河南省郑州学森实验学校2023-2024学年高二下学期5月月考数学试题

11 学科网（北京）股份有限公司 1 郑州钱学森学校 2023-2024 下学期月考数学试题 本试卷满分 150 分,考试时间 120 分钟 注意事项: 1.答卷前，务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 务必擦净后再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的． 1.下列求导正确的是（ ） A. (cos ) sinx x'  B.  2 2 2 2x ' x   C. 1(ln 2) 2 '  D.  2 22x xe e'  2.若随机变量 1~ 5, 3 X B      ,则 ( 3)P X  等于( ) A. 1 3 B. 3 5 C. 10 27 D. 40 243 3.曲线 ( ) 2e sin 2xf x x   在点 (0, (0))f 处的切线方程为( ) A. 3y x B. 2y x C. y x D. y x  4.为了迎接期中考试,某同学要在 5 月 1 日安排 6 个学科的复习任务,上午安排 3 科,下午安排 2 科,晚上安排 1 科,为了提高学习效率,数学学科的复习时间不安排在早晨第一科,并且语文和英语两科的复习时间不连在一 起(上午最后一节和下午第一节不算连在一起,下午最后一节和晚上也不算连在一起),那么 6 个学科复习的顺 序安排总共有( )种. A.240 B.480 C.540 D.696 5.已知函数 3 2( ) 3 3f x x x   在区间 ( , 6)a a  上存在最小值,则实数a的取值范围为( ) A. 5 ,1 2     B. 32, 2     C.[ 1,2) D.[ 1,1) 6.已知蝗虫的产卵量 y与温度 x的关系可以用模型 21 c xy c e (其中 e 为自然对数的底数)拟合，设 z=lny，其 变换后得到一组数据: 由上表可得经验回归方程 ˆ 0.2z x a  ,则当 40x  时,蝗虫的产卵量 y的估计值为( ) A.3 B.6 C. 3e D. 6e x 20 23 25 27 30 z 2 2.4 3 3 4.6 11 学科网（北京）股份有限公司 2 7．已知偶函数 f(x)在 R 上存在导函数 f′(x)，当 x＞0 时，fx x ＞－f′(x)，且 f(2)＝1，则不等式(x2－x)f(x2 －x)＞2 的解集为( ) A．(－∞，－2)∪(1，＋∞) B．(2，＋∞) C．(－∞，－1)∪(2，＋∞) D．(－1,2) 8.若 ex－ax≥－x＋ln(ax)，则正实数 a的取值范围为( ) A. 0，1 e B．(0，e] C. 1 e ，＋∞ D．(e，＋∞) 二、选择题:本题共 3小题,每小题 6分,共 18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求. 全部选对的得 6分,部分选对的得部分分,有选错的得 0分. 9.下列说法正确的是 A. 在做回归分析时 ,残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越差 B. 某地气象局预报 :6 月 9 日本地降水概率为 90% ,结果这天没下雨 ,这表明天气预报并不科学 C. 回归分析模型中 ,残差平方和越小 ,说明模型的拟合效果越好 D. 在回归直线方程 101.0ˆ  xy 中 ,当解释变量每增加 1 个单位时 ,预报变量多增加 0.1 个单位 10.甲罐中有 5 个红球，5 个白球，乙罐中有 3 个红球，7 个白球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从 乙罐中随机取出一球、 1A表示事件“从甲罐取出的球是红球”， 2A 表示事件“从甲罐取出的球是白球”，B表示 事件“从乙罐取出的球是红球”.则下列结论正确的是（ ） A． 1A、 2A 为对立事件 B．  1 4 11 P B A ∣ C．  1 2 11 P AB  D．    1 2 1P B A P B A ∣ ∣ 11.已知函数 2 1( ) ex x xf x   ，则下列结论正确的是（ ） A.函数 ( )f x 存在二个不同的零点 B.函数 ( )f x 的极大值为 ( 1) ef    ，极小值为 2 5(2) e f  C.若 [ , )x t  时， max 2 5( ) e f x  ，则 t的最大值为 2 D.若方程 ( )f x k 有两个实根，则 2 5( e,0] e k         11 学科网（北京）股份有限公司 3 三、填空题:本题共 3小题,每小题 5分,共 15分. 12.若 2022 2 20220 1 2 2022(1 2 )x a a x a x a x      ，则 20221 2 0 2 20222 2 2 aa aa      ________. 13．阳泉一中高二期中卷有 8 道单选题，小明对其中 5 道题有思路，3 道题完全没思路．有思路的题做对的 概率是 0.9，没思路的题只能猜答案，猜对的概率为 0.25，则小明从这 8 道题中随机抽取 1 道做对的概率为 __________． 14.在正三棱柱 1 1 1ABC ABC 中,若 A点处有一只蚂蚁,随机的沿三棱柱的各棱或各侧面的对角线向相邻的 某个顶点移动,且向每个相邻顶点移动的概率相同均为1 5 ,设蚂蚁移动 n 次还在底面 ABC 内记为��，求蚂蚁移 动 5 次后还在底面 ABC的概率为___________; 四、解答题:本题共 5小题,共 77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13 分）数列 na 的前 n项和为 nS ，且3 2 1n na S  ，在等差数列 nb 中， 4 3 87, 2 35b b b   ． (1)求数列 na 和 nb 的通项公式； (2)若 nn n bc a  ，求数列 nc 的前 n项和 nT ． 16.已知( 2 3x ＋3x2)n的展开式中，各项系数和与它的二项式系数和的比值为 32. (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项． 17.(15 分) 为调查禽类某种病菌感染情况，某养殖场每周都定期抽样检测禽类血液中 A指标的值.养殖场将某周的 5000 只家禽血液样本中 A指标的检测数据进行整理,绘成如下频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图,估计这 5000 只家禽血液样本中 A指标值的中位数(结果精确到 0.01); (2)通过长期调查分析可知，该养殖场家禽血液中 A指标的值 X 服从正态分布  27.4,2.63N . (i)若其中一个养殖棚有 1000 只家禽,估计其中血液 A指标的值不超过 10.03 的家禽数量(结果精确到 1); (ii)在统计学中,把发生概率小于1%的事件称为小概率事件,通常认为小概率事件的发生是不正常的.该养殖 场除定期抽检外,每天还会随机抽检 20 只,若某天发现抽检的 20 只家禽中恰有 3 只血液中 A指标的值大于 12.66,判断这一天该养殖场的家禽健康状况是否正常,并分析说明理由. 11 学科网（北京）股份有限公司 4 参考数据:① 3 170.02275 0.00001,0.97725 0.7  ; ②若  2~ ,X N   ,则 ( ) 0.6827, ( 2 2 ) 0.9545P X P X                 . 18.(17 分) 五一假期后,高二年级篮球赛进入白热化阶段,甲、乙、丙三支种子队在进入半决赛之前不会相遇.他们都需要 在最后一轮小组赛中战胜对手从而进入淘汰赛,然后在淘汰赛中胜出才能进入半决赛.已知甲队在小组赛最 后一轮和淘汰赛中获胜的概率分别为 2 3 和 3 4 ;乙队在最后一轮和淘汰赛中获胜的概率分别为 3 4 和 4 5 ;丙队在 最后一轮和淘汰赛中获胜的概率分别为 p和 3 2 p ,其中 30 4 p  . (1)甲、乙、丙三队中,谁进入半决赛的可能性最大; (2)若甲、乙、丙三队中恰有两队进入半决赛的概率为 37 90 ,求 p的值; (3)在(2)的条件下，设甲、乙、丙三队中进入半决赛的队伍数为 ,求的分布列及期望. 19.(17 分） 已知函数 f(x)＝2eln x x －1(其中 e 为自然对数的底数)，函数 g(x)＝x3＋ax2＋1. (1)求曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)若对∀x1，x2∈[1，e]，不等式 f(x1)≤g(x2)恒成立，求实数 a的取值范围． 11 学科网（北京）股份有限公司 5 数学答案 一、选择题:本题共 8小题,每小题 5分,共 40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的 1.D 2.D 3.C 4.B 5.【答案】C 【详解】由题意得 2( ) 3 6 3 ( 2)f x x x x x     . 当 ( ) 0f x  时,得 0x  或 2x  ,当 ( ) 0f x  时, 0 2x  , 可得函数的单调增区间为 ( ,0),(2, )  .减区间为 (0,2) , 即 2x  时,函数取得极小值 (2) 1f   , 当 3 23 3 1x x    时,即  3 2 21 3 1 ( 1)( 2) 0x x x x       , 解得 1x   或 2x  , 故要使函数 3 2( ) 3 3f x x x   在区间 ( , 6)a a  上存在最小值, 需有 6 2 1 2 a a      ,解得 1 2a   ,即实数a的取值范围为 [ 1,2) 6.答案 D 解析由表格数据知 1 1x (20 23 25 27 30) 25,z (2 2.4 3 3 4.6) 3 5 5               ,代入 0.2Z x a  ,得 3 0.2 25 2, z 0.2 2a x        ,即 0.2 2ln y 0.2 2, y e ,xx     当 40x  时, 6y e . 7.答案 C 解析 令 g(x)＝xf(x)， 由于 f(x)为偶函数，则 g(x)为奇函数， 所以 g′(x)＝f(x)＋xf′(x)． 因为当 x＞0 时，fx x ＞－f′(x)， 11 学科网（北京）股份有限公司 6 即 fx＋xf′x x ＞0， 所以 f(x)＋xf′(x)＞0，即 g′(x)＞0. 所以当 x＞0 时，g(x)在(0，＋∞)上单调递增． 因为 g(x)在 R上为奇函数且在 R上存在导函数，所以 g(x)在 R上为增函数． 因为 f(2)＝1，所以 g(2)＝2f(2)＝2， 又(x2－x)f(x2－x)＞2 等价于 g(x2－x)＞g(2)， 所以 x2－x＞2，解得 x＜－1 或 x＞2. 综上所述，x的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)． 8.答案 B 解析 不等式 ex－ax≥－x＋ln(ax)， 可化为 ex＋x≥eln ax＋ln ax， 设 g(x)＝ex＋x，则 g′(x)＝ex＋1>0， 即 g(x)在 R上是增函数， 而 g(x)≥g(ln ax)，因为 a>0，x>0， 所以 x≥ln ax＝ln a＋ln x， 由已知 ln a≤x－ln x恒成立， 令 f(x)＝x－ln x，则 f′(x)＝1－1 x ， 当 0<x<1 时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当 x>1 时，f′(x)>0，f(x)单调递增， 所以 f(x)≥f(1)＝1，故只需 ln a≤1，即 a≤e. 又 a>0，所以 a的取值范围为(0，e]． 二、选择题:本题共 3小题,每小题 6分,共 18分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求. 全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分. 9.答案 CD 10.答案 ABC 11.【答案】ACD 三、填空题:本题共 3小题，每小题 5分，共 15分 12.答案 0 13. 21 32 14.答案 1562 3125 解析:设蚂蚁移动n次后还在底面 ABC的概率为 nP ,则 1 2 5 P  , 当 2n  时, 1nP  表示第n 1 次在平面ABC的顶点上的概率, 11 nP  表示第n 1 次在平面 1 1ABC 的顶点上的 概率. 11 学科网（北京）股份有限公司 7 由底面走到底面的概率为 2 5 ,由上面走到底面的概率为 3 5 , 所以  1 1 2 3 1 5 5n n n P P P    ,得 1 1 1 1 2 5 2n n P P          ,又 1 1 1 2 10 P    , 所以 1 2n P     是等比数列,首项为 1 10  ,公比为 1 5  . 故 11 1 1 2 10 5 n nP           , 化简得 11 1 1 10 5 2 n nP           ,故 5 1562 3125 P  。 四、解答题:本题共 5小题,共 77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.15．（13 分） 【答案】(1) 13nna  ， 2 1nb n  (2) 1 13 3n n nT     【详解】（1）当 1n  时， 1 1 1 13 2 3 2 1a S a a    ，即 1 1a  ； 当 2n  时，由3 2 1n na S  得 1 13 2 1n na S   ，......................................2 分 则两式相减得  n n n na a S S    1 13 3 2 0，即 13n na a  ， 1 3n n a a   ， 综上可知， na 是首项 1 1a  ，公比 3q  的等比数列， 则 1 1 1 1 1 3 3 n n n na a q       ，即 13nna  .............................................................4 分 设等差数列 nb 的公差为d ，则   4 1 3 8 1 1 3 7 2 2 2 7 35 b b d b b b d b d           ， 即 1 1 3 7 3 16 35 b d b d      ，解得 1 1 2 b d    ， 所以  1 1 2 1nb b n d n     ，即 2 1nb n  .............................................................6 分 故 13nna  ， 2 1nb n  （2）由（1）知， 1 2 1 3 n n n n b nc a     ，............................................................7 分 则 0 1 2 1 1 3 5 2 1 3 3 3 3n n nT        ①， 1 2 3 1 1 3 5 2 1 3 3 3 3 3n n nT      ②，............................................................10 分 ① ②得  0 1 2 1 2 1 2 32 1 3 1 5 3 2 1 3 3 3 3 3 3n n n n n nT             ， 整理得 1 2 1 2 1 1 1 2 11 2 3 3 3 3 3n n n nT             11 学科网（北京）股份有限公司 8  1 1 1 11 2 12 1 1 2 13 31 2 1 1 21 3 3 3 31 3 n n n n n nn n                      ， 即  2 12 2 3 3n n n T    ，所以 1 13 3n n nT     .. ............................................................13 分 16.解 (1)令 x＝1，得展开式中的各项系数和为(1＋3)n＝22n， 又展开式中二项式系数和为 2n. 所以 22n 2n ＝32，解得 n＝5. 因为 n＝5，所以展开式共有 6 项， 所以二项式系数最大的项为第三、四两项， 即 T3＝C25( 2 3x )3(3x2)2＝90x6，T4＝C35( 2 3x )2(3x2)3＝ 22 3270x . (2)设展开式中第 k＋1 项的系数最大， Tk＋1＝Ck5( 2 3x )5－k(3x2)k＝ 10 4 3 53 C k k k x  ， 得 3kCk5≥3k－1Ck－15 ， 3kCk5≥3k＋1Ck＋15 ， 解得 7 2 ≤k≤9 2 ， 因为 k∈N，所以 k＝4， 即展开式中系数最大的项为 T5＝ 10 4 4 4 4 3 53 C x   ＝ 26 3405x . 17.解(1) (0.02 0.06 0.14) 2 0.44 0.5     , 0. 44 0.18 2 0.80 0.5    , 设这 5000 只家禽血液样本中 A指标值的中位数为 x , 则0.44 0.18( 7) 0.5x   , 解得 7.33x  . 估计这 5000 只家禽血液样本中 A指标值的中位数为 7.33. (2)(i) 7.4 2.63 10.03,     1 P( X )( 10.03) ( ) 0.84135, 2 P X P X               1000 ( 10.03) 841.P X  估计其中血液 A指标的值不超过 10.03 的家禽数量为 841. (ii) 12.66 2   , 11 学科网（北京）股份有限公司 9 1 P( 2 X 2 )( 12.66) 0.02275, 2 P X            设“随机抽检的 20 只家禽中恰有 3 只血液中 A指标的值大于 12.66”为事件 B , 则 ( )P B  3 17320 0.02275 0.97725 0.00798 1%C     , 判断这一天该养殖场的家禽健康状况不正常. 18.【解答】解：(1)甲队进入半决赛的概率为 2 3 1 3 4 2   , 乙队进入决赛的概率为 3 4 3 4 5 5   , 丙队进入决赛的概率为 23 3 9 2 4 16 p p p               ,因为 30 4 p  , 所以 3 9 2 16 p p      ,显然乙队进入决赛的概率最大,所以乙进入决赛的可能性最大. (2)因为甲、乙、丙三队中恰有两对进入决赛的概率为 37 90 , 所以有 1 3 3 1 3 3 1 3 3 371 1 1 2 5 2 2 5 2 2 5 2 90 p p p p p p                                                         ,解得 2 3 p  ,或 5 6 p  ,因为 30 4 p  ,所以 2 3 p  . (3)由题意可知：甲、乙、丙三队进入决赛的概率分别为 1 3 5 2 5 9 、 、 , 的可能取值为 0、1、2、3, 1 3 5 4( 0) 1 1 1 , 2 5 9 45 P                  37 1 3 5 1( 2) , ( 3) , 90 2 5 9 6 P P        4 37 1 1( 1) 1 , 45 90 6 3 P        所以的分布列为:  0 1 2 3 P 4 45 1 3 37 90 1 6 4 1 37 1 149( ) 0 1 2 3 45 3 90 6 90 E           。 19. 解 (1)∵f′(x)＝2e1－ln x x2 ，∴f′(1)＝2e， 11 学科网（北京）股份有限公司 10 又 f(1)＝－1， ∴y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为 y＋1＝2e(x－1)，即 2ex－y－2e－1＝0. (2)∵对∀x1，x2∈[1，e]，不等式 f(x1)≤g(x2)恒成立，∴f(x)max≤g(x)min； ∵f′(x)＝2e1－ln x x2 ， ∴当 x∈[1，e]时，f′(x)≥0 恒成立， ∴f(x)在[1，e]上单调递增，∴f(x)max＝f(e)＝1； g′(x)＝3x2＋2ax＝x(3x＋2a)，令 g′(x)＝0， 解得 x＝0 或 x＝－2a 3 ； ①当－ 2a 3 ≤1，即 a≥－3 2 时， g′(x)≥0 在[1，e]上恒成立， ∴g(x)在[1，e]上单调递增， ∴g(x)min＝g(1)＝2＋a， 由 f(x)max≤g(x)min 得 1≤2＋a，解得 a≥－1； ②当 1<－2a 3 <e，即－3e 2 <a<－3 2 时， 若 x∈ 1，－2a 3 ，则 g′(x)<0， 若 x∈ － 2a 3 ，e ，则 g′(x)>0， ∴g(x)在 1，－2a 3 上单调递减，在 － 2a 3 ，e 上单调递增， ∴g(x)min＝g － 2a 3 ＝4a 3 27 ＋1<1，不满足 f(x)max≤g(x)min； ③当－ 2a 3 ≥e，即 a≤－3e 2 时， g′(x)≤0 在[1，e]上恒成立， ∴g(x)在[1，e]上单调递减， ∴g(x)min＝g(e)＝e3＋ae2＋1， 由 f(x)max≤g(x)min 得 1≤e3＋ae2＋1， 解得 a≥－e(舍)． 综上所述，实数 a的取值范围为[－1，＋∞)．