2024年广东九年级中考数学题型训练5-1——四边形

一、多边形与平行四边形 1. 若一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个正多边形的边数是（　　） A．10 B．9 C．8 D．6 2. 如图1，在▱ABCD中，已知AD=8cm，AB=6cm，DE平分∠ADC交BC边于 点E，则BE等于（　　） A． cm B．2cm C．3cm D．4cm 3. 如果n边形每一个内角等于与它相邻外角的2倍，则n的值是（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 4. 如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线 BD于点F，若，则________． 5. 正五边形的外角和等于　 　（度）． 6. 一个n边形的内角和是720°，则n＝　 　． 7. 一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个多边形是_____边形． 8. 若一个多边形的内角和比外角和大360°，则这个多边形的边数为_____． 9. 如图，点O是▱ABCD的对称中心，AD＞AB，点E、F在边AB上，且AB＝2EF，点G、H在边BC边上，且BC＝3GH，则△EOF和△GOH的面积比为__． 10. 如图，在▱ABCD中，E为AD的三等分点，AE=AD，连接BE交AC于点F，AC=12，则AF为_____． 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 如图，在正n边形A1A2A3…An中（n≥5），连接A1A3A1An﹣1，则∠A3A1An﹣1＝　 　（用含n的代数式表示）． 12. 已知，正六边形ABCDEF在直角坐标系内的位置如图6所示，A（﹣2，0），点B在原点，把正六边形ABCDEF沿x轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转60°，经过2015次翻转之后，点B的坐标是______． 13. 如图，在□ABCD中，AB=5，BC=8. （1）作∠ABC的角平分线交线段AD于点E（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）： （2）在（1）的条件下，求ED的长。 14. 如图，平行四边形AOBC的顶点O（0，0），A（﹣1，2），B（7，0），作∠AOB的平分线交AC于点G，并求线段CG的长，（要求尺规作图保留作图痕迹，不写作法） 15. 如图，四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，O是AC的中点，AD//BC，AC=8,BD=6. （1）求证：四边形ABCD是平行四边形； （2）若AC⊥BD，求□ABCD的面积. 16. .已知：如图，平行四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD． （1）求证：AB=AF； （2）若AG=AB，∠BCD=120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论． 二、特殊的平行四边形 1.下列判断错误的是（　　） A. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B. 四个内角都相等的四边形是矩形 C. 两条对角线垂直且平分的四边形是正方形 D. 四条边都相等的四边形是菱形 2.如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连线EF为边正方形EFGH的周长为（　　） A． B．2 C．1 D．21 3.如图，在正方形ABCD中，点P从点A出发，沿着正方形的边顺时针方向运动一周，则△APC的面积y与点P运动的路程x之间形成的函数关系图象大致是（　　） A． B． C． D． 4.如图，已知正方形ABCD，点E是BC边的中点，DE与AC相交于点F，连接BF，下列结论：①S△ABF＝S△ADF；②S△CDF＝4S△CEF；③S△ADF＝2S△CEF；④S△ADF＝2S△CDF，其中正确的是（　　） A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 5.如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM//AB交AD于点M，若OM=3，BC=10，则OB的长为（ ） A． 5 B． 4 C. D． 6如图，点P是菱形ABCD边上的一动点，它从点A出发沿在A→B→C→D路径匀速运动到点D，设△PAD的面积为y，P点的运动时间为x，则y关于x的函数图象大致为（　　） A． B． C． D． 7.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是边AB、AC的中点，点G、F在BC边上，四边形DGFE是正方形．若DE＝4cm，则AC的长为（　　） A. 4cm B. 2cm C. 8cm D. 4cm 8.如图，在半径为6cm的⊙O中，点A是劣弧BC的中点，点D是优弧BC上一点，且∠D＝30°，下列四个结论：①OA⊥BC；②BC＝6cm；③sin∠AOB＝；④四边形ABOC是菱形．其中正确结论的序号是（ ） A ①③ B. ①②③④ C. ②③④ D. ①③④ 9.如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上运动，过点作轴于点，以为对角线作矩形连结则对角线的最小值为 ． 10.如图，矩形ABCD中，BC＝4，CD＝2，以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，连接BD，则阴影部分的面积为　　．（结果保留π） 11.已知，正六边形ABCDEF在直角坐标系内的位置如图所示，A（﹣2，0），点B在原点， 把正六边形ABCDEF沿x轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转60°，经过2015次翻 转之后，点B的坐标是______． 12.如图，矩形ABCD中，对角线AC＝2，E为BC边上一点，BC＝3BE，将矩形ABCD沿AE所在的直线折叠，B点恰好落在对角线AC上的B′处，则AB＝　　． 13.如图，菱形ABCD的边长为6，∠ABC＝60°，则对角线AC的长是　　． 14.如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF给出下列五个结论：①AP=EF；②AP⊥EF； ㈢△APD一定是等腰三角形；④∠PEF=∠BAP；⑤PD=EC，其中正确结论的序号是______． 15.如图，矩形纸片ABCD中，AB＝5，BC＝3，先按图（2）操作：将矩形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使点D落在边AB上的点E处，折痕为AF；再按图（3）操作，沿过点F的直线折叠，使点C落在EF上的点H处，折痕为FG，则A、H两点间的距离为　　． 16.如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=6，将矩形ABCD折叠，使得点B落在边AD上，记为点G，BC的对应边GI与边CD交于点H，折痕为EF，则AE=_____时，△EGH为等腰三角形． 17.如图，15个形状大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角为60°，A、B、C都在格点上，点D在过A、B、C三点的圆弧上，若E也在格点上，且∠AED＝∠ACD，则cos∠AEC＝　　． 18.如图，△ABC中，AB＝AC．求作一点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形，并证明你作图的正确性．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 19. 已知：如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点．判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论． 20.如图1，将矩形ABCD沿DE折叠，使顶点A落在DC上的点A′处，然后将矩形展平，沿EF折叠，使顶点A落在折痕DE上的点G处．再将矩形ABCD沿CE折叠，此时顶点B恰好落在DE上的点H处．如图2． （1）求证：EG=CH； （2）已知AF=，求AD和AB的长． 21.已知：如图，平行四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD． （1）求证：AB=AF； （2）若AG=AB，∠BCD=120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论． 22.如图，抛物线与坐标轴相交于A、B、C三点，P是线段AB上一动点（端点除外），过P作PD∥AC，交BC于点D，连接CP．求△PCD面积的最大值，并判断当△PCD的面积取最大值时，以PA、PD为邻边的平行四边形是否为菱形． 23.如图，四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，O是AC的中点，AD//BC，AC=8,BD=6.若AC⊥BD，求□ABCD的面积. 24.如图所示，已知四边形ABCD，ADEF都是菱形，∠BAD＝∠FAD，∠BAD为锐角． （1）求证：AD⊥BF； （2）若BF＝BC，求∠ADC的度数． 一、多边形与平行四边形答案 1. 若一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个正多边形的边数是（　　） A．10 B．9 C．8 D．6 【解答】解：设多边形有n条边，由题意得：180°（n﹣2）＝360°×3，解得：n＝8．故选：C． 2. 如图1，在▱ABCD中，已知AD=8cm，AB=6cm，DE平分∠ADC交BC边于 点E，则BE等于（　　） A． cm B．2cm C．3cm D．4cm 【解答】.A． 3. 如果n边形每一个内角等于与它相邻外角的2倍，则n的值是（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】设外角为x，则相邻的内角为2x，由题意得，2x+x=180°，解得，x=60°，360÷60°=6，故选C． 4. 如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线 BD于点F，若，则________． 【解答】4 5. 正五边形的外角和等于　 　（度）． 【解答】解：任意多边形的外角和都是360°，故正五边形的外角和为360°． 故答案为：360°． 6. 一个n边形的内角和是720°，则n＝　 　． 【解答】解：依题意有：（n﹣2）•180°＝720°，解得n＝6．故答案为：6． 7. 一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个多边形是_____边形． 【答案】八 【解析】解：设多边形的边数是n，根据题意得，（n﹣2）•180°＝3×360°，解得n＝8，故答案为：八． 8. 若一个多边形的内角和比外角和大360°，则这个多边形的边数为_____． 【答案】六 【解析】设多边形的边数是，根据题意得，，解得．故答案为：6． 9. 如图，点O是▱ABCD的对称中心，AD＞AB，点E、F在边AB上，且AB＝2EF，点G、H在边BC边上，且BC＝3GH，则△EOF和△GOH的面积比为__． 【答案】3：2． 【解析】连接AC、BD， ∵点O是▱ABCD的对称中心，∴AC、BD交于点O，∴S△AOB＝S△BOC， ∵AB＝2EF，∴S△EOF＝S△AOB， ∵BC＝3GH，∴S△GOH＝S△BOC，∴S△EOF：S△GOH＝3：2，故答案为：3：2． 10. 如图，在▱ABCD中，E为AD的三等分点，AE=AD，连接BE交AC于点F，AC=12，则AF为_____． 【答案】4.8． 【解析】在▱ABCD中，AD=BC，AD∥BC， ∵E为AD的三等分点，∴AE=AD=BC， ∵AD∥BC，∴==，∵AC=12，∴AF=×12=4.8． 11. 如图，在正n边形A1A2A3…An中（n≥5），连接A1A3A1An﹣1，则∠A3A1An﹣1＝　 　°（用含n的代数式表示）． 【解答】解：正n边形中∠A3A1An﹣1＝．故答案为：． 12. 已知，正六边形ABCDEF在直角坐标系内的位置如图6所示，A（﹣2，0），点B在原点，把正六边形ABCDEF沿x轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转60°，经过2015次翻转之后，点B的坐标是______． 【解答】（4031，）　 13. 如图，在□ABCD中，AB=5，BC=8. （1）作∠ABC的角平分线交线段AD于点E（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）： （2）在（1）的条件下，求ED的长。 【解答】（1）如图所示，BE为所求； k.Com] （2）在□ABCD中 ∵AB//CD，AD=BC=8；∴∠AED=∠EBC ∵BE平分∠ABC；∴∠ABE=∠EBC ；∴∠ABE=∠AEB ∴AE=AB=5； ∴DE=AD-AE=3 14. 如图，平行四边形AOBC的顶点O（0，0），A（﹣1，2），B（7，0），作∠AOB的平分线交AC于点G，并求线段CG的长，（要求尺规作图保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 【解析】解：如图， 就是所求的的平分线. 的顶点，， ，， 在中，. 由题意可知平分， ， 又，， ，. 的顶点，，. 15. 如图，四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，O是AC的中点，AD//BC，AC=8,BD=6. （1）求证：四边形ABCD是平行四边形； （2）若AC⊥BD，求□ABCD的面积. 【解答】（1）证明：∵AD//BC；∴∠DAC=∠ACB Com] ∵点O是AC的中点；∴AO=CO ∵∠AOD=∠COB；∴△AOD≌△COB（ASA） ∴AD=BC；∵AD//BC；∴四边形ABCD为平行四边形 （2）∵AC⊥BD；∴□ABCD为菱形 ∴ 16. .已知：如图，平行四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD． （1）求证：AB=AF； （2）若AG=AB，∠BCD=120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论． 【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BE∥CD，AB=CD， ∴∠AFC=∠DCG，∵GA=GD，∠AGF=∠CGD，∴△AGF≌△DGC， ∴AF=CD，∴AB=CF． （2）解：结论：四边形ACDF是矩形． 理由：∵AF=CD，AF∥CD，∴四边形ACDF是平行四边形， ∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD=∠BCD=120°，∴∠FAG=60°， ∵AB=AG=AF，∴△AFG是等边三角形，∴AG=GF， ∵△AGF≌△DGC，∴FG=CG，∵AG=GD，∴AD=CF，∴四边形ACDF是矩形． 二、特殊的平行四边形答案 1.下列判断错误的是（　　） A. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B. 四个内角都相等的四边形是矩形 C. 两条对角线垂直且平分的四边形是正方形 D. 四条边都相等的四边形是菱形 【答案】C 【解析】根据平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定，对选项进行判断即可 【详解】解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故本选项正确； B、四个内角都相等的四边形是矩形，故本选项正确； C、两条对角线垂直且平分的四边形是菱形，不一定是正方形，故本选项错误； D、四条边都相等的四边形是菱形，故本选项正确． 故选：C 【点睛】此题综合考查了平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定，熟练掌握判定法则才是解题关键 2.如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连线EF为边正方形EFGH的周长为（　　） A． B．2 C．1 D．21 【答案】B 【分析】由正方形的性质和已知条件得出BC＝CD1，∠BCD＝90°，CE＝CF，得出△CEF是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得出EF的长，即可得出正方形EFGH的周长． 【解答】解：∵正方形ABCD的面积为1， ∴BC＝CD1，∠BCD＝90°， ∵E、F分别是BC、CD的中点， ∴CEBC，CFCD， ∴CE＝CF， ∴△CEF是等腰直角三角形， ∴EFCE， ∴正方形EFGH的周长＝4EF＝42； 故选：B． 3.如图，在正方形ABCD中，点P从点A出发，沿着正方形的边顺时针方向运动一周，则△APC的面积y与点P运动的路程x之间形成的函数关系图象大致是（　　） A． B． C． D． 【分析】分P在AB、BC、CD、AD上四种情况，表示出y与x的函数解析式，确定出大致图象即可． 【解答】解：设正方形的边长为a， 当P在AB边上运动时，yax； 当P在BC边上运动时，ya（2a﹣x）ax+a2； 当P在CD边上运动时，ya（x﹣2a）ax﹣a2； 当P在AD边上运动时，ya（4a﹣x）ax+2a2， 大致图象为： 故选：C． 4.如图，已知正方形ABCD，点E是BC边的中点，DE与AC相交于点F，连接BF，下列结论：①S△ABF＝S△ADF；②S△CDF＝4S△CEF；③S△ADF＝2S△CEF；④S△ADF＝2S△CDF，其中正确的是（　　） A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 【答案】C 【分析】由△AFD≌△AFB，即可推出S△ABF＝S△ADF，故①正确，由BE＝ECBCAD，AD∥EC，推出，可得S△CDF＝2S△CEF，S△ADF＝4S△CEF，S△ADF＝2S△CDF，故②③错误④正确，由此即可判断． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD∥CB，AD＝BC＝AB，∠FAD＝∠FAB， 在△AFD和△AFB中， ， ∴△AFD≌△AFB， ∴S△ABF＝S△ADF，故①正确， ∵BE＝ECBCAD，AD∥EC， ∴， ∴S△CDF＝2S△CEF，S△ADF＝4S△CEF，S△ADF＝2S△CDF， 故②③错误④正确， 故选：C． 5.如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM//AB交AD于点M，若OM=3，BC=10，则OB的长为（ ） A． 5 B． 4 C. D． 【答案】D 6.如图，点P是菱形ABCD边上的一动点，它从点A出发沿在A→B→C→D路径匀速运动到点D，设△PAD的面积为y，P点的运动时间为x，则y关于x的函数图象大致为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设菱形的高为h，即是一个定值，再分点P在AB上，在BC上和在CD上三种情况，利用三角形的面积公式列式求出相应的函数关系式，然后选择答案即可． 【解答】解：分三种情况： ①当P在AB边上时，如图1， 设菱形的高为h， yAP•h， ∵AP随x的增大而增大，h不变， ∴y随x的增大而增大， 故选项C不正确； ②当P在边BC上时，如图2， yAD•h， AD和h都不变， ∴在这个过程中，y不变， 故选项A不正确； ③当P在边CD上时，如图3， yPD•h， ∵PD随x的增大而减小，h不变， ∴y随x的增大而减小， ∵P点从点A出发沿在A→B→C→D路径匀速运动到点D， ∴P在三条线段上运动的时间相同， 故选项D不正确； 故选：B． 7.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是边AB、AC的中点，点G、F在BC边上，四边形DGFE是正方形．若DE＝4cm，则AC的长为（　　） A. 4cm B. 2cm C. 8cm D. 4cm 【答案】D 【解析】根据三角形的中位线定理可得出BC＝4，由AB＝AC，可证明BG＝CF＝2，由勾股定理求出CE，即可得出AC的长． 【详解】解：∵点D、E分别是边AB、AC的中点， ∴DE＝BC， ∵DE＝4cm， ∴BC＝8cm， ∵AB＝AC，四边形DEFG是正方形， ∴DG＝EF，BD＝CE， 在Rt△BDG和Rt△CEF， ， ∴Rt△BDG≌Rt△CEF（HL）， ∴BG＝CF＝2， ∴EC＝2， ∴AC＝4cm． 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定、勾股定理、等腰三角形的性质以及正方形的性质，是基础题，比较简单． 8.如图，在半径为6cm的⊙O中，点A是劣弧BC的中点，点D是优弧BC上一点，且∠D＝30°，下列四个结论：①OA⊥BC；②BC＝6cm；③sin∠AOB＝；④四边形ABOC是菱形．其中正确结论的序号是（ ） A ①③ B. ①②③④ C. ②③④ D. ①③④ 【答案】B 【解析】∵点A是劣弧的中点，OA过圆心， ∴OA⊥BC，故①正确； ∵∠D=30°， ∴∠ABC=∠D=30°， ∴∠AOB=60°， ∵点A是劣弧的中点， ∴BC=2CE， ∵OA=OB， ∴OA=OB=AB=6cm， ∴BE=AB•cos30°=6×=3cm， ∴BC=2BE=6cm，故②正确； ∵∠AOB=60°， ∴sin∠AOB=sin60°=， 故③正确； ∵∠AOB=60°， ∴AB=OB， ∵点A是劣弧的中点， ∴AC=AB， ∴AB=BO=OC=CA， ∴四边形ABOC是菱形， 故④正确． 故选B． 考点：1.垂径定理；2.菱形的判定；3.圆周角定理；4.解直角三角形． 9.如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上运动，过点作轴于点，以为对角线作矩形连结则对角线的最小值为 ． 【答案】1 【解析】先利用配方法得到抛物线的顶点坐标为（1，1），再根据矩形的性质得BD=AC，由于AC的长等于点A的纵坐标，所以当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，最小值为1，从而得到BD的最小值． 【详解】∵y=x2-2x+2=（x-1）2+1， ∴抛物线的顶点坐标为（1，1）， ∵四边形ABCD为矩形， ∴BD=AC， 而AC⊥x轴， ∴AC的长等于点A的纵坐标， 当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，最小值为1， ∴对角线BD的最小值为1． 故答案为1． 10.如图，矩形ABCD中，BC＝4，CD＝2，以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，连接BD，则阴影部分的面积为　　．（结果保留π） 【答案】π 【分析】连接OE，如图，利用切线的性质得OD＝2，OE⊥BC，易得四边形OECD为正方形，先利用扇形面积公式，利用S正方形OECD﹣S扇形EOD计算由弧DE、线段EC、CD所围成的面积，然后利用三角形的面积减去刚才计算的面积即可得到阴影部分的面积． 【解答】解：连接OE，如图， ∵以AD为直径的半圆O与BC相切于点E， ∴OD＝2，OE⊥BC， 易得四边形OECD为正方形， ∴由弧DE、线段EC、CD所围成的面积＝S正方形OECD﹣S扇形EOD＝224﹣π， ∴阴影部分的面积2×4﹣（4﹣π）＝π． 故答案为π． 11.已知，正六边形ABCDEF在直角坐标系内的位置如图所示，A（﹣2，0），点B在原点， 把正六边形ABCDEF沿x轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转60°，经过2015次翻 转之后，点B的坐标是______． 【答案】（4031，） 12.如图，矩形ABCD中，对角线AC＝2，E为BC边上一点，BC＝3BE，将矩形ABCD沿AE所在的直线折叠，B点恰好落在对角线AC上的B′处，则AB＝　　． 【答案】 【分析】先根据折叠得出BE＝B′E，且∠AB′E＝∠B＝90°，可知△EB′C是直角三角形，由已知的BC＝3BE得EC＝2B′E，得出∠ACB＝30°，从而得出AC与AB的关系，求出AB的长． 【解答】解：由折叠得：BE＝B′E，∠AB′E＝∠B＝90°， ∴∠EB′C＝90°， ∵BC＝3BE， ∴EC＝2BE＝2B′E， ∴∠ACB＝30°， 在Rt△ABC中，AC＝2AB， ∴ABAC2， 故答案为：． 13.如图，菱形ABCD的边长为6，∠ABC＝60°，则对角线AC的长是　　． 【答案】6 【分析】由菱形ABCD中，∠ABC＝60°，易证得△ABC是等边三角形，继而求得对角线AC的长． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC， ∵∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AC＝AB＝6． 故答案为：6． 14.如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF给出下列五个结论：①AP=EF；②AP⊥EF； ㈢△APD一定是等腰三角形；④∠PEF=∠BAP；⑤PD=EC，其中正确结论的序号是______． 【答案】①②④⑤ 15.如图，矩形纸片ABCD中，AB＝5，BC＝3，先按图（2）操作：将矩形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使点D落在边AB上的点E处，折痕为AF；再按图（3）操作，沿过点F的直线折叠，使点C落在EF上的点H处，折痕为FG，则A、H两点间的距离为　　． 【答案】． 【分析】如图3中，连接AH．由题意可知在Rt△AEH中，AE＝AD＝3，EH＝EF﹣HF＝3﹣2＝1，根据AH，计算即可． 【解答】解：如图3中，连接AH． 由题意可知在Rt△AEH中，AE＝AD＝3，EH＝EF﹣HF＝3﹣2＝1， ∴AH， 故答案为． 16.如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=6，将矩形ABCD折叠，使得点B落在边AD上，记为点G，BC的对应边GI与边CD交于点H，折痕为EF，则AE=_____时，△EGH为等腰三角形． 【答案】4﹣2． 【解析】连接EH，根据余角的性质得到∠AEG=∠DGH，根据全等三角形的性质得到DG=AE，由折叠的性质得到BE=GE，根据勾股定理列方程即可得到结论． 【详解】 如图，连接EH， ∵在矩形ABCD中，∠A=∠D=∠B=∠EGH=90°， ∴∠AGE+∠AEG=∠AGE+∠DGH=90°， ∴∠AEG=∠DGH， ∵△EGH为等腰三角形， ∴EG=GH， 在△AEG与△DGH中，， ∴△AEG≌△DGH， ∴DG=AE， ∵AB=8，AD=6， 将矩形ABCD折叠，使得点B落在边AD上， ∴BE=GE， ∴BE=8﹣AE， ∴AG=6-DG=6-AE， ∵AG2+AE2=GE2， ∴（6-AE）2+AE2=（8﹣AE）2， ∴AE=4﹣2， ∴AE=4﹣2时，△EGH为等腰三角形． 故答案为：4﹣2． 【点睛】本题考查了折叠的性质，以及勾股定理的应用，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，关键是熟练掌握勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． 17.如图，15个形状大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角为60°，A、B、C都在格点上，点D在过A、B、C三点的圆弧上，若E也在格点上，且∠AED＝∠ACD，则cos∠AEC＝　　． 【答案】 【分析】根据菱形的性质结合∠BAM＝60°可得出△ABM为等边三角形，进而可得出点M为圆弧的圆心，将圆补充完整，利用圆周角定理找出点E的位置，再根据菱形的性质即可得出△CME为等边三角形，进而即可得出cos∠AEC的值． 【解答】解：在图中标上点M、E，连接BM， ∵四边形AMCB为菱形， ∴BM⊥AC，BM平分AC． ∵∠BAM＝60°， ∴△ABM为等边三角形， ∴BM＝AM， ∴点M为圆弧的圆心． ∵MC＝ME， ∴以点M为圆心AM长度为半径补充完整圆，点E即是所求，如图所示． ∵所对的圆周角为∠ACD、∠AEC， ∴图中所标点E符合题意． ∵四边形∠CMEN为菱形，且∠CME＝60°， ∴△CME为等边三角形， ∴cos∠AEC＝cos60°＝． 故答案为：． 【点评】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定依据圆周角定理，根据圆周角定理结合图形找出点E的位置是解题的关键． 18.如图，△ABC中，AB＝AC．求作一点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形，并证明你作图的正确性．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【分析】分别以B，C为圆心，以AB长画弧，两弧相交一点，即为D点． 【解答】解：如图即为所求作的菱形 理由如下： ∵AB＝AC，BD＝AB，CD＝AC， ∴AB＝BD＝CD＝AC， ∴四边形ABDC是菱形． 【点评】本题主要考查了菱形的判定，熟练掌握菱形的判定是解决问题的关键． 19. 已知：如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点．判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论． 【答案】四边形MENF菱形. 【解析】∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=∠D=90°，AB=DC， ∵M是AD的中点， ∴AM=DM， 在△ABM和△DCM中， ， ∴△ABM≌△DCM（SAS）； ∴BM=CM， ∵E、F分别是线段BM、CM的中点， ∴ME=BE=BM，MF=CF=CM， ∴ME=MF， 又∵N是BC的中点， ∴EN、FN是△BCM的中位线， ∴EN=CM，FN=BM， ∴EN=FN=ME=MF， ∴四边形MENF是菱形． 点睛：本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的中位线、菱形的判定；熟练掌握矩形的性质，菱形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键． 20.如图1，将矩形ABCD沿DE折叠，使顶点A落在DC上的点A′处，然后将矩形展平，沿EF折叠，使顶点A落在折痕DE上的点G处．再将矩形ABCD沿CE折叠，此时顶点B恰好落在DE上的点H处．如图2． （1）求证：EG=CH； （2）已知AF=，求AD和AB的长． 【答案】（1）见解析（2）AD=+2；AB= 2+2． 【解析】（1）证明：由折叠知AE=AD=EG，BC=CH， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD=BC， ∴EG=CH； （2）解：∵∠ADE=45°，∠FGE=∠A=90°，AF=， ∴DG=，DF=2， ∴AD=AF+DF=+2； 由折叠知∠AEF=∠GEF，∠BEC=∠HEC， ∴∠GEF+∠HEC=90°，∠AEF+∠BEC=90°， ∵∠AEF+∠AFE=90°， ∴∠BEC=∠AFE， 在△AEF与△BCE中， ， ∴△AEF≌△BCE（AAS）， ∴AF=BE， ∴AB=AE+BE=+2+=2+2． 考点：1.翻折变换（折叠问题）；2.全等三角形的判定与性质；3.勾股定理；4.矩形的性质. 21.已知：如图，平行四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD． （1）求证：AB=AF； （2）若AG=AB，∠BCD=120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论． 【答案】（1）证明见解析；（2）结论：四边形ACDF是矩形．理由见解析. 【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BE∥CD，AB=CD， ∴∠AFC=∠DCG， ∵GA=GD，∠AGF=∠CGD， ∴△AGF≌△DGC， ∴AF=CD， 又∵AF∥CD， ∴四边形ACDF是平行四边形， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠BAD=∠BCD=120°， ∴∠FAG=60°， ∵AB=AG=AF， ∴△AFG是等边三角形， ∴AG=GF， ∵△AGF≌△DGC， ∴FG=CG，∵AG=GD， ∴AD=CF， ∴四边形ACDF是矩形． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、矩形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题. 22.如图，抛物线与坐标轴相交于A、B、C三点，P是线段AB上一动点（端 点除外），过P作PD∥AC，交BC于点D，连接CP．求△PCD面积的最大值，并判断当△PCD的面积取最大值时，以PA、PD为邻边的平行四边形是否为菱形． 【答案】PA、PD为邻边的平行四边形不是菱形 解： PA、PD为邻边的平行四边形不是菱形， 理由如下： 设P（x，0）（﹣2＜x＜4）， ∵PD∥AC， ∴， 解得， ∵C到PD的距离（即P到AC的距离）， ∴△PCD的面积， 即， ∴△PCD面积的最大值为3， 当△PCD的面积取最大值时，x=1，PA=4﹣x=3，， ∵PA≠PD， ∴PA、PD为邻边的平行四边形不是菱形． 23.如图，四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，O是AC的中点，AD//BC，AC=8,BD=6.若AC⊥BD，求□ABCD的面积. 【答案】解：∵AD//BC ∴∠DAC=∠ACB ……………………1′[来源:Z,xx,k.Com] ∵点O是AC的中点 ∴AO=CO ……………………2′ ∵∠AOD=∠COB ∴△AOD≌△COB（ASA）……………………3′ ∴AD=BC ∵AD//BC ∴四边形ABCD为平行四边形……………………4′ ∵AC⊥BD ∴□ABCD为菱形 ……………………6′ ∴ …………7′ 24.如图所示，已知四边形ABCD，ADEF都是菱形，∠BAD＝∠FAD，∠BAD为锐角． （1）求证：AD⊥BF； （2）若BF＝BC，求∠ADC的度数． 【解答】（1）证明：如图，连结DB、DF． ∵四边形ABCD，ADEF都是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝DA，AD＝DE＝EF＝FA． 在△BAD与△FAD中， ， ∴△BAD≌△FAD， ∴DB＝DF， ∴D在线段BF的垂直平分线上， ∵AB＝AF， ∴A在线段BF的垂直平分线上， ∴AD是线段BF的垂直平分线， ∴AD⊥BF； 解法二：∵四边形ABCD，ADEF都是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝DA，AD＝DE＝EF＝FA． ∴AB＝AF，∵∠BAD＝∠FAD， ∴AD⊥BF（等腰三角形三线合一）； （2）如图，设AD⊥BF于H，作DG⊥BC于G，则四边形BGDH是矩形， ∴DG＝BHBF． ∵BF＝BC，BC＝CD， ∴DGCD． 在直角△CDG中，∵∠CGD＝90°，DGCD， ∴∠C＝30°， ∵BC∥AD， ∴∠ADC＝180°﹣∠C＝150°． 学科网（北京）股份有限公司 $$