宁夏回族自治区银川一中2024届高三下学期考前热身训练理科数学试卷（2）

绝密★启用前 银川一中2024届高三考前适应性训练----理科数学试题(2) 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，，求（ ） A． B． C． D． 2．设复数，则（ ） A． B． C． D． 3．已知命题；命题且，.现有下列四个命 题：①；②；③；④.其中真命题是（ ） A．①② B．①④. C．②③ D．③④ 4．已知随机变量，且，则的展开式中的常 数项为（ ） A． B． C． D． 5.已知函数为奇函数，则在处的切线方程为（ ） A． B． C． D． 6．沙漏也叫沙钟，是一种测量时间的装置，基本模型可以 看成是由两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为， 细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的，当细沙全 部漏入下部的圆锥后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的 圆锥形沙堆，则此沙堆的侧面积与细沙全都在上部时的 圆锥侧面积之比为（ ） A． B． C． D． 7．当实数、满足约束条件，表示的平面区域为，目标函数 的最小值为，而由曲线()，直线及轴围成的平面区域为， 向区域内任投入一个质点，该质点落入的概率为，则的值为( ) A． B． C． D． 8. 已知函数，给出以下四个结论： ①函数的图象关于直线对；②函数图象在处的切线与轴垂直； ③函数在区间上单调递增； ④为奇函数，且既无最大值，也无最小值. 其中所有正确结论的编号是（ ） A．① B．②③ C．②④ D．②③④ 9. 某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器 的垂直弹射高度：在C处(点C在水平地面下方，O为CH与 水平地面ABO的交点)进行该仪器的垂直弹射，水平地面上两 个观察点A，B两地相距100米，∠BAC=60°，其中A到C的 距离比B到C的距离远40米.A地测得该仪器在C处的俯角为 ∠OAC=15°，A地测得最高点H的仰角为∠HAO=30°，则该仪 器的垂直弹射高度CH为（ ）米 A． B． C． D． 10．已知双曲线的左、右焦点分别为是双曲线右支上的一点，且的周长为，则双曲线的离心率的取值范围为（ ） A． B． C． D． 11.在中，，，则角的最大值为（ ） A． B． C． D． 12．若，，，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．已知向量，若，则向量与向量夹角的余弦值为______. 14．已知函数的定义域为，对任意，恒成立，且当时，，则______. 15．设为一个圆柱上底面的中心，A为该圆柱下底面圆周上 一点，这两个底面圆周上的每个点都在球O的表面上若 两个底面的面积之和为，与底面所成角为，则 球O的表面积为______． 16.如图，已知抛物线：的焦点为，抛物线的准 线与轴相交于点，点（ 在第一象限）在抛物线 上，射线与准线相交于点，，直线 与抛物线交于另一点，则________． 3、 解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分 17．（12分） 某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学 生进行一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格”､“不 合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记5 分，“不合格”记0分.现随机抽取部分学生的成绩，统计 结果及对应的频率分布直方图如图所示： 等级 不合格 合格 得分 频数 6 x 24 y (1)若测试的同学中，分数段､､､内女生的人数分别为2人､8人､16人､4人，完成列联表，并判断：是否有99%以上的把握认为性别与安全意识有关？ 等级 性别 不合格 合格 总计 男生 女生 总计 (2)用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中，共选取10人进行座谈，现再从这10人任选4人，记所选4人的量化总分为X，求X的分布列及数学期望； (3)某评估机构以指标，其中表示X的方差）来评估该校安全教育活动的成效，若，则认定教育活动是有效的；否则认定教育活动无效，应吊证安全教育方案.在（2）的条件下，判断该校是否应调整安全教育方案？ 附表及公式：，其中. 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 18．（12分） 已知公差不为0的等差数列的前项和为，且，，，成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项和. 19．（12分） 如图，已知多面体的底面是菱形，是等边三角形，且平面底面底面. （1）在平面内找到一个点G，使得，并 说明理由； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 20．（12分） 已知两圆，动圆在圆内部且和圆内切，和圆外切. （1）求动圆圆心的轨迹的方程； （2）过点的直线与曲线交于两点.关于轴的对称点为，求面积的最大值. 21．（12分） 已知函数. （1）设曲线在处的切线为，求证：； （2）若有两个根，，求证：. （二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．[选修4－4：坐标系与参数方程] 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数)，以坐标原点O为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为－2cos=3． （1）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程； （2）曲线与相交于两点，求的值． 23．[选修4-5：不等式选讲] 已知函数(，，均为正实数). （1）当时，求的最小值； （2）当的最小值为3时，求的最小值. 理科数学试卷2 第1页(共3页) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 银川一中2024届考前适应性训练数学2(理科)参考答案 1．【答案】B 【分析】 解不等式确定集合，然后由交集定义计算． 【详解】 且， ， 所以． 故选：B． 2．【答案】B 【解析】 ，因此. 故选：B. 3．【答案】A 【分析】 先判断命题和的真假，再利用逻辑用语中的或且非的真假判断即可. 【详解】 解：命题当时，，故命题为假命题； 命题若，则，又，所以，故命题为真命题. 故，为真命题.，，为假命题. 故选：A. 4．【答案】B 【分析】 先由正态分布的概率情况求出，然后由二项式定理展开式的通项公式可得答案 【详解】 由随机变量，且，则 则 由的展开式的通项公式为： 令，解得，令，解得 所以的展开式中的常数项为： 故选：B. 5.【答案】D 【分析】 利用函数为奇函数可得，求导可求解，，即得解 【详解】 当时，， 则， 此时， 则，则，， 所求切线方程为，即. 故选：D 6．【答案】C 【解析】当细沙全部在上部时，圆锥的底面半径为，高为，则圆锥的母线长为，周长为，则侧面积，体积为； 当细沙全部在下部时，圆锥的底面半径为，设沙堆的高度为，由于细沙的体积不变，所以，解得，则其母线长为，所以侧面积，所以. 故选：C. 7．【答案】B 【解析】画出可行域如下图所示，由图可知， 目标函数在点处取得最小值，且最小值为，即。 区域面积为， 平面区域面积为， 故，∴，故选B。 8.【答案】B 9.【答案】B 【分析】 在△中，用余弦定理求得；在△中，再利用正弦定理求得. 【详解】 设，则， 在△中，由余弦定理得：， 即，解得. 在△中，，，， 由正弦定理得： ，即，解得. 故选：B. 10【答案】A 【解析】 设双曲线的焦距为，. 是双曲线右支上的一点， ， 的周长为， , ，，，， ,，，, 双曲线的离心率的取值范围为.故选：A 11.【答案】A 【解析】 设，则，由余弦定理可得， 当且仅当时，等号成立，因为，则. 故选：A. 12．【答案】D 【解析】令，，， ，， 则， 令，，当时，，所以在时单调递增， 所以当时，， 所以在时单调递减，所以，所以； 当时，，令，则， 所以在上单调递增，所以， 所以在上单调递增， 所以，所以， 综上，. 故选：D. 13．【答案】 【分析】 由可得，再由即可求出. 【详解】 由，得， 所以， ，， 故. 故答案为：. 14．【答案】54 【分析】 由已知条件可得，求出即可得到答案； 【详解】 因为， 所以. 故答案为：54. 15．【答案】 【分析】 设球的半径为，圆柱下底面半径为,为一个圆柱下底面的中心，根据圆柱的几何特征，可得，解出半径，则球的表面积可求． 【详解】 解：设球的半径为，圆柱上下底面半径为，为一个圆柱下底面的中心，由题意知得，与底面所成角为，在 中, 根据圆柱的几何特征，即 . 故该球的表面积， 故答案为：． 16.【答案】3 【分析】 由，可得，再由直线的方程为：，与抛物线联立，可得，从而得，结合抛物线定义及平行性质可得解. 【详解】 抛物线：的焦点为， 由，可得，解得，可得， 由，解得， 直线的方程为：，与抛物线联立，可得， 由，得，则，所以， 由抛物线定义得， 且，所以， 所以 故答案为：3. 17．【解析】 (1)由频率分布直方图可知，得分在的频率为，故抽取的学生答卷总数，∴，， 性别与合格情况的列联表为： 等级 性别 不合格 合格 总计 男生 14 16 30 女生 10 20 30 总计 24 36 60 ∵ ∴没有99%的把握认为性别与安全意识有关. (2)“不合格”和“合格”的人数比例为，因此抽取的10人中“不合格”有4人，“合格”有6人，所以X可能的取值为0，5，10，15，20， ，，， ，， 故X的分布列为： X 20 15 10 5 0 P 所以 (3)由（2）知：， ∴， 故我们认为该校的安全教育活动是有效的，不需要调整安全教育方案. 18．【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）根据等比数列的性质，结合等差数列的通项公式进行求解即可； （2）根据等比数列的定义，结合等比数列、等差数列前项和公式进行求解即可； 【详解】 （1）设等差数列的公差为， 所以有，，∵，，成等比数列，∴，即∵∴， 又∵，∴， 即，∴； （2）由题意知，，，∴是以4为首项4为公比的等比数列.记数列得前项和为，则， 数列的前项和， . 19．【答案】（1）答案见解析；（2）. 【分析】 （1）取的中点为H，只需在找点即可； （2）建立如图所示的空间直角坐标系，求平面的一个法向量与向量，根据直线与平面夹角的向量公式即可求解． 【详解】 （1）如图所示，取的中点为H，连接， 再取的中点为G，连接， 则. 理由如下： ∵是等边三角形， ∴. 又平面底面，且平面底面， ∴底面. 又底面，∴，即， 又， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴. （2）由（1）可知， ∴直线与平面所成角的正弦值等于直线与平面所成角的正弦值. 连接，由题意可知. 以H为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 不妨设菱形的边长为2， 则易知， . 设平面的一个法向量为， 则即令， 则， ∴， ， ∴直线与平面所成角的正弦值为. 20．【解析】 （1）依题意，圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 设圆的半径为，则有，，因此，， 于是得点的轨迹是以为焦点，长轴长的椭圆，此时，焦距，短半轴长b有：， 所以动圆圆心的轨迹的方程为：. （2）显然直线不垂直于坐标轴，设直线的方程为，， 由消去得：，则，， 点关于轴的对称点，， ，如图， 显然与在3的两侧，即与同号， 于是得 ， 当且仅当，即时取“=”，因此，当时，， 所以面积的最大值. 21．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】 （1）先利用导数的几何意义求出切线，然后令，再利用导数求出的最小值大于等于零即可得结论； （2）不妨设，由于直线与相交于点，由（1）可得，所以只要证即可，即证，构造函数，利用导数求其最小值非负即可 【详解】 证明：（1）由于，则， 又，所以在处的切线方程为， 即， 令，则， 于是当时，； 当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故，即. （2）不妨设，直线与相交于点， 又由（1）知：，则， 从而，当且仅当，时取等号. 下证：. 由于，所以，即证：， 令，则， 当时，； 当，； 所以在上单调递减，在上单调递增； 故，即成立，当且仅当，时取等号. 由于等号成立的条件不能同时满足， 所以. 22．【答案】（1）；；（2）3． 【分析】 （1）曲线参数方程消去参数t，可得到的普通方程，进而将其转化为极坐标方程即可，利用极坐标方程与直角坐标方程间的关系，可将的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）结合曲线、的极坐标方程，可得，设两点所对应的极径分别为，可求得的值，进而可得到的值． 【详解】 曲线的普通方程为， 即极坐标方程为 曲线的直角坐标方程为， 即． 曲线的极坐标方程为，代入， 可得， 则． 【点睛】 求解与极坐标有关的问题的主要方法： （1）直接利用极坐标系求解，可与数形结合思想配合使用； （2）转化为直角坐标系，用直角坐标求解. 23．【答案】（1）最小值是；（2）最小值是. 【分析】 （1）当时，利用绝对值三角不等式即可求解； （2）利用绝对值三角不等式可得的最小值，再利用柯西不等式即可求最值. 【详解】 （1）当时， 易得. （2）由绝对值三角不等式可得：， 均为正实数， ， ， ， 当且仅当，即，时等号成立， 的最小值是. 理科数学2答案 第6页(共6页) 学科网（北京）股份有限公司 $$