宁夏回族自治区银川一中2024届高三下学期考前热身训练文科数学试卷（2）

绝密★启用前 银川一中2024届高三考前适应性训练----文科数学试题(2) 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，，求（ ） A． B． C． D． 2．设复数，则（ ） A． B． C． D． 3．已知命题；命题且，.现有下列四个命 题：①；②；③；④.其中真命题是（ ） A．①② B．①④. C．②③ D．③④ 4．国际数学教育大会（ICME）是世界数学教育规模最大、水平最高的学术性会议.第十四 届大会于2021年7月11日~18日在上海市华东师范大学成功举办，其会标如图，包含 着许多数学元素.主画面是非常优美的几何化的中心对称图形，由弦图、圆和螺线组成， 主画面标明的ICME-14下方的“”是用中国古代八进制的计数 符号写出的八进制数3744，也可以读出其二进制码（0）11111100100，受疫情影响，第 十四届大会在原定的举办时间上有所推迟，已知上述二进 制和八进制数转换为十进制，即是第十四届大会原定的举 办时间，则第十四届数学教育大会原定于（ ）年举行. A．2018 B．2019 C．2020 D．2021 5.已知函数为奇函数，则在处的切线方程为（ ） A． B． C． D． 6.如图，直四棱柱的底面是正方形，已知， ，点，分别在棱，上，且，， 则（ ） A．，且直线，是相交直线 B．，且直线，是异面直线 C．，且直线，是异面直线 D．，且直线，是相交直线 7．在等比数列中，若、是方程的两根，则的值是( )。 A、 B、 C、 D、 8.已知函数，给出以下四个结论： ①函数的图象关于直线对； ②函数图象在处的切线与轴垂直； ③函数在区间上单调递增； ④为奇函数，且既无最大值，也无最小值. 其中所有正确结论的编号是（ ） A．① B．②③ C．②④ D．②③④ 9.某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的 垂直弹射高度：在C处(点C在水平地面下方，O为CH与水平 地面ABO的交点)进行该仪器的垂直弹射，水平地面上两个观察 点A，B两地相距100米，∠BAC=60°，其中A到C的距离比B 到C的距离远40米.A地测得该仪器在C处的俯角为∠OAC=15°， A地测得最高点H的仰角为∠HAO=30°，则该仪器的垂直弹射高 度CH为（ ）米 A． B． C． D． 10已知双曲线的左、右焦点分别为是双曲线右支上的一点，且的周长为，则双曲线的离心率的取值范围为（ ） A． B． C． D． 11.在中，，，则角的最大值为（ ） A． B． C． D． 12. 设函数 f (x) = x + ex ，g (x) = x + ln x ，若存在x1 ，x2 ，使得 f (x1 ) = g (x2 ) ， 则 x1 - x2 的最小值为 ( ) A. B. 1 C. 2 D. e 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．已知向量，若，则向量与向量夹角的余弦值为_______________. 14．已知函数的定义域为，对任意，恒成立，且当时，，则______. 15．设为一个圆柱上底面的中心，A为该圆柱下底面圆周上一点，这两个底面圆周上的每个点都在球O的表面上若两个底面的面积之和为，与底面所成角为，则球O的表面积为______． 16.如图，已知抛物线：的焦点为，抛物线的准线与轴 相交于点，点（ 在第一象限）在抛物线上，射线与 准线相交于点，，直线与抛物线交于另一点， 则________． 3、 解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选 考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分 17．（12分） 我国是世界最大的棉花消费国、第二大棉花生产国，其中，新疆棉产量约占国内产量的87%，消费量约占国内消费量的67%．新疆棉的品质高：纤维柔长，洁白光泽，弹性良好，各项质量指标均超国家标准．尤其是被授予“中国彩棉之乡”称号的新疆建设兵团一四八团生产的天然彩棉，株型紧凑，吐絮集中，品质优良，色泽纯正、艳丽，手感柔软，适合中高档纺织．新疆彩棉根据色泽、手感、纤维长度等评分指标打分，得分在区间内分别对应四级、三级、二级、一级．某经销商从采购的新蚯彩棉中随机抽取20包（每包1kg），得分数据如图． （1）试统计各等级数量，并估计各等级在该批彩棉中所占比例； （2）用样本估计总体，经销商参考以下两种销售方案进行销售： 方案1：不分等级卖出，单价为1.79万元/吨； 方案2：分等级卖出，不同等级的新疆彩棉售价如下表所示： 等级 一级 二级 三级 四级 售价（万元/吨） 若从经销商老板的角度考虑，采用哪种方案较好？并说明理由． 18．（12分） 已知公差不为0的等差数列的前项和为，且，，，成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项和. 19．（12分） 如图，四边形为正方形，若平面，， ，． （1）在线段上是否存在点，使平面平 面，请说明理由； （2）求多面体的体积． 20．（12分） 已知两圆，动圆在圆内部且和圆内切，和圆外切. （1）求动圆圆心的轨迹的方程； （2）过点的直线与曲线交于两点.关于轴的对称点为，求面积的最大值. 21．（12分） 已知函数. （1）设曲线在处的切线为，求证：； （2）若有两个根，，求证：. （二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．[选修4－4：坐标系与参数方程] 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数)，以坐标原点O为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为－2cos=3． （1）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程； （2）曲线与相交于两点，求的值． 23．[选修4-5：不等式选讲] 已知函数(，，均为正实数). （1）当时，求的最小值； （2）当的最小值为3时，求的最小值. 文科数学试卷2 第1页(共3页) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 银川一中2024届考前适应性训练数学2(文科)参考答案 1．【答案】B 【分析】 解不等式确定集合，然后由交集定义计算． 【详解】 且， ， 所以． 故选：B． 2．【答案】B 【解析】 ，因此. 故选：B. 3．【答案】A 【分析】 先判断命题和的真假，再利用逻辑用语中的或且非的真假判断即可. 【详解】 解：命题当时，，故命题为假命题； 命题若，则，又，所以，故命题为真命题. 故，为真命题.，，为假命题. 故选：A. 4．【答案】C 【分析】 根据给定条件，将八进制数3744转换为十进制数即可. 【详解】 . 故选：C 5.【答案】D 【分析】 利用函数为奇函数可得，求导可求解，，即得解 【详解】 当时，， 则， 此时， 则，则，， 所求切线方程为，即. 故选：D 6. 【答案】B 【分析】 作图，通过计算可知，取点M为BC的中点，则共面，显然点E不在面内，由此直线，AF异面． 【详解】 解：，， 如图， 点M为BC的中点，则 ， 故AMFD共面，点E在面面外， 故直线经过面内一点和平面外一点， 故直线和平面内直线AF异面． 故选：B． 7．【答案】B 8.【答案】D 【分析】利用导数及三角形函数的性质一一判断即可； 【详解】 解：因为，所以，所以，故函数的图象不关于直线对，故①错误； ，，，切线的斜率为，即切线与轴垂直，故②正确； 当，，，所以，即函数在区间上单调递增，故③正确； 因为，所以定义域为，，所以为奇函数，取时，因为，，当时，，，所以，当时，，，所以，故既无最大值，也无最小值，即④正确； 故选：D 9.【答案】B 【分析】在△中，用余弦定理求得；在△中，再利用正弦定理求得. 【详解】 设，则， 在△中，由余弦定理得：， 即，解得. 在△中，，，， 由正弦定理得： ，即，解得. 故选：B. 10【答案】A 【解析】设双曲线的焦距为，. 是双曲线右支上的一点， ， 的周长为， , ，，，， ,，，, 双曲线的离心率的取值范围为. 故选：A 11.【答案】A 【解析】 设，则，由余弦定理可得， 当且仅当时，等号成立，因为，则. 故选：A. 12. 13【答案】 【分析】由可得，再由即可求出. 【详解】 由，得， 所以， ，， 故. 故答案为：. 14．【答案】54 【分析】由已知条件可得，求出即可得到答案； 【详解】 因为， 所以. 故答案为：54. 15．【答案】 【分析】 设球的半径为，圆柱下底面半径为,为一个圆柱下底面的中心，根据圆柱的几何特征，可得，解出半径，则球的表面积可求． 【详解】 解：设球的半径为，圆柱上下底面半径为，为一个圆柱下底面的中心，由题意知得，与底面所成角为，在 中, 根据圆柱的几何特征，即 . 故该球的表面积， 故答案为：． 16.【答案】3 【分析】由，可得，再由直线的方程为：，与抛物线联立，可得，从而得，结合抛物线定义及平行性质可得解. 【详解】 抛物线：的焦点为， 由，可得，解得，可得， 由，解得， 直线的方程为：，与抛物线联立，可得， 由，得，则，所以， 由抛物线定义得， 且，所以， 所以 故答案为：3. 17．【答案】（1）答案见解析；（2）答案、理由见解析． 【分析】 （1）根据茎叶图计算出数量以及比例. （2）计算出方案的彩棉售价平均值，由此作出决策. 【详解】 （1）得分在（0，25]内的有19，21，共2个，所以四缓彩棉在该批彩棉中所占比例为； 得分在（25，50]内的有27，31，36，42，45，48，共6个，所以三级彩棉在该批彩棉中所占比例为； 得分在（50，75]内的有51，51，58，63，65，68，73，共7个，所以二级彩棉在该批彩棉中所占比例为； 得分在（75，100]内的有76，79，83，85，92，共5个，所以一级彩棉在该批彩棉中所占比例． （2）解答一：选用方案2，理由如下： 方案1：不分等级卖出，单价为1.79万元/吨； 设方案2的彩棉售价平均值为万元/吨， 则． 因为， 所以从经销商老板角度考虑，采用方案2时销售利润比较大，应选方案2． 解答二：选用方案1，理由如下： 方案1：不分等级卖出，单价为1.79万元/吨； 设方案2的彩棉售价平均值为． 则， 因为，但（万元）差别较小． 所以从经销商老板后期对彩棉分类的人力资源和时间成本角度考虑，采用方案1比较好． 18．【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）根据等比数列的性质，结合等差数列的通项公式进行求解即可； （2）根据等比数列的定义，结合等比数列、等差数列前项和公式进行求解即可； 【详解】 （1）设等差数列的公差为， 所以有，，∵，，成等比数列，∴，即∵∴， 又∵，∴， 即，∴； （2）由题意知，，，∴是以4为首项4为公比的等比数列.记数列得前项和为，则， 数列的前项和， . 19．【解析】 （1）存在这样的点为线段靠近点的三等分点，使平面平面， 证明如下：在线段上取一点，使得，因为，所以， 所以，又因为，所以四边形是平行四边形， 又因为，所以四边形是矩形，所以， 因为四边形为正方形，所以， 因为平面平面，平面平面，面， 所以面，因为平面，所以， 因为，所以面， 因为面，所以平面平面. （2）在中，，， 可求得，， 在中，， 过点作于点，因为平面平面， 平面平面，，面， 所以面，所以即为四棱锥的高， 所以， 所以， ， 所以多面体的体积为． 20．【解析】 （1）依题意，圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 设圆的半径为，则有，，因此，， 于是得点的轨迹是以为焦点，长轴长的椭圆，此时，焦距，短半轴长b有：， 所以动圆圆心的轨迹的方程为：. （2）显然直线不垂直于坐标轴，设直线的方程为，， 由消去得：，则，， 点关于轴的对称点，， ，如图， 显然与在3的两侧，即与同号， 于是得 ， 当且仅当，即时取“=”，因此，当时，， 所以面积的最大值. 21．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】 （1）先利用导数的几何意义求出切线，然后令，再利用导数求出的最小值大于等于零即可得结论； （2）不妨设，由于直线与相交于点，由（1）可得，所以只要证即可，即证，构造函数，利用导数求其最小值非负即可 【详解】 证明：（1）由于，则， 又，所以在处的切线方程为， 即， 令，则， 于是当时，； 当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故，即. （2）不妨设，直线与相交于点， 又由（1）知：，则， 从而，当且仅当，时取等号. 下证：. 由于，所以，即证：， 令，则， 当时，； 当，； 所以在上单调递减，在上单调递增； 故，即成立，当且仅当，时取等号. 由于等号成立的条件不能同时满足， 所以. 22．【答案】（1）；；（2）3． 【分析】 （1）曲线参数方程消去参数t，可得到的普通方程，进而将其转化为极坐标方程即可，利用极坐标方程与直角坐标方程间的关系，可将的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）结合曲线、的极坐标方程，可得，设两点所对应的极径分别为，可求得的值，进而可得到的值． 【详解】 曲线的普通方程为， 即极坐标方程为 曲线的直角坐标方程为， 即． 曲线的极坐标方程为，代入， 可得， 则． 【点睛】 求解与极坐标有关的问题的主要方法： （1）直接利用极坐标系求解，可与数形结合思想配合使用； （2）转化为直角坐标系，用直角坐标求解. 23．【答案】（1）最小值是；（2）最小值是. 【分析】（1）当时，利用绝对值三角不等式即可求解； （2）利用绝对值三角不等式可得的最小值，再利用柯西不等式即可求最值. 【详解】 （1）当时， 易得. （2）由绝对值三角不等式可得：， 均为正实数， ， ， ， 当且仅当，即，时等号成立， 的最小值是. 文科数学2答案 第6页(共4页) 学科网（北京）股份有限公司 $$