精品解析：甘肃省兰州市榆中县恩玲中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题

2023～2024学年度高一第一学期期末考试 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本卷主要考查内容：湘教版必修第一册第一章～第五章. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“,”的否定形式是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 角度化成弧度为（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 4. 函数，的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，在R上单调递增，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知为第四象限角，，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 在范围内，与角终边相同的角是（ ） A. B. C. D. 10. 下列函数是奇函数的有（ ） A. B. C. D. 11. 已知幂函数的图象经过点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是奇函数 C. 是偶函数 D. 在上单调递增 12. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的单调减区间为 C. 图象的一条对称轴方程为 D. 点是图象的一个对称中心 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知，则______． 14. 函数的定义域为______． 15. 在半径为10的圆中，圆心角为的扇形所对的弧的长度为_________. 16. 已知指数函数（且）在区间上的最大值是最小值的2倍，则______． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 17. 计算： （1）； （2）． 18. 化简求值： （1）已知，求的值； （2）． 19. 已知函数是幂函数，且． （1）求实数m的值； （2）若，求实数a的取值范围． 20. 已知函数为偶函数，当时，. （1）求函数的值域； （2）求关于的方程：的解集. 21. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）求函数在区间上的值域． 22. 已知函数. （1）判断函数在上的单调性，并用定义证明； （2）记函数，证明：函数在上有唯一零点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023～2024学年度高一第一学期期末考试 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本卷主要考查内容：湘教版必修第一册第一章～第五章. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“,”的否定形式是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】全称命题的否定是特称命题，任意改为存在，把结论否定. 【详解】命题“，”的否定形式是”，”． 故选：D 2. 角度化成弧度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合，即可求解. 【详解】根据题意，. 故选：A. 3. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解一元二次不等式求集合B，再由集合的交运算求. 【详解】由题设，， ∴. 故选：C 4. 函数，的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由的图像，即可得出时的最小值． 【详解】由的图像可知，时，， 所以， 故选：D． 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合函数奇偶性，以及对数函数的图像性质，即可求解. 【详解】根据题意，由，可知函数是偶函数，函数图象关于y轴对称，因此CD错误；又由，知恒成立，可知B错误. 故选：A. 6. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数的运算性质即可结合换底公式求解. 【详解】由题意，. 故选：B． 7. 已知函数，在R上单调递增，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合分段函数的单调性，以及指数、对数的图像性质，即可求解. 【详解】根据题意，易知，解得. 故选：C. 8. 已知为第四象限角，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据为第四象限角且可得：，然后利用完全平方即可求解. 【详解】因为为第四象限角且，所以， 也即，将两边同时平方可得： ，所以， 则， 故选：. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 在范围内，与角终边相同的角是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用终边相同的角的定义求解. 【详解】因为，， 所以与角终边相同的角是和， 故选：AC． 10. 下列函数是奇函数的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意，结合函数奇偶性的定义和判定方法，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由函数定义域为， 可得，所以函数为奇函数，符合题意； 对于B中，由函数定义域为，且， 所以函数是偶函数，不符合题意； 对于C中，由函数定义域为， 且，所以为奇函数，符合题意； 对于D中，由函数，可得，不是奇函数，不符合题意. 故选：AC. 11. 已知幂函数的图象经过点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是奇函数 C. 是偶函数 D. 在上单调递增 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据幂函数经过的点得其表达式，结合幂函数的性质即可根据选项逐一求解. 【详解】因为函数的图象过点，所以，即，所以，故A正确： ，定义域为，关于原点对称，所以，所以是偶函数，故B错误，C正确： 又，所以在上单调递减，又是偶函数，所以在上单调递增，故D正确． 故选：ACD． 12. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的单调减区间为 C. 图象的一条对称轴方程为 D. 点是图象的一个对称中心 【答案】ABC 【解析】 【分析】由题可知，解得，又在的图象上，结合得，得，即可判断A；根据三角函数的性质可判断B、C、D. 【详解】由题可知，所以，解得， 所以，又在的图象上，所以， 所以，所以，又，所以， 所以，故A正确； 令，解得， 所以的单调减区间为，故B正确； 令，解得，当时，，故C正确； 令，解得，令，则，故D错误. 故选：ABC. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知，则______． 【答案】0 【解析】 【分析】根据函数表达式整体代换计算．也可用换元法求得解析式再计算． 【详解】，． 故答案为：0． 14. 函数的定义域为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据具体函数的定义域满足的条件得到不等式组，解之即可求出结果. 【详解】由题意得解得，所以函数的定义域为， 故答案为：. 15. 在半径为10的圆中，圆心角为的扇形所对的弧的长度为_________. 【答案】## 【解析】 【分析】将圆心角化为弧度制角，再根据弧长公式计算可得； 【详解】解：因为，即，又， 所以弧长. 故答案为： 16. 已知指数函数（且）在区间上的最大值是最小值的2倍，则______． 【答案】或2 【解析】 【分析】先讨论的范围确定的单调性，再分别进行求解. 【详解】①当时，，得；②当时，，得，故或2． 故答案为：或2. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）（2）根据分数指数幂及对数的运算法则计算可得． 【详解】解：（1） ； （2） ． 18. 化简求值： （1）已知，求的值； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先用诱导公式化简，再用同角三角函数的平方关系求解； （2）先用诱导公式化简，再代入特殊三角函数值计算即可. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ． 19. 已知函数是幂函数，且． （1）求实数m的值； （2）若，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据幂函数定义可求得实数m的所有可能取值，再根据即可得出结果；（2）根据幂函数的解析式可求得其定义域，再利用幂函数的单调性即可求出实数a的取值范围. 【小问1详解】 因为是幂函数，所以， 解得或． 当时，，此时，，显然不符合题意： 当时，，此时，，满足，符合题意． 综上，； 【小问2详解】 因为，所以的定义域为，且在上单调递增， 由， 得，解得， 即实数a的取值范围为 20. 已知函数为偶函数，当时，. （1）求函数的值域； （2）求关于的方程：的解集. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）先求出时的值域，然后由偶函数的性质求解即可； （2）先判断当时，方程无解，然后利用换元法，记，则，求解即可． 【小问1详解】 解：因为当， 又函数为偶函数， 所以函数的值域为，. 【小问2详解】 解：当时，， 而，故，所以此时方程无解. 当，记，则， 方程可化为，解得舍去）， 所以． 综上所述，原方程的解集为． 21. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）求函数在区间上的值域． 【答案】（1）增区间为；减区间为 （2） 【解析】 【分析】(1)利用正弦型函数的单调性直接求即可. (2)整体代换后利用正弦函数的性质求值域. 【小问1详解】 令，有， 令，有， 可得函数的增区间为；减区间为； 【小问2详解】 当时，，， 有， 故函数在区间上的值域为． 22. 已知函数. （1）判断函数在上的单调性，并用定义证明； （2）记函数，证明：函数在上有唯一零点. 【答案】（1）在上单调递增，证明如下： 任取，则， 因为，所以，所以， 即，因此，故函数在上单调递增. （2）证明：因为，， 所以由函数零点存在定理可知，函数在上有零点， 因为和都在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 故函数在上有唯一零点. 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合作差法，即可求证； （2）根据题意，结合单调性与零点存在性定理，即可求证. 【小问1详解】 函数在上单调递增.证明略； 【小问2详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $