精品解析：2024年甘肃省天水市麦积区中考模拟检测（二）数学试题

2024年中考模拟检测试卷（二） 数学 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. ﹣9的相反数是【 】 A. 9 B. ﹣9 C. D. ﹣ 【答案】A 【解析】 【详解】∵相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0． 因此﹣9的相反数是9． 故选A． 2. 若，则“？”表示的数为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，掌握其运算法则是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∴“？”表示的数为4， 故选：C． 3. 若点P在一次函数的图象上，则点P一定不在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象性质，根据中的得出一次函数的图象经过第二、三、四象限，据此进行作答即可． 【详解】解：∵ ∴一次函数图象经过第二、三、四象限， 则点P在一次函数的图象上， 即点P一定不在第一象限． 故选：A． 4. 数轴上点A，B，C表示的数分别是，1，5，点P在数轴上方，且，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进而得出答案． 【详解】解：∵数轴上点A，B，C表示的数分别是，1，5， ∴，， ∴是的中点， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了数轴以及直角三角形斜边上中线的性质，熟知直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解本题的关键． 5. 已知实数，．则下列结论成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 分析】本题考查了运用代数式表达式，先把原式变形，结合，得出，即可作答． 【详解】， ． ， ∴ 则 ． 故选：D． 6. 化简的结果是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了异分母分式减法，先通分，分式两边同时乘以，然后再进行减法运算即可． 【详解】解：． 故选：D． 7. 如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设内角和的度数与四边形外角和的度数分别为，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 无法比较与的大小 【答案】B 【解析】 【分析】多边形的外角和为，的内角和为，则四边形的外角和为，再计算即可． 【详解】解：∵多边形的外角和为，的内角和为， ∴，， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查多边形的外角和定理，三角形的内角和定理的应用，注意多边形的外角和为是解答本题的关键． 8. 中共中央办公厅、国务院办公厅印发的《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》，明确要求初中生每天的书面作业时间不得超过90分钟．某校随机抽取部分学生进行问卷调查，并绘制成了如图所示的频数分布直方图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值），则下列说法正确的是（ ） A. 调查的样本容量为70 B. 频数分布直方图中完成作业时间在60～70分钟内的人数最多 C. 若该校有1480名学生，则完成作业的时间不少于60分钟的约有560人 D. 样本中学生完成作业时间少于50分钟的人数比不低于60分钟的人数多 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，以及频数分布直方图，根据图中信息得出一共抽样调查了人，完成作业时间在50～60分钟内的人数最多以及完成作业的时间不少于60分钟的约有人，样本中学生完成作业时间少于50分钟的有人，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：依题意， ∵（人）， ∴一共抽样调查了人， 故A选项是错误的； 频数分布直方图中完成作业时间在50～60分钟内的人数最多； 故B选项是错误的； 若该校有1480名学生， 则完成作业的时间不少于60分钟的约有（人）； 故C选项是正确的； 样本中学生完成作业时间少于50分钟的有（人）， 学生完成作业时间不低于60分钟的有（人）． 故D选项是错误的； 故选：C． 9. 如图，正六边形中，点M，N分别为边上的动点，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】连接，作于点P，于点Q，由正六边形的性质可得，设各边长为a，则，然后利用勾股定理及面积公式可得答案． 【详解】解：连接，作于点P，于点Q， ∵正六边形各内角为， ∴， ∴， 设各边长为a，则， ∴， 同理， ∴，， ∴， ， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了正多边形内角和定理，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，正确表示出阴影部分和空白部分的面积是解题的关键． 10. 如图，在中，，，，点N从点C出发，以每秒1个单位长度速度沿折线做匀速运动，点N与点B重合时停止运动．设点N的运动时间为x秒，的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数图象与图形面积的结合，掌握动点的运动于图形面积的计算方法，函数图象的性质即可求解． 根据题意，当点N在初始位置时，；当点N在AC上时，；当N在AB上时，；由此即可求解． 【详解】解：如图所示，当点N在初始位置时，过点A作于点P， ，，， ，， ， ； 如图所示，当点N在上时，，过点M作于点P，则是等腰直角三角形， ，，， ， ， ； 此时图像是一条线段； 如图3，当N在上时，过点M作于P，， ∴，， ， 此时图像是一条线段． 综合之，函数的图像是B； 故选：B． 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 昆明轿子雪山年元旦的最高气温为，最低气温为，那么该地区这天的最高气温比最低气温高_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了有理数减法的实际应用，根据题意列出算式计算即可求解，解题的关键是根据题意正确列出算式． 【详解】∵最高气温为，最低气温为， ∴该地区这天的最高气温比最低气温高（）， 故答案为：． 12. 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式，根据方程有两个相等的实数根，得出，解出m的值，即可作答． 【详解】解：整理得， 方程有两个相等的实数根， ， 即， 故答案为： 13. 已知m，n同时满足：与，则的值为_____． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式以及已知式子的值求代数式的值，先整理，再把和分别代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：15． 14. 如图，是的直径，C，D是上的两点，连接，若，平分，则的度数为_____． 【答案】##40度 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，根据同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角进行求解即可． 【详解】解：和都是所对的圆周角， ， 平分， ， 是的直径， ， ． 15. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三、股四、弦五”这一结论．勾股定理与图形的面积存在密切的关系，如图，这是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，若的面积为6，则阴影部分的周长为_____． 【答案】28 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的性质，根据根据勾股定理得，则正方形AEFB的面积是25，因为的面积为6，所以，即可算出阴影部分的周长为． 【详解】解：依题意，， ， 正方形AEFB的面积是25， ． 的面积为6， ， ， ． 即． 阴影部分的周长为． 故答案为： ． 16. 如图，四边形和四边形均为正方形，，．将正方形绕点D顺时针旋转，旋转角为（），连接，，延长交于点H，则的最大值为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质和全等三角形的判定和性质以及直角三角形的性质，根据题意可证，有，则，那么越小，越大．即最大时，取最大值，只有当时，最大，亦即取最大值．结合边长求得，即可求得． 【详解】解:连接，如图， ∵四边形和四边形均为正方形， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∵ ∴越小，越大．即最大时，取最大值，只有当时，最大，亦即取最大值． ∵，． ∴． ，， 即． 三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先运算除法再去括号，然后运算加减，即可作答． 【详解】解： ． 18. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小大小小大中间找，大大小小找不到（无解）是解题的关键． 【详解】解：由①得． 由②得，即．，， 原不等式组的解集为． 19. 化简：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握异分母分式相加减的运算法则是解题的关键． 将除法改写为乘法，再将各个分子分母进行因式分解，最后按照分式的混合运算法则和运算顺序进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 20. 如图，在中，． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若（1）中所作的角平分线与边交于点D，且，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，角平分线的作法和性质． （1）根据角平分线的作法作图即可； （2）过点D作于点E，于点F，在中，利用三角函数的定义求得，再在中，利用三角函数的定义求解即可． 【小问1详解】 解：如图1所示，为所求． 【小问2详解】 解：如图2，过点D作于点E，于点F， ，平分， ∴， ∵，， ∴，和都是等腰直角三角形， ∴， ∴四边形为菱形， ∵， 四边形为正方形， 在中，， ， ， ， ∵， 在中，． 21. 在一个不透明的口袋中放有6个涂有红、黑、白三种颜色的小球（除颜色外其他均相同），其中红球个数比黑球个数少2，从口袋中随机取出一个球是白球的概率为． （1）求每种球的个数． （2）从口袋中随机取出两个球，用列表法或画树状图的方法，求取出的两个球都是黑球的概率． 【答案】（1）红球有1个，黑球有3个，白球有2个 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查列表或树状图求随机事件概率，解方程等知识，掌握列表或树状图求随机事件概率的方法是解题的关键． （1）根据红球，黑球，白球的数量关系，设红球为x个，列方程求解即可； （2）运用列表或树状图求随机事件概率的方法即可求解． 【小问1详解】 解：设红球为x个，则黑球为个，白球为个， ∴由题意得， 解得，则，， 口袋中红球有1个，黑球有3个，白球有2个． 【小问2详解】 解：黑、红、白三种颜色的小球分别记为“1”“2”“3”． 画树状图如下： 共有30种等可能的结果，取出的两个球都是黑球的结果有6种． 取出的两个球都是黑球的概率为． 22. 教育部颁布的《基础教育课程改革纲要》要求每位学生每学年都要参加社会实践活动．某学校组织了一次测量探究活动，世界地质公园内的“黛眉帝柏”，位于渑池和新安交界处，它是有着3000余年树龄的巨型古老柏树．该树植于西周，树干胸径为米，冠幅达380平方米．某数学兴趣小组开展了测量“黛眉帝柏”高度的实践活动．过程如下： 【制定方案】如图，在“黛眉帝柏”底部选取两个不同的测量点C，D测量“黛眉帝柏”的仰角，且点B，C，D在同一水平直线上，图上所有点均在同一平面内． 【实地测量】甲组同学在点D处测得点A的俯角为；乙组同学在点C处测得点A的仰角为． 【解决问题】已知C，D的距离约为，测角仪的高度为，求“黛眉帝柏”的高．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，由题意得，，，．连接交于点P，则四边形为矩形，则．，则，由 得出，即可得出 ，解，求出a的值，即可求出． 【详解】解：由题意得，，，． 如图，连接交于点P，则四边形为矩形，则． 设，则 ， ． 在中， ， 即， 解得． ， 答：“黛眉帝柏”AB的高度约为． 四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 23. 某校依据教育部印发的《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》指导学生积极参加劳动教育．该校七年级数学兴趣小组利用课后托管服务时间，对该校学生一周参加家庭劳动时间情况开展了一次调查研究，将调查获取到的数据进行整理，并得到下列信息． 信息一：抽取的学生一周参加家庭劳动时间统计表． 时间x/分钟 A B C D E 人数 4 6 12 m 8 信息二：抽取学生一周参加家庭劳动时间扇形统计图． 信息三：抽取的学生一周参加家庭劳动时间在C组的数据是124，125，125，125，125，128，130，131，132，135，135，138． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）此次被调查的学生共有_____人，表格中的_____； （2）在这次调查中，抽取的学生一周参加家庭劳动时间的中位数是_____； （3）该校学生有2600人，请估计一周参加家庭劳动时间不低于140分钟的学生人数． 【答案】（1）， （2） （3）1170人 【解析】 【分析】本题主要考查了统计表与扇形统计图的相关知识，中位数的定义以及用样本估计总体等知识． （1）根据A组的人数以及占比即可求出样本的总量，用样本总量乘以D组的占比即可求出m的值． （2）根据中位数的定义求解即可． （3）用样本估计总体即可． 【小问1详解】 解：此次被调查的学生共有（人）． 则（人）． 故答案为：40，10． 【小问2详解】 由于共有40个数据，按从小到大的顺序排列后，其中位数是第20，21个数据的平均数， ∴中位数是． 【小问3详解】 （人）． 答：估计一周参加家庭劳动时间不低于140分钟的学生人数为1170． 24. 如图，已知矩形的两个顶点，都在反比例函数的图象上，经过原点，对角线垂直于轴，垂足为，已知点的坐标为． （1）求反比例函数的解析式； （2）求矩形的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要来考查反比例函数的解析式，矩形的性质证明，三角形相似的判定与性质，掌握先关定义是解题的关键． （1）将点代入中即可得到答案； （2）根据对称得到点的坐标，得到长度，进而得到于是得到，即可得到的长，即可得到矩形的周长． 【小问1详解】 解：把代入得， ． 反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：点A的坐标为； 根据中心对称可得， ， 对角线AC垂直于x轴， ， ， ， ， ， ， 矩形的周长为． 25. 如图，是的直径，C，D为圆上两点，与相交于E，且点B是的中点，连接并延长到M，连接，． （1）求证：是的切线． （2）若，，求与线段围成部分（阴影部分）的面积． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）先得出，结合圆周角定理得出，因为点B是的中点，得出，因为，得出，因为是的直径，则是的切线 （2）先得出，，结合勾股定理得出，再证明是等边三角形，运用扇形面积公式求解，即可作答． 【小问1详解】 证明：∵点B是的中点， ∴ ∴ ∵与相交于E，且点B是的中点， ∴ 即 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵是的直径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：连接 ∵，， 且结合（1）， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 则． 与线段围成部分（阴影部分）的面积为， 【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，平行线的判定与性质，垂直定理，勾股定理，综合性较强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 26. 综合与实践 感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图，点M在直线上，且（可以是直角、锐角或者钝角），像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型，我们把它称为“一线三等角”模型． 应用： （1）如图1，在矩形中，M，N分别为边上的点，，且，则的数量关系是_____； （2）如图2，在中，，，M是上的点（），且，，求的长； （3）如图3，在四边形中，，，，，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、解一元二次方程等知识， 添加辅助线构造相似三角形是解题的关键． （1）证明，则，，即可得到结论； （2）延长至点N，使，证明，则，设，则，，则，解得（负值已舍去）．则，过点M作于点D，求出，，，在中，利用勾股定理求值即可； （3）延长至点P，使，则，连接并延长交的延长线于点Q，过点M作于点N，则四边形为矩形，证明是等腰直角三角形，则，证明为等腰直角三角形，则．设，则，，，证明，得到，即，解得．证明，根据即可求出答案． 【小问1详解】 解：． 证明：四边形为矩形， ． ， ， 又， ∵， ∴， ， ，， ． 故答案为：； 【小问2详解】 如图1，延长至点N，使， ． 为等边三角形， ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ． 设，则，， ， 解得（负值已舍去）． ∴， 过点M作于点D， 在中，， ，，， 在中，， 【小问3详解】 如图3，延长至点P，使，则， 连接并延长交的延长线于点Q， 过点M作于点N，则四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ，， ∴， 为等腰直角三角形，． 设，则，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ，即， 解得，（舍去）， ． ， ， ， ∴． 27. 如图，已知抛物线的对称轴为直线，与y轴交于点Q，过其顶点M的一条直线与该抛物线的另一个交点为． （1）求抛物线解析式． （2）求的面积． （3）在x轴上确定一点P，使的周长最小，并求出此时的面积． 【答案】（1） （2） （3）图见解析， 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法即可求解； （2）分别求出点的坐标，根据即可求解； （3）过点M作关于x轴对称的点，连接交x轴干点P，则，此时的周长最小，运用待定系数法求直线的解析式，分别求出点的坐标，根据即可求解． 【小问1详解】 解：抛物线的对称轴为直线，点是抛物线上的一点， ， 解得， 该抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：如图所示，设直线MN与y轴的交点为A． ， ． 当时，． ． 直线MN：（）， ∴， 解得， ∴直线MN的解析式为． 当时，，即． ． 【小问3详解】 解：如图所示，过点M作关于x轴对称的点，连接交x轴干点P，则，此时的周长最小． 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴该直线的解析式为． 当时，，即． 直线MN：与x轴的交点B的坐标为． ． 【点睛】本题主要考查二次函数与几何的综合，掌握待定系数法求解析式，二次函数以一次函数图象的交点的计算方法，二次函数图象中几何图形面积的计算方法，轴对称最短路径的计算方法等知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年中考模拟检测试卷（二） 数学 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. ﹣9的相反数是【 】 A. 9 B. ﹣9 C. D. ﹣ 2. 若，则“？”表示的数为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 3 3. 若点P在一次函数的图象上，则点P一定不在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 数轴上点A，B，C表示的数分别是，1，5，点P在数轴上方，且，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 已知实数，．则下列结论成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 化简的结果是（ ） A. B. 1 C. D. 7. 如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设内角和的度数与四边形外角和的度数分别为，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 无法比较与的大小 8. 中共中央办公厅、国务院办公厅印发的《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》，明确要求初中生每天的书面作业时间不得超过90分钟．某校随机抽取部分学生进行问卷调查，并绘制成了如图所示的频数分布直方图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值），则下列说法正确的是（ ） A. 调查的样本容量为70 B. 频数分布直方图中完成作业时间在60～70分钟内的人数最多 C. 若该校有1480名学生，则完成作业的时间不少于60分钟的约有560人 D. 样本中学生完成作业时间少于50分钟的人数比不低于60分钟的人数多 9. 如图，正六边形中，点M，N分别为边上的动点，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 10. 如图，在中，，，，点N从点C出发，以每秒1个单位长度速度沿折线做匀速运动，点N与点B重合时停止运动．设点N的运动时间为x秒，的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的是（ ） A B. C. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 昆明轿子雪山年元旦的最高气温为，最低气温为，那么该地区这天的最高气温比最低气温高_____． 12. 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为_____． 13. 已知m，n同时满足：与，则值为_____． 14. 如图，是的直径，C，D是上的两点，连接，若，平分，则的度数为_____． 15. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三、股四、弦五”这一结论．勾股定理与图形的面积存在密切的关系，如图，这是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，若的面积为6，则阴影部分的周长为_____． 16. 如图，四边形和四边形均为正方形，，．将正方形绕点D顺时针旋转，旋转角为（），连接，，延长交于点H，则的最大值为_____． 三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： 18. 解不等式组： 19. 化简：． 20. 如图，在中，． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若（1）中所作的角平分线与边交于点D，且，，求的长． 21. 在一个不透明的口袋中放有6个涂有红、黑、白三种颜色的小球（除颜色外其他均相同），其中红球个数比黑球个数少2，从口袋中随机取出一个球是白球的概率为． （1）求每种球的个数． （2）从口袋中随机取出两个球，用列表法或画树状图的方法，求取出的两个球都是黑球的概率． 22. 教育部颁布的《基础教育课程改革纲要》要求每位学生每学年都要参加社会实践活动．某学校组织了一次测量探究活动，世界地质公园内的“黛眉帝柏”，位于渑池和新安交界处，它是有着3000余年树龄的巨型古老柏树．该树植于西周，树干胸径为米，冠幅达380平方米．某数学兴趣小组开展了测量“黛眉帝柏”高度的实践活动．过程如下： 【制定方案】如图，在“黛眉帝柏”底部选取两个不同的测量点C，D测量“黛眉帝柏”的仰角，且点B，C，D在同一水平直线上，图上所有点均在同一平面内． 【实地测量】甲组同学在点D处测得点A的俯角为；乙组同学在点C处测得点A的仰角为． 【解决问题】已知C，D的距离约为，测角仪的高度为，求“黛眉帝柏”的高．（结果精确到，参考数据：，，） 四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 23. 某校依据教育部印发的《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》指导学生积极参加劳动教育．该校七年级数学兴趣小组利用课后托管服务时间，对该校学生一周参加家庭劳动时间情况开展了一次调查研究，将调查获取到的数据进行整理，并得到下列信息． 信息一：抽取的学生一周参加家庭劳动时间统计表． 时间x/分钟 A B C D E 人数 4 6 12 m 8 信息二：抽取的学生一周参加家庭劳动时间扇形统计图． 信息三：抽取的学生一周参加家庭劳动时间在C组的数据是124，125，125，125，125，128，130，131，132，135，135，138． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）此次被调查的学生共有_____人，表格中的_____； （2）在这次调查中，抽取的学生一周参加家庭劳动时间的中位数是_____； （3）该校学生有2600人，请估计一周参加家庭劳动时间不低于140分钟的学生人数． 24. 如图，已知矩形的两个顶点，都在反比例函数的图象上，经过原点，对角线垂直于轴，垂足为，已知点的坐标为． （1）求反比例函数的解析式； （2）求矩形的周长． 25. 如图，是的直径，C，D为圆上两点，与相交于E，且点B是的中点，连接并延长到M，连接，． （1）求证：是切线． （2）若，，求与线段围成部分（阴影部分）的面积． 26. 综合与实践 感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图，点M在直线上，且（可以是直角、锐角或者钝角），像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型，我们把它称为“一线三等角”模型． 应用： （1）如图1，在矩形中，M，N分别为边上的点，，且，则的数量关系是_____； （2）如图2，在中，，，M是上的点（），且，，求的长； （3）如图3，在四边形中，，，，，求的值． 27. 如图，已知抛物线的对称轴为直线，与y轴交于点Q，过其顶点M的一条直线与该抛物线的另一个交点为． （1）求抛物线的解析式． （2）求面积． （3）在x轴上确定一点P，使的周长最小，并求出此时的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$