江苏省五市十一校2023-2024学年高二下学期5月阶段联考数学试题

高二数学 第 1 页 共 4 页 2023-2024 学年度第二学期阶段联测 高二数学试题 考试时间 120分钟，总分 150分 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符 合题目要求的． 1． 2 4 6 6A C （ ）． A．15 B．30 C．45 D．60 2．设点  1, 1, 2A  关于坐标原点的对称点是 B，则 AB 等于（ ） A．4 B．2 3 C．2 2 D．2 3．   4 1 2x 的展开式中 3x 项的系数为（ ） A．32 B． 32 C．64 D． 64 4．如图，在四面体OABC中，OA a   ，OB b   ，OC c   ， 2CQ QB   ，P 为线段OA 的中点，则PQ  等于（ ） A． 1 1 2 2 3 3 a b c     B． 1 1 2 2 3 3 a b c     C． 1 1 2 2 3 3 a b c      D． 1 2 1 2 3 3 a b c      5．楼道里有 9 盏灯，为了节约用电，需关掉 3 盏互不相邻的灯，为了行走安全，第一盏和最后一盏不关， 则关灯方案的种数为 ( ) A．20 B．15 C．10 D．24 6．某早餐店发现加入网络平台后，每天小笼包的销售量  1000,2500X N～ （单位：个），估计 300 天内小笼 包的销售量约在 950 到 1100 个的天数大约是（ ） （ 若 随 机 变 量  2,X N  ～ ， 则   0 . 6 8 2 7P X        ，  2 2 0.9545P X        ，  3 3 0.9973P X        ） A．236 B．246 C．270 D．275 7．已知向量 a，b, c 不共面，则使向量 m＝2a－b, n＝b＋c, p＝xa＋5b＋3c 共面的实数 x 的值是 ( ) A．－4 B. －3 C. －2 D. 4 高二数学 第 2 页 共 4 页 8．若 1 ( | ) 3 P B A  ， 3 ( ) 4 P A  ， 1 ( ) 2 P B  ，则 ( | )P A B （ ） A． 1 4 B． 3 4 C． 1 3 D． 1 2 二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部 选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分． 9．若 3 男 3 女排成一排，则下列说法正确的是（ ） A．共计有 360 种不同的排法 B．男生甲在排头或在排尾的排法总数为 240 种 C．男生甲、乙相邻的排法总数为 240 种 D．男女生相间排法总数为 72 种 10．已知某足球运动员每次定点射门的命中率为 0.5，则下述正确的是（ ） A．若共 10 次射门，则命中次数的数学期望等于 5 B．若共 10 次射门，则命中 5 次的概率最大 C．若共 5 次射门，则命中次数的方差等于 1 D．若共 5 次射门，则至少有两次命中的概率为 1 3 11．在直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， 90BAC  ， 1 2AB AC AA   ， ,E F 分别 是 1 1,BC AC 的中点，D 在线段 1 1B C 上，则下面说法中正确的有（ ） A． / /EF 平面 1 1AA B B B．若D 是 1 1B C 上的中点，则BD EF C．直线EF 与平面 ABC所成角的正弦值为 2 5 5 D．直线BD与直线EF 所成角最小时，线段BD长为 3 2 2 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分． 12．已知集合  1A  ，  2,3B  ，  4,5,6C  ，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点 的坐标，可以确定的不同点的坐标个数为___________.（用数字作答） 13．在空间直角坐标系中，  1,1,1A 、  2,3,4B ，平面BCD的一个法向量是  1,2,1 ，则点A 到平面BCD 的距离为______________． 14．甲、乙两同学玩掷骰子游戏，规则如下： （1）甲、乙各抛掷质地均匀的骰子一次，甲得到的点数为 1n ，乙得到的点数为 2n ； （2）若 1 2n n 的值能使二项式 1 2 1 2 n n x x        的展开式中第 5 项的二项式系数最大，则甲胜，否则乙胜. 那么甲胜的概率为______. 四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 高二数学 第 3 页 共 4 页 15．（13 分）在① 2 14a  ，② 0 1 2C C C C 64nn n n n     ，③ 0 1 2 60na a a a     这三个条件 中任选一个，补充在下面问题中，并解答补充完整的题目. 问题：已知       2 2 0 1 21 1 n n nx x a a x a x a x n         N ，且__________（只需填序号）. (1)求 n 的值；(2)求展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 16．（15 分）已知空间三点      2,0,2 , 1,1,2 , 3,0,4A B C   ，设 ,a AB b AC      ． (1)若 3c   ， / /c BC   ，求 c  ； (2)求 a  与b  的夹角的余弦值； (3)若 ka b   与 2ka b   互相垂直，求 k． 17．（15 分）端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有 10 个粽子，其中豆沙粽 2 个，肉粽 3 个，白 粽 5 个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取 3 个． （Ⅰ）求三种粽子各取到 1 个的概率； （Ⅱ）设 表示取到的豆沙粽个数，求 的分布列与数学期望． X X 高二数学 第 4 页 共 4 页 18．（17 分）如图，在四棱锥 中，四边形 是矩形， 是正 三角形，且平面 平面 ， ， 为棱 的中点，四棱锥 的体积为 ． (1)若 为棱 的中点，求证： 平面 ； (2)在棱 上是否存在点 ，使得平面 与平面 所成锐二面角的余弦 值为 ？若存在，指出点 的位置并给以证明；若不存在，请说明理由. 19．（17 分）某水表制造有限公司，是一家十分优质的水表制造公司，该公司有 3 条水表表盘生产线. （1）某检验员每天从其中的一条水表表盘生产线上随机抽取 100 个表盘进行检测，根据长期生产经验，可 以认为该条生产线正常状态下生产的水表表盘尺寸服从正态分布 N（μ， 2 ）.记 X 表示一天内抽取的 100 个表盘中其尺寸在  3 , 3     之外的个数，求 P ( 1)x  及 X 的数学期望； （2）该公司的 3 条水表表盘生产线其次品率和生产的表盘所占比例如下表： 生产线编号 次品率 所占比例 1 0.02 35% 2 0.01 50% 3 0.04 15% 现从所生产的表盘中随机抽取一只，若已知取到的是次品，试求该次品分别由三条生产线所生产的概率， 并分析该次品来自哪条生产线的可能性最大（用频率代替概率）. 附：若随机变量 Z服从正态分布 N（ 2 ， ），则  3 3 0.9973P Z        ， 1000.9973 0.7631 S ABCD ABCD SAD SAD  ABCD 1AB  P AD S ABCD 2 3 3 E SB / /PE SCD SA M PMB SAD 2 3 5 M