期末高频考点：图形与几何(讲义)-2023-2024学年六年级下册数学 北师大版

图形与几何 【知识精讲+典型例题+高频真题】 第一部分 知识精讲 知识清单 方法技巧 1．长方形的特征及性质 【知识点归纳】 长方形：是一种平面图形，长方形的四个角都是直角，同时长方形的对角线相等． 长方形的性质： 1．长方形的4个内角都是直角； 2．长方形对边相等； 3．长方形既是轴对称图形，也是中心对称图形（对称轴是任何一组对边中点的连线），它至少有两条对称轴．对称中心是对角线的交点． 4．长方形是特殊的平行四边形，长方形具有平行四边形的所有性质 长方形的判定： ①定义：有一个角是直角的平行四边形是长方形 ②定理1：有三个角是直角的四边形是长方形 矩形的面积：S矩形＝长×宽＝ab． 黄金长方形： 宽与长的比是（√5﹣1）/2（约为0.618）的矩形叫做黄金长方形． 黄金长方形给我们一协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．如希腊的巴特农神庙等． 2．平行四边形的特征及性质 【知识点归纳】 平行四边形的概念： 1．两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． 平行四边形用符号“▱ABCD”，如平行四边形ABCD记作“▱ABCD”． （1）平行四边形属于平面图形． （2）平行四边形属于四边形． （3）平行四边形中还包括特殊的平行四边形：矩形，正方形和菱形等． （4）平行四边形属于中心对称图形． 2．平行四边形的性质： 主要性质 （矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形．） （1）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等． （简述为“平行四边形的两组对边分别相等”） （2）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等． （简述为“平行四边形的两组对角分别相等”） （3）夹在两条平行线间的平行线段相等． （4）平行四边形的面积等于底和高的积．（可视为矩形） （5）过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分成全等的两部分图形． （6）平行四边形是中心对称图形，对称中心是两对角线的交点． （7）平行四边形不是轴对称图形，矩形和菱形是轴对称图形． 注：正方形，矩形以及菱形也是一种特殊的平行四边形，三者具有平行四边形的性质． 3．梯形的特征及分类 【知识点归纳】 1．概念：梯形是指一组对边平行而另一组对边不平行的四边形． 2．分类： （1）直角梯形：有一个角为直角的梯形为直角梯形 （2）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形 （3）一般梯形． 4．三角形的特性 【知识点归纳】 三角形具有稳定性． 三内角之和等于180度，根据角可以分为锐角三角形（每个角小于90°），直角三角形（有一个角等于90°），钝角三角形（有一个角大于90°）． 任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 5．长方体的特征 【知识点归纳】 长方体的特征： 1．长方体有6个面．有三组相对的面完全相同．一般情况下六个面都是长方形，特殊情况时有两个面是正方形，其他四个面都是长方形，并且这四个面完全相同． 2．长方体有12条棱，相对的四条棱长度相等．按长度可分为三组，每一组有4条棱． 3．长方体有8个顶点．每个顶点连接三条棱．三条棱分别叫做长方体的长，宽，高． 4．长方体相邻的两条棱互相垂直． 6．圆柱的特征 【知识点归纳】 圆柱就是由两个大小相同的圆和一个侧面组成的．它的底面是完全相同的两个圆，侧面是一个曲面． 7．圆锥的特征 【知识点归纳】 圆锥是由一个底面和一个侧面两部分组成的，它的底面是一个圆，侧面是一个曲面． 8．长度的测量方法 【知识点归纳】 1．长度的测量：长度的测量是最基本的测量，最常用的工具是刻度尺． 2．正确使用刻度尺刻度线、量程、分度值． 使用时要注意： （1）尺子要沿着所测长度放，尺边对齐被测对象，必须放正重合，不能歪斜． （2）不利用磨损的零刻度线，如因零刻线磨损而取另一整刻度线为零刻线的，切莫忘记最后读数中减掉取代零刻线的刻度值． （3）厚尺子要垂直放置 （4）读数时，视线应与尺面垂直． 9．探索某些实物体积的测量方法 【知识点归纳】 1．用排水法来测量不规则物体的体积．在有刻度的量杯里装上水，记下水的体积，把不规则的物体放入杯中，记下此时的体积，求出两次体积的差，就求出了不规则物体的体积，最后再将容积单位换算成体积单位． 2．通过测多个相同物体的体积，然后除以数量得到每个物体的体积． 10．轴对称图形的辨识 【知识点归纳】 1．轴对称图形的概念： 如果一个图形沿着一条直线对折，直线两边的图形能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 2．学过的图形中，线段、角、等腰三角形、等边三角形、长方形、正方形、等腰梯形、圆形、扇形都是轴对称图形，各自有不同数目的对称轴． 11．平移 【知识点归纳】 1．平移：把一个图形整体沿某一方向移动一定的距离，图形的这种移动，叫做平移． 2．平移后图形的位置改变，形状、大小不变． 12．旋转 【知识点归纳】 1．定义：在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫作图形的旋转．这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角． 图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕着某个固定点旋转固定角度的位置移动，其中对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的长度、对应角的大小相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变． 2．图形旋转性质： （1）对应点到旋转中心的距离相等． （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． 3．把一个图形绕着一个点旋转一定的角度后，与原来的图形相吻合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．（旋转角大于0°小于360°） 13．图形的放大与缩小 【知识点归纳】 1．图形的放大和缩小是生活中常见的现象，把一个图形放大或缩小后所得到的图形与元图形相比，形状相同，大小不同． 2．方法：一看、二算、三画． 14．在平面图上标出物体的位置 【知识点归纳】 利用直角坐标系把平面上的点与数对应起来，以确定平面上物体的位置． 15．根据方向和距离确定物体的位置 【知识点归纳】 1．确定观察点，建立方向标； 2．用量角器确定物体方向； 3．用刻度尺根据物体方向距离确定其位置； 4．找出物体具体位置，标上名称． 第二部分 典型例题 例题一：如图： （1）图书馆在艺术中心的 　东　偏 　北　50°方向上，距离是 　500　米。 （2）博物馆在艺术中心的西偏北30°方向上，距离300米处。请在图上用△标出博物馆的位置。 【考点】根据方向和距离确定物体的位置；在平面图上标出物体的位置． 【专题】数据分析观念． 【答案】（1）东；北；500；（2）。 【分析】（1）观察平面图，图上一小格的单位长度代表实际距离100米，图书馆离艺术中心有5个单位长度，即实际距离为（5×100）米，根据地图上的方向“上北下南，左西右东”，以艺术中心为观测点，根据方向、距离、角度确定图书馆的位置即可。 （2）观察平面图，图上一小格的单位长度代表实际距离100米，博物馆离艺术中心有300米，即在图上它们之间有（300÷100）个单位长度的距离，根据地图上的方向“上北下南，左西右东”，以艺术中心为观测点，根据方向、距离、角度确定博物馆的位置并在图上用△标出博物馆的位置。 【解答】解：（1）5×100＝500（米） 即图书馆在艺术中心的东偏北50°方向上，距离是500米。 （2）300÷100＝3（个） 如图： 故答案为：东；北；500。 【点评】此题主要根据方向、角度、距离确定物体的位置，确定位置时，方向和角度一定要对应。 例题二：一个长方体玻璃水箱，长4dm、宽3dm、高5dm，里面水深3dm。把3个铁球放入水箱中（完全浸没），这时水面上升了0.2dm。每个铁球的体积是多少立方分米？ 【考点】探索某些实物体积的测量方法． 【专题】立体图形的认识与计算；几何直观． 【答案】2.4立方分米。 【分析】由题意得出假山石的体积等于上升的水的体积，上升的水的体积等于高0.2分米，长为4分米，宽为3分米的长方体的体积，根据长方体体积＝长×宽×高计算即可。 【解答】解：4×3×0.2 ＝12×0.2 ＝2.4（立方分米） 答：这块假山石的体积是2.4立方分米。 【点评】解决本题的关键是明确假山石的体积等于上升的水的体积。 第三部分 高频真题 一．选择题（共5小题） 1．图中的汉字和字母中是轴对称图形的有（　　）个。 A．5 B．4 C．3 2．只有一组对边平行的四边形是（　　） A．正方形 B．长方形 C．梯形 D．平行四边形 3．用一根长（　　）的铁丝正好围成一个长7cm，宽6cm，高1cm的长方体框架。 A．14cm B．28cm C．42cm D．56cm 4．小明把一个边长3厘米的正方形按2：1的比放大，放大后的正方形面积是（　　）平方厘米。 A．12 B．9 C．18 D．36 5．用一根铁丝正好制成一个棱长为8dm的正方体灯笼框架，如果用同样长的铁丝正好制成一个长和宽都是6dm的长方体灯笼框架，那么这个长方体灯笼框架的高是（　　） A．12dm B．16dm C．48dm D．36dm 二．填空题（共5小题） 6．如图中，铅笔的长度是 　 　cm。 7．圆柱有 　 　条高，圆锥有 　 　条高。 8．如图，在量杯中放入一个苹果（如右边量杯），苹果的体积是 　 　立方厘米。 9．从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的 　 　，这条对边叫做三角形的 　 　． 10．将火柴（两个端点分别为A和B）进行两次旋转，使其移至指定位置。 首先将火柴绕 　 　点 　 　时针旋转 　 　，再将火柴绕 　 　点 　 　时针旋转 　 　，就可以将火柴移至指定位置了。 三．判断题（共4小题） 11．钟表上时针与分针的运动是平移。 　 　 12．长方形和正方形都是特殊的平行四边形。 　 　 13．对折后能够完全重合的图形是轴对称图形．　 　 14．一个梯形上底与下底间的距离处处相等．　 　． 图形与几何 参考答案与试题解析 一．选择题（共5小题） 1．图中的汉字和字母中是轴对称图形的有（　　）个。 A．5 B．4 C．3 【考点】轴对称图形的辨识． 【专题】几何直观． 【答案】C 【分析】如果一个图形沿着一条直线对折，直线两边的图形能够完全重合，这样的图形叫作轴对称图形，这条直线叫作对称轴，据此解答即可。 【解答】解：如图： 图中的汉字和字母中是轴对称图形的有3个。 故选：C。 【点评】本题考查了轴对称图形知识，结合题意分析解答即可。 2．只有一组对边平行的四边形是（　　） A．正方形 B．长方形 C．梯形 D．平行四边形 【考点】梯形的特征及分类；平行四边形的特征及性质． 【专题】常规题型；推理能力． 【答案】C 【分析】根据梯形的概念：只有一组对边平行的四边形是梯形，不平行的一组对边是它的腰；进而解答即可。 【解答】解：只有一组对边平行的四边形是梯形。 故选：C。 【点评】此题考查的是梯形的概念，应加强对平面图形中一些概念的理解。 3．用一根长（　　）的铁丝正好围成一个长7cm，宽6cm，高1cm的长方体框架。 A．14cm B．28cm C．42cm D．56cm 【考点】长方体的特征． 【专题】几何直观． 【答案】D 【分析】根据长方体的棱长总和＝（长+宽+高）×4，把数据代入公式求出长方体的棱长总和，即可解答。 【解答】解：（7+6+1）×4 ＝14×4 ＝56（厘米） 答：用一根长56厘米的铁丝正好围成一个长7cm，宽6cm，高1cm的长方体框架。 故选：D。 【点评】此题考查了长方体的特征及棱长总和公式的应用，结合题意分析解答即可。 4．小明把一个边长3厘米的正方形按2：1的比放大，放大后的正方形面积是（　　）平方厘米。 A．12 B．9 C．18 D．36 【考点】图形的放大与缩小． 【专题】综合判断题；推理能力． 【答案】D 【分析】把一个边长3厘米的正方形按2：1的比放大，则放大后的正方形的边长是（3×2）厘米；接下来再根据“正方形的面积＝边长×边长”列式计算即可。 【解答】解：3×2＝6（厘米） 6×6＝36（平方厘米） 故选：D。 【点评】本题是一道有关图形放大的题目，关键在于确定放大后正方形的边长。 5．用一根铁丝正好制成一个棱长为8dm的正方体灯笼框架，如果用同样长的铁丝正好制成一个长和宽都是6dm的长方体灯笼框架，那么这个长方体灯笼框架的高是（　　） A．12dm B．16dm C．48dm D．36dm 【考点】长方体的特征． 【专题】数据分析观念． 【答案】A 【分析】正方体框架的棱长总和与长方体框架的棱长总和是相等的，根据正方体框架的棱长总和是：棱长×12，先求出正方体框架棱长总和，然后根据长方体框架的棱长总和是：（长+宽+高）×4，求得长方体框架的高即可。 【解答】解：8×12÷4﹣6﹣6 ＝24﹣6﹣6 ＝12（分米） 答：这个长方体灯笼框架的高是12dm。 故选：A。 【点评】此题主要考查长方体和正方体的特征，能够根据长方体和正方体的棱长总和的计算方法解决有关的实际问题。 二．填空题（共5小题） 6．如图中，铅笔的长度是 　5.7　cm。 【考点】长度的测量方法． 【专题】几何直观． 【答案】5.7。 【分析】用直尺的“0”刻度线和线段的一个端点重合，另一个端点在直尺上的刻度，就是该线段的长度；取一整刻度线为零刻线的，切莫忘记最后读数中减掉取代零刻线的刻度值，据此解答即可。 【解答】解：77﹣20＝57（毫米） 57毫米＝5.7厘米 答：铅笔的长度是5.7厘米。 故答案为：5.7。 【点评】本题考查了学生测量线段的能力，结合图示分析解答即可。 7．圆柱有 　无数　条高，圆锥有 　1　条高。 【考点】圆锥的特征；圆柱的特征． 【专题】几何形体的分、合、移、补的问题． 【答案】无数，1。 【分析】圆柱的两个底面之间的距离叫做高；圆柱的高有无数条。从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。 【解答】解：如图： 圆柱有无数条高，圆锥有1条高。 故答案为：无数，1。 【点评】本题考查圆柱、圆锥的高的定义，需熟练掌握。 8．如图，在量杯中放入一个苹果（如右边量杯），苹果的体积是 　200　立方厘米。 【考点】探索某些实物体积的测量方法． 【专题】几何直观． 【答案】200。 【分析】根据题意，放入苹果后水面上升的那部分水的体积就是苹果的体积，用放入苹果后水和苹果的总体积减去放苹果前水的体积，解答即可。 【解答】解：600﹣400＝200（毫升） 200毫升＝200立方厘米 答：苹果的体积是200立方厘米。 故答案为：200。 【点评】此题主要考查了某些实物体积的测量方法，结合题意分析解答即可。 9．从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的 　高　，这条对边叫做三角形的 　底　． 【考点】三角形的特性． 【专题】平面图形的认识与计算． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据三角形的高和底的含义：在三角形中，从一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底；据此解答即可． 【解答】解：从三角形的一个顶点到它的对边做一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底； 故答案为：高，底． 【点评】此题考查了三角形的高和底的含义． 10．将火柴（两个端点分别为A和B）进行两次旋转，使其移至指定位置。 首先将火柴绕 　A　点 　顺　时针旋转 　90°　，再将火柴绕 　B　点 　逆　时针旋转 　90°　，就可以将火柴移至指定位置了。 【考点】旋转． 【专题】几何直观． 【答案】A，顺，90°，B，逆，90°。 【分析】图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕着某个固定点旋转固定角度的位置移动，其中对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的长度、对应角的大小相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变，据此解答即可。 【解答】解：分析可知，首先将火柴绕A点顺时针旋转90°，再将火柴绕B点逆时针旋转90°，就可以将火柴移至指定位置了。 故答案为：A，顺，90°，B，逆，90°。 【点评】本题考查了旋转知识，结合旋转的方向和旋转的角度，解答即可。 三．判断题（共4小题） 11．钟表上时针与分针的运动是平移。 　×　 【考点】平移；旋转． 【专题】几何直观． 【答案】× 【分析】把一个图形整体沿某一方向移动一定的距离，图形的这种移动，叫做平移；在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫作图形的旋转；据此判断即可。 【解答】解：钟表上时针与分针的运动是旋转；故原题说法错误。 故答案为：×。 【点评】此题是考查对平移与旋转的理解及在实际当中的运用。 12．长方形和正方形都是特殊的平行四边形。 　√　 【考点】长方形的特征及性质；平行四边形的特征及性质． 【专题】平面图形的认识与计算． 【答案】√ 【分析】根据平行四边形的特征：两组对边平行且相等；则得出：长方形、正方形是特殊的平行四边形，进行解答即可． 【解答】解：长方形和正方形都是特殊的平行四边形． 故答案为：√． 【点评】此题考查了平行四边形的特征和性质，应注意基础知识的积累． 13．对折后能够完全重合的图形是轴对称图形．　√　 【考点】轴对称图形的辨识． 【专题】图形与变换． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此判断即可． 【解答】解：根据轴对称图形的意义可知：对折后能够完全重合的图形是轴对称图形，说法正确； 故答案为：√． 【点评】此题考查了轴对称图形的意义，注意基础知识的积累． 14．一个梯形上底与下底间的距离处处相等．　√　． 【考点】梯形的特征及分类． 【专题】平面图形的认识与计算． 【答案】见试题解答内容 【分析】因为梯形的上下底是平行的，所以夹在两平行线之间的距离是处处相等，据此可知：梯形上底与下底间的距离处处相等的说法是正确的． 【解答】解：梯形上底与下底间的距离就是这个梯形的高，所以处处相等的说法是正确的． 故判断为：√． 【点评】此题考查梯形的特征，即上下底平行，还要明确夹在两平行线之间的距离是处处相等的． 学科网（北京）股份有限公司 $$