明确中考风向2024年四川省中考数学复习圆的性质与证明专题复习

圆的性质与证明综合 考点解读 在中考数学当中有关于圆的综合题型的考察是初中数学中的重要内容，也是中考数学重要的考点。从历年的考察中，我们发现圆的考察可以和三角形全等相似三角函数。四边形等结合起来，其考察的形式也比较复杂。一般在中考当中都以大题的形式出现，有时在压轴题型当中也会进行考察。想要解决有关圆的综合题型和压轴题型，那么对圆相关的知识就要有充分的了解。在圆的重要考点当中，历年运用比较频繁或者是比较重要的知识点主要有垂径定理及其推论，圆周角定理及其推论等，这些重要的考点在复习阶段不仅仅是将其定理和推论的内容掌握即可，而是要提高这些重要知识点的应用能力及再相对应的题型当中学会用他们来进行证明或者是解题 解题思路 模拟预测 1．（2023·四川雅安·中考真题）如图，某小区要绿化一扇形空地，准备在小扇形内种花在其余区域内（阴影部分）种草，测得，，，则种草区域的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·四川·中考真题）如图，是的直径，点C，D在上，连接，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 3．（2023·四川·中考真题）如图，半径为的扇形中，，是上一点，，，垂足分别为，，若，则图中阴影部分面积为(　　) A． B． C． D． 4．（2023年安徽省舒城县中考模拟数学试题）如图，正六边形内接于，点在上，是的中点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（2023·四川乐山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，C、D是半径为1的上两动点，且，P为弦CD的中点．当C、D两点在圆上运动时，面积的最大值是（    ） A．8 B．6 C．4 D．3 6．（2023·四川眉山·中考真题）如图，切于点B，连接交于点C，交于点D，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．（2023·四川宜宾·中考真题）《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以点O为圆心、为半径的圆弧，N是的中点，．“会圆术”给出的弧长的近似值计算公式：．当，时，则的值为（　　） A． B． C． D． 8．（2023·四川泸州·中考真题）如图，在中，，点在斜边上，以为直径的半圆与相切于点，与相交于点，连接．若，，则的长是（　　） A． B． C． D． 9.（2023·四川·中考真题）如图，，半径为2的与角的两边相切，点P是⊙O上任意一点，过点P向角的两边作垂线，垂足分别为E，F，设，则t的取值范围是 ． 10.（2021·浙江宁波·模拟预测）如图，用圆心角为半径为6的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的高是 ． 11.（2023·四川广安·中考真题）如图，内接于，圆的半径为7，，则弦的长度为 ． 12.（2023·四川自贡·中考真题）如图，小珍同学用半径为，圆心角为的扇形纸片，制作一个底面半径为的圆锥侧面，则圆锥上粘贴部分的面积是 ． 13.（2023·四川·中考真题）一天晚上，小伟帮助妈妈清洗两个只有颜色不同的有盖茶杯，突然停电了，小伟只好把杯盖和茶杯随机地搭配在一起，则颜色搭配正确的概率是 ． 14.（2023·四川攀枝花·中考真题）如图，在正方形中，分别以四个顶点为圆心，以边长的一半为半径画圆弧，若随机向正方形内投一粒米（米粒大小忽略不计），则米粒落在图中阴影部分的概率为 ． 15.（2023·四川甘孜·中考真题）如图，在中，，以为直径的交边于点D，过点C作的切线，交的延长线于点E． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 16.（2023·四川德阳·中考真题）如图，已知是的直径，点，在上，的延长线与的延长线相交于点，且，． (1)求证：是的平分线； (2)求的度数； (3)求的值． 17.（2023·四川雅安·中考真题）如图，在中，，以为直径的与交于点D，点是的中点，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长； (3)在（2）的条件下，点P是上一动点，求的最大值． 18.（2023·四川·中考真题）如图，为的直径，C为上一点，连接，过点C作的切线交延长线于点D，于点E，交于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 19.（2023·四川内江·中考真题）如图，以线段为直径作，交射线于点C，平分交于点D，过点D作直线，交的延长线于点E，交的延长线于点F．连接并延长交的延长线于点M． (1)求证：直线是的切线； (2)当时，判断的形状，并说明理由； (3)在（2）的条件下，，连接交于点P，求的长． 20.（2023·四川乐山·中考真题）如图，已知是的外接圆，，D是圆上一点，E是延长线上一点，连结，且． (1)求证：直线是是的切线； (2)若，的半径为3，求的长． 21.（2023·四川眉山·中考真题）如图，中，以为直径的交于点E．平分，过点E作于点D，延长交的延长线于点P． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 22.（2023·四川遂宁·中考真题）如图，四边形内接于，为的直径，，过点的直线l交的延长线于点，交的延长线于点，且． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)当，时，求的长． 23.（2023·四川广安·中考真题）如图，以的直角边为直径作，交斜边于点，点是的中点，连接． (1)求证：是的切线． (2)若，求的长． (3)求证：． 24.（2023·四川宜宾·中考真题）如图，以为直径的上有两点、，，过点作直线交的延长线于点，交的延长线于点，过作平分交于点，交于点． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)如果是的中点，且，求的长． 25.（2023·四川南充·中考真题）如图，与相切于点A，半径，与相交于点D，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 26.（2023·四川成都·中考真题）如图，以的边为直径作，交边于点D，过点C作交于点E，连接． (1)求证：； (2)若，求和的长． 27.（2023·四川凉山·中考真题）如图，是的直径，弦，垂足为点，点是延长线上一点，，垂足为点，． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径和的长． 28.（2023·四川泸州·中考真题）如图，是的直径，，的弦于点，．过点作的切线交的延长线于点，连接． (1)求证：平分； (2)为上一点，连接交于点，若，求的长． 29.（2023·四川达州·中考真题）如图，内接于是延长线上的一点，，相交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 圆的性质与证明综合 考点解读 在中考数学当中有关于圆的综合题型的考察是初中数学中的重要内容，也是中考数学重要的考点。从历年的考察中，我们发现圆的考察可以和三角形全等相似三角函数。四边形等结合起来，其考察的形式也比较复杂。一般在中考当中都以大题的形式出现，有时在压轴题型当中也会进行考察。想要解决有关圆的综合题型和压轴题型，那么对圆相关的知识就要有充分的了解。在圆的重要考点当中，历年运用比较频繁或者是比较重要的知识点主要有垂径定理及其推论，圆周角定理及其推论等，这些重要的考点在复习阶段不仅仅是将其定理和推论的内容掌握即可，而是要提高这些重要知识点的应用能力及再相对应的题型当中学会用他们来进行证明或者是解题 解题思路 模拟预测 1．（2023·四川雅安·中考真题）如图，某小区要绿化一扇形空地，准备在小扇形内种花在其余区域内（阴影部分）种草，测得，，，则种草区域的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】种草区域的面积等于大扇形面积减去小扇形面积，利用利用扇形的面积公式计算即可． 【详解】解∶∵，，， ∴种草区域的面积为， 故选：B． 2．（2023·四川·中考真题）如图，是的直径，点C，D在上，连接，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆周角定理计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 3．（2023·四川·中考真题）如图，半径为的扇形中，，是上一点，，，垂足分别为，，若，则图中阴影部分面积为(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，证明四边形是正方形，进而得出，，然后根据扇形面积公式即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴图中阴影部分面积， 故选：B． 4．（2023年安徽省舒城县中考模拟数学试题）如图，正六边形内接于，点在上，是的中点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先计算正六边形的中心角，再利用同圆或等圆中，等弧对的圆心角相等，圆周角定理计算即可． 【详解】如图，连接， ∵正六边形，是的中点， ∴，， ∴， ∴， 故选Ｃ． 5．（2023·四川乐山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，C、D是半径为1的上两动点，且，P为弦CD的中点．当C、D两点在圆上运动时，面积的最大值是（    ） A．8 B．6 C．4 D．3 【答案】D 【分析】根据一次函数与坐标轴的交点得出，确定，再由题意得出当的延长线恰好垂直时，垂足为点E，此时即为三角形的最大高，连接，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵直线与x轴、y轴分别交于A、B两点， ∴当时，，当时，， ∴， ∴， ∴， ∵的底边为定值， ∴使得底边上的高最大时，面积最大， 点P为的中点，当的延长线恰好垂直时，垂足为点E，此时即为三角形的最大高，连接， ∵，的半径为1， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 6．（2023·四川眉山·中考真题）如图，切于点B，连接交于点C，交于点D，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，连接，证明，，可得，从而可得． 【详解】解：如图，连接， ∵切于点B， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴； 故选C 7．（2023·四川宜宾·中考真题）《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以点O为圆心、为半径的圆弧，N是的中点，．“会圆术”给出的弧长的近似值计算公式：．当，时，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接,根据等边三角形的性质，垂径定理，勾股定理，特殊角的三角函数，后代入公式计算即可． 【详解】连接，根据题意，是以点O为圆心、为半径的圆弧，N是的中点，， 得 ∴点M，N，O三点共线， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 故选B． 8．（2023·四川泸州·中考真题）如图，在中，，点在斜边上，以为直径的半圆与相切于点，与相交于点，连接．若，，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，，首先根据勾股定理求出，然后证明出，利用相似三角形的性质得到，，证明出，利用相似三角形的性质求出． 【详解】如图所示，连接，， ∵，，， ∴， ∵以为直径的半圆与相切于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴解得． 故选：B． 9.（2023·四川·中考真题）如图，，半径为2的与角的两边相切，点P是⊙O上任意一点，过点P向角的两边作垂线，垂足分别为E，F，设，则t的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用切线的性质以及等腰直角三角形的性质求得，再求得，分两种情况讨论，画出图形，利用等腰直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：设与两边的切点分别为D、G，连接，延长交于点H， 由， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图，延长交于点Q， 同理， ∵， ∴， 当与相切时，有最大或最小值， 连接， ∵D、E都是切点， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴的最大值为； 如图， 同理，的最小值为； 综上，t的取值范围是． 故答案为：． 10.（2021·浙江宁波·模拟预测）如图，用圆心角为半径为6的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的高是 ． 【答案】． 【分析】由圆心角为，半径为6的扇形求弧长=，可求圆锥底面圆周长：，解得，如图由圆锥高OD，底面圆半径DC，与母线OC构成直角三角形，由勾股定理即可． 【详解】解：圆心角为，半径为6的扇形弧长=， 圆锥底面圆周长：， 解得， 如图由圆锥高OD，底面圆半径DC，与母线OC构成直角三角形， 由勾股定理， 这个圆锥的高是． 故答案为：． 11.（2023·四川广安·中考真题）如图，内接于，圆的半径为7，，则弦的长度为 ． 【答案】 【分析】连接，过点作于点，先根据圆周角定理可得，再根据等腰三角形的三线合一可得，，然后解直角三角形可得的长，由此即可得． 【详解】解：如图，连接，过点作于点， ， ， ， ，， ∵圆的半径为7， ， ， ， 故答案为：． 12.（2023·四川自贡·中考真题）如图，小珍同学用半径为，圆心角为的扇形纸片，制作一个底面半径为的圆锥侧面，则圆锥上粘贴部分的面积是 ． 【答案】/ 【分析】由题意知，底面半径为的圆锥的底面周长为，扇形弧长为，则扇形中未组成圆锥底面的弧长，根据圆锥上粘贴部分的面积为扇形中未组成圆锥的弧长部分所对应的扇形面积可得圆锥上粘贴部分的面积为，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，底面半径为的圆锥的底面周长为，扇形弧长为， ∴扇形中未组成圆锥底面的弧长， ∵圆锥上粘贴部分的面积为扇形中未组成圆锥的弧长部分所对应的扇形面积， ∴圆锥上粘贴部分的面积为， 故答案为：． 13.（2023·四川·中考真题）一天晚上，小伟帮助妈妈清洗两个只有颜色不同的有盖茶杯，突然停电了，小伟只好把杯盖和茶杯随机地搭配在一起，则颜色搭配正确的概率是 ． 【答案】 【详解】分析：根据概率的计算公式．颜色搭配总共有4种可能，分别列出搭配正确和搭配错误的可能，进而求出各自的概率即可． 详解：用A和a分别表示第一个有盖茶杯的杯盖和茶杯； 用B和b分别表示第二个有盖茶杯的杯盖和茶杯、经过搭配所能产生的结果如下： Aa、Ab、Ba、Bb． 所以颜色搭配正确的概率是． 故答案为． 14.（2023·四川攀枝花·中考真题）如图，在正方形中，分别以四个顶点为圆心，以边长的一半为半径画圆弧，若随机向正方形内投一粒米（米粒大小忽略不计），则米粒落在图中阴影部分的概率为 ． 【答案】/ 【分析】将图中阴影面积除以正方形面积即可求出米粒落在图中阴影部分的概率． 【详解】解：设正方形的边长为，则4个扇形的半径为， ， 故答案为：． 15.（2023·四川甘孜·中考真题）如图，在中，，以为直径的交边于点D，过点C作的切线，交的延长线于点E． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】 （1）先根据圆周角定理得到．再根据切线的性质得到．然后利用等角的余角相等得到； （2）先证明得到，则可证明，利用正切的定义，在中有，在中有，所以，然后求出的长，从而得到的半径． 【详解】（1） 证明：∵为的直径， ∴． ∵为的切线， ∴， ∴． ∵， ∴； （2） 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， 在中，， 即， ∴， ∴， ∴的半径为． 16.（2023·四川德阳·中考真题）如图，已知是的直径，点，在上，的延长线与的延长线相交于点，且，． (1)求证：是的平分线； (2)求的度数； (3)求的值． 【答案】(1)见解析． (2) (3) 【分析】（1）根据平行线的性质，可得到，根据等腰三角形的性质可得到，进而可证明结论． （2）连接，设，利用三角形的外角、圆的内接四边形的对角互补、等腰三角形的性质将的各角分别用含的代数式表示出来，根据三角形内角和定理可求得的值，进而可求得答案． （3）设的半径为，，可证得，根据，可得，用含有和的代数式表示出该等式，求解即可得到和的关系，进而可求得答案． 【详解】（1）∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴是的平分线． （2）如图所示，连接． 设． 根据（1）证明可知，． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． （3）设的半径为，，则． ∵， ∴． 又， ∴． ∵， ∴． ∴． 即． 变形，得 ． 解得 ． ． 17.（2023·四川雅安·中考真题）如图，在中，，以为直径的与交于点D，点是的中点，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长； (3)在（2）的条件下，点P是上一动点，求的最大值． 【答案】(1)证明见解析； (2) (3) 【分析】（1）连接，由圆周角定理得到，由直角三角形斜边中线的性质结合等腰三角形的性质证得，由等腰三角形的性质得到，根据，得到，由切线的判定即可证得与相切； （2）由直角三角形斜边中线的性质求出，根据三角函数的定义即可求出；， （3）设的边高为，由可得，即可得出当取最大值时，取最大值，根据进而求解即可． 【详解】（1）证明：连接，如图所示， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴与相切； （2）解：由（1）知，， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴，， 又∵在中，，即：， ∴（负值以舍去）， ∴； （3）设的边高为， 由（2）可知， 又∵是直径， ∴， ∴， ∴， ∴当取最大值时，也取最大值， 又∵， ∴当取最大值时，取最大值， 此时边高为取最大值为半径， ∴， ∴ ∴， ∴， 综上所述：的最大值为． 18.（2023·四川·中考真题）如图，为的直径，C为上一点，连接，过点C作的切线交延长线于点D，于点E，交于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为． 【分析】（1）连接，利用圆周角定理及半径相等求得，根据切线的性质求得，推出，再证明，据此即可证明结论成立； （2）先求得，，设，证明，利用相似三角形的性质得到，解之即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵为的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 设，则， 由（1）得， 又， ∴， ∴，即， 整理得， 解得， ∴的长为． 19.（2023·四川内江·中考真题）如图，以线段为直径作，交射线于点C，平分交于点D，过点D作直线，交的延长线于点E，交的延长线于点F．连接并延长交的延长线于点M． (1)求证：直线是的切线； (2)当时，判断的形状，并说明理由； (3)在（2）的条件下，，连接交于点P，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)是等边三角形，理由见解析 (3)． 【分析】 （1）证明，可推出，即可证明直线是的切线； （2）证明，，得到，据此计算即可证明结论成立； （3）利用含30度的直角三角形的性质求得，得到等边的边长，在中，利用余弦函数即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴直线是的切线； （2）解：是等边三角形，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （3）解：∵是等边三角形， ∴，则， ∵， ∴， ∴， ∵为的直径，， ∴， ∵，，即， ∴． 20.（2023·四川乐山·中考真题）如图，已知是的外接圆，，D是圆上一点，E是延长线上一点，连结，且． (1)求证：直线是是的切线； (2)若，的半径为3，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由，可知是的直径，由，可得，由，，可得，，则，由，可得，即，进而结论得证； （2）作，垂足为E，如图所示，由题意知，是等腰三角形，则，由题意知，，，可求，，，由勾股定理得，根据，计算求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴是的直径， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵是半径， ∴直线是是的切线； （2）解：作，垂足为E，如图所示， ∵， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， 由题意知，，， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴的长为． 21.（2023·四川眉山·中考真题）如图，中，以为直径的交于点E．平分，过点E作于点D，延长交的延长线于点P． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】 （1）连接，利用角平分线的性质和等边对等角，证明，即可解答； （2）根据，可得，求出的长，再利用勾股定理得的长，即可得到的长，最后证明，即可解答． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， 平分， ， ， ， , , 是的切线； （2）解：设，则， ，解得， ， ， 根据勾股定理可得，, ， 是直径， ， ， ， ， ， ， ． 22.（2023·四川遂宁·中考真题）如图，四边形内接于，为的直径，，过点的直线l交的延长线于点，交的延长线于点，且． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)当，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)6 【分析】（1）连接，，根据圆心角，弦，弧的关系可得，根据直径所对的圆周角是90度可得，半径相等可得，根据等腰的判定可得是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质可得垂直平分，根据平行线的判定和性质可得，即可证明； （2）连接，根据同弧所对的圆周角相等可得，根据平行线的性质可得，，推得，根据相似三角形的判定和性质可得，即可求证； （3）令与交于点，根据正弦的定义可求得，，根据勾股定理可求得，，根据矩形的判定和性质可得,，根据相似三角形的判定和性质可求得,即可求得． 【详解】（1）连接，，如图： ∵， ∴， ∵四边形内接于，为的直径， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， 又∵， ∴垂直平分， ∵， ∴， ∴， 即是的切线； （2）连接，如图： ∵ ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 即， 又∵， ∴； （3）令与交于点，如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴, ∴ ∵， ∴， ∴ 即， ∴, ∴． 23.（2023·四川广安·中考真题）如图，以的直角边为直径作，交斜边于点，点是的中点，连接． (1)求证：是的切线． (2)若，求的长． (3)求证：． 【答案】(1)见详解 (2) (3)见详解 【分析】（1）连接，先根据直角三角形的性质，证明，再证明即可； （2）由（1）中结论，得，先根据三角函数及勾股定理求出的长，再证明即可； （3）证明即可得出结论． 【详解】（1）证明：连接， 在中，， 是的直径， 即， 在中，点是的中点， ， 又， ， ， 在上 是的切线． （2）解：由（1）中结论，得， 在中，， ， ， ， ， ， ； （3）证明：， ， ， ， ， ， 由（1）中结论，得， ， ， 即． 24.（2023·四川宜宾·中考真题）如图，以为直径的上有两点、，，过点作直线交的延长线于点，交的延长线于点，过作平分交于点，交于点． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)如果是的中点，且，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等得出，根据，得出，则可得，根据已知，得出，即可得证； （2）根据角平分线的定义得出，又，根据三角形内角和定理得出，由是的直径，即可得证； （3）取的中点，连接，证明，由是的中点，是的中点，得出，进而得出，设，则，勾股定理得出，,证明得出，根据角平分线的性质得出，即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴是的切线； （2）证明：如图所示， ∵平分 ∴ 又∵， 则， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示，取的中点，连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∵是的中点，是的中点， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴ 设，则， ∴ ∵ ∴ ∴，, ∵，， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴到的距离相等，设为，在，设点到的距离为， ∴， ∴， ∴． 25.（2023·四川南充·中考真题）如图，与相切于点A，半径，与相交于点D，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据切线的性质得出，再由平行线的性质得出，利用圆周角定理及等腰直角三角形的性质即可证明； （2）过点A作，过点C作的延长线于点F，根据勾股定理及等腰直角三角形的性质得出，再由正切函数确定，，再由正方形的判定和性质及相似三角形的判定和性质求解即可． 【详解】（1）证明：连接，如图所示： ∵与相切于点A， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）过点A作，过点C作交的延长线于点F，如图所示： 由（1）得， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴，， 由（1）得， ∵， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形， ∴， ∵， ∴, ∴即， 解得：， ∴． 26.（2023·四川成都·中考真题）如图，以的边为直径作，交边于点D，过点C作交于点E，连接． (1)求证：； (2)若，求和的长． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】（1）根据，得到，再根据同弧所对的圆周角相等，得到，可证明是等腰三角形，即可解答； （2）根据直径所对的圆周角为直角，得到，设，根据勾股定理列方程，解得x的值，即可求出；解法一：过点作的垂线段，交的延长线于点F，证明，求出的长，根据勾股定理即可解出的长；解法二：连接,得到角相等，进而证得，根据对应边成比例即可解出的长． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ； （2）解：设， 是的直径， ， ， ，即， 根据（1）中的结论，可得， 根据勾股定理，可得，即， 解得，（舍去）， ，, 根据勾股定理，可得； 解法一：如图，过点作的垂线段，交的延长线于点F， ， ， ， ，即， ，，， ， ， ， 设，则， ， 可得方程，解得， ，， 根据勾股定理，可得． 解法二：如图，连接, ，， ， ， 又，，， ， ． 27.（2023·四川凉山·中考真题）如图，是的直径，弦，垂足为点，点是延长线上一点，，垂足为点，． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径和的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)的半径为3，的长为 【分析】（1）先根据直角三角形的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，从而可得，然后根据圆的切线的判定即可得证； （2）设的半径为，则，，在中，利用勾股定理求解即可得；根据相似三角形的判定可得，根据相似三角形的性质即可得． 【详解】（1）证明：如图，连接， 弦， ， ， ， ， ， ，即， ， 又是的半径， 是的切线． （2）解：如图，连接， 设的半径为，则， ， ， 在中，，即， 解得， ， ， ， ， ，即， 解得， 所以的半径为3，的长为． 28.（2023·四川泸州·中考真题）如图，是的直径，，的弦于点，．过点作的切线交的延长线于点，连接． (1)求证：平分； (2)为上一点，连接交于点，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】（1）利用切线的性质得到，利用圆周角定理得到，利用垂径定理推出，据此可证明，即可证明平分； （2）连接，，作于点M，利用垂径定理求得，证明，求得，设，则，在中，利用勾股定理求得，据此求解即可． 【详解】（1）解：连接， ∵是的切线， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵是的直径，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：连接，，过点G作于点M， ∵是的直径，且， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，   ∴， ∴， 设，则， ∴，， 在中，，即， 解得(负值已舍去)， ∴． 29.（2023·四川达州·中考真题）如图，内接于是延长线上的一点，，相交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)6 【分析】（1）由，为半径，可知，，则，，，如图1，连接，由，可得，则，即，进而结论得证； （2）如图2，记与交点为，连接，过作于，证明是等边三角形，则，，设半径为，则，由，，可得，证明，则，即，解得或（舍去）， 根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∴，由等边对等角可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 又∵是半径， ∴是的切线； （2）解：如图2，记与交点为，连接，过作于， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， 设半径为， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰三角形， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即，解得或（舍去）， ∴， ∴ 的长为6 学科网（北京）股份有限公司 $$