江苏省宿迁市泗阳县两校2023-2024学年高一下学期第二次学情调研（5月月考）数学试题

试卷第 1页，共 4页 2023-2024 学年度高一年级第二学期第二次数学学科学情调研 一、单选题 1．已知向量� = 2, � ，� = 2 − �, − 4 ，若� 与� 共线且反向，则实数�的值为（ ） A．4 B．2 C．−2 D．−2或 4 2．一圆锥的侧面展开图是半径为 4的半圆，则该圆锥表面积为（ ） A．12π B．10π C．8π D．4π 3．在正三棱锥� − ���中，顶点�在底面���的射影为点�, �� = �� = 1，则�� =（ ） A． 2 2 B． 3 2 C．2 2 3 D． 6 3 4．如图，正方形 OABC 边长为 1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面 积为（ ） A． 2 4 B． 2 2 C． 2 D．2 2 5．在△ ���中，已知� = π 4 ，� = 2 2，� = 4 3 3 ，则� =（ ） A．π 3 B．π 6 C．π 3 或 2π 3 D．2π 3 6．已知正三棱锥 P－ABC 的底面边长为 6，顶点 P 到底面 ABC 的距离是 6，则这个正三棱 锥的侧面积为（ ） A．27 B．9 3 C．9 6 D．9 2 7．如图，在棱长为 2的正方体���� − �1�1�1�1中，�，�分别为棱��和��1的中点，过点 试卷第 2页，共 4页 �1，�，�的平面�交��于点�，则�� =（ ） A．1 3 B．2 3 C．3 4 D．4 3 8．已知 tan � − π 4 =− 1 2 ，则 2sin2�+sin2� 1+sin2� =（ ） A．− 1 2 B．0 C．1 2 D．1 3 二、多选题 9．下列命题正确的是（ ） A．一个棱锥至少 5个面 B．平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形 C．有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥 D．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 10．已知�，�，�为空间中三条不同的直线，�，�，�为空间中三个不同的平面，则下列说 法中正确的是（ ） A．若� ∩ � = �,� ⊥ �，则� ⊥ �, � ⊥ � B．若� ⊂ �, � ⊄ �，则�与�为异面直线 C．若� ∩ � = �, � ∩ � = �, � ∩ � = �，且� ∩ � = �，则� ∈ � D．若� ⊥ �,� ⊥ �, �//�，则�//� 11．函数�(�) = sin2� + 3sin�cos�，则（ ） A．� � 的一条对称轴方程为� = π 3 B．� � 的一个对称中心为 π 12 , 0 C．� � 的最小值是1 2 D．� � 的最大值是3 2 三、填空题 12．方程�2 + 4� + 6 = 0 在复数范围内的解是 ． 试卷第 3页，共 4页 13．如图，在四棱锥� − ����中，底面����是平行四边形，M，N 分别是��，��的中点， 若�� = �� = 4，�� = 4 3，则异面直线��与��所成角大小是 ． 14．在△ ���中，角�, �, �的对边分别为�, �, �，且� − 2�sin� = 0, � ∈ 0, π 2 , � = 1, � = 3， 则△ ���的面积为 . 四、解答题 15．已知�是复数，� + 2i与 � 2−i 均为实数. (1)求�2； (2)若复数�是方程�2 +�� + � = 0 �, � ∈ R 的一个解，求�− �的值. 16．在△ ���中，角�、�、�的对边分别为�, �, �，已知�cos� − �cos� =− � − �. (1)求�； (2)若� = 2, � = 2 7, �为��边的中点，求��的长. 17．已知四棱锥� − ����，底面����为正方形，边长为 3，�� ⊥平面����. (1)求证：�� ⊥平面���； (2)若�� = 4，求直线��与平面���所成的角大小. 试卷第 4页，共 4页 18．如图，在四棱锥� − ����中，底面����是正方形，�� ⊥底面����，�� = ��，点� 是��的中点，�� ⊥ ��于点�． (1)求证：平面��� ⊥平面���； (2)求二面角� − �� −�的正切值． 19．互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系．如果坐标系中两条坐标轴不垂 直，那么这样的坐标系就称为斜坐标系．如图，设��, ��是平面内相交成 60°角的两条数轴， �1 , �2 分别是与�轴、�轴正方向同向的单位向量．若向量�� = ��1 + ��2 ，则把有序数对(�, �) 叫做向量在斜坐标系���中的坐标． (1)设�� = 3�1 + 2�2 ，求|�� |； (2)若� = (2,4), � = ( − 6,3), � 与� 的夹角记为�，求�的余弦值． 报告查询:登录zhixue.com或扫描二维码下载App (用户名和初始密码均为准考证号) 2023-2024学年度高一年级第二学期第二 次数学学科学情调研答题卡 姓名： 班级： 考场/座位号： 正确填涂 缺考标记 注意事项 1．答题前请将姓名、班级、考场、准考证号填写清楚。 2．客观题答题，必须使用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净。 3．必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效。 考  号                 [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] 客观题(1~8为单选题;9~11为多选题) 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 填空题 12. 13. 14. 解答题 15. 16. 17. 18. 19. 请勿在此区域作答或 者做任何标记 参考答案： 1．A 【分析】利用向量共线的坐标表示求出，再结合反向共线即可得解. 【详解】由向量，共线，得，解得或， 当时，，，与同向，不符合题意， 当时，，，与反向，符合题意， 所以实数的值为4. 故选：A 2．A 【分析】借助圆锥的侧面积公式与扇形面积公式可得底面半径，再利用圆锥表面积公式计算即可得. 【详解】圆锥的底面半径为， 由圆锥的侧面积公式与扇形面积公式可得， 即圆锥的底面半径， 则. 故选：A. 3．D 【分析】利用正三棱锥的性质，顶点在底面的射影是底面三角形的中心，然后用勾股定理可解得高. 【详解】正三棱锥中，点在平面的射影是点，即为等边的中心， 已知，可得， 由底面，底面，可得， 则由勾股定理可得高. 故选：D. 4．D 【分析】把直观图还原成原来的图形，则原图形是平行四边形，根据斜二测画法法则求得原图形的面积. 【详解】由斜二测画法知：对应原图中，且， 且为平行四边形，如下图示，    所以原图形的面积为. 故选：D 5．C 【分析】由三角形角的范围以及大边对大角原理并结合正弦定理计算即可求解. 【详解】由正弦定理可得， 所以，又，且， 所以或， 故选：C. 6．A 【分析】利用已知条件求解斜高，然后求解正三棱锥的侧面积． 【详解】由题意可知底面正三角形的中心到底面正三角形的边的距离为：， 所以正三棱锥的斜高为：， 所以这个正三棱锥的侧面积为：. 故选：. 7．D 【分析】通过平行得到平面与的交点，从而得到与面的交线，再由平行得到与平面的交线，从而确定点的位置，根据为的四等分点得到G为AD的三等分点，从而得到的长. 【详解】 如图，平面与平面的交线与平行，即过点作的平行线，交于点，连接， 因为，分别为棱和的中点，所以为的四等分点, 过点作，交于点.从而G为AD的三等分点，故. 故选：D. 8．C 【分析】利用两角差的正切公式计算可得，结合切弦互化即可求解. 【详解】由，得， 解得， 所以. 故选：C 9．BCD 【分析】根据柱体和锥体的体结构特征和基本性质对每一题进行逐一分析判断. 【详解】对于A，三棱锥只有4个面，故A错误； 对于B，由平行六面体的定义可知，平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形，故B正确； 对于C，由棱锥的定义可知，侧面是三角形，底面的边数决定了它是几棱锥，从而有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥，故C正确； 对于D，由正棱锥的定义可知，正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，故D正确. 故选：BCD. 10．ACD 【分析】利用面面垂直的判定判断A；确定线线位置关系判断B；利用平面基本事实判断C；利用线面垂直的性质、面面平行的性质判断D. 【详解】对于A，显然，又，则，A正确； 对于B，由，得与可能相交、可能平行、也可能为异面直线，B错误； 对于C，由，，知点在平面内， 即为平面的公共点，而，因此，C正确； 对于D，由，得，而，因此，D正确. 故选：ACD 11．AD 【分析】先化简，令求出的对称轴可判断A；令求出的对称中心可判断B；当或求出的最大值和最小值可判断C，D. 【详解】 对于A，令，所以， 令，所以的一条对称轴方程为，故A正确； 对于B，令，则， 令，所以的一个对称中心为，故B错误； 对于C，当时，的最小值是，故C错误； 对于D，当时，的最大值是，故D正确. 故选：AD. 12． 【分析】利用配方法和复数的运算性质结合虚数单位，求解即可. 【详解】由，得， 所以，即， 则解集为. .故答案为：. 13． 【分析】取的中点，证明，得到是异面直线与所成的角或其补角，结合题设条件在中，求即得. 【详解】 如图，取的中点，连接, 因M，N分别是，的中点，底面是平行四边形，故且 又且，故得, 即,故是异面直线与所成的角或其补角. 由,两边取平方，， 设的夹角为，因，,代入上式， 整理可得，，即，故,则， 在中，设,，因，故. 故答案为： 14．或 【分析】根据题意利用正弦定理可得，结合余弦定理可得或，代入面积公式即可得结果. 【详解】因为，由正弦定理可得， 且，则，可得，即， 且，可知， 由余弦定理可得， 即，解得或， 所以的面积为 或. 故答案为：或. 15．(1) (2) 【分析】（1）由复数的运算结合复数的几何意义即可求解； （2）将复数代入方程，再由几何意义求出，求出最后结果即可. 【详解】（1）设， 则为实数， 所以， 为实数， 所以， 所以， 所以. （2）因为复数是方程的一个解， 代入可得， 整理可得， 解得 所以. 16．(1) (2)． 【分析】（1）根据正弦定理边化角，再结合两角和差公式求解； （2）根据余弦定理求出边，再根据向量运算求. 【详解】（1）因为， 根据正弦定理，得， 化简得，因为，所以， 因为，所以. （2）在中，由余弦定理得， 所以，解得． 因为为的中线，所以， 所以， 因为，所以，解得.    17．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）欲证线面垂直，需证线线垂直.根据条件，先证直线垂直于平面内的两条相交直线即可； （2）先确定所求的线面角，再在三角形中求解. 【详解】（1）如图： 因为底面是正方形 ； 又因为底面，平面 ； 又平面，且； 所以平面. （2）因为平面，所以即为直线与平面所成的角. 在直角中： ，，. 所以 .即为所求. 18．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理即可证明出平面平面； （2）先根据条件作出二面角的平面角，假设边长后利用即可求出结果. 【详解】（1）证明：由条件有， 且平面，， 平面，又平面，； 又，是的中点，； 又平面，， 平面，平面，． 由已知，且平面，， 平面．又平面， 平面平面． （2）取中点，则，作于，连结． 底面，底面． 为在平面内的射影， ，， 为二面角的平面角． 设， 在中，，， ； 二面角的正切值为． . 19．(1) (2) 【分析】（1）由题意计算，再代入向量模的公式，即可求解； （2）首先求，和，再代入向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）由题意可知，，， 所以， ； （2），， 根据（2）的结果可知，； ； ， 则. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$