广东省湛江市吴川市实验学校2022-2023学年上学期期中考试数学试卷

吴川实验学校2022-2023学年度初三级期中考试 九年级数学试卷 （满分为120分，考试时间为90分钟） 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．的倒数是（　　） A． B． C． D． 2．长江是我国第一大河，它的全长约为6300千米，6300这个数用科学记数法表示为（　　） A．63×102 B．6.3×102 C．6.3×103 D．6.3×104 3．下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 4．在一次数学阶段考试中，某小组7名同学的成绩（单位：分）分别是65，80，70，90，95，100，70，这组数据的众数是（　　） A．90 B．85 C．80 D．70 5．下列运算正确的是（　　） A．（m﹣n）2＝m2﹣n2 B．（m2）3＝m6 C．m4•m2＝m8 D．3m﹣2m＝2 6．一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．有两个不相等的实数根 7．将抛物线y＝﹣2（x+1）2+3向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为（　　） A．y＝﹣2（x+4）2+1 B．y＝﹣2（x﹣2）2+1 C．y＝﹣2（x+4）2+5 D．y＝﹣2（x﹣2）2+5 8．如图，AB为⊙O直径，已知圆周角∠BCD＝30°，则∠ABD为（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 9．如图，在⊙O中，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于点H．若AH＝5，HB＝1，则CD的长为（　　） A． B． C．2 D．2 10．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．下列结论：①ac＜0；②3a+c＝0；③当x＞0时，y随x的增大而增大；④a+b≤am2+bm．其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11．比较大小：　 　0． 12． 若点P（x，﹣3）与点Q（4，y）关于原点对称，则x+y＝　 　． 13．如图，将△ABC绕点A旋转到△AEF的位置，点E在BC边上，EF与AC交于点G．若∠B＝70°，∠C＝25°，则∠FGC＝　 　°． 13． 若点P（3a﹣9，1﹣a）在第三象限内，且a为整数，则a的值是　 　． 15．已知（x+y）2＝25，（x﹣y）2＝9，则xy＝　 　． 三．解答题（一）（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 16．（1）计算：|﹣2|﹣20180+（） ﹣1 （2） 解方程：x2﹣6x﹣7＝0． 17． 先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a＝﹣3 18．在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣4，5），C（﹣5，2）． （1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； 画出△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2； （2）求△A2B2C2的面积． 四．解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19．如图，四边形ABCD是平行四边形； （1）请用尺规作图法，作∠B的平分线，交AD于点E；（不要求写作法，保留作图痕迹） （2）若平行四边形ABCD的周长为10，CD＝2，求DE的长． 20．“赏中华诗词，寻文化基因，品文学之美”，某校对全体学生进行了古诗词知识测试，将成绩分为一般、良好、优秀三个等级，从中随机抽取部分学生的测试成绩，根据调查结果绘制成两幅不完整的统计图，根据图中信息，解答下列问题： （1）求本次抽样调查的人数； （2）在扇形统计图中，阴影部分对应的扇形圆心角的度数是 　 　； （3）将条形统计图补充完整； （4）该校共有1500名学生，根据抽样调查的结果，请你估计测试成绩达到优秀的学生人数． 21．2022年在中国举办的冬奥会和残奥会令世界瞩目，冬奥会和残奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融家喻户晓，成为热销产品．某商家以每套34元的价格购进一批冰墩墩和雪容融套件．若该产品每套的售价是48元时，每天可售出200套；若每套售价提高2元，则每天少卖4套． （1）设冰墩墩和雪容融套件每套售价定为x元时，求该商品销售量y与x之间的函数关系式； （2）求每套售价定为多少元时，每天销售套件所获利润W最大，最大利润是多少元？ 五．解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 22．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，BD平分∠ABC交⊙O于点D，过点D作DE⊥BC于E． （1）求证：DE与⊙O相切； （2）若AB＝10，AD＝6，求DE的长； （3）在（2）的条件下，直接写出CD的长为 　 　． 23．如图，已知抛物线y＝ax2+x+4的对称轴是直线x＝3，且与x轴相交于A，B两点（B点在入点右侧），与y轴交于C点． （1）求抛物线的表达式和A，B两点的坐标； （2）若点P是抛物线上B，C两点之间的一个动点（不与B，C重合），过点P作x轴的垂线交直线BC于点D，求PD的最大值以及此时点P的坐标． （3）在（2）的条件下，在对称轴上找一点Q，使得QP+QB的值最小，求出点Q的坐标． 吴川实验学校2022-2023学年度初三级期中考试 九年级数学试卷参考答案及解析 一．选择题（共10小题） 1．的倒数是（　　） A． B． C． D． 解：因为（﹣）×（﹣）＝1，所以的倒数是﹣， 故选：A． 2．长江是我国第一大河，它的全长约为6300千米，6300这个数用科学记数法表示为（　　） A．63×102 B．6.3×102 C．6.3×103 D．6.3×104 解：6300＝6.3×103，故选：C． 3．下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 解：A．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意； B．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意； C．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意； D．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意． 故选：C． 4．在一次数学阶段考试中，某小组7名同学的成绩（单位：分）分别是65，80，70，90，95，100，70，这组数据的众数是（　　） A．90 B．85 C．80 D．70 解：依题意得70出现了2次，次数最多， 故这组数据的众数是70． 故选：D． 5．下列运算正确的是（　　） A．（m﹣n）2＝m2﹣n2 B．（m2）3＝m6 C．m4•m2＝m8 D．3m﹣2m＝2 解：A、（m﹣n）2＝m2﹣2mn+n2，故本选项不合题意； B、（m2）3＝m6，故本选项符合题意； C、m4•m2＝m6，故本选项不合题意； D、3m﹣2m＝m，故本选项不合题意． 故选：B． 6．一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．有两个不相等的实数根 解：∵a＝1，b＝﹣3，c＝1， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×1＝5＞0， ∴原方程有两个不相等的实数根． 故选：D． 7．将抛物线y＝﹣2（x+1）2+3向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为（　　） A．y＝﹣2（x+4）2+1 B．y＝﹣2（x﹣2）2+1 C．y＝﹣2（x+4）2+5 D．y＝﹣2（x﹣2）2+5 解：∵抛物线y＝﹣2（x+1）2+3的顶点坐标为（﹣1，3）， ∴向右平移3个单位，再向下平移2个单位后的顶点坐标是（2，1）． ∴所得抛物线解析式是y＝﹣2（x﹣2）2+1． 故选：B． 8．如图，AB为⊙O直径，已知圆周角∠BCD＝30°，则∠ABD为（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 解：∵AB为⊙O直径， ∴∠ACB＝90°， 又∵∠BCD＝30°， ∴∠ABD＝∠ACD＝90°﹣∠BCD＝90°﹣30°＝60°． 故选：D． 9．如图，在⊙O中，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于点H．若AH＝5，HB＝1，则CD的长为（　　） A． B． C．2 D．2 解：连接OD， ∵AB是⊙O直径，弦CD⊥AB， ∴DH＝CD， ∵AH＝5，HB＝1， ∴AB＝AH＝HB＝6， ∴OD＝OA＝3， ∴OH＝AH﹣OA＝2， 在Rt△ODH中，DH＝＝＝， ∴CD＝2DH＝2， 故选：C． 10．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．下列结论：①ac＜0；②3a+c＝0；③当x＞0时，y随x的增大而增大；④a+b≤am2+bm．其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解：∵该函数图象开口方向向上， ∴a＞0， ∵抛物线交y轴的负半轴， ∴c＜0， ∴ac＜0， 故①正确； ∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0）， ∴对称轴为直线：x＝﹣＝＝1， ∴b＝﹣2a， ∵当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0， ∴3a+c＝0，故②正确； ∵对称轴为直线：x＝﹣＝1， ∴x＜1时，y随x的增大而增大，x＞1时，y随x的增大而减小；③错误； ∴当x＝1时，函数取得最小值，即对于任意的m，有a+b+c≤am2+bm+c， ∴a+b≤am2+bm，故④正确． 综上，正确的个数有3个， 故选：C． 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11．比较大小：　＜　0． 解：﹣＜0， 故答案为：＜． 12．若点P（x，﹣3）与点Q（4，y）关于原点对称，则x+y＝　﹣1　． 解：∵点P（x，﹣3）与点Q（4，y） 关于原点对称， ∴x＝﹣4，y＝3， 故x+y＝﹣4+3＝﹣1． 故答案为：﹣1． 13．如图，将△ABC绕点A旋转到△AEF的位置，点E在BC边上，EF与AC交于点G．若∠B＝70°，∠C＝25°，则∠FGC＝　65　°． 解：∵将△ABC绕点A旋转到△AEF的位置， ∴AB＝AE，∠B＝70°， ∴∠BAE＝180°﹣70°×2＝40°， ∴∠FAG＝∠BAE＝40°． ∵将△ABC绕点A旋转到△AEF的位置， ∴△ABC≌△AEF， ∴∠F＝∠C＝25°， ∴∠FGC＝∠FAG+∠F＝40°+25°＝65°． 故答案为：65． 14．若点P（3a﹣9，1﹣a）在第三象限内，且a为整数，则a的值是　2　． 解：由题意知， 解得1＜a＜3， ∵a为整数， ∴a＝2， 故答案为：2． 15．已知（x+y）2＝25，（x﹣y）2＝9，则xy＝　4　． 解：∵（x+y）2＝x2+y2+2xy＝25，（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝9， ∴两式相减得：4xy＝16， 则xy＝4． 故答案为：4 三．解答题（一）（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 16．（1）计算：|﹣2|﹣20180+（） ﹣1 （2）解方程：x2﹣6x﹣7＝0． 解：（1）原式＝2﹣1+2＝3； （2）x2﹣6x﹣7＝0， （x﹣7）（x+1）＝0， x﹣7＝0或x+1＝0， x1＝7，x2＝﹣1．． 17．先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a＝﹣3 解：原式＝•＝， 当a＝﹣3时，原式＝﹣2． 18．在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣4，5），C（﹣5，2）． （1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； 画出△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2； （2）求△A2B2C2的面积． 解：（1）如图，△A1B1C1为所作； 如图，△A2B2C2为所作； （2）△A2B2C2的面积＝3×4﹣×1×3﹣×3﹣×4×2＝5． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 20．如图，四边形ABCD是平行四边形； （1）请用尺规作图法，作∠B的平分线，交AD于点E；（不要求写作法，保留作图痕迹） （2）若平行四边形ABCD的周长为10，CD＝2，求DE的长． 解：（1）如图，射线BE即为所求作． （2）∵平行四边形ABCD的周长为10， ∴AD+CD＝5， ∵AB＝CD＝2， ∴AD＝BC＝3， ∵AB＝AE＝2， ∴DE＝AD﹣AE＝1． 21．“赏中华诗词，寻文化基因，品文学之美”，某校对全体学生进行了古诗词知识测试，将成绩分为一般、良好、优秀三个等级，从中随机抽取部分学生的测试成绩，根据调查结果绘制成两幅不完整的统计图，根据图中信息，解答下列问题： （1）求本次抽样调查的人数； （2）在扇形统计图中，阴影部分对应的扇形圆心角的度数是 　90°　； （3）将条形统计图补充完整； （4）该校共有1500名学生，根据抽样调查的结果，请你估计测试成绩达到优秀的学生人数． 解：（1）总人数＝50÷＝120（人）； （2）阴影部分扇形的圆心角＝360°×＝90°， 故答案为：90°； （3）优秀的人数为：120﹣30﹣50＝40（人）， 条形统计图如图所示： （4）测试成绩达到优秀的学生人数有：1500×＝500（人）， 答：该校1500名学生中测试成绩达到优秀的学生大约有500人． 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 22．2022年在中国举办的冬奥会和残奥会令世界瞩目，冬奥会和残奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融家喻户晓，成为热销产品．某商家以每套34元的价格购进一批冰墩墩和雪容融套件．若该产品每套的售价是48元时，每天可售出200套；若每套售价提高2元，则每天少卖4套． （1）设冰墩墩和雪容融套件每套售价定为x元时，求该商品销售量y与x之间的函数关系式； （2）求每套售价定为多少元时，每天销售套件所获利润W最大，最大利润是多少元？ 解：（1）根据题意，得y＝200﹣×4（x﹣48） ＝﹣2x+296， ∴y与x之间的函数关系式：y＝﹣2x+296； （2）根据题意，得W＝（x﹣34）（﹣2x+296） ＝﹣2（x﹣91）2+6498， ∵a＝﹣2＜0， ∴抛物线开口向下，W有最大值， 当x＝91时，W最大值＝6498， 答：每套售价定为：91元时，每天销售套件所获利润最大，最大利润是6498元． 23．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，BD平分∠ABC交⊙O于点D，过点D作DE⊥BC于E． （1）求证：DE与⊙O相切； （2）若AB＝10，AD＝6，求DE的长； （3）在（2）的条件下，直接写出CD的长为 　6　． （1）证明：连接OD， ∵OD＝OB， ∴∠ODB＝∠OBD， ∵BD平分∠ABC， ∴∠OBD＝∠CBD， ∴∠ODB＝∠CBD， ∴OD∥BE， ∵BE⊥DE， ∴OD⊥DE， ∵OD是⊙O的半径， ∴DE与⊙O相切； （2）解：过D作DH⊥AB于H， ∵BD平分∠ABC，DE⊥BE，DH⊥AB， ∴DH＝DE， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵AB＝10，AD＝6， ∴BD＝＝＝8， ∵AB•DH＝AD•AB， ∴DH＝＝， ∴DE＝DH＝； （3）解：∵BD平分∠ABC， ∴＝， ∴CD＝AD＝6， 故答案为：6． 24．如图，已知抛物线y＝ax2+x+4的对称轴是直线x＝3，且与x轴相交于A，B两点（B点在入点右侧），与y轴交于C点． （1）求抛物线的表达式和A，B两点的坐标； （2）若点P是抛物线上B，C两点之间的一个动点（不与B，C重合），过点P作x轴的垂线交直线BC于点D，求PD的最大值以及此时点P的坐标． （3）在（2）的条件下，在对称轴上找一点Q，使得QP+QB的值最小，求出点Q的坐标． 解：（1）∵抛物线y＝ax2+x+4的对称轴是直线x＝3， ∴﹣＝3，解得a＝﹣， ∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+4， 当y＝0时，﹣x2+x+4＝0， 解得x1＝﹣2，x2＝8， ∴点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（8，0）， 答：抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4；点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（8，0）； （2）如图，过点P作x轴的垂线交直线BC于点D， 当x＝0时，y＝﹣x2+x+4， ∴点C的坐标为（0，4）． 设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0）， 将B（8，0），C（0，4）代入y＝kx+b得： ， 解得， ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4． 设点P的坐标为（m，﹣m2+m+4）， 则点D的坐标为（m，﹣m+4）， ∴PD＝﹣m2+m+4﹣（﹣m+4）＝﹣m2+2m＝﹣（m﹣4）2+4， ∴当m＝4时，PD的最大值是4， ∵点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合）， ∴0＜m＜8， ∴此时P点的坐标为（4，6）． 答：PD的最大值是4，此时P点的坐标为（4，6）； （3）如图，连接AP交对称轴于点Q，连接QB， 此时QP+QB的值最小， ∵P点的坐标为（4，6），点A的坐标为（﹣2，0）， 设直线PA的解析式为y＝kx+b（k≠0）， ， 解得， ∴直线PA的解析式为y＝x+2， 当x＝3时，y＝5， ∴点Q的坐标为（3，5）． 第7页（/共4页） 第8页/（共10页） 知人善教 培养品质 引发成长动力 第11页/（共18页） 第12页/（共18页） 学科网（北京）股份有限公司 $$