圆柱(讲义)-2023-2024学年六年级下册数学北师大版

圆柱 【知识精讲+典型例题+高频真题】 第一部分 知识精讲 知识清单 方法技巧 1．圆柱的展开图 【知识点归纳】 圆柱的侧面沿高剪开的展开图是一个长方形（或正方形），这个长方形（或正方形）的长等于圆柱底面的周长，宽等于圆柱的高． 2．圆柱的侧面积和表面积 【知识点归纳】 圆柱的表面积＝侧面积+2个底面积 侧面积＝底面周长×高。圆柱的侧面展开是一个长方形，其长就是圆柱底面周长，长方形的宽就是圆柱的高，所以圆柱的侧面积＝底面周长×高，圆柱的表面共有一个侧面和上下两个底面，所以表面积＝侧面积+2个底面积 3．圆柱的体积 【知识点归纳】 若一个圆柱底面半径为r，高为h，则圆柱的体积为V＝πr2h 4．圆柱的侧面积、表面积和体积 【知识点归纳】 圆柱的侧面积＝底面的周长×高，用字母表示： S侧＝Ch（C表示底面的周长，h表示圆柱的高），或S侧＝2πrh 圆柱的底面积＝πr2 圆柱的表面积＝侧面积+两个底面积，用字母表示： S表＝2πr2+2πrh 圆柱的体积＝底面积×高，用字母表示： V＝πr2h． 第二部分 典型例题 例题一：一根长2m的圆柱形木料，截去2dm长的一小段圆柱后，这时表面积减少了12.56dm2，原来这根木料的体积是多少dm3？ 【考点】圆柱的侧面积、表面积和体积． 【专题】运算能力． 【答案】62.8立方分米。 【分析】根据题意可知，把这根圆柱形木料截去2分米长的一小段圆柱后，这时表面积减少了12.56平方分米，表面积减少的是高为2分米的圆柱的侧面积，根据圆柱的侧面积公式：S＝2πrh，据此可以求出圆柱的底面半径，再根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式解答。 【解答】解：2米＝20分米 12.56÷2÷3.14÷2 ＝6.28÷3.14÷2 ＝1（分米） 3.14×12×20 ＝3.14×1×20 ＝62.8（立方分米） 答：原来这个木料的体积是62.8立方分米。 【点评】此题主要考查圆柱的侧面积公式、圆柱的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 例题二：制作一个无盖的圆柱形水桶，有以下几种型号的铁皮可供选择搭配。 （1）我选择的铁皮是 　②　号和 　③　号。 （2）选择的铁皮一共用了多少平方分米？制作出的水桶容积是多少升？（接头处忽略不计。） 【考点】圆柱的侧面积、表面积和体积． 【专题】立体图形的认识与计算；几何直观． 【答案】（1）②、③；（答案不唯一）（2）18.84分米，62.8升。 【分析】（1）根据圆柱侧面展开图的特征，圆柱的侧面沿高展开是一个长方形，这个长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高，根据圆的周长公式：C＝πd或C＝2πr，据此求出两个圆的周长与两个长方形的长进行比较即可确定选择哪两个图形搭配使用。 （2）根据圆柱的容积公式：v＝πr2h，把数据代入公式解答。 【解答】解：（1）3.14×4＝12.56（分米） 所以我选择②和③搭配使用。（答案不唯一） （2）3.14×3×2＝18.84（分米） 3.14×（4÷2）2×5 ＝3.14×4×5 ＝62.8（立方分米） 62.8立方分米＝62.8升 答：制成的水桶的容积是62.8升。 故答案为：②、③。 【点评】此题老客的日的旦理解掌握常灶异开肉的特征圆壮的突和公术的灵运用。 第三部分 高频真题 一．选择题（共6小题） 1．下面（　　）图形是圆柱的展开图。 A． B． C． D． 2．如果把一个圆柱的底面半径扩大到原来的3倍，高降低到原来的，圆柱的侧面积（　　） A．扩大到原来的3倍 B．扩大到原来的9倍 C．不变 D．缩小到原来的3倍 3．两个高相等的圆柱，底面半径的比为1：3，它们的体积的比是（　　） A．1：36 B．1：9 C．9：1 D．36：1 4．一根圆柱形木材长4米，横截面积是314平方厘米，把它锯成4个圆柱，表面积增加了（　　）平方厘米。 A．1256 B．2512 C．1884 5．将一个棱长是4分米的正方体木块削成一个最大的圆柱，则圆柱的体积是（　　）立方分米。 A．200.96 B．12.56 C．50.24 6．如图，把一个底面半径是8cm的圆柱，切拼成一个近似的长方体，长方体的表面积比原来增加了80cm2，原来圆柱的高是（　　）cm。 A．10π B．10 C．5π D．5 二．填空题（共4小题） 7．把高1m的圆柱垂直于高锯成两段，表面积增加了20dm2，原来这个圆柱的体积是 　 　。 8．一个圆柱的侧面展开图正好是一个边长为28.26厘米的正方形，它的底面直径是 　 　厘米，高是 　 　厘米。 9．把一个圆柱体木块沿上、下底面直径和高切开，切面是一边长2分米的正方形，被切开的圆柱体的体积是 　 　立方分米，切开的每一块的表面积是 　 　平方分米。 10．如图，把一个圆柱的底面分成若干相等的小扇形，把圆柱切开，拼成一个近似的长方体，表面积增加了 　 　cm2。 三．判断题（共3小题） 11．圆柱的侧面展开后一定是个长方形或正方形． 　 　． 12．推导圆柱体积公式的过程蕴含转化思想。 　 　 13．一个圆柱的底面周长与高相等，它的侧面沿高展开图是正方形。 　 　 四．计算题（共1小题） 14．计算下面圆柱的侧面积和体积（单位：厘米）。 圆柱的侧面积： 圆柱的体积： 圆柱 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 1．下面（　　）图形是圆柱的展开图。 A． B． C． D． 【考点】圆柱的展开图． 【专题】综合题；几何直观． 【答案】C 【分析】圆柱的侧面沿高剪开的展开图是一个长方形（或正方形），这个长方形（或正方形）的长等于圆柱底面的周长，宽等于圆柱的高。 【解答】解：3.14×2＝6.28 3.14×3＝9.42 3.14×4＝12.56 是圆柱的展开图。 故选：C。 【点评】本题考查的主要内容是圆柱的展开图的应用问题。 2．如果把一个圆柱的底面半径扩大到原来的3倍，高降低到原来的，圆柱的侧面积（　　） A．扩大到原来的3倍 B．扩大到原来的9倍 C．不变 D．缩小到原来的3倍 【考点】圆柱的侧面积、表面积和体积． 【专题】几何直观． 【答案】C 【分析】圆柱的侧面积等于底面周长乘高。底面周长等于π×直径，扩大前侧面积＝半径×2×π×高；扩大后侧面积＝半径×2×3×π×高； 扩大后侧面积÷扩大前侧面积＝半径×2×3×π×高÷（半径×2×π×高）＝1，所以一个圆柱的底面半径扩大到原来的3倍，高降低到原来的，，圆柱的侧面积不变，由此求解。 【解答】解：如果把一个圆柱的底面半径扩大到原来的3倍，高降低到原来的，圆柱的侧面积不变。 故选：C。 【点评】熟悉圆柱侧面积计算公式是解决本题的关键。 3．两个高相等的圆柱，底面半径的比为1：3，它们的体积的比是（　　） A．1：36 B．1：9 C．9：1 D．36：1 【考点】圆柱的侧面积、表面积和体积． 【专题】立体图形的认识与计算；空间观念． 【答案】B 【分析】假设这两个圆柱的高都是1，一个圆柱的半径是1，另一个圆柱的半径是3，根据圆柱体积公式：V＝πr2h计算出结果，最后求出最简整数比。 【解答】解：3.14×12×1＝3.14 3.14×32×1＝28.26 3.14：28.26＝1：9 答：它们的体积的比是1：9。 故选：B。 【点评】本题考查的是圆柱的侧面积、表面积和体积，关键是灵活运用圆柱的体积公式。 4．一根圆柱形木材长4米，横截面积是314平方厘米，把它锯成4个圆柱，表面积增加了（　　）平方厘米。 A．1256 B．2512 C．1884 【考点】圆柱的侧面积、表面积和体积． 【专题】运算能力． 【答案】C 【分析】把它锯成4个圆柱，需要截4﹣1＝3（次），每截1次表面积就增加2个圆柱的底面的面积，所以一共增加了3×2＝6个圆柱的底面的面积，由此进行解答即可。 【解答】解：314×（4﹣1）×2 ＝314×6 ＝1884（平方厘米） 答：表面积增加了1884平方厘米。 故选：C。 【点评】抓住圆柱切割小圆柱的方法，得出表面积增加的面的情况，是解决此类问题的关键。 5．将一个棱长是4分米的正方体木块削成一个最大的圆柱，则圆柱的体积是（　　）立方分米。 A．200.96 B．12.56 C．50.24 【考点】圆柱的体积． 【专题】几何直观． 【答案】C 【分析】根据题意可知，把一个棱长4分米的正方体木块削成一个最大的圆柱，削成的圆柱的底面直径和高都等于正方体的棱长，根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式解答。 【解答】解：3.14×（4÷2）2×4 ＝3.14×4×4 ＝50.24（立方分米） 答：削成的圆柱的体积是50.24立方分米。 故选：C。 【点评】此题主要考查圆柱体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 6．如图，把一个底面半径是8cm的圆柱，切拼成一个近似的长方体，长方体的表面积比原来增加了80cm2，原来圆柱的高是（　　）cm。 A．10π B．10 C．5π D．5 【考点】圆柱的侧面积和表面积． 【专题】几何直观． 【答案】D 【分析】把一个圆柱切拼成一个近似的长方体，表面积增加的是左右两个长方形的面积，先利用增加的面积除以2求出一个长方形的面积，长方形的长是圆柱的高，宽是圆柱的底面半径，利用面积除以半径求出高即可。 【解答】解：80÷2÷8 ＝40÷8 ＝5（厘米） 答：圆柱的高是5cm。 故选：D。 【点评】解答此题的关键是理解圆柱切拼成长方体后，它们之间的关系。结合题意分析解答即可。 二．填空题（共4小题） 7．把高1m的圆柱垂直于高锯成两段，表面积增加了20dm2，原来这个圆柱的体积是 　100立方分米　。 【考点】圆柱的侧面积、表面积和体积． 【专题】运算能力． 【答案】100立方分米。 【分析】根据题意可知，把一个圆柱锯成两段，表面积增加的是2个底面面积，所以原来圆柱的底面积为：20÷2＝10（平方分米），利用圆柱的体积公式：V＝Sh，计算其体积即可。 【解答】解：1米＝10分米 20÷2＝10（平方分米） 10×10＝100（立方分米） 答：这个圆柱的体积是100立方分米。 故答案为：100立方分米。 【点评】本题主要考查圆柱的体积，关键知道圆柱锯成两段，表面积增加的是两个底面的面积。 8．一个圆柱的侧面展开图正好是一个边长为28.26厘米的正方形，它的底面直径是 　9　厘米，高是 　28.26　厘米。 【考点】圆柱的展开图． 【专题】应用意识． 【答案】9；28.26。 【分析】长方形的边长为圆柱的底面周长和圆柱的高，根据圆的周长＝πd，计算出直径即可。 【解答】解：28.26÷3.14＝9（厘米） 答：它的底面直径是9厘米，高是28.26厘米。 故答案为：9；28.26。 【点评】本题考查圆柱的侧面积与圆柱底面周长的关系。 9．把一个圆柱体木块沿上、下底面直径和高切开，切面是一边长2分米的正方形，被切开的圆柱体的体积是 　6.28　立方分米，切开的每一块的表面积是 　13.42　平方分米。 【考点】圆柱的侧面积、表面积和体积． 【专题】应用意识． 【答案】6.28，13.42。 【分析】根据题意可知，这个圆柱的底面直径和高相等，都是2分米，根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式求出圆柱的体积；切开的每一块的表面积等于原来圆柱侧面积的一半加上两个半圆底面（一个圆）的面积再加上切面正方形的面积，根据圆柱的侧面积公式：S＝πdh，圆的面积公式：S＝πr2，正方形的面积公式：S＝a2，把数据代入公式求出每一块的表面积。 【解答】解：3.14×（2÷2）2×2 ＝3.14×1×2 ＝6.28（立方米） 3.14×2×2÷2+3.14×（2÷2）2+2×2 ＝12.56÷2+3.14×1+4 ＝6.28+3.14+4 ＝13.42（平方分米） 答：被切开的圆柱的体积是6.28立方分米，切开的每一块的表面积是13.42平方分米。 故答案为：6.28，13.42。 【点评】此题主要考查圆柱的体积公式、表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 10．如图，把一个圆柱的底面分成若干相等的小扇形，把圆柱切开，拼成一个近似的长方体，表面积增加了 　400　cm2。 【考点】圆柱的侧面积、表面积和体积． 【专题】立体图形的认识与计算；空间观念． 【答案】400。 【分析】分析题目可知，长方体的长等于圆柱底面圆周长的一半，列式计算，可求出圆柱底面圆的周长；高与圆柱的高相等，宽与底面半径相等；长方体的表面积比圆柱的表面积多了以高为长，半径为宽的左右两个长方形，据此解答即可。 【解答】解：31.4×2÷3.14÷2 ＝10×2÷2 ＝10（厘米） 20×10×2＝400（平方厘米） 答：表面积增加了400平方厘米。 故答案为：400。 【点评】此题考查了圆柱的体积公式推导过程，关键能理解圆柱与长方体之间的关系。 三．判断题（共3小题） 11．圆柱的侧面展开后一定是个长方形或正方形． 　×　． 【考点】圆柱的展开图． 【专题】立体图形的认识与计算． 【答案】× 【分析】根据圆柱体的特征，它的上下底面是完全相同的两个圆，侧面是曲面，沿高展开得到长方形，这个长方形的长等于圆柱体的底面周长，宽等于圆柱体的高；圆柱体的底面周长和高相等，侧面沿高展开就是正方形；如果不沿高，而是从上底到下底斜着展开得到的是平行四边形；由此解答． 【解答】解：圆柱体的侧面沿高展开得到的图形是长方形或正方形，如果不沿高，而是从上底到下底斜着展开得到的是平行四边形； 因此，圆柱的侧面展开图一定是长方形或正方形．此说法错误． 故答案为：×． 【点评】此题主要考查圆柱体的特征和侧面展开图的形状，侧面沿高展开得到的是长方形或正方形，如果不是沿高展开得到的就不是长方形或正方形；由此解决问题． 12．推导圆柱体积公式的过程蕴含转化思想。 　√　 【考点】圆柱的侧面积、表面积和体积． 【专题】几何直观． 【答案】√ 【分析】长方体的体积求法已知，圆柱的体积公式未知，我们将圆柱分割变为长方体，就是把圆柱转化为长方体，据此回答。 【解答】解：圆柱体积公式推导过程中，我们把圆柱转化为长方体，也就是把未知方法转化为已知方法，用到的是转化思想。所以原题说法正确。 故答案为：√。 【点评】本题主要考查了圆柱体积的推导，需要学生熟练掌握转化的思想，并能运用到实际之中。 13．一个圆柱的底面周长与高相等，它的侧面沿高展开图是正方形。 　√　 【考点】圆柱的展开图． 【专题】推理能力． 【答案】√ 【分析】圆柱的侧面展开图是一个长方形，长方形的长就是圆柱的底面周长，长方形的宽就是圆柱的高，当圆柱的底面周长和高相等时，它的侧面展开图就变成了一个正方形。 【解答】解：一个圆柱的底面周长与高相等，它的侧面沿高展开图是正方形。 所以原题说法正确。 故答案为：√。 【点评】熟练掌握圆柱的侧面展开图与圆柱的关系是解题的关键。 四．计算题（共1小题） 14．计算下面圆柱的侧面积和体积（单位：厘米）。 圆柱的侧面积： 圆柱的体积： 【考点】圆柱的侧面积、表面积和体积． 【专题】空间观念． 【答案】188.4平方厘米，282.6立方厘米。 【分析】根据“圆柱的侧面积＝底面周长×高”和“圆柱的体积＝底面积×高”，代入数据直接计算即可。 【解答】解：侧面积：3.14×6×10 ＝3.14×60 ＝188.4（平方厘米） 体积：3.14×（6÷2）2×10 ＝3.14×90 ＝282.6（立方厘米） 答：圆柱的侧面积为188.4平方厘米，体积为282.6立方厘米。 【点评】解答本题需熟练掌握并灵活应用圆柱的侧面积和体积公式。 学科网（北京）股份有限公司 $$