期末高频考点：正比例(讲义)-2023-2024学年六年级下册数学北师大版

正比例 【知识精讲+典型例题+高频真题】 第一部分 知识精讲 知识清单 方法技巧 1．正比例和反比例的意义 【知识点归纳】 1．正比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系．如果用字母x和y表示这两种相关联的量，用k表示它们的比值（一定），正比例关系可以用式子表示为：＝k（一定）． 2．反比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系．如果用字母x和y表示这两种相关联的量，用k表示它们的乘积（一定），反比例的关系可以表示为：xy＝k（一定）． 2．正比例 【知识点归纳】 正比例，简称正比，是指两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个数比值（或者说商）一定，这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系。 3．辨识成正比例的量与成反比例的量 【知识点归纳】 1．成正比例的量： （1）“变化方向”相同，一种量扩大或缩小，另一种量也扩大或缩小． （2）相对应的两个数的比值（商）一定． （3）关系式：＝k（一定）． 2．成反比例的量： （1）“变化方向”相反，一种量扩大或缩小，另一种量反而缩小或扩大． （2）相对应的两个数的乘积一定． （3）关系式：xy＝k（一定）． 3．判断方法：关键是看着两种相关量中相对应的两个数是商一定还是积一定，如果商一定，就成正比例；如果积一定，就成反比例． 4．复式折线统计图 【知识点归纳】 1．定义：用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后用线段把各点顺次连接起来． 折线统计图不但可以表示项目的具体数量，又能清楚地反映事物变化的情况． 2．折线图特点：易于显示数据的变化的规律和趋势．可以用来作股市的跌涨和统计气温． 3．作用： 复式折线统计图一般用于两者之间比较，主要作用还是看两者之间的工作进度和增长． 折线统计图分单式或复式．复式的折线统计图有图例，用不同颜色或形状的线条区别开来． 4．区别： 与单式折线统计图相差最大的是多了一条线，和第二个单位，但仍然能看出他的上升趋势． 5．统计图表的填补 【知识点归纳】 1．读懂统计图或者表． 2．将文字和统计量结合起来，根据问题进行计算，一般都是总和是100%，已知几个分量求剩下一个量的值或者已知数量算所占百分比或者根据百分比算数量． 第二部分 典型例题 买同一本书的本数与所付书费为： 书/本 0 1 2 3 4 5 6 …… 书费/元 0 7 14 21 （1）把表补充完整，所付书费与买的本数成 　正　（选填“正”或“反”）比例。 （2）先根据上表描点，再顺次连接各点，我发现了 　各点都在同一条直线上　。 （3）点（8，56）　在　（选填“在”或“不在”）这条直线上，这一点表示 　买8本书花56元　。 【考点】辨识成正比例的量与成反比例的量；统计图表的填补；正比例和反比例的意义． 【专题】数据分析观念． 【答案】（1） 书/本 0 1 2 3 4 5 6 …… 书费/元 0 7 14 21 28 35 42 正； （2） 各点都在通一条直线上。（答案不唯一） （3）在；8本书花56元（答案不唯一）。 【分析】（1）根据所付书费与买的本数之间的关系完成统计表，再判断所付书费与买的本数成什么比例； （2）根据表中数据先在关系图中描出各点，再连线，然后说出自己的发现； （3）根据单价、总价和数量之间的关系，判断点（8，56）在不在这条直线上，并解释其意义。 【解答】解：（1） 书/本 0 1 2 3 4 5 6 …… 书费/元 0 7 14 21 28 35 42 7÷1＝14÷2＝21÷3＝28÷4＝35÷5＝42÷6＝……＝7，所以所付书费与买的本数成正比例； （2） 我的发现：各点都在通一条直线上。“”（说法不唯一） （3）56÷8＝7，所以点点（8，56）在这条直线上，这一点表示买8本书花56元。 故答案为：正；各点都在通一条直线上；在；8本书花56元（说法不唯一）。 【点评】本题考查了从统计表及关系图中读出信息、分析数据、解决问题的能力。 第三部分 高频真题 一．选择题（共5小题） 1．正比例图象是一条（　　） A．线段 B．曲线 C．直线 D．折线 2．如图中，表示正比例图象的是（　　） A． B． C． D． 3．下面各选项中，两个量成正比例的是（　　） A．互为倒数的两个数。 B．时间一定，每分打字个数和打字总个数。 C．两个互相啮合的齿轮，齿轮的齿数与转数。 D．圆锥的体积一定，它的底面积和高。 4．下面几组相关量中，成正比例的是（　　） A．正方形的边长与它的周长。 B．圆锥的体积与它的底面积。 C．小红的年龄与她的身高。 D．读一本书，已读的页数与未读的页数。 5．下列选项中，两个量不成正比例的是（　　） A．圆锥的底面积一定，高和体积。 B．一根铁丝，用去部分和剩下部分。 C．单价一定，总价和数量。 D．速度不变，路程和时间。 二．填空题（共5小题） 6．如表，如果a和b成正比例，x为 　 　。 a 60 x b 15 50 7．把地面15千米的距离用3厘米画在地图上，这幅地图的比例尺是 　 　；在这幅地图上，图上8cm的距离对应的实际距离是 　 　km。 8．小刚骑行的基本信息如图。根据图象显示，小刚骑行的 　 　和时间成正比例。看图可知，他骑行3千米，需要 　 　分钟。 9．图像表示斑马和长颈鹿的奔跑情况。 （1）长颈鹿的奔跑路程与奔跑时间成 　 　比例关系。 （2）从图上看，斑马比长颈鹿跑得 　 　（填“快”或“慢”）。 10．有一种花布，如图反映了购买的米数和应付钱数的关系。 （1）由图可见，购买米数和应付的钱数成 　 　比例。 （2）从图中可知，24元可买 　 　米布，买8米布应付 　 　元。 三．判断题（共3小题） 11．圆的面积和半径成正比例．　 　 12．圆的周长和半径成正比例． 　 　 13．订阅《湛江日报》的人数和总钱数成正比例。 　 　 四．操作题（共2小题） 14．如图图象表示长颈鹿的奔跑情况，请回答下面问题： （1）完成表： 时间/分 5 10 15 20 25 30 路程/千米 （2）不计算，根据图象估计一下，长颈鹿跑10km，大约要　 　分钟． （3）长颈鹿奔跑的路程和时间是否成比例？成什么比例？　 　． 15．（1）小红跑完全程用了　 　分． 时间（分） 1 2 3 4 5 6 路程（米） 200 400 600 800 1000 1200 （2）小红跑到终点，所用时间与路程有如下关系．路程与时间成什么比例关系，并说明理由在图上描出各点并顺次连接各点． （3）小红每分钟跑　 　米． 正比例 参考答案与试题解析 一．选择题（共5小题） 1．正比例图象是一条（　　） A．线段 B．曲线 C．直线 D．折线 【考点】正比例和反比例的意义． 【专题】空间观念． 【答案】C 【分析】两种相关联的量中相对应的两个数的商一定，就成正比例关系，正比例的图象是一条过原点的直线。 【解答】解：正比例的图象是一条直线。 故选：C。 【点评】本题考查正比例的意义及图象的特点，属于基础题。 2．如图中，表示正比例图象的是（　　） A． B． C． D． 【考点】正比例． 【专题】几何直观． 【答案】B 【分析】根据正比例的意义是：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫作成正比例的量，它们之间的关系就是正比例关系，由此可知，正比例的图象是过原点的一条射线，据此解答。 【解答】解；根据正比例图象的特点可知，图B符合正比例图象的特点，所以图B是正比例图象。 故选：B。 【点评】此题考查的目的是理解掌握正比例的意义以及正比例图象的特点。 3．下面各选项中，两个量成正比例的是（　　） A．互为倒数的两个数。 B．时间一定，每分打字个数和打字总个数。 C．两个互相啮合的齿轮，齿轮的齿数与转数。 D．圆锥的体积一定，它的底面积和高。 【考点】辨识成正比例的量与成反比例的量． 【专题】应用意识． 【答案】B 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两种量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，就成反比例，如果是其它的量一定或乘积、比值不一定，就不成比例。 【解答】解：A．互为倒数的两个数的乘积为1，如a×b＝1，a和b的乘积一定，则互为倒数的两个数成反比例关系； B．根据打字的总个数÷每分打字的个数＝打字的时间（一定），则每分打字个数和打字总个数成正比例关系； C．齿轮的齿数×转数＝转过的总齿数（一定），所以齿轮的转数与齿数成反比例关系； D．圆锥的体积＝×底面积×高，即圆锥的体积（一定）×3＝底面积×高，则圆锥的底面积和高成反比例关系。 故选：B。 【点评】此题属于根据正、反比例的意义，辨识两种相关联的量是否成反比例，就看这两种量是否是对应的乘积一定，据此解答即可。 4．下面几组相关量中，成正比例的是（　　） A．正方形的边长与它的周长。 B．圆锥的体积与它的底面积。 C．小红的年龄与她的身高。 D．读一本书，已读的页数与未读的页数。 【考点】辨识成正比例的量与成反比例的量． 【专题】应用意识． 【答案】A 【分析】两种相关联的量，如果它们的比值一定，这两种量成正比例关系。据此判断。 【解答】解：A．正方形的周长÷正方形的边长＝4（一定），比值一定，正方形的边长与它的周长成正比例。 B．圆锥的体积÷它的底面积＝×高（不一定），也就是圆锥的体积与它的底面积的比值不一定，所以圆锥的体积与它的底面积不成比例。 C．人的年龄和身高对应的比值或乘积都不一定，所以小红的年龄与她的身高不成比例。 D．已读的页数+未读的页数＝这本书的总页数（一定），和一定，所以已读的页数与未读的页数不成比例。 故选：A。 【点评】两种相关联的量，若其比值一定，两种量成正比例；若其乘积一定，两种量成反比例；若既不是比值一定也不是乘积一定，则两种量不成比例。 5．下列选项中，两个量不成正比例的是（　　） A．圆锥的底面积一定，高和体积。 B．一根铁丝，用去部分和剩下部分。 C．单价一定，总价和数量。 D．速度不变，路程和时间。 【考点】辨识成正比例的量与成反比例的量． 【专题】应用意识． 【答案】B 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值（商）一定，还是对应的乘积一定，如果是比值（商）一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。据此对题目中的四个选项逐一分析即可。 【解答】解：A.由V＝sh可知，＝s（一定），即高和体积的比值一定，所以高和体积成正比例，不符合题意； B.用去的部分+剩下的部分＝铁丝的总长度（一定），和一定，所以用去部分和剩下部分不成比例，符合题意； C.总价÷数量＝单价（一定），商一定，所以总价和数量成正比例，不符合题意； D.路程÷时间＝速度（一定），商一定，所以路程和时间成正比例，不符合题意； 故选：B。 【点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值（商）一定，还是对应的乘积一定，再作判断。 二．填空题（共5小题） 6．如表，如果a和b成正比例，x为 　200　。 a 60 x b 15 50 【考点】正比例和反比例的意义． 【答案】200。 【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系，据此关系求出60与15的比值，再利用50乘一定的比值即可。 【解答】解：（60÷15）×50 ＝4×50 ＝200 因此x的值是200。 故答案为：200。 【点评】本题考查了正比例的意义及应用。 7．把地面15千米的距离用3厘米画在地图上，这幅地图的比例尺是 　1：500000　；在这幅地图上，图上8cm的距离对应的实际距离是 　40　km。 【考点】辨识成正比例的量与成反比例的量． 【专题】应用意识． 【答案】见试题解答内容 【分析】比例尺＝图上距离：实际距离；根据实际距离＝图上距离÷比例尺，据此列式解答即可。 【解答】解：15千米＝1500000厘米 这幅地图的比例尺是3：1500000＝1：500000 8÷＝4000000（厘米） 4000000cm＝40km 答：这幅地图的比例尺是1：500000，对应的实际距离是40km。 故答案为：1：500000，40。 【点评】熟练掌握比例尺、图上距离、实际距离的关系是解题的关键。 8．小刚骑行的基本信息如图。根据图象显示，小刚骑行的 　路程　和时间成正比例。看图可知，他骑行3千米，需要 　9　分钟。 【考点】辨识成正比例的量与成反比例的量． 【专题】运算能力；应用意识． 【答案】路程，9。 【分析】根据图象显示，图象是一条从原点引发的一条射线，因此小刚骑行的路程和时间成正比例；看图可知骑行的速度是米/分，他骑行3千米，需要的时间就用“路程÷速度＝时间”解答即可。 【解答】解：根据图象显示，小刚骑行的路程和时间成正比例。 根据图象显示，行1000米需要3分钟，速度是：1000÷3＝（米/分）。 3千米＝3000米 3000＝9（分） 答：小刚骑行的路程和时间成正比例。他骑行3千米，需要9分钟。 故答案为：路程，9。 【点评】本题考查利用图象理解正比例的关系的应用，结合题意分析解答即可。 9．图像表示斑马和长颈鹿的奔跑情况。 （1）长颈鹿的奔跑路程与奔跑时间成 　正　比例关系。 （2）从图上看，斑马比长颈鹿跑得 　快　（填“快”或“慢”）。 【考点】辨识成正比例的量与成反比例的量；复式折线统计图． 【专题】数据分析观念． 【答案】（1）正；（2）快。 【分析】（1）长颈鹿的奔跑路程与奔跑时间之间的关系图像是一条直线，可知长颈鹿的奔跑路程与奔跑时间成正比例关系； （2）由图可知，斑马跑24千米需要20分钟，长颈鹿跑24千米需要30分钟，所以斑马跑得快。 【解答】解：（1）长颈鹿的奔跑路程与奔跑时间之间的关系图像是一条直线，所以长颈鹿的奔跑路程与奔跑时间成正比例关系。 （2）由图可知，斑马跑24千米需要20分钟，长颈鹿跑24千米需要30分钟，所以斑马跑得快。 故答案为：正；快。 【点评】解答本题需准确认识成正比例关系的图像，能从图像中发现信息，解决问题。 10．有一种花布，如图反映了购买的米数和应付钱数的关系。 （1）由图可见，购买米数和应付的钱数成 　正　比例。 （2）从图中可知，24元可买 　6　米布，买8米布应付 　32　元。 【考点】辨识成正比例的量与成反比例的量；正比例和反比例的意义． 【专题】应用意识． 【答案】（1）正； （2）6，32。 【分析】（1）根据成正比例、反比例的量的图像的特征做题； （2）根据统计图中的数据填空。 【解答】解：（1）由图可见，购买米数和应付的钱数成正比例。 （2）从图中可知，24元可买6米布，买8米布应付32元。 故答案为：正；6，32。 【点评】本题主要考查成正比例的量的关系的应用。 三．判断题（共3小题） 11．圆的面积和半径成正比例．　×　 【考点】辨识成正比例的量与成反比例的量． 【专题】综合判断题；比和比例． 【答案】见试题解答内容 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例． 【解答】解：因为圆的面积S＝πr2， 所以S：r2＝π（一定）， 即圆的面积与半径的平方的比值一定，但圆的面积与半径的比值不是一定的， 不符合正比例的意义，所以圆的面积和半径不成正比例； 故答案为：×． 【点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断． 12．圆的周长和半径成正比例． 　√　 【考点】辨识成正比例的量与成反比例的量． 【专题】综合判断题；比和比例． 【答案】√ 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例． 【解答】解：因为圆的周长÷它的半径＝2π（一定），是比值一定， 所以圆的半径和它的周长成正比例； 故答案为：√． 【点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断． 13．订阅《湛江日报》的人数和总钱数成正比例。 　√　 【考点】辨识成正比例的量与成反比例的量． 【专题】应用意识． 【答案】√ 【分析】判断订阅报纸的人数与总钱数是否成正比例，就看这两种量是否是对应的比值一定，如果是比值一定，就成正比例，如果不是比值一定或比值不一定，就不成正比例。 【解答】解：因为报纸的总钱数÷数量＝一份报纸的钱数（一定），总钱数与人数的比值一定，所以订阅《湛江日报》的人数和总钱数成正比例。原题说法正确。 故答案为：√。 【点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再作判断。 四．操作题（共2小题） 14．如图图象表示长颈鹿的奔跑情况，请回答下面问题： （1）完成表： 时间/分 5 10 15 20 25 30 路程/千米 （2）不计算，根据图象估计一下，长颈鹿跑10km，大约要　12.5　分钟． （3）长颈鹿奔跑的路程和时间是否成比例？成什么比例？　正比例　． 【考点】正比例和反比例的意义． 【专题】比和比例． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据图象的数据填出表中的数据； （2）长颈鹿跑10km，大约要12.5分钟 （3）通过计算，发现长颈鹿跑的速度是一定的，4÷5＝8÷10＝12÷15＝0.8千米，所以行驶的路程和时间成正比例． 【解答】解：（1） 时间/分 5 10 15 20 25 30 路程/千米 4 8 12 16 20 24 （2）不计算，根据图象估计一下，长颈鹿跑10km，大约要12.5分钟． （3长颈鹿奔跑的路程和时间是成比例；成正比例． 故答案为：12.5，正， 【点评】本题考查根据数据会简单统计图的画法，还考查了判断两个量能否成正比例关系及数值的估计． 15．（1）小红跑完全程用了　6　分． 时间（分） 1 2 3 4 5 6 路程（米） 200 400 600 800 1000 1200 （2）小红跑到终点，所用时间与路程有如下关系．路程与时间成什么比例关系，并说明理由在图上描出各点并顺次连接各点． （3）小红每分钟跑　200　米． 【考点】正比例和反比例的意义． 【专题】比和比例． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）由统计图可知，小红跑完全程用了5分； （2）根据路程、时间和速率，如果商一定，就成正比例关系，积一定，成反比例关系；由小红所求走过的路程，然后右图中即可描出各点； （3）由统计图可知，小红每分钟跑200米． 【解答】解：（1）由统计图表可知，小红跑完全程用了6分； （2）答：路程与时间成正比例关系 在这里路程、时间是两个相关联的量，＝速度（一定）．根据两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就是成正比例的量，它们的关系是正比例关系．由此即可判定路程与时间正比例关系． （3）由统计图可知，小红每分钟跑200米． 故答案为：6；200． 【点评】此题考查的目的是理解掌握统计表、折线统计图的特点及作用，并且能够根据统计图表提供的信息，解决有关的实际问题． 学科网（北京）股份有限公司 $$