专题12.2 证明（全章分层练习）（基础练）-2023-2024学年七年级数学下册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题12.2 证明（全章分层练习）（基础练） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列语句是命题的是（    ） A．两直线被第三条直线所截 B．过直线外一点作这条直线的垂线 C．百家争鸣思想活跃 D．内错角相等 2．下列命题是真命题的是（    ） A．内错角相等 B．两个锐角的和是锐角 C．同旁内角相等，两直线平行 D．对顶角相等 3．下列问题你不能肯定的是（    ） A．一支铅笔和一瓶矿泉水的体积大小问题 B．三角形与矩形的面积关系 C．三角形的内角和 D．边形的外角和 4．下列命题的逆命题是假命题的是（    ） A．对顶角相等 B．两直线平行，同位角相等 C．若，则 D．若，则 5．下列说法错误的是（       ） A．任何命题都有逆命题 B．任何定理都有逆定理 C．命题的逆命题不一定是真命题 D．定理的逆定理一定是真命题 6．数学中有一些命题的特征是：原命题是真命题，但它的逆命题却是假命题．例如：如果a＞2，那么a2＞4．下列命题中，具有以上特征的命题是（　　） A．两直线平行，同位角相等 B．如果|a|＝1，那么a＝1 C．全等三角形的对应角相等 D．如果x＞y，那么mx＞my 7．下列命题中，是真命题的是（　　） A．同位角相等 B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 C．相等的角是对顶角 D．若，则 8．为说明命题“若，则”是假命题，所列举反例正确的是（   ） A． B． C． D． 9．下列命题：①内错角相等；②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③一个角的两边分别平行另一个角的两边，那么这两个角相等；④若，，则；⑤若，，则．⑥直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离．是真命题的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．试说明“若，，，则”是真命题．以下是排乱的推理过程： ①因为（已知）； ②因为，（已知）； ③所以，（等式的性质）； ④所以（等量代换）； ⑤所以（等量代换）． 正确的顺序是(   ) A．①→③→②→⑤→④ B．②→③→⑤→①→④ C．②→③→①→⑤→④ D．②→⑤→①→③→④ 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．“你喜欢数学吗？”这句话 命题．（填“是”或者“不是”） 12．命题：①邻补角互补；②对顶角相等；③同旁内角互补；④两点之间线段最短．其中真命题是 （填序号）． 13．实验、观察、归纳得到的结论 正确．因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据的 ． 14．请写出命题“如果，那么”的逆命题： ． 15．如图所示，已知，，．下列结论：①；②；③．其中正确的结论是 ．（填序号） 16．命题“全等三角形对应边上的中线相等”是 （填“真”或“假”）命题，将它改写成“如果…那么…”的形式 ． 17．下列命题中是假命题的是 ．（填写命题序号） ①若且，则且； ②若且，则； ③在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行； ④一个锐角的补角比它的余角小． 18．下列命题中，其逆命题成立的是 （填序号） ①同旁内角互补，两直线平行； ②如果三角形的三边长a，b，c（c为最长边）且满足，那么这个三角形是直角三角形． ③如果两个角是直角，那么它们相等； ④如果两个实数相等，那么它们的平方相等； 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（8分）证明命题“三角形的外角和等于”是真命题． 已知： 求证： 证明： 20．（8分）如图，若直线，直线，则，用推理的方法说明它是真命题． 21．（10分）（1）如图，“若，则”该命题是______（填“真命题”或“假命题”）．   （2）若上述命题为真命题，请说明理由；若上述命题为假命题，请你再添加一条件，使该命题成为真命题，并说明理由． 22．（10分）（1）如图，，，求证：； （2）若把（1）中的“”与结论“”对调，所得的命题是否为真命题？试说明理由写出过程．    23．（10分）如图，现有以下三个条件：①，②，③．请你以其中两个作为题设，另一个作为结论组成一个真命题，写出这个真命题（写一个即可），并给予证明． 24．（12分）观察下列算式： 算式①： 算式②： 算式③： … (1)按照以上三个算式的规律，请写出算式④：____________； (2)上述算式用文字可表述为：“两个连续奇数的平方差能被8整除”．若设两个连续奇数分别为，（n为整数），请证明这个命题成立； (3)命题：“两个连续偶数的平方差能被8整除”是____________命题（填“真”或“假”）： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．D 【分析】本题考查了命题的概念，根据命题是能具有判定的语句，由题设和结论组成进行判定即可，掌握命题的概念是解题的关键． 【详解】解：A、两直线被第三条直线所截是陈述句，不是命题，不符合题意； B、过直线外一点作这条直线的垂线是陈述句，不是命题，不符合题意； C、百家争鸣思想活跃是陈述句，不是命题，不符合题意； D、内错角相等，题设是内错角，结论是相等，是命题，符合题意； 故选： D． 2．D 【分析】本题考查判断命题的真假，根据平行线的判定和性质，对顶角，角的和差，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、内错角不一定相等，原选项为假命题； B、两个锐角的和可能是锐角，也可能是直角或钝角，原选项为假命题； C、同旁内角互补，两直线平行，原选项为假命题； D、对顶角相等，原选项为真命题； 故选D． 3．B 【详解】试题解析：A. 二者大小关系一目了然，能肯定； B. 二者面积大小关系不确定，不能肯定； C. 能用三角形的内角和定理判断，能肯定； D. 能用多边形的外角和判断，能肯定； 故选B. 4．A 【分析】本题主要考查了逆命题、真假命题、平行线的性质和判定、对顶角的定义以及有理数的乘方、等式性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 依据平行线的性质和判定、对顶角的定义以及有理数的乘方、等式性质逐项分析判断即可． 【详解】解：A．“对顶角相等”其逆命题为“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”，这个命题是假命题，故符合题意； B．“两直线平行，同位角相等”其逆命题为“同位角相等，两直线平行”，这个命题是真命题，故不符合题意； C．“若，则”其逆命题为“若，则”，这个命题是真命题，故不符合题意； D．“若，则”其逆命题为“若，则”，这个命题是真命题，故不符合题意． 故选：A． 5．B 【分析】本题考查命题与定理，逆定理、互逆定理、原命题、逆命题、互逆命题等知识，解题的关键是掌握基本概念，根据命题，定理的定义对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、任何命题都有逆命题，正确，故本选项不符合题意； B、任何定理不一定都有逆定理，故本选项符合题意； C、命题的逆命题不一定为真命题，故本选项不符合题意； D、定理的逆定理一定是真命题，故本选项不符合题意； 故选：B． 6．C 【分析】分别判断原命题和其逆命题的真假后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、原命题正确，逆命题为同位角相等，两直线平行，正确，为真命题，不符合题意； B、原命题错误，是假命题；逆命题为如果a＝1，那么|a|＝1，正确，是真命题，不符合题意； C、原命题正确，是真命题；逆命题为：对应角相等的三角形全等，错误，是假命题，符合题意； D、当m＝0时原命题错误，是假命题，不符合题意， 故选：C． 【点拨】考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够正确的写出一个命题的逆命题，难度不大． 7．B 【分析】本题考查判断命题的真假，根据平行线的性质和判定，对顶角，等式的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、同位角不一定相等，原命题是假命题； B、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，原命题是真命题； C、对顶角相等，相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题； D、若，则，原命题是假命题； 故选：B． 8．C 【分析】本题考查的是命题的证明和判断，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．根据举反例时需满足题设，而不满足结论求解即可． 【详解】解：A、，则，不是反例，不符合题意； B、，则，不是反例，不符合题意； C、，则，是反例，符合题意； D、，，则，不是反例，不符合题意； 故选：C． 9．B 【分析】本题考查了真假命题以及平行线的性质与判定，垂直的含义，点到直线的距离定义，熟练掌握已经学过的定理，性质和概念是解题的关键．分别利用平行线的判定与性质和点到直线的距离定义以及平行线公理分别分析得出答案． 【详解】解：①两直线平行，内错角相等；原来命题为假命题， ②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；真命题； ③一个角的两边分别平行另一个角的两边，那么这两个角相等或互补；原来命题为假命题， ④若，，则；真命题 ⑤同一平面内，若，，则．原来命题为假命题， ⑥直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到这条直线的距离．原来命题为假命题， ∴真命题有2个； 故选B 10．C 【分析】写出正确的推理过程，进行排序即可． 【详解】证明：因为，（已知）， 所以，（等式的性质）； 因为（已知）， 所以（等量代换）． 所以（等量代换）． ∴排序顺序为：②→③→①→⑤→④． 故选C． 【点拨】本题考查推理过程．熟练掌握推理过程，是解题的关键． 11．不是 【分析】根据命题的定义判断即可 【详解】命题是可以判断真假的陈述句，所以这句话不是命题 故答案为：不是 【点拨】本题考查命题的概念，把握命题概念的要点是关键 12．①②④ 【分析】根据邻补角互补，对顶角相等的性质，线段的性质对各小题分析判断后即可求解． 【详解】解：①邻补角互补，正确； ②对顶角相等，正确； ③被截线不平行则同旁内角不互补，故本小题错误； ④两点之间线段最短，是线段的性质，正确； 正确的有①②④， 故答案为：①②④． 【点拨】本题考查了命题与定理的知识，是对基础知识的综合考查，熟记概念与性质是解题的关键． 13． 不一定， 证明 【解析】略 14．如果，那么 【分析】本题考查了逆命题，根据题意进行解答即可得． 【详解】解：如果，那么的逆命题是如果，那么， 故答案为：如果，那么． 15．①②③ 【分析】根据SSS证明△ABD△FEC，由全等三角形性质，对选项进行分析判断即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴BD=EC， ∵，， ∴△ABD△FEC（SSS）， ∴∠A=∠F，∠B=∠E，∠ADB=∠FCE， ∴，， 所以①②③都正确， 故答案为①②③. 【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，以及平行线的判定定理，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质. 16． 真 如果两个三角形全等，那么对应边上的中线相等 【分析】本题考查了命题的叙述与真假，“全等三角形对应边上的中线相等”的条件是：两个三角形全等，结论是：对应边上的中线相等．据此即可写出所求的形式． 【详解】解：命题“全等三角形对应边上的中线相等”是真命题； “全等三角形对应边上的中线相等”的条件是：两个三角形全等，结论是：对应边上的中线相等．则改写成“如果…那么…”的形式是：如果两个三角形全等，那么对应边上的中线相等． 故答案为：真；如果两个三角形全等，那么对应边上的中线相等． 17．②④/④② 【分析】本题主要考查了真假命题，实数的乘法运算法则，平行线的判定定理，余角与补角的相关运算．①根据乘法法则、加法法则，可判断出a、b的符号；②举出反例，证明错误即可；③根据平行线的判定定理，即可解答；④举出反例，证明错误即可． 【详解】解：①由，可得a，b同号，又∵，∴且，故本项为真命题； ②令，，则，则，故本项为假命题； ③命题：“在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行” 故本项为真命题， ④例如：，的补角：，的余角:，因为，所以一个锐角的补角比它的余角大90°，故本项为假命题． 综上，②④为假命题． 故答案为：②④． 18．①②/②① 【分析】本题考查的是逆命题的概念以及命题的真假判断，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．根据逆命题的概念得出原命题的逆命题，判断即可． 【详解】解：①同旁内角互补，两直线平行的逆命题是两直线平行，同旁内角互补，是真命题； ②如果三角形的三边长a，b，c（c为最长边）且满足，那么这个三角形是直角三角形的逆命题是如果这个三角形是直角三角形，那么三角形的三边长a，b，c（c为最长边）满足，是真命题； ③如果两个角是直角，那么它们相等的逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是直角，是假命题； ④如果两个实数相等，那么它们的平方相等的逆命题是如果两个实数的平方相等，那么两个实数相等，是假命题； 故答案为：①②． 19．见解析 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理及邻补角，熟练运用三角形内角和定理是解题的关键．根据命题证明的解题方法，写出已知、求证，再证明即可． 【详解】已知：如图所示，分别为三个外角， 求证：． 证明：∵，，， ∴ ∵， ∴． 20．见解析 【分析】根据平行线的性质得到，，即可证明． 【详解】已知：如图，直线，直线； 求证：． 证明：如图所示，∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴命题“若直线，直线，则”是真命题． 【点拨】本题主要考查了命题与定理，平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键． 21．（1）假命题；（2）添加（答案不唯一）；证明见解析． 【分析】（1）本问考查真假命题的判定以及平行线的判定，利用平行线的判定方法进而判断即可； （2）本问考查了平行线的性质和判定，正确利用平行线的判定方法求出即可． 【详解】解：（1）假命题； 由图形可知，既不是同位角也不是内错角，即使也不能得到，故该命题为假命题； 故答案为：假命题 （2）添加（答案不唯一）； ∵ ∴. 又∵ ∴， 即 ∴． 22．（1） （2）真命题 【详解】（1）证明： 又 ． （2）真命题，理由如下： ， ． 【点拨】本题考查了平行线的判定与性质，真命题的定义，关键找准判定两直线平行的条件和两直线平行的性质运用． 23．见解析 【分析】根据真命题的概念，结合平行线的判定和性质解答即可． 【详解】答案1：如果①②，那么③为真命题， 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 答案2：如果①③，那么②为真命题， 证明∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 答案3：如果②③，那么①为真命题， 证明∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点拨】本题考查的是命题和定理，掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 24．(1)； (2)证明见解析； (3)假 【分析】（1）观察已知算式的规律，即可得到答案； （2）利用平方差公式，得到，即可证明命题； （3）举反例即可证明命题是假命题． 【详解】（1）解：由已知算式可知，算式④：， 故答案为：； （2）证明：， n为整数， 能被8整除， 即两个连续奇数的平方差能被8整除； （3）解：，不能被8整除， “两个连续偶数的平方差能被8整除”是假命题， 故答案为：假． 【点拨】本题主要考查了平方差公式的应用，判断命题真假，熟练掌握是解题关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$