2025届高三数学一轮复习对点练24：构造函数证明不等式

2025届高三数学一轮复习对点练24构造函数证明不等式 1.已知函数x)=nx,求证：当x>0时，x)≤x一1. 2.(2024唐山模拟)已知x>一1，证明： (1)ex-1≥x≥ln(x+1)月 (2)(e*-1)ln(x+1)≥x2. 3.已知函数fx)=ax一sinx. (1)若函数x)为增函数，求实数a的取值范围： (2)求证：当x>0时，e>2simx. 4.设函数fx)=ln(a-x)一x十e. (1)求函数x)的单调区间： (2)当a=e时，证明：e-x)er+x2e. 5.(2023·新高考|卷)已知函数x)=a(er十a)一x. (1)讨论x)的单调性： (2)证明：当a>0时，fx)>2na+32. 6.(2023,新高考川卷节选)证明：当0<<1时，x一x2<sinx<x. 7.(2024长沙模拟节选)已知函数x)=alnx十x2,g(x)=c*+x一1,0<a≤1，求证： Ax)g(x). 8.(2024郑州模拟节选)已知函数fx)=ex2-xnx,求证：当x>0时，fx)<xex+ le. 参考答案 1.证明当x>0时，要证x)≤x一1， 即证lnx-x2+x≤0， g(x)=In x-x2+x(x>0), 则g(x)=1x-2x+1=1+x-2x2x=-(x-1)(2x+1)x, 当0<x<1时，g(x)>0,g(x)单调递增： 当x>1时，g'(x)<0,gx)单调递减， ∴.gx)≤g(1)=0, 即当x>0时，x)≤x一1. 2.证明(1)令x)=x-ln(x+1), 则fx)=xx+1,x>一1， 当一1<x0时，(x)0,x)单调递减： 当x>0时，f(x)>0,x)单调递增， 所以x)≥0)=0，等号仅当x=0时成立， 即x≥n(x+1), 从而cr≥cle+)=x十1， 所以ex-1≥x 综上，er-1≥x≥n(x十1) (2)显然当x=0时，(e*-1)ln(x十1)=x2=0 令gr)=xex-I,x≠0 则g'(x)=(1一xex一1(ex-1)2,x≠0. 令hx)=(1-x)e*-1, 则h(x)=一xe, 当x0时，(x)>0,h(x)单调递增： 当0时，H(x)0,h(x)单调递减， 所以hx)≤h(0)=0,等号仅当x=0时成立， 从而g(x)=h(x(ex-1)20,x≠0， 所以g(x)在（一∞，0）和(0，十∞)上单调递减， 由1)知，当一1<<0时，0>x>ln(x+1): 当0时，x>ln(x+1)>0, 所以g(x)g[ln(x+1]， 即，xex-1<lnx+1)elnx+1)-1=ln(x+I)x 又当心-1且x≠0时，x(e-1)>0, 所以(er-1)ln(x+1)>x2 综上，当心一1时，(e-1)n(x+1)≥x2 3.(1)解x)=ax-sinx, ∴f(x)=a-cosx, 由函数x)为增函数， 则fw)=a-cosx≥0恒成立， 即a≥cosx在R上恒成立， ,y=cosx∈[-1,1]，∴.a≥1， 即实数a的取值范围为[1，十o) (2)证明由(I)知，当a=1时，x)=x一sinx为增函数， 当x心0时，fxP0)=0→xsin x, 要证当0时，e>2sinx, 只需证当x心0时，e>2x, 即证e一20在(0，+o)上恒成立， 设gx)=ex-2x(x>0),则g(x)=er一2， 令g(x)=0解得x=n2,·g(x)在(0，ln2)上单调递减，在n2,+∞)上单调递 增， ∴.g(xim=gn2)=cn2-2ln2=2(1-ln2)>0, ∴.g(r)≥g(n2)>0,.e>2x成立， 故当>0时，e>2sinx 4.(1)解由题意得函数x)的定义域为{xx<a}, f(x)=Ix-a-1=1-x+ax-a, .'x<a,.f(x)0. 故函数x)的单调递减区间为（一∞，a),无单调递增区间， (2)证明法一当a=e时，要证fe一x)er+x2e, 即证lnx+xer+x2e(x>0), 即证lnxx+1<exx+12e 设g(x)=lnxx十1(>0)， 则g'x)=1-lnx20), 令gx)>0,得0x<e: 令g'x)0,得x>e, ∴.g(x)在(0，e)上单调递增，在(e,+c∞)上单调递减， ∴.gx)≤g(e)=le+1 设h(x)=exx+12e(c>0), 则hH(x)=ex一1x2(x0), 令h(x)>0,得xP1: 令h(x0,得0<x<1, .hx)在(0,1)上单调递减，在(1，十∞)上单调递增， .hx)≥h(1)=e+12e, '.'lalvs4lallcol(fle)+1)-lalvs4alcol(e+f12e))=12e+1-e<0, ∴.le+1<e+12e, .当a=e时，fe-x)er+x2e. 法二当a=e时，要证e-x)er+x2e, 即证lnx+x<e+x2e(>0), 即证lnx一x2e<er一x, 设g(x)=lnx一x2e,则g'(x)=2e一x2ex, 当x∈(0,2e)时，g(x)P0: 当x∈(2e,+∞)时，g'(x)0, ∴.g(x)在(0,2c)上单调递增，在(2e,+c∞)上单调递减， ∴.gx)≤g(2e)=ln(2e)-1=ln2<1. 设h(x)=e一x,x0, 则h(x)=e一1>0在(0，+∞)上恒成立. ∴.h(x)在(0，+∞)上单调递增， .1hx>e0-0=1, ∴.g(xh(x),即e-x)er+x2e 5.(1)解f(x)=aer-1,x∈R 当a≤0时，f(x0, 所以函数x)在（一∞，十∞）上单调递减： 当a0时，令f(x)>0,得o-na: 令fx)0,得x<-lna, 所以函数x)在（一∞，一lna)上单调递减， 在（一lna,十∞）上单调递增 综上，当a≤0时，函数f)在（一∞，十∞）上单调递减： 当a>0时，函数fx)在（一∞，一na)上单调递减，在（一lna,十∞）上单调递增 (2)证明法一由(1)得当a>0时，函数w)的最小值为f-lna)=1+a2+lna. Ag(a)=1+a2+In a-2In a-32 =a2-lna-12,a∈(0，+∞)， 所以g'(a)=2a-1a, 令g(a)>0,得a>2)2: 令g'(a)0,得0<a<2)2, 所以函数g(a)在lals4 alco10,fr(2)2)上单调递减，在las4alco1fr2)2), 十o)上单调递增， 所以函数g(a)的最小值为gavs4 allcoll0yr2)2)=las41 alcol(ffr2)2)2-ln2) 2-12=ln20, 所以当a0时，fx)>2na+32成立。 法二当心0时，由(1)得 fx)min=A-In a)=1+a2+In a, 故欲证x)>2lna十32成立， 只需证1+a2+lna>2na+32, 即证a2-12>lna. 构造函数(a)=lna一(a一1)(a>0), 则'(a)=1a-1=1-aa, 所以当a>1时，'(a)0;当0<a<1时，t'(a)0, 所以函数(a)在(0,1)上单调递增，在(1，十∞)上单调递减， 所以u(a)≤u(1)=0,即lna≤a-1, 故只需证ca2-12>a-1,即证a2-a+12>0. 因为a2-a+12=as4 alcol(a-12)2+14>0恒成立， 所以当a>0时，fx>2lna+32成立 6.证明令hx)=x一x2-sinx(0<<1), 则h(x)=1一2x一cosx(0<<1) 令p(x)=1-2x-cosx(0<x<1), 则p'x)=一2十sinx<0, 所以px)即h()在(0,1)上单调递减， 又h(0)=0, 所以当0<<1时，h(xh(0)=0,(x)单调递减， 所以当0<r<1时，hx)<h0)=0, 即x-x2<sinx 令gw)=sinx-x(0<<l), 则g'x)=cosx-1≤0， 所以g(x)在(0,1)上单调递减，又g(0)=0, 所以当0<r<1时，g(x)g0)=0, 即sinx<x. 综上，当0<x<1时，x一x2<sin<x 7.证明要证明x)g(x), 只需证明axln x-十x2<ex+x一1， 只需证明alnx十1<ex十x一lx2, u(x)=alnxx+1,v(x)=ex+x-1x2, 又tx)=a(1-lnx)x2,0<a≤1， 则0xe时，n'(x)>0,函数u(x)在(0，e)上单调递增： xe时，(x)0,函数(x)在(e,+oo)上单调递减： 所以x=e时，(x)取得最大值，最大值为ae十1， 由(x)=ex+x一lx2可得v'(x)=(x一2)(ex一1)x3, 则0<x2时，v'(x)0,函数)在(0,2)上单调递减； x>2时，'(x)>0,函数(x)在(2，+∞)上单调递增； 则x=2时，v(x)取得最小值，且最小值为e2十14， 又e2+14-ae-1>e2-34-1e>0, 所以e2+14ae+1, alvs4\allcol(ffaln xx)+1)ma alvs4allcol(frex+x-1x2))min, 所以0<a≤1时，x)g(x) 8.证明要证fx)<xer+le, 只需证ex-lnx<er+lex, 即ex-cr<lnx+lex 令hx)=lnx+Iex(x>0), 则h(x)=ex-lex2, 易知hx)在lalvs4 al col0,fle)上单调递减，在lavs4 alcol(fle),十oo上单调 递增， 则h(x)min=hlalvs4-alcol(fle)=0,所以nx+lex≥0. 再令p(x)=er一er,则p'(x)=e一e', 易知(x)在(0,1)上单调递增，在(1，十∞)上单调递减， 则p(x)max=p(1)=0,所以ex-er≤0 因为hx)与p(x)不同时为0， 所以ex一er<lnx十lex,故原不等式成立.