宁夏回族自治区银川一中2024届高三下学期考前热身训练理科数学试卷（1）

绝密★启用前 银川一中2024届高三考前适应性训练 理科数学试题(1) 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知复数z满足，则（    ） A． B． C． D． 2．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 3．计算：（    ） A． B． C． D． 4．在区间中随机取2个数，则两数之和小于3的概率为（    ） A． B． C． D． 5．函数的部分图象大致为（    ） A．  B．  C．      D．       6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 7．圆与圆 的公共弦长为（    ） A． B． C． D． 8．位于灯塔处正西方向相距海里的处有一艘甲船燃油耗尽，需要海上加油．位于 灯塔处北偏东30°方向有一艘乙船（在处），乙船与甲船（在处）相距海里， 乙船为了尽快给甲船进行海上加油，则乙船航行的最佳方向是（    ） A．西偏南15° B．西偏南30° C．南偏西45° D．南偏西65° 9．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个 容量为且支出在元的样本，其频率分布直方图如 图所示，则下列说法正确的是（    ） A．估计众数为 B．估计中位数是 C．估计平均数为 D．支出在的频率为 10．学校将从4男4名女中选出4人分别担任辩论赛中的一、二、三、四辩手，其中男生甲不适合担任一辩手，女生乙不适合担任四辩手．要求甲乙同时入选或同时不入选．不同组队形式有（   ）种． A．480 B．360 C．570 D．540 11．已知双曲线的左､右焦点分别是，实轴左顶点是，虚轴上顶点是，若成等比数列，则双曲线的离心率（    ） A． B． C． D． 12．中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，经验表明，某种绿茶用90℃的水泡制，再等到茶水温度降至60℃时饮用，可以产生极佳口感；在20℃室温下，茶水温度从90℃开始，经过tmin后的温度为，可选择函数来近似地刻画茶水温度随时间变化的规律，则在上述条件下，该种绿茶茶水达到最佳饮用口感时，需要放置的时间最接近的是（    ） （参考数据：） A． B． C．6min D． 二、填空题：本小题共4小题，每小题5分，共20分. 13．已知命题：，，则为 ． 14．已知向量满足，则 15．已知两条直线m，n，两个平面α，β，给出下列四个说法： ①m∥n，m⊥α⇒n⊥α； ②α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n； ③m⊥n，m∥α⇒n∥α； ④α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β. 其中正确说法的序号是 . 16． 若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于轴对称，则的最小正值是 ． 3、 解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分 17．(12分) 已知数列. (1)求； (2)令为数列的前项和，求. 18．(12分) 2024年2月17日晚八点，中华人民共和国第十四届冬季运动会开幕式在内蒙古冰上运动训练中心举行，开幕式以“燃情冰雪 筑梦北疆”为主题，全程共80分钟，分为开幕仪式和文体展演两部分.开幕式融合“简约､安全､精彩”的办赛要求，整场参与表演的演员仅有约800人，通过数字技术并结合利用AR虚拟视效，将内蒙古大地的“豪情､豪迈､豪放”呈现给全国人民.多首耳熟能详的内蒙古优秀歌曲，以及那达慕､安代舞､马头琴等民俗､歌舞､器乐等表演元素，都将在开幕式上呈现.文体展演之后，进行了“十四冬”主火炬点火仪式.某调查小组随机调查了某社区100人观看第十四届冬季运动会开幕式的情况，得到如下所示的2列联表. 看开幕式 未看开幕式 合计 男 55 10 65 女 15 20 35 合计 70 30 100 (1)计算并判断是否有的把握认为是否观看第十四届冬季运动会开幕式与性别有关系？ (2)文科：为了做好开幕式的宣传和报道，扩大活动的影响力，继续从未观看开幕式居民中采取分层抽样的方法抽取6人进行运动会志愿者培训，最后从这6人中选2人为运动会志愿者，求志愿者至少一人是男性的概率. (2)理科：为了做好开幕式的宣传和报道，扩大活动的影响力，继续从未观看开幕式居民中采取分层抽样的方法抽取6人进行运动会志愿者培训，最后从这6人中任选2人为运动会志愿者，求志愿者中男性人数X的分布列及其数学期望. 附表及公式： 0.05 0.010 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 其中. 19．(12分) 如图，在多面体中，四边形为菱形，平面 平面，平面平面是等腰直角三角形， 且. (1)证明：平面平面； (2)若，求平面与平面所成锐二面角的余弦 值的取值范围. 20．(12分) 已知两个定点，，动点满足直线与直线的斜率之积为定值（）. (1)求动点的轨迹方程，并说明随变化时，方程所表示的曲线的形状； (2)若，设不经过原点的直线与曲线相交于，两点，直线，，的斜率分别为，，（其中），若，，恰好构成等比数列，求的值． 21．(12分) 已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)当时（为大于0的常数），求的最大值； (3)若当时，不等式恒成立，求的取值范围． （二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．[选修4－4：坐标系与参数方程] 在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为（为参数，为常数），以坐标原点.为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为：. (1)求直线恒过的定点的坐标，以及圆在平面直角坐标系下的标准方程； (2)若直线与圆交于两点，且为等腰直角三角形，求的值. 23．[选修4-5：不等式选讲] 已知． (1)设函数，若函数与的图象无公共点，求m的取值范围； (2)令的最小值为T．若，证明：． 试卷第1页，共3页 理科数学试卷 第1页(共3页) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 银川一中2024届考前适应性训练数学(理科)参考答案 1．【答案】A 【分析】运用复数的运算规律直接求解. 【详解】因为，所以，所以.故选：A 2．【答案】D 【分析】解一元二次不等式求集合B，再根据交集的概念计算即可. 【详解】由，解之得，即， 则，故选：D． 3．【答案】A 【分析】只需要通过诱导公式、两角和差公式即可得到答案. 【详解】， 故选：A. 4．【答案】C 【分析】利用记两个数为，有，作出图形可求概率. 【详解】记两个数为，有，作出图形如图所示： 由几何概型可知所求概率为. 故选：C. 5．【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性判断即可. 【详解】设，则， 所以为奇函数， 设，可知为偶函数， 所以为奇函数，则B，C错误， 易知，所以A正确，D错误． 故选：A. 6．【答案】A 【分析】通过三视图画出直观图，得到半 圆柱和半圆锥的组合体图，从而利用体 积公式计算得到结果. 【详解】根据给定的几何体的三视图可知， 该几何体的左侧是一个底面半径为2，母 线长为4的半圆柱，右侧是一个底面半径为2，高为2的半圆锥，如图： 所以该几何体的体积为.故选：A. 7．【答案】D 【分析】先求出两圆的公共弦所在直线的方程，再求出圆心到公共弦的距离，由弦长即可求出两圆的公共弦长. 【详解】由，作差 得两圆的公共弦所在直线的方程为． 由，得． 所以圆心，半径， 则圆心到公共弦的距离． 所以两圆的公共弦长为．故选：D． 8．【答案】A 【分析】运用正弦定理求出即可. 【详解】如图， ，由正弦定理得， 解得．因为，所以，因为， 所以乙船航行的最佳方向为西偏南. 故选：A. 9．【答案】B 【分析】根据频率分布直方图的性质特征逐个选项求解判断即可. 【详解】由频率分布直方图可知， 支出在对应矩形最高，所以估计众数为，A错； 支出在的频率为，D错； 前两个矩形面积之和是， 故将第三个矩形分成即可， 所以中位数是，B正确； 平均数为，C错. 故选：B 10．【答案】C 【分析】甲乙同时入选时，按甲担任四辩手或担任二、三辩手分类求解，甲乙同时不入选时，直接从6人中选4人排列即可得，结合分类加法原理计算． 【详解】甲乙同时入选时，按甲担任四辩手或担任二、三辩手分类求解，甲乙同时不入选时，直接从6人中选4人排列即可得． 因此所求方法数为， 故选：C． 11．【答案】C 【分析】根据成等比数列，得， 即，再根据双曲线的离心率公式即可得解. 【详解】， 若成等比数列，则， 即，得，即，即， 两边同除得，又，得. 故选：C. 12．【答案】B 【分析】令，则，两边同时取对将代入即可得出答案. 【详解】由题可知，函数， 令，则， 两边同时取对可得：，即， 即. 故选：B. 13．【答案】 【分析】根据特称命题的否定为全称命题判断即可. 【详解】由特称命题的否定为全称命题可得为. 故答案为： 14．【答案】 【分析】根据模长公式可得，即可由模长求解 【详解】可得， 故， 故答案为： 15．【答案】①④ 【分析】利用直线的平行移动，不改变该直线与另外直线或平面所成的角的大小，再结合空间线面关系的相关判定和性质定理来论证. 【详解】①可由直线平行移动，它与另外直线或平面所成的角是不变的性质可推证是正确的； ②根据两个平面平行的定义，可知分别在两平面内的直线一定是无公共点，这样就可知m与n平行或异面，所以②错误； ③中由m⊥n，m∥α，可知n∥α或n⊂α或n与α相交，故③错误； ④可先由m∥n，m⊥α⇒n⊥α，再由α∥β可得n⊥β，故④正确. 故正确的序号是：①④． 16．【答案】/ 【分析】根据图像平移可得平移后的解析式为，即可根据奇偶性求解. 【详解】由题意可得平移后所得函数的解析式为，由于为偶函数，所以,故, ，最小正值为． 故答案为： 17．【答案】(1) (2). 【分析】（1）利用得到，再用两式相减可得，由于此时，所以需要对第一项和第二项进行检验，，最后可判断是等比数列，并求出通项； （2）先求出，再利用错位相减法来求出它的前项和. 【详解】（1）由， 所以当时，有，两式相减得：， 即. 又有， 所以是以为首项，公比为2的等比数列，所以. （2）由（1）知：， 所以， 则， 上面两式相减得：， 所以. 18．【答案】(1)，有的把握认为观看第十四届冬季运动会开幕式与性别有关系. (2) 【分析】（1）先计算的值，再根据独立性检验公式，即可得出答案； （2）根据已知条件，结合分层抽样的定义，以及古典概率的计算公式，即可求解. 【详解】（1）依题意知，， 故有的把握认为观看第十四届冬季运动会开幕式与性别有关系. （2）由分层抽样知抽男性2人，分别是，女性4人，分别是， 则任意2人选为志愿者的可能性有共15种. 设至少一人是男性为事件，其可能性有共9种， 所以. 19．【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，连接，由已知可证，，进而可得为平行四边形，可得，可证平面，进而可得平面，可证结论. （2）以点为原点，所在直线为轴，过平行于的直线为轴，在平面内垂直于的直线为轴，建立空间直角坐标系，求得平面平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，利用向量法可得，利用换元法可求锐二面角的余弦值的取值范围. 【详解】（1）如图，取的中点，连接. 因为是等腰直角三角形，故，平面平面， 平面平面， 所以平面. 同理，平面. 所以. 又和是等腰直角三角形，四边形为菱形，所以， 四边形为平行四边形，所以， 平面，平面，所以平面， 又因为，平面，平面，所以平面， 又，平面， 所以平面平面. （2）如图，以点为原点，所在直线为轴，过平行于 的直线为轴， 在平面内垂直于的直线为轴，建立空间直角坐标系. 设， 则. 所以. 设平面的一个法向量为， 则， 令，得，所以. 设平面的一个法向量为， 则， 令，得，所以. 所以. 设，则， 所以在上单调递减，所以， 所以， 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值的取值范围是. 20．【答案】(1)答案见解析. (2) 【分析】（1）由斜率之积表示出轨迹方程，再对m分类讨论确定曲线的类型即可. （2）设出直线方程，联立曲线表示出韦达定理，再由斜率关系构成等比数列求出即可. 【详解】（1）设动点，依题意有 ， 整理，得， ∴动点M的轨迹方程为：, 时，轨迹是焦点在x轴上的椭圆， 时，轨迹是圆， 时，轨迹是焦点在y轴上的椭圆， 且点不在曲线上． （2）由题意可知，斜率一定存在且不为零， 设直线方程为，， 联立，得， ， ， 因为，，恰好构成等比数列， 所以，即 代入韦达定理化简可得， 因为，所以. 21．【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为 (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）求导，利用导数求原函数的单调区间； （2）分和两种情况，结合（1）中的单调性求函数最值； （3）构建，分析可知在上单调递减，可得在上恒成立，结合函数单调性分析求解. 【详解】（1）由题意可知：的定义域为，且， 令，解得；令，解得； 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为． （2）由（1）可知：函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 当时，，所以； 当时，在上单调递减，所以． （3）当时，不等式， 即恒成立， 令，则，可知在上单调递减， 可得，即恒成立， 易知在内单调递减，所以， 可得， 所以的取值范围为. 22．【答案】(1)定点， (2) 【分析】（1）由直线的参数方程，消去参数求解；由求得圆的普通方程； （2）由为等腰直角三角形，得到圆心到直线的距离为2，再利用点到直线的距离求解. 【详解】（1）解：直线的参数方程为， 转化为普通方程为， 所以该直线恒过定点 曲线的极坐标方程为， 由得， 故圆在平面直角坐标系下的标准方程为; （2）由（1）可得圆的圆心坐标为，半径为， 因为直线与圆交于两点，所以， 因为为等腰直角三角形，所以圆心到直线的距离为2， 因为直线的方程为，转化为一般式， 由点到直线的距离公式可得， 解得. 23．【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）分段去绝对值符号，并探讨函数的单调性，再结合一元二次方程无解即可得解. （2）由（1）求出，再利用差值比较法证明不等式即可. 【详解】（1）依题意，，函数在上递减，在上递增， 函数是开口向下，对称轴为的抛物线，函数与的图象无公共点， 当且仅当方程在时无解，即在时无解， 因此在时无解，而， 当时，， 则当时，在时无解， 所以的取值范围是. （2）由（1）知，函数的最小值， ，当且仅当时等号成立， 所以. 试卷第1页，共3页 理科数学试卷答案 第1页(共3页) 学科网（北京）股份有限公司 $$