指对同构专练-2025届高三数学一轮复习

2025届高三数学一轮复习对点练29 指、对同构 1.若不等式xe一a三lnx十x-1恒成立,求实数a的取值范围 2.(2024·青岛模拟)已知函数/(x)一xex-x (1)讨论/x)的单调性; (2)证明:当x>0时,fx)-nx1 3.(2024·武汉调研)已知关于x的不等式e十x三ln[(m十1)xl十(m十1)x在(0, 寸) 上恒成立,求实数n的取值范围 4.(2022·新高考1卷节选)已知函数/(x)一ex一x和g(x)一x一lnx.证明:存在直线 y=b,其与两条曲线y三fx)和y一g(x)共有三个不同的交点,并且从左到右的三个 交点的横坐标成等差数列 5.(1)(2024·南京调研)已知实数a,满足aea-3-1,/(nB-1)=e4,其中e是自然 对数的底数,则a的值为 (2)设实数m>0,若对任意的x三e,不等式x2lnx一me”“三0恒成立,则m的最大 值为 6.(1)(2024·渭南模拟)设实数)>0,对任意的x1,不等式e*三lnx恒成立,则的 取值范围为 (2)已知函数f(x)一e”r十x一xnx(m三0),设函数fx)的导函数为/(x),讨论f(x)零 点的个数. 7.(1)(2024·郑州质检)已知函数/fx)=lnx,g(x)=xe-x,若存在xE(0,+),x2 ER,使得f(x)=g(x)=k(k<o)成立,则alvs4alcol(f(x2x/)2ex的最大值为 (2)(2024金华调研)已知函数/f(x)-aexlnx,g(x)-x2+xlna,a>0.设函数h(x)-g ()一/(x),若/h(x)>0对任意的xE(0,1)恒成立,则实数a的取值范围是 8.已知函数fx)=lneax-leax,若不等式fx)lnx-Ix对xE(0,el恒成立,求。 的取值范围 参考答案 1.解 .xer-a>lnx+x-1, 'elnx十x-a>lnx十x-1, 令t=lnx+x. 则el-at-1恒成立, 则ae一(士1恒成立 令q(t)-e-1十1, .(t)-e-1, 当tE(-o,0)时,(t)0; 当:E(0,十)时,(t)>0 '.x)在(-o,0)上单调递减,在(0,+o)上单调递增, '.q(t)min-(o)-2, *实数a的取值范围是(-,21. 2.(1)解 7 由题意得/(x)-(x十1)ex-1, 设g(x)-(x十1)e*, 则g(x)-(x+2)er, 当x<-1时,g(x)<0,/(x)<0. fx)在(-co,-1]上单调递减; 当-1时,g(x)0,g(x)单调递增, 又因为g(0)-1, 所以当x0时,g(x)-1,即/(x)~0; 当x0时,g(x)1,即/(x)0, 综上可知,fx)在(一oo,0)上单调递减,在(0,十o)上单调递增 (2)证明 要证/(x)-lnx>1, 即证xex-x-lnx1. 即证ex+lnx-(x+lnx)1. 令-x十lnx. 易知后R,待证不等式转化为e一t1. 设u(t)-e-t,则'(t)-e-1, 当1~0时,u(t)0; 当>0时,r(t>0. 故u(t在(-,0)上单调递减,在(0,+o)上单调递增 所以u(t)u(0)-1,原命题得证 3.解 e+x>ln[(m+1)x]+(m+1)x=eln[(m+1)x]+ln[(m+1)x], 令f{x)=ex十x,xE(0,+) 则f(x)-e+1>0 故/(x)在(0,十o)上单调递增 若fx)/(ln[(m+1)x], 则xlnl(m+1)xl在(0,+o)上恒成立 记g(x)=x-ln[(m+1)x], 则g(x)二0在(0,十o)上恒成立 即g(x)min二0, 因为g(x)-1-/x. 当01时,g(x)0; 当1时,g(x)>0, 故g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增, 故g(x)in=g(1)=1-ln(m+1)>0. 所以ln(m+1)<1,即0<m+1<e. 解得-1<n<e-1, 所以m的取值范围是(一1,e一1] 4.证明 /(x)=ex-x,g(x)-x-lnx, 则/fx)在(-oo,0)上单调递减,在(0,+o)上单调递增;g(x)在(0,1)上单调递减 在(1,十)上单调递增, /f(x)min-g(x)min-1. 当直线v=b与曲线v-/(x)和v=g(x)共有三个不同交点时 如图,设三个交点的横坐标分别为x,x2,x3,且x~x2<x, # y=g(x) y= 则 fqx)=fx)-g (x)-g($ - ./fx)=e-x, g(x)=x-lnx=elnx-lnx=f(lnx), '#f{x)=fx)=f(lnx)=f(lnx 由于x2字x1,x2lnx2. 'x=lnx,x=lnx2 则/(n x)-h→2-lnx2=2-hn x2=2-x=, fln x3)-n3-lnx=-ln x=3-x=6, 上述两式相减得x+x3-2x2 即从左到右的三个交点的横坐标成等差数列. 5.(1)e4 (2)e I(1)法- cea-3-1, 即aea=e3,'a>0,(ln -1)-fln je= 4 即peln Be=e3, alvs4\allcol(dn f(pe)eln{e-e3, ..ln/Be>0, 令f(x)-xe(x>0) 则flalvs4lallcol(dn f(Be)=f(a)-e3 'f(x)=(x十1)er>0恒成立, './f(x)在(0,十)上单调递增, 'ln e=a,即B=ea+l,.a=aea+1-e 法二 ln-1)-/flnBe=e, 即Beln Be=e3>0, ..Be>1 gea-3-1,即aea-e3,ea-lnea-e3, '.e1, 令f(x)-xlnx(x>1). 则falvs4lalcol(f(Be)-f(e)=e3. '/(x)-lnx+1>0恒成立 '.fqx)在(1,+o)上单调递增, 'Be=e,即B=a+1. '=aea+1-e4. (2)x2lnxme“xlnxmxen=(e”)ln(e**), .m0,xe,.e>1, 令f(x)=xlnx(x>1),f$x)=lnx+1>0 ..f(x)在(1,+o)上单调递增 '.fqx)>f(e”*)-xe”, 即lnxmx,m<(xlnxmin=e.] 6.(1)fle),+o)[由题意,得e*x三xlnx=elnx-lnx. 令f(t)=te,tE(0,+o) 则r(t)-(t十1)e→0. 所以ft)在(0,+o)上单调递增 又f(x)一/(lnx). 即当xE(1,+o)时,xlnx, 即nxx恒成立, 令g(x)=lnxx,xE(1,+o). 则g(x)-I-nxx2. 所以在(1,e)上,g(x)>0,则g(x)单调递增; 在(e,+o)上,g(x)0,则g(x)单调递减; 所以g(x)>g(e)-le,故1>le] (2)解 f(x)=me"x-lnx(x>0), 令/(x)-0,则mem-lnx, 即mxen-(lnx)elnx, .m0.lnx0.mx0...x1 设h(t)-ie(t0), '.mxe*x=xlnx/h(mx)=h(lnx). h(t)-(t十1)e/0, './h()在[0,+o)上单调递增 ..mx=lnx,即m=lnxx 设g(x)=lnxx(x=>1),g(x)=1-ln$ 令g(x)0,解得1<x<e; 令g'(x)0,解得xe. '.g(x)在(1,e)上单调递增,在(e, +o)上单调递减, g$(1)=0,g(e)=le,'xe时,g(x)>0. '.m=0或m=le时,f(x)有1个零点; 0m<le时,f(x)有两个零点 mle时,f(x)没有零点。 7.(1)4e2(2)(1e),+oo) [(1)(x)-I-lnxx2. 易判断/(x)在(0,e)单调递增,在(e,十)单调递减, ./(x)-g(x2)-kc0, *.lnxlxI-x2ex2-lnex2ex2-k~0 从而0<x-1,0<e2<1,.'.x=e2, 'vs4lallcol(fx2x l))2ek-alvs4lallcoIfx2ex2)2ek-k2e,k0 令n(x)=x2e,x0,r(x)=(r2+2x)e¥, '.h(x)在(-o,-2)上单调递增,在(-2,0)上单调递减, .h(x)<h(-2)-4e2. (2)由h(x)>0,得g(x)-/(x)0. 得aelnxy2+xlna. 所以ln xx-xaex+ln aaex-ln(aex)aex 即ln(aex)aexlnxx对任意xE(o,1)恒成立 设H(x)-lnxx,则H'(x)=I-lnxx2 当xE(0,e)时,H'(x)>0,H(x)单调递增; 当xE(e,+o)时,H'(x)<0,H(x)单调递减, 且当xE(1,+)时,H(x)0; 当xE(0,1)时,H(x)0 若aex三1>x,则H(ae)>H(1)=0>H(x). 若0<aex~1, 因为H(ae)H(x). 且H(x)在(0,1)上单调递增,则可得aex 综上可知,ae>x对任意xE(0,1)恒成立 即axex对任意xE(0,1)恒成立. 设G(x)=xex,xE(0,1),则G'(x)=1-xe$x, 所以G(x)在(0,1)上单调递增 则G(x) G(1)-le, 所以a>le, 即实数a的取值范围为ffle), ,+oo)。] 8. 解 因为lneax-leax>lnx-lx, 设函数gqx)=lnx-lx,xE(0,e], 则lneax-leax>lnx-lx等价于glea)=g(x) :g(x)-2-lnxx2, .当xE(0,e]时,g(x)>0, 则g(x)在(0,el上单调递增, '.当xE(0,e]时,g(ea)g(x)等价于eax. 即lnx恒成立. 设函数h(x)-lnxx,xE(0,el. 则(x)=/-lnx2>0 即/(x)在(0,el上单调递增, '.h(x)max=h(e)=le,则a>le即可, ..a的取值范围为(le), +oo).