期末高频考点：反比例(讲义)-2023-2024学年六年级下册数学 北师大版

反比例 【知识精讲+典型例题+高频真题】 第一部分 知识精讲 知识清单 方法技巧 1．正比例和反比例的意义 【知识点归纳】 1．正比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系．如果用字母x和y表示这两种相关联的量，用k表示它们的比值（一定），正比例关系可以用式子表示为：＝k（一定）． 2．反比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系．如果用字母x和y表示这两种相关联的量，用k表示它们的乘积（一定），反比例的关系可以表示为：xy＝k（一定）． 2．辨识成正比例的量与成反比例的量 【知识点归纳】 1．成正比例的量： （1）“变化方向”相同，一种量扩大或缩小，另一种量也扩大或缩小． （2）相对应的两个数的比值（商）一定． （3）关系式：＝k（一定）． 2．成反比例的量： （1）“变化方向”相反，一种量扩大或缩小，另一种量反而缩小或扩大． （2）相对应的两个数的乘积一定． （3）关系式：xy＝k（一定）． 3．判断方法：关键是看着两种相关量中相对应的两个数是商一定还是积一定，如果商一定，就成正比例；如果积一定，就成反比例． 第二部分 典型例题 邮局准备把一批《百科全书》打包寄给山区的小朋友。每包的本数和包数如下表。 每包的本数/本 10 20 40 包数/包 60 30 15 （1）判断每包的本数和包数是不是成反比例，并说明理由。 （2）如果打包成6包，那么每包多少本？ 【考点】辨识成正比例的量与成反比例的量． 【专题】推理能力． 【答案】（1）10×60＝20×30＝40×15＝600，每包的本数和包数的乘积一定，所以每包的本数和包数成反比例。 （2）100本。 【分析】（1）根据每包的本数和包数的乘积一定，确定每包的本数和包数成反比例。 （2）根据总本数÷包数＝每包的本数列除法算式解答。 【解答】解：（1）10×60＝20×30＝40×15＝600，每包的本数和包数的乘积一定，所以每包的本数和包数成反比例。 （2）10×60÷6＝100（本） 答：每包100本。 【点评】两种相关联的量，若其比值一定，两种量成正比例；若其乘积一定，两种量成反比例；若既不是比值一定也不是乘积一定，两种量不成比例。 第三部分 高频真题 一．选择题（共6小题） 1．下列各式中（a、b均不为0），a和b成反比例的是（　　） A．＝16 B．9a＝6b C．a×﹣1÷b＝0 D．＝b 2．下列选项中的两种量，成反比例关系的是（　　） A．若3x＝2y，则x和y B．铺地面积一定，每块砖的面积和用砖的块数 C．年龄一定，身高和体重 D．圆的面积一定，它的半径和圆周率 3．下列各项中的两个量成反比例的是（　　） A．一根10m长的绳子，剪去的长度与剩下的长度。 B．速度一定，路程与时间。 C．三角形的面积一定，它的底与高。 D．笑笑的身高与体重。 4．下列选项中，两个量不成反比例的是（　　） A．乐乐放学回家，已走的路程和剩下的路程。 B．等分一块蛋糕，每个人分到的蛋糕大小与人数。 C．长方形的面积一定，它的长和宽。 D．百米赛跑，跑步的速度和时间。 5．下列变化的量中，成反比例的是（　　） A．长方形的长一定，宽和面积。 B．4a＝5b（a不为0），那么a和b。 C．一袋大米，已吃的数量和剩下的数量。 D．圆锥的体积不变，它的底面积与高。 6．下面的两个量中不成反比例关系的是（　　） A．三角形的面积一定，它的底和高 B．一个数与它的倒数 C．从甲地到乙地所用的时间和速度 D．圆的周长和它的半径 二．填空题（共4小题） 7．如果x×y＝16，那么x与y成　 　比例． 8．如果A和B成正比例，B和C成反比例，那么A与C 　 　比例。 9．判断下面两种量成正比例还是反比例。 （1）圆的周长和圆的半径成　 　比例。 （2）修一条路，每天修的米数和所需天数成　 　比例。 （3）订阅《新文化报》的份数和总钱数成　 　比例。 10．表格被淘气弄脏了，如果x和y成正比例，那么弄脏处的数是 　 　；如果x和y成反比例，那么弄脏处的数是 　 　。 x 4 y 10 20 三．判断题（共3小题） 11．长方形的面积一定，长和宽成反比例． 　 　（判断对错） 12．三角形的面积一定，它的底和高成反比例． 　 　（判断对错） 13．完成一项工作，如果每人工作效率相同，需要的天数和完成这项工作所需要的人数成反比例．　 　（判断对错） 四．应用题（共2小题） 14．判断下面各题中的两种量是否成比例？成什么比例？为什么？ （1）小麦的出粉率一定，小麦的总重量和出粉的重量。 （2）每箱木瓜的个数一定，运来木瓜的箱数和木瓜的总个数。 （3）房间的面积一定，铺地砖的块数与每块地砖的面积。 15．某厂要生产一批豆浆机，平均每天产量和所需时间如表。 平均每天产量/台 200 300 500 所需时间/天 75 50 30 （1）平均每天产量和所需时间成 　 　比例。 （2）现要在20天内完成生产任务，平均每天产量至少要达到多少台？ 反比例 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 1．下列各式中（a、b均不为0），a和b成反比例的是（　　） A．＝16 B．9a＝6b C．a×﹣1÷b＝0 D．＝b 【考点】辨识成正比例的量与成反比例的量． 【专题】综合判断题；运算能力． 【答案】C 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 【解答】解：A、因为＝16（一定），所以a和b成正比例； B、因为9a＝6b，所以a÷b＝（一定），所以a和b成正比例； C、因为a×﹣1÷b＝0，则ab＝3（一定），所以a和b成反比例； D、因为＝b，a﹣10b＝﹣7（一定），是差一定，所以a和b不成反比例。 故选：C。 【点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断。 2．下列选项中的两种量，成反比例关系的是（　　） A．若3x＝2y，则x和y B．铺地面积一定，每块砖的面积和用砖的块数 C．年龄一定，身高和体重 D．圆的面积一定，它的半径和圆周率 【考点】辨识成正比例的量与成反比例的量． 【专题】运算能力． 【答案】B 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。 【解答】解：A.若3x＝2y，那么y÷x＝1.5（一定），商一定，所以x和y成正比例，本项不符合题意； B.每块砖的面积×需要的块数＝铺地面积（一定），乘积一定，所以每块砖的面积和需要的块数成反比例关系，本项符合题意； C.同学的年龄一定，他们的身高与体重的比值不一定，乘积也不一定，所以他们的身高与体重不成比例，本项不符合题意； D.因为圆的面积＝πr2，当圆的面积一定时，圆周率也是一个定值，所以这里圆的半径与圆周率不成比例，本项不符合题意。 故选：B。 【点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断。 3．下列各项中的两个量成反比例的是（　　） A．一根10m长的绳子，剪去的长度与剩下的长度。 B．速度一定，路程与时间。 C．三角形的面积一定，它的底与高。 D．笑笑的身高与体重。 【考点】辨识成正比例的量与成反比例的量． 【答案】C 【分析】辨识两种相关联的量是否成比例，就看这两种量相对应的两个数是商一定还是积一定，如果商一定，就成正比例；如果积一定，就成反比例；如果商和积都不一定，则不成比例。 【解答】解：A.剪去的长度+剩下的长度＝10m，所以剪去的长度与剩下的长度不成比例； B.＝速度（一定），所以路程和时间成正比例； C.三角形底×高＝三角形的面积×2（一定），所以三角形的底与高成反比例； D.笑笑的身高与体重不是相关的量，所以笑笑的身高与体重不成比例。 故选：C。 【点评】此题属于根据正、反比例的意义，辨识两种相关联的量是否成比例，就看这两种量相对应的两个数是商一定还是积一定，如果商一定，就成正比例；如果积一定，就成反比例。 4．下列选项中，两个量不成反比例的是（　　） A．乐乐放学回家，已走的路程和剩下的路程。 B．等分一块蛋糕，每个人分到的蛋糕大小与人数。 C．长方形的面积一定，它的长和宽。 D．百米赛跑，跑步的速度和时间。 【考点】辨识成正比例的量与成反比例的量． 【专题】应用意识． 【答案】A 【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量叫作成反比例的量，它们的关系叫作反比例关系。据此对题目中四个选项逐一分析即可。 【解答】解：A.已走的路程+剩下的路程＝总路程（一定），是和一定，所以乐乐放学回家，已走的路程和剩下的路程不成反比例，符合题意； B.等分一块蛋糕时，每个人分到的蛋糕大小×人数＝这个蛋糕的大小（一定），是积一定，所以等分一块蛋糕，每个人分到的蛋糕大小与人数成反比例，不符合题意； C.长×宽＝长方形的面积（一定），是积一定，所以长方形的面积一定，它的长和宽成反比例，不符合题意； D.速度×时间＝路程（一定），是积一定，所以百米赛跑，跑步的速度和时间成反比例，不符合题意； 故选：A。 【点评】此题属于根据正、反比例的意义，辨识两种相关联的量是否成反比例，就看这两种量是否是对应的乘积一定，再做出选择。 5．下列变化的量中，成反比例的是（　　） A．长方形的长一定，宽和面积。 B．4a＝5b（a不为0），那么a和b。 C．一袋大米，已吃的数量和剩下的数量。 D．圆锥的体积不变，它的底面积与高。 【考点】辨识成正比例的量与成反比例的量． 【专题】应用意识． 【答案】D 【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系就叫做正比例关系；两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫反比例关系。 【解答】解：A.长方形的面积＝长×宽，长方形的长＝长方形的面积÷宽，长方形的长一定，是商一定，所以宽和面积成正比例关系。 B.因为4a＝5b（a不为0），所以＝，比值一定，所以a和b成正比例关系。 C.一袋大米＝已吃的数量+剩下的数量，所以已吃的数量和剩下的数量不成比例。 D.圆锥的体积＝×圆锥的底面积×高，圆锥的体积不变，是积一定，所以圆锥的体积不变，它的底面积与高成反比例关系。 答：以上变化的量中，圆锥的体积不变，它的底面积与高成反比例关系。 故选：D。 【点评】此题考查了辨别正比例关系和反比例关系，结合题意分析解答即可。 6．下面的两个量中不成反比例关系的是（　　） A．三角形的面积一定，它的底和高 B．一个数与它的倒数 C．从甲地到乙地所用的时间和速度 D．圆的周长和它的半径 【考点】辨识成正比例的量与成反比例的量． 【专题】应用意识． 【答案】D 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 【解答】解：A.因为三角形的底×高＝三角形面积×2（一定），所以三角形的底和高成反比例。 B.一个不为0的数×它的倒数＝1（一定），所以一个不为0的数与它的倒数成反比例。 C.，路程＝时间×速度，从甲地到乙地的路程一定，即时间和速度的乘积一定，时间和速度成反比例。 D.圆的周长÷半径＝2π（一定），商一定，所以圆的周长和它的半径成正比例。 故选：D。 【点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再判断即可。 二．填空题（共4小题） 7．如果x×y＝16，那么x与y成　反　比例． 【考点】辨识成正比例的量与成反比例的量． 【专题】比和比例． 【答案】见试题解答内容 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例． 【解答】解：因为x×y＝16（一定），所以x与y成反比例． 故答案为：反． 【点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断． 8．如果A和B成正比例，B和C成反比例，那么A与C 　反　比例。 【考点】辨识成正比例的量与成反比例的量． 【专题】比和比例；运算能力；推理能力． 【答案】反。 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例. 【解答】解：如果A和B成正比例，则A和B的比值一定，B和C成反比例则B和C的乘积一定，A和C的乘积也一定，A和C成反比例。 故答案为：反。 【点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断。 9．判断下面两种量成正比例还是反比例。 （1）圆的周长和圆的半径成　正　比例。 （2）修一条路，每天修的米数和所需天数成　反　比例。 （3）订阅《新文化报》的份数和总钱数成　正　比例。 【考点】辨识成正比例的量与成反比例的量． 【专题】数据分析观念． 【答案】正；反；正。 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 【解答】解：因为圆的周长÷半径＝2π（一定），所以圆的周长与圆的半径成正比例； 因为，每天修的米数×所需的天数＝总长度（一定），所以每天修的米数和所需的天数成反比例； 因为订阅《新文化报》的总钱数：份数＝《新文化报》的单价（一定），是对应的比值一定，所以订阅《新文化报》的份数和总钱数成正比例。 故答案为：正；反；正。 【点评】此题属于根据正、反比例的意义，辨识两种相关联的量成不成比例，成什么比例，就看这两种量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，还是对应的其它量一定，再做出判断。 10．表格被淘气弄脏了，如果x和y成正比例，那么弄脏处的数是 　8　；如果x和y成反比例，那么弄脏处的数是 　2　。 x 4 y 10 20 【考点】正比例和反比例的意义． 【专题】综合填空题；数据分析观念． 【答案】8，2。 【分析】根据两个相关联的量，若它们的比值一定，则它们成正比例；若它们的乘积一定，则它们成反比例。 【解答】解：4：10＝x：20 10x＝4×20 10x＝80 x＝8 20x＝4×10 20x＝40 x＝2 则表格被淘气弄脏了，如果x和y成正比例，那么弄脏处的数是8；如果x和y成反比例，那么弄脏处的数是2。 故答案为：8，2。 【点评】此题考查了正比例和反比例的特点并解比例，要求学生掌握。 三．判断题（共3小题） 11．长方形的面积一定，长和宽成反比例． 　√　（判断对错） 【考点】辨识成正比例的量与成反比例的量． 【专题】综合判断题；比和比例． 【答案】√ 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例． 【解答】解：因为长方形的面积＝长×宽， 如果长方形的面积一定，即长方形的长和宽的积一定，则长方形的长和宽成反比例． 故答案为：√． 【点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断． 12．三角形的面积一定，它的底和高成反比例． 　√　（判断对错） 【考点】辨识成正比例的量与成反比例的量． 【专题】比和比例． 【答案】√ 【分析】判断三角形的底和高之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例． 【解答】解：因为三角形的面积＝底×高÷2， 所以：底×高＝2×三角形的面积（一定）， 符合反比例的意义， 所以三角形的面积一定，它的底和高成反比例， 故答案为：√． 【点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个变量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断． 13．完成一项工作，如果每人工作效率相同，需要的天数和完成这项工作所需要的人数成反比例．　√　（判断对错） 【考点】辨识成正比例的量与成反比例的量． 【专题】综合判断题；比和比例． 【答案】见试题解答内容 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例． 【解答】解：一项工作的工作量一定，每人的工作效率一定； 工作量＝每人的工作效率×工作人数×工作天数 则：工作人数×工作天数＝（一定）， 所以需要的天数和完成这项工作所需要的人数成反比例，原题说法正确． 故答案为：√． 【点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断． 四．应用题（共2小题） 14．判断下面各题中的两种量是否成比例？成什么比例？为什么？ （1）小麦的出粉率一定，小麦的总重量和出粉的重量。 （2）每箱木瓜的个数一定，运来木瓜的箱数和木瓜的总个数。 （3）房间的面积一定，铺地砖的块数与每块地砖的面积。 【考点】辨识成正比例的量与成反比例的量． 【专题】推理能力． 【答案】（1）成正比例，因为出粉的重量与小麦的重量的商一定； （2）成正比例，因为木瓜的总个数与运来木瓜的箱数的商一定； （3）成反比例，因为铺地砖的块数与每块地砖的面积的乘积一定。 【分析】两种相关联的量，若其比值一定，两种量成正比例；若其乘积一定，两种量成反比例。据此判断。 【解答】解：（1）小麦的出粉率＝出粉的重量÷小麦的重量×100%，小麦的出粉率一定时，小麦的总重量和出粉的重量成正比例； （2）木瓜的总个数÷运来木瓜的箱数＝每箱木瓜的个数，每箱木瓜的个数一定时，运来木瓜的箱数和木瓜的总个数成正比例； （3）房间的面积＝铺地砖的块数×每块地砖的面积，房间的面积一定时，铺地砖的块数与每块地砖的面积成反比例。 【点评】辨识两种相关联的量成正比例还是成反比例，就看这两种量的比值一定还是乘积一定。 15．某厂要生产一批豆浆机，平均每天产量和所需时间如表。 平均每天产量/台 200 300 500 所需时间/天 75 50 30 （1）平均每天产量和所需时间成 　反　比例。 （2）现要在20天内完成生产任务，平均每天产量至少要达到多少台？ 【考点】辨识成正比例的量与成反比例的量． 【专题】推理能力． 【答案】（1）反；（2）750。 【分析】（1）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例； （2）因为平均每天产量和所需时间成反比例，总台数不变，用总台数除以需要的天数即可解答。 【解答】解：（1）因为200×75＝15000 300×50＝15000 500×30＝15000 所以平均每天产量×所需时间＝15000（一定），乘积一定，所以平均每天产量和所需时间成反比例； （2）15000÷20＝750（台） 答：平均每天产量至少要达到750台。 故答案为：反。 【点评】熟练掌握判断两个相关联的量之间成什么比例的方法以及求平均数的方法是解题的关键。 学科网（北京）股份有限公司 $$