2024年广东省惠州市惠阳区初中毕业生学业水平综合测试数学试题（二模）

2024年惠阳区初中毕业学业水平模拟考试（二） 数学 说明：本试卷共6页，答题卡共4页，满分120分，考试时间：120分钟 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. -2024的倒数是（ ） A.-2024 B.2024 C. D. 2. 今年春节电影《热辣滚烫》、《飞驰人生2》《熊出没 逆转时空》《第二十条》在网络上持续引发热议，根据国家电影局2月18日发布数据，我国2024年春节档电影票房达80.16亿元，创造了新的春节档票房纪录，其中数据80.16亿元用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 随着我国的发展与强大，中国文化与世界各国文化的交流与融合进一步加强。为了增进世界各国人民对中国语言和文化的理解，在世界各国建立孔子学院，推广汉语，传播中华文化。同时，各国学校之间的交流活动也逐年增加。在与国际友好学校交流活动中，小敏打算制作一个正方体礼盒送给外国朋友，每个面上分别书写一种中华传统美德，一共有“仁、义、礼、智、信、孝”六个字。如图是她设计的礼盒平面展开图，那么“礼”字对面的字是（ ） （3题图） （4题图） A.仁 B.义 C.智 D.信 4. 如图，AB∥CD，BC∥EF。若∠1=58°，则∠2的大小为（ ） A.120° B.122° C.132° D.148° 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，点（3,2）关于x轴对称的点的坐标为（ ） A.（-3,2） B.（-2,3） C.（2，-3） D.（3，-2） 7. 将抛物线先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到的抛物线的关系式是（ ） A. B. C. D. 8. 照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离。已知f，v，则u=（ ） A. B. C. D. 9. 如图，教师内地面有个倾斜的畚箕，箕面AB与水平地面的夹角∠CAB为61°，小明将它扶起（将畚箕绕点A顺时针旋转）后平放在地面。箕面AB绕点A旋转的度数为（ ） 题9图 题10图 A.119° B.120° C.61° D.121° 10. 如图，扇形纸片AOB的半径为3，沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在上的点C处，图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解：= 。 12. 若，则= 。 13. 甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练，他们成绩的平均数相同，方差如下：，则成绩最稳定的是 同学。 14. 根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强p（Pa）是它的受力面积的反比例函数，其函数图象如图所示。当S=0.25时，该物体承受的压强p的值为 Pa。 （题14图） （题15图） （题16图） 15. 一副三角板如图叠放在一起，则图中∠α的度数是 。 16. 如图，的半径为4，圆心M的坐标为（6,8），点P是上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点。若点A、点B关于原点O对称，则当AB取最大值时，点A的坐标为 。 三、解答题（一）（本大题共3小题，第17题8分，第18题6分，第19题7分，共21分） 17. （1）计算： （2）解不等式： 18. 教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准（2022年版），将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来。某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购菜苗开展种植活动。据了解，市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的倍，用300元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆。求菜苗基地每捆A种菜苗的价格。 19. 已知：如图，在矩形ABCD中，E是边CD上的点，连接AE。 （1）尺规作图，以BC为边，C为顶点作∠BCF=∠DAE，CF交线段AB于点F。（要求：基本作图，保留作图痕迹，不写作法，不下结论）。 （2）求证：四边形AFCE为平行四边形。 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 20. 5月30日是全国科技工作者日，某校准备举办“走进科技英雄，讲好中国故事”的主题比赛活动。八年级（一）班三名同学在班上进行初赛，推荐排名前两位的同学参加学校决赛。 （1）请写出在班上初赛时，这三名同学讲故事顺序的所有可能结果； （2）若、两名同学参加学校决赛，学校制作了编号为A、B、C的3张卡片（如图，除编号和内容外，其余完全相同)，放在一个不透明的盒子里.先由随机摸取1张卡片记下编号，然后放回，再由随机摸取1张卡片记下编号，根据摸取的卡片内容讲述相关英雄的故事.求两人恰好讲述同一名科技英雄故事的概率（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程)。 21. 视力表对我们来说并不陌生，它蕴含着一定的数学知识。下面我们以标准对数视力表为例，来探索视力表中的奥秘.用硬纸板复制视力表中所对应的“E”，并依次编号为①，②，放在水平桌面上。如图所示，将②号“E ”沿水平桌面向右移动，直至从观测点O看去，对应顶点在一条直线上为止。这时我们说，在处用①号“E”测得的视力与在D2处用②号“E”测得的视力相同。 (1)探究图中之间的关系，请说明理由； (2)若=3.2cm，b2＝2cm，①号“E”的测量距离＝80cm，要使测得的视力相同，求②号“E”的测量距离。 22. 综合与实践 素材一：某款遮阳棚（题22-1图），题22-2图、题22-3图是它的侧面示意图，点A、C为墙壁上的固定点，摇臂CB绕点C旋转过程中长度保持不变，遮阳棚AB可自由伸缩，棚面始终保持平整。CA=CB=CD=1.5米。 素材二：该地区某天不同时刻太阳光线与地面的夹角α的正切值： 时刻（时） 12 13 14 15 角α的正切值 5 2.5 1.25 1 【问题解决】 （1）如题22-2图，当∠ACB=90°时，这天12时在点E位置摆放的绿萝刚好不被阳光照射到，求绿萝摆放位置与墙壁的距离； （2）如题22-3图，旋转摇臂CB，使得点B离墙壁距离为1.2米，为使绿萝在这天12时-14时都不被阳光照射到，则绿萝摆放位置与墙壁的最远距离是多少？ 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 23. 综合探究 如图，已知AB=10，以AB为直径作半圆O，半径OA绕点O顺时针旋转得到OC，点A的对应点为C，当点C与点B重合时停止。连接BC并延长到点D，使得CD=BC，过点D作DE⊥AB于点E，连接AD，AC。 （1）如图1，当点E与点O重合时，判断△ABD的形状，并说明理由； （2）如图2，当OE=1时，求BC的长； （3）如图3，若点P是线段AD上一点，连接PC，当PC与半圆O相切时，判断直线PC与AD的位置关系，并说明理由。 24. 综合应用 某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究型抛物线图象。发现，如图1所示，该类型图象上任意一点M到定点F的距离MF，始终等于它到定直线的距离MN（该结论不需要证明）。他们称：顶点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，叫做抛物线的准线方程。其中原点O为FH的中点，FH=2OF=。例如：抛物线，其焦点坐标为F，准线方程为。其中MF=MN，FH=2OH=1。 【基础训练】 （1）请分别直接写出抛物线的焦点坐标和准线l的方程： ， 。 【技能训练】 （2）如图2所示，已知抛物线上一点P到准线l的距离为6，求点P的坐标。 【能力提升】 如图3所示，已知过抛物线的焦点F的直线依次交抛物线及准线l于点A，B，C，若BC=2BF，AF=4，求a的值。 【拓展升华】 （4）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点C将一条线段AB分为两段AC和CB，使得其中较长一段AC是全线段AB与另一段CB的比例中项，即满足。后人把这个数成为“黄金分割”数，把点C称为线段AB的黄金分割点。如图4所示，抛物线的焦点F（0,1），准线l与y轴交于点H（0，-1），E为线段HF的黄金分割点，M为y轴左侧的抛物线上一点。当时，请直接写出△HME的面积值。 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1 页 共 5 页 2024 年惠阳区初中毕业生学业水平测试（二） 数学参考答案 一、单选题(本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1-5：CBABD 6-10：DDAAB 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3分，共 18 分） 11．� � − � � 12． � 13． 丁 14． 400 15. 1050 16． （−14,0） 三、解答题（一）（本大题共 3 小题，第 17 题 8 分，第 18 题 6分，第 19 题 7 分，共 21 分） 17．（1）解：原式=−1 + 2 + 1 − 2 × 1 2 ………………………………2分 = 2 − 1 = 1 ………………………………4分 （2）解： 8-（7�-1) >2(3�-2) ………………………………1分 8-7�+1 >6�-4 ………………………………2分 -7�- 6� >-4-8-1 ………………………………3分 -13� >-13 � < 1 ………………………………4分 18．解：设菜苗基地每捆 A种菜苗的价格是 x元，则市场上每捆5 4 �元，……1分 根据题意，列方程得： 300 5 4� + 3 = 300 � ………………………………3分 解得：�=20 ………………………………5分 经检验：�=20是原分式方程的解 答：菜苗基地每捆 A种菜苗的价格是 20元．…………………………6分 (没检验或没答扣 1分) 19．解：图形如图所示，∠BCF为所求 ………………………………3分 (画图 2分，表述 1分) （2）证明：∵四边形 ABCD为矩形， ∴AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD，∠B＝∠D＝900 …………………………4分 在△ADE和△CBF中， ， ∴△ADE≌△CBF（ASA）， ………………………………5分 第 2 页 共 5 页 ∴DE＝BF ∴CD﹣DE＝AB﹣BF，即 CE＝AF ……………………………6分 又∵AB∥CD ∴四边形 AECF为平行四边形 ………………………………7分 四、解答题（二）（本大题共 3 小题，每小题 9 分，共 27 分） 20．（1）解：（1）这三名同学讲故事的顺序有： �1、�2、�3 ； �1、�3 、�2； �2、�1、�3 ； �2、�3 、�1； �3 、�1、�2； �3 、�2、�1； 共 6种等可能的结果； ………………………………4分 （2）根据题意画图如下： 共有 9种等可能的情况数， ………………………………7分 其中�1、�2两人恰好讲述同一名科技英雄故事的有 3种，……………………8分 则�1、�2两人恰好讲述同一名科技英雄故事的概率是 3 9 = 1 3 …………………9分 21.（1）相等， ………………………………1分 理由：∵P1D1∥P2D2， ∴△P1D1O∽△P2D2O， ………………………………3分 ∴ ，即 ＝ ． ………………………………5分 （2）∵ ＝ 且 b1＝3.2cm，b2＝2cm，l1＝80cm， ∴ ， ………………………………6分 解得：l2＝50， ………………………………8分 答：②号“E”的测量距离 l2是 50cm． ………………………………9分 22．解：（1）如图 1 ，过 B 作 BM⊥DE 于 M，则四边形 CDMB是矩形 （未说明四边形 CDMB 是矩形扣 1 分） ∴BM =CD= 1.5，DM = BC=1.5 ………………………………1分 在 Rt△BEM 中，（未说明 90 °或 Rt▲扣 1 分，与上面矩形合起来只扣一分） tan∠BEM = �� �� 即 5= �.� �� ∴EM=0.3 ………………………………2分 ∴DE=DM－EM = 1.5－0.3=1.2 ………………………………3分 答：绿萝摆放位置与墙壁的距离为 1.2m. ………………………………4分 第 3 页 共 5 页 图 1 图 2 （2）如图 2，过 B 作 BF⊥AC 于 F ，过 B 作 BM⊥DE 于 M， 则 DM=BF= 1.2 ∴CF= ��2 − ��2= 1.52 − 1.22=0.9 ∴BM=DF=CD-CF=1.5-0.9=0.6 ………………………………5分 由表格可知，在 12 时－14 时，角α的正切值逐渐减小，即∠BEM 逐渐较小 ∴当 14 时，点 E 最靠近墙角 此时 DE 的长度就是绿萝摆放位置与墙壁的最大距离 ………………………6分 在 Rt△BEM中，（未说明 90 °或 Rt▲扣 1 分） tan∠BEM = �� �� 即 1.25 = �.� �� ∴EM=0.48 ……………………………7分 ∴DE=DM-EM=1.2-0.48=0.72 ………………………8分 答：绿萝摆放位置与墙壁的最大距离为 0.72m ………………………9分 五、解答题（三）（本大题共 2 小题，每小题 12 分，共 24 分） 23．解：（1）△ABD是等边三角形， ………………………………………1分 理由如下：如图 1， ∵AB是圆 O的直径，∴AC⊥BC． 又∵BC＝CD，∴AD＝AB＝10． …………………………2分 ∵点 E与点 O重合， ∴AE＝BE， ∵DE⊥AB， ∴AD＝BD， ……………………………………3分 ∵AD＝AB， ∴AD＝AB＝DB， ……………………………………4分 ∴△ABD是等边三角形； （2）如图 2， ∵AB＝10， ∴AO＝BO＝5， 当点 E在 AO上时， 则 AE＝AO﹣OE＝4，BE＝BO+OE＝6， ………………5分 ∵AD＝10，DE⊥AO， ∴在 Rt△ADE和 Rt△BDE中， 由勾股定理得��2﹣��2 = ��2 ﹣��2 即 102﹣42＝ ��2﹣62，解得 BD＝ 2 30 ， ……………………………………6分 第 4 页 共 5 页 ∴BC＝ 1 2 �� ＝ ； ………………………………7分 当点 E在 OB上时，同理可得 102﹣62＝ ��2﹣42， 解得 BD＝ 4 5， ∴BC＝ 2 5， ………………………………8分 综上所述，BC的长为 30 或 2 5 ； （3）PC⊥AD．理由如下： ………………………………………………9分 如图 3，连接 OC． ∵点 C是 BD的中点，点 O是 AB的中点， ∴OC是△ABD 的中位线， ∴OC∥AD． …………………………10分 又∵PC与半圆 O相切，∴PC⊥OC， ………………11分 ∴PC⊥AD． ………………………………………………12分 24． （1）解：（0， 1 8 ）， � =− 1 8 …………………………………………………2分 （2）解：由题意得抛物线 � = 1 8 �2 的准线方程为 � =− 1 4� = −2 ， ∵点 P到准线 l的距离为 6， ∴点 P的纵坐标为 4， …………………………………………………3分 ∴当 � = 4 时， 1 8 �2= 4 ，解得 4 2x   ， ∴点 P的坐标为（4 2，4）或（ 4 2 ，4 ）………………………………………………4分 （3）解：如图 3所示，过点 B作 BD⊥y轴于 D，过点 A作 AE⊥y轴于 E， 由题意得点 F的坐标为 F（0， 1 4� ）直线 l的解析式为：� =− 1 4� ， ∴ BD AE CH∥ ∥ ，�� = 1 2� ，∴△FDB∽△FHC， ∴ BD FD FB HC FH FC   ， ∵BC=2BF，∴CF=3BF，∴ 1= 3 BD FD FB HC FH FC   ， ∴ 1 6 FD a  ， ………………………………………………5分 ∴ 1 12 OD OF DF a    ，∴点 B的纵坐标为 1 12a， ∴ 21 12 ax a  ，解得 3 6 x a  （负值舍去）， ∴ 3 6 BD a  ， ………………………………………………6分 ∵ AE BD∥ ， ∴△AEF∽△BDF， ∴ 3 AE BD EF DF   ，∴ 3AE EF ， 第 5 页 共 5 页 ∵ 2 2 2AE EF AF  ，∴ 2 24 16EF AF  ，∴EF=2， ∴ AE 2 3 ，∴点 A的坐标为（−2 3 , 2 + 1 4� ）， ………………………………7分 ∴ 12 12 4 a a   ，∴ 248 8 1 0a a   ，∴    12 1 4 1 0a a   ， 解得 1 4 a  （负值舍去）； ………………………………………8分 （4）解：如图 4，当 E为靠近点 F的黄金分割点的时候，过点M作MN⊥l于 N，则MN=MF， ∵在 Rt△MNH中， sin∠MHN= �� �� = �� �� = 2 2 ， ∴∠MHN=45°，∴△MNH是等腰直角三角形， ∴NH=MN， ……………………………………………9分 设点M的坐标为（m，1 4 �2）， ∴ 21 1 4 MN m m HN     ，∴ 2m   ， ∴HN=2， ……………………………………………10分 ∵点 E是靠近点 F的黄金分割点， ∴ 5 1 5 1 2 HE HF   ，∴ 1= 5 1 2HME S HE NH  △ ； 同理当 E时靠近 H的黄金分割点点，EF= 5−1 2 HF= 5-1 ……………………………11分 ∴ 2 5 1 3 5HE      ， ∴�∆��� = 1 2 HE.NH = 3 - 5 综上所述， �∆��� = 2 5-2或 �∆��� = 3 - 5 ………………………………………12分 （图 4）（图 3）