； （2）当小明骑车离开科技馆时，若小明的爸爸也从公园出发匀速步行直接回家，如果小明的爸爸的速度为，那么小明在回家的途中遇到爸爸时离家的距离是多少？（直接写出结果即可） 24. 在平面直角坐标系中，为原点，矩形的顶点，分别在轴，轴的正半轴上，顶点．是等腰直角三角形，，点，点在轴的负半轴上．将沿轴向右平移，得到，点，，的对应点分别为，，． （1）如图①，当经过点时，求点的坐标； （2）设，与矩形重叠部分的面积为； ①如图②，当与矩形重叠部分为五边形时，与相交于点，分别与，交于点，，试用含有式子表示，并直接写出的取值范围； ②请直接写出满足的所有的值______． 25. 已知抛物线（，，为常数，），对称轴为直线，与轴交于点和点，与轴交于点，且，连接． （1）求抛物线解析式； （2）点为直线下方抛物线上一点，过点作轴于点，交直线于点，过点作交直线于点，若，求点坐标； （3）点是抛物线顶点，将抛物线沿着射线平移，点的对应点为，过点作轴于点，在平移的过程中，是否存在以为腰的等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 天津市滨海新区2024年中考二模考试数学试题 第Ⅰ卷 注意事项： 1．每题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点． 2．本卷共12题，共36分． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 计算的结果等于（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了有理数的乘法．根据有理数的乘法法则计算即可求解． 【详解】解：． 故选：D． 2. 据年月日《天津日报》报道，今年清明假期，围绕赏花踏青、弘扬传统文化、缅怀革命先烈等内容，天津文旅热度持续攀升，文旅市场持续火爆．根据联通大数据，清明假期天，全市共接待游客人次，单日游客接待量创今年新高，将数据用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，根据科学记数法：（，为整数），先确定的值，再根据小数点移动的数位确定的值即可，根据科学记数法确定和的值是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 3. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义判断选择即可．本题考查了轴对称图形即沿着某条直线折叠，直线两旁的部分完全重合；熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】∵是轴对称图形，符合题意； ∵不是轴对称图形，不符合题意； ∵不是轴对称图形，不符合题意； ∵不是轴对称图形，不符合题意； 故选A． 4. 估计的值在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 【答案】B 【解析】 【分析】根据无理数的估算方法计算即可． 详解】， ， ∴的值在2和3之间， 故选：B． 【点睛】本题主要考查无理数的估算，掌握无理数的估算方法是解题的关键． 5. 如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据俯视图的定义去判断即可,本题考查了几何体的俯视图，熟练掌握俯视图的定义是解题的关键． 【详解】该几何体的俯视图是 故选C． 6. 的值等于（ ） A. B. 0 C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的计算，有理数的减法，熟练掌握知识点是解题的关键． 代入，即可计算． 【详解】解：， 故选：A． 7. 计算的结果等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了异分母分式的减法，先通分，再相减即可求解，掌握分式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， ， ， ， 故选：． 8. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据函数解析式中的比例系数k确定函数图像所在的象限，再根据各象限内点的坐标特点及函数的增减性解答．此题考查的是反比例函数图像上点的坐标特点及平面直角坐标系中各象限内点的坐标特点，比较简单． 【详解】解：∵反比例函数，， ∴此函数图像在二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大， ∵， ∴点，在第四象限， ∴， ∵， ∴点点在第二象限， ∴， ∴的大小关系为． 故选：D． 9. 若是方程的两个根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据根与系数关系定理解答即可． 本题考查了一元二次方程的根与系数关系定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】是方程的两个根， 则，， 故选A． 10. 如图，在中，，，，以A为圆心，适当长为半径画弧，交于点D，E两点，再分别以D，E为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点M，作射线交于点F，则线段的长为（ ） A. B. C. 4 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了作图-基本作图，勾股定理和角平分线的性质，熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．过F点作于H点，如图，利用基本作图得到平分，则根据角平分线的性质得到，再利用勾股定理计算出，接着证明，得到，所以，设，则，利用勾股定理得，然后解方程即可． 【详解】解：过F点作于H点，如图， 由作图痕迹得平分， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 解得， 即的长为， 故选：A． 11. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别是，，边经过点，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质，由旋转的性质得，，，进而可得，利用三角形外角性质求得，即可求解，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：由旋转可得，，，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 故选：． 12. 如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条拋物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：m）与飞行时间（单位：）之间具有函数关系．有下列结论：①小球从飞出到落地用时为；②小球飞行的最大高度为；③小球的飞行高度为时，小球飞行的时间是．其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．分别求出和时，的值即可判断①正确，③错误；求出的最大值即可判断②正确，由此即可得． 【详解】解：当时，， 解得或， 则小球从飞出到落地用时为，结论①正确； ， 则小球飞行最大高度为，结论②正确； 当时，， 解得或， 则小球的飞行高度为时，小球飞行的时间是或，结论③错误； 综上，正确结论的个数是2个， 故选：C． 第Ⅱ卷 注意事项：1．用黑色字迹的签字笔将答案写在“答题卡”上（作图可用2B铅笔）． 2．本卷共13题，共84分． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 计算的结果为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方运算，利用积的乘方运算法则进行计算即可求解，掌握积的乘方运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 14. 计算的结果是_______． 【答案】7 【解析】 【分析】利用平方差公式计算． 【详解】解： =（）2-22 =11-4 =7． 故答案为：7． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 15. 不透明袋子中装有9个球，其中有7个绿球、2个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率． 【详解】解：∵袋子中共有9个小球，其中绿球有7个， ∴摸出一个球是绿球的概率是， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了概率的求法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=． 16. 若直线向下平移2个单位长度后，经过点，则的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的平移，解题的关键是掌握“上加下减，左加右减”的平移规律． 先求出平移后的直线表达式，再代入即可求解． 【详解】解：直线向下平移2个单位长度后得到， ∵平移后的直线经过点， ∴将点代入得：， 解得：， 故答案为：1． 17. 如图，四边形是正方形，边长为，是边上的动点，在正方形的外侧以为边作正方形，连接，若为的中点，连接，则线段的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，垂线段最短，勾股定理，连接，延长交点，连接，可得为等腰直角三角形，进而得，得到为的中位线，即得，可得当取最小值时，取最小值时，由当时，的值最小，此时，点为的中点，得，据此即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，延长交点，连接，则， ∵四边形是正方形， ∴ ， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵四边形正方形， ∴， ∴， ∴点为的中点， ∵为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴当取最小值时，取最小值时， 当时，的值最小，此时，点为的中点，， ∴， 故答案为：． 18. 如图，在每个小正方形的边长为的网格中，内接于圆，且顶点在格点上，点在格线上，为圆的直径． （）的度数为______； （）在如图所示的网格中，请用无刻度的直尺，在上画出一点，使，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）______． 【答案】 ①. ； ②. 取圆与格线的交点，连接，与相交于点，由圆周角定理可得，因为，故可知四边形为矩形，所以，可得为圆的直径，因此点为圆心，再利用正方形的性质作出的中点，连接，与圆相交于点，连接，由垂径定理可得，即可得，故点为所求 【解析】 【分析】（）根据圆周角定理即可求解； （）取圆与格线的交点，连接，与相交于点，由圆周角定理可得，因为，故可知四边形为矩形，所以，可得为圆的直径，因此点为圆心，再利用正方形的性质作出D的中点，连接，与圆相交于点，连接，由垂径定理可得，即可得，故点为所求； 本题考查了圆周角的性质，矩形的性质，正方形的性质，垂径定理，掌握正方形和矩形的性质是解题的关键． 【详解】解：（）∵为圆的直径， ∴， 故答案为：； （）如图，取圆与格线的交点，连接，与相交于点，由圆周角定理可得，因为，故可知四边形为矩形，所以，可得为圆的直径，因此点为圆心，再利用正方形的性质作出的中点，连接，与圆相交于点，连接，由垂径定理可得，即可得，故点为所求， 故答案为：取圆与格线的交点，连接，与相交于点，由圆周角定理可得，因为，故可知四边形为矩形，所以，可得为圆的直径，因此点为圆心，再利用正方形的性质作出的中点，连接，与圆相交于点，连接，由垂径定理可得，即可得，故点为所求． 三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得______________； （2）解不等式②，得______________； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为________________． 【答案】（1）；（2）；（3）见解析；（4）． 【解析】 【分析】分别解两个不等式，再利用数轴表示解集，然后根据公共部分确定不等式组的解集． 【详解】解：（1）解不等式①得； （2）解不等式②得； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来如下图所示： （4）所以不等式组的解集为． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组：一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 20. 某校为了解学生参加社区活动的情况，随机调查了部分学生，对他们参加社区活动的天数进行了统计．根据统计的结果，绘制出如下统计图和图．请根据相关信息，解答下列问题： （1）本次接受调查的学生人数为______，图中的值为______； （2）求统计的这组学生活动天数数据的平均数、众数和中位数． 【答案】（1），； （2）平均数为，众数为，中位数为．； 【解析】 【分析】（）把各部分的人数相加可求出本次接受调查的学生人数，用减去其他天数的百分比即可求出的值； （）根据平均数、众数和中位数的定义分别解答即可求解； 本题考查了条形统计图和扇形统计图，平均数、众数和中位数，掌握平均数、众数和中位数的定义是解题的关键． 【小问1详解】 解：本次接受调查的学生人数为人， ， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：平均数为； ∵天的人数最多， ∴众数为； ∵数据共有个， ∴数据按照从小到大排列，中位数为第位和第位数据的平均数， ∴中位数为． 21. 在中，是的直径，弦垂直于，垂足为点，过点作的切线交的延长线于点． （1）如图①，若，求； （2）如图②，若，，是的中点，连接，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据垂径定理推论得到，再根据圆周角定理可求，由切线的性质得到，即可求解； （2）连接，过点M作，垂足为点H，解得出，，然后通过以及对运用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：连接， ∵弦垂直于，经过圆心， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：连接，过点M作，垂足为点H， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴在中，， ∵， ∴， ∴在中，由勾股定理得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵弦垂直于，经过圆心， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理以及解直角三角形，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 22. 如图，学校数学兴趣小组计划测量建筑物的高度，先在处测得该建筑物顶端的仰角为，从处前进到达处，在处测得该建筑物顶端的仰角为，点，，在同一条直线上，且．求建筑物的高度（结果精确到）．（参考数据：，，，） 【答案】约27.5米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 设米，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义列出关于的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：题意得，， 设米， ， ， 在中，， ， ， ， 在中，， ， ， 经检验：是原方程的根， （米， 建筑物的高度约为27.5米． 23. 已知小明家、公园、科技馆依次在同一条直线上，公园离小明家，科技馆离小明家．早晨，小明从家骑自行车出发，先匀速骑行到达公园，在公园里游玩了后，又匀速骑行了到达科技馆，在科技馆参观了，然后匀速骑行了回到家．下面图中表示时间，表示小明离家的距离．图象反映了这个过程中小明离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： （1）填表： 小明离开家时间 小明离家的距离 填空：小明从公园到科技馆的速度为______； 当时，请直接写出小明离家的距离关于时间的函数解析式； （2）当小明骑车离开科技馆时，若小明的爸爸也从公园出发匀速步行直接回家，如果小明的爸爸的速度为，那么小明在回家的途中遇到爸爸时离家的距离是多少？（直接写出结果即可） 【答案】（1）填表见解析；；； （2）． 【解析】 【分析】（）根据图形解答即可求解；根据图形解答即可求解；分两种情况：和，根据图象进行解答即可求解； （）求出小明从科技馆回到家的速度，设两人出发相遇，根据此时两人离家的距离相等，列出方程，解方程求出时间，进而即可求解； 本题考查了函数的图象，求函数解析式，一元一次方程方程的应用，看懂函数图象是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意可得，小明从家到公园的速度为， ∴小明离开家后离家的距离为， 由图可知，小明离开家后离家的距离为，离开家后离家的距离为， ∴填表如下： 小明离开家的时间 小明离家的距离 由图象可得，小明从公园到科技馆的速度为； 当时，； 当时，设，把，代入得， ， 解得， ∴； 综上，； 【小问2详解】 解：由图可得，小明从科技馆回到家的速度为， 设两人出发相遇， 则， 解得， ∴小明此时离家的距离为． 24. 在平面直角坐标系中，为原点，矩形的顶点，分别在轴，轴的正半轴上，顶点．是等腰直角三角形，，点，点在轴的负半轴上．将沿轴向右平移，得到，点，，的对应点分别为，，． （1）如图①，当经过点时，求点的坐标； （2）设，与矩形重叠部分的面积为； ①如图②，当与矩形重叠部分为五边形时，与相交于点，分别与，交于点，，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围； ②请直接写出满足的所有的值______． 【答案】（1） （2）①；②或 【解析】 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质、矩形的性质，结合平移的性质即可求解； （2）分时，当时，当时，当时，当时，五种情况分类讨论求解得与的关系式． ①根据分类讨论即可求解； ②根据，代入与的关系式求解即可． 【小问1详解】 解：∵是等腰直角三角形，，， ∴，，， 矩形的顶点，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上， ∴，，即：， ∵将沿轴向右平移，得到，当经过点时， ∴，则， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴沿轴向右平移了1个单位， ∴； 【小问2详解】 当时，此时重叠部分为为矩形， 此时； 当时，此时重叠部分为为五边形， ∵将沿轴向右平移，得到， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴，， 则为等腰直角三角形， ∴， 此时； 当时，此时重叠部分为直角梯形， ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 此时； 当时，此时重叠部分为直角梯形， 同理为等腰直角三角形，， ，则， 此时； 当时，此时重叠部分为， 同理为等腰直角三角形，， 此时； 综上：； ①由上可知，当与矩形重叠部分五边形时， ； ②当时，，解得：，不符合题意； 当时，，解得：（不符合题意，舍去）； 当时，，不符合题意； 当时，，解得：； 当时，，解得：或，不符合题意； 综上：时，或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查坐标与平移，一元二次方程与二次函数，等腰三角形的判定及性质，矩形的性质．属于中考压轴题，确定动点的位置，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 25. 已知抛物线（，，为常数，），对称轴为直线，与轴交于点和点，与轴交于点，且，连接． （1）求抛物线解析式； （2）点为直线下方抛物线上一点，过点作轴于点，交直线于点，过点作交直线于点，若，求点坐标； （3）点是抛物线的顶点，将抛物线沿着射线平移，点的对应点为，过点作轴于点，在平移的过程中，是否存在以为腰的等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）存在，． 【解析】 【分析】（）求出点坐标，得到点的值，再根据对称轴为直线，经过点列出方程组即可求解； （）分别求出直线的解析式，画出图象，再求出直线的解析式，求出直线与轴的交点的坐标，利用相似三角形的性质求出，即可得到点的横坐标，进而即可求解； （）求出顶点的坐标，进而求出直线的解析式，过点作于，则，可知当，即时，为等腰三角形，此时点的纵坐标为，据此即可求解； 本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的几何问题，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，坐标与图形，根据题意，正确画出图形是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴抛物线开口向上， 又∵抛物线与轴有两个交点， ∴点在轴的负半轴上， ∴， ∴抛物线， ∵抛物线对称轴为直线，与轴交于点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：∵抛物线对称轴为直线，与轴交于点和点， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为，把代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 同理可得直线的解析式为， 根据题意，画图象如下： ∵， ∴设直线的解析式为，把代入得，， ∴， ∴直线的解析式为， 设直线与轴的交点为，则， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴点的横坐标为， 把代入得，， ∴点的坐标为； 【小问3详解】 解：存在的坐标为时，为等腰三角形． ∵点是抛物线的顶点， ∴， ∵将抛物线沿着射线平移，点的对应点为， ∴， 设直线的解析式为， 把代入得，， ∴， ∴直线的解析式为， 过点作于，则， 当，即时，为等腰三角形，此时点的纵坐标为， 把代入得，， 解得， ∴， ∴当的坐标为时，为等腰三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$