精品解析：2024年江西省九江市柴桑区第三中学中考三模数学试题

江西省2024年初中学业水平考试数学冲刺 数学冲刺（二） 说明：1．本试题卷满分120分，考试时间为120分钟． 2．请按试题序号在答题卡相应位置作答，答在试题卷或其他位置无效． 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题列出的四个备选项中只有一个选项是符合题意的，请将其代码填涂在答题卡相应位置． 错选、多选或未选均不得分． 1. 下列各数中，倒数等于本身的是（ ） A. B. 2 C. D. 2. “好好学习，天天向上．”如图所示的“上”字形几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 等式成立的条件是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，这是由8个边长相同的正六边形组成的图形，若在5个白色的正六边形中，选择2个涂黑，使涂黑的2个正六边形和原来3个被涂黑的正六边形恰好组成轴对称图形，则选择的方案最多有（ ） A. 10种 B. 9种 C. 8种 D. 6种 6. 如图1，是的直径，C是上的一点，连接，D是上的动点，过点D作于点E． 设，，y与x之间的函数关系的图象如图2所示，若P是图象的最高点，则的长是（ ） A. 10 B. 6 C. 5 D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 若关于x，y的多项式的各项系数之和是5，则“●”代表的数是_________． 8. 在等式“”中，括号内应填入的最简根式为__________． 9. 如图，直线，直角三角板的直角顶点B落在直线a上，顶点A落在直线b上，若，则的度数为_________． 10. 某生物实验室需培育一批有益菌，现有40个有益菌，每个有益菌每次可分裂成若干个相同数目的有益菌，经过两轮分裂后，有益菌的数量为16000个． 设平均每个有益菌每次可分裂成x个有益菌，根据题意，可列方程：_____________． 11. 《蝶几图》的作者是明朝的戈汕，其中记载了如图1所示的一种分割正方形的方式：将大正方形分割为长斜（等腰梯形），右半斜和左半斜（直角梯形），小三斜、大三斜和闺（等腰直角三角形）． 现取右半斜两张，左半斜两张和小三斜两张，拼成如图2所示的图形，若图1中的大正方形的边长为4，则图2中阴影部分的周长是__________． 12. 如图，在矩形中，，E是的中点，P是边上一动点，连接，F是的中点，连接，若是等腰三角形，则线段的长为__________． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算：． （2）如图，，求证：． 14. 解不等式组：，并在如图所示的数轴上表示出它的解集． 15. 某市共青团委员会本着“受教育、长才干、作贡献”的宗旨，组织了大学生返回家乡参与社会实践的活动，并计划让某校学生从“A．条幅标语”“B．互联网推广”“C．宣传橱窗”“D．挂图海报”中随机选择一种宣传方式，对本次活动进行宣传． （1）若小贤参与了此次活动的宣传，则他选择“D．挂图海报”的概率是 ． （2）若在选择“B．互联网推广”的学生中选取3名学生，在选择“C．宣传橱窗”的学生中选取1名学生，从选取的这4名学生中任选2名分享宣传经验，请用画树状图法或列表法，求选取的2名学生恰好都是选择“B．互联网推广”的概率． 16. 如图，这是的正方形网格，四边形的四个顶点都在格点（小正方形的顶点）上，请仅用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中的线段上作点M，使得的长等于与之间的距离． （2）在图2中作线段，使得，且直线平分四边形的面积． 17. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点A，，且直线l经过双曲线的左端点C． （1）求点A的坐标和m的值． （2）平移直线l到直线的位置，使其经过双曲线的右端点D，交x轴于点E，求的长． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 母亲节来临之际，某花店准备用2400元，6000元分两批购进同一种鲜花，且第二批购进的鲜花数量是第一批购进鲜花的数量的2倍，但第二批每枝鲜花的进价比第一批贵 3 元．请问该花店第一批购进了多少枝鲜花？ （1）甲同学和乙同学分别列出了以下方程，请将横线上的内容补充完整． 设该花店第一批购进了x枝印花，由题意得① ． 设② ，由题意得． （2）若该花店给这两批鲜花统一定价25元/枝，在母亲节这天将所有鲜花全部卖出，则花店的利润为多少元？（已知甲、乙两位同学列出的方程都正确，选择其中一个进行计算即可） 19. 某校在七、八年级中开展了安全知识竞赛，现从七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩用x表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．），现在给出了部分信息如下： 七年级10名学生的竞赛成绩：81，86，99，95，90，99，100，82，89，99． 八年级10名学生的竞赛成绩在 C 组中的数据：94，94，93． 八年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 92 92 中位数 92.5 b 众数 c 100 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出a，b，c的值． （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级抽取的学生对安全知识的掌握程度更好？请判断并说明理由．（写出一条即可） （3）若该校七、八年级共800名学生参加了此次竞赛，试估计这800名学生中此次竞赛成绩为优秀（）的学生总人数． 20. 蝴蝶夹子是学生或办公人员经常使用的小文具，图1是某款蝴蝶夹子的实物图，图2是其侧面示意图，，，． （1）求A，B两点之间的距离． （2）求的度数．（参考数据：，） 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，是的切线，C是上一点，且，，D是上的动点，连接．所在的直线与所在的直线相交于点E． （1）求证：是的切线． （2）若的半径为2，当时，求的长． 22. 在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，点B与点A关于该抛物线的对称轴对称，抛物线的顶点为C． （1）求点A，B的坐标． （2）若的面积为，求a的值． （3）如图，已知点，，，，当抛物线与正方形只有2个公共点时，求a的取值范围． 六、解答题（本大题共12分） 23. 课本再现 （1）将两个等腰直角三角形（，）按如图1所示的方式摆放（图中所有的点、线都在同一平面内），则与相似的三角形有 ．（填序号） ①；②；③． 类比迁移 （2）将两个等腰直角三角形（）按如图2所示的方式摆放，点D在边上． ①求证：． ②如图3，若D是的中点，与交于点G，与交于点H，，连接，求的长． 拓展应用 （3）如图4，在中，，点D，E分别在边上，且，若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省2024年初中学业水平考试数学冲刺 数学冲刺（二） 说明：1．本试题卷满分120分，考试时间为120分钟． 2．请按试题序号在答题卡相应位置作答，答在试题卷或其他位置无效． 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题列出的四个备选项中只有一个选项是符合题意的，请将其代码填涂在答题卡相应位置． 错选、多选或未选均不得分． 1. 下列各数中，倒数等于本身的是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了倒数的定义，立方根，分母有理化，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据倒数的定义，逐个进行化简判断即可． 【详解】解：A、，的倒数是，故本选项符合题意； B、2的倒数为，故本选项不符合题意； C、的倒数为，故本选项不符合题意； D、的倒数为2，故本选项不符合题意． 故选：A． 2. “好好学习，天天向上．”如图所示的“上”字形几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，根据从上面看得到的图象是俯视图，可得答案． 【详解】解：俯视图如选项D所示， 故选：D． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类项、完全平方公式、同底数幂相乘、积的乘方以及单项式除以单项式逐一判断即可． 【详解】解：A. ，故此选项错误，不符合题意； B. ，故此选项错误，不符合题意； C. ，故此选项正确，符合题意； D. ，故此选项错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了合并同类项、完全平方公式、同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方以及单项式除以单项式等知识点，活运用相关运算法则是解题的关键灵． 4. 等式成立的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查使得分式有意义的条件，由题意直接根据分母不为0进行分析计算即可. 【详解】解：由题意可得 ，且， 解得： 故选：B. 5. 如图，这是由8个边长相同的正六边形组成的图形，若在5个白色的正六边形中，选择2个涂黑，使涂黑的2个正六边形和原来3个被涂黑的正六边形恰好组成轴对称图形，则选择的方案最多有（ ） A. 10种 B. 9种 C. 8种 D. 6种 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．将五块空白的正六边形变号，逐个判断即可作答． 【详解】如图， 涂黑的方案有：选择、、、、、、、时，均可得到轴对称图形， 即共计有8种， 故选：C． 6. 如图1，是的直径，C是上的一点，连接，D是上的动点，过点D作于点E． 设，，y与x之间的函数关系的图象如图2所示，若P是图象的最高点，则的长是（ ） A. 10 B. 6 C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查动点函数图象问题和垂径定理，过点O作于点G，交于点H，由图象可知此时，，设，则，在中，由勾股定理可列方程，求出，得，从而可求出 【详解】解：如图，过点O作于点G，交于点H， 结合图象知，，， 设，则， 在中， ∴ 解得， ∴ ∴ 故选：C 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 若关于x，y的多项式的各项系数之和是5，则“●”代表的数是_________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了多项式的系数，根据题意直接列式，即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：6． 8. 在等式“”中，括号内应填入的最简根式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法和除法，根据题意，列出二次根式的乘法算式即可求解． 【详解】解：括号内应填入的数为：， 故答案为：． 9. 如图，直线，直角三角板的直角顶点B落在直线a上，顶点A落在直线b上，若，则的度数为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了两直线平行，同位角相等，先确定，根据可得，又直线可求得进而可求解． 【详解】解：如图： ∵直角三角板的直角顶点B落在直线a上， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 10. 某生物实验室需培育一批有益菌，现有40个有益菌，每个有益菌每次可分裂成若干个相同数目的有益菌，经过两轮分裂后，有益菌的数量为16000个． 设平均每个有益菌每次可分裂成x个有益菌，根据题意，可列方程：_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意是解题的关键． 由题意可得． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：． 11. 《蝶几图》的作者是明朝的戈汕，其中记载了如图1所示的一种分割正方形的方式：将大正方形分割为长斜（等腰梯形），右半斜和左半斜（直角梯形），小三斜、大三斜和闺（等腰直角三角形）． 现取右半斜两张，左半斜两张和小三斜两张，拼成如图2所示的图形，若图1中的大正方形的边长为4，则图2中阴影部分的周长是__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理，根据正方形的性质和等腰直角三角形的性质求解即可． 【详解】如图所示， ∵图1大正方形的边长为4， ∴， 由题意可得，，是等腰直角三角形， ∴， 由题意可得，J是的中点， ∴， ∴，即， 由题意可得，，即：， ∴图2中，， ∴由题意可得，图2阴影部分的周长是． 故答案为：． 12. 如图，在矩形中，，E是的中点，P是边上一动点，连接，F是的中点，连接，若是等腰三角形，则线段的长为__________． 【答案】或3或 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形的中位线定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正确添加辅助线是解决本题的关键． ①时，则，，再运用勾股定理即可求解；②时，可得，由，得到，再证明即可求解；③，可得，对运用勾股定理即可求解． 【详解】解：①当时，如图： ∵E是的中点， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴由勾股定理得：； ②当时，连接，如图： ∵E、F为中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴； ③当时，连接，如图： 同②可得， 则在中，由勾股定理得：， ∴， 综上，线段的长为或3或． 故答案为：或3或． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算：． （2）如图，，求证：． 【答案】（1）4； （2）证明：在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，全等三角形的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据绝对值的意义，零指数幂，负整数指数幂分别化简，再计算即可； （2）根据“”即可证明． 【详解】（1）解：原式 ； （2）略 14. 解不等式组：，并在如图所示的数轴上表示出它的解集． 【答案】， 在数轴上表示出不等式组的解集： 【解析】 【分析】本题考查解不等式组及在数轴上表示出不等式组的解集，根据一元一次不等式的解法及不等式组解集的求法求解，再利用不等式组解集在数轴上的表示方法作出图形即可得到答案． 【详解】解：， 由①得； 由②得； 不等式组的解集为， 15. 某市共青团委员会本着“受教育、长才干、作贡献”的宗旨，组织了大学生返回家乡参与社会实践的活动，并计划让某校学生从“A．条幅标语”“B．互联网推广”“C．宣传橱窗”“D．挂图海报”中随机选择一种宣传方式，对本次活动进行宣传． （1）若小贤参与了此次活动的宣传，则他选择“D．挂图海报”的概率是 ． （2）若在选择“B．互联网推广”的学生中选取3名学生，在选择“C．宣传橱窗”的学生中选取1名学生，从选取的这4名学生中任选2名分享宣传经验，请用画树状图法或列表法，求选取的2名学生恰好都是选择“B．互联网推广”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率， （1）根据概率计算公式求解即可； （2）先列出表格得到所有等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵一共有4种计划，且每种计划被选取的概率相同， ∴小贤选择“D．挂图海报”的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：设3名选择“B．互联网推广”的学生分别用E、F、G表示，1名选择“C．宣传橱窗”的学生用M表示，列表如下： E F G M E （F，E） （G，E） （M，E） F （E，F） （G，F） （M，F） G （E，G） （F，G） （M，G） M （E，M） （F，M） （G，M） 由表格可知一共有12种等可能性的结果数，其中都是选择“B．互联网推广”的结果数有种， ∴都是选择“B．互联网推广”的概率为． 16. 如图，这是的正方形网格，四边形的四个顶点都在格点（小正方形的顶点）上，请仅用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中的线段上作点M，使得的长等于与之间的距离． （2）在图2中作线段，使得，且直线平分四边形的面积． 【答案】（1）如图，点M即为所作； （2）线段即为所作； 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质等知识， （1）利用网格图构造相等的角即可作答； （2）利用矩形的性质确定G，连接、交于点Q，连接并延长，与一条水平的网格线交于点P，问题随之得解． 【小问1详解】 解：选取网格点E，连接交于点M， 证明，选取网格点F，如图， 利用勾股定理可得：，，即有四边形是平行四边形，则有， 结合图形，可证明，结合，可得，则有， 即：的长等于与之间的距离； 【小问2详解】 利用矩形的性质确定G，连接、交于点Q，连接并延长，与一条水平的网格线交于点P， 证明：如图， 在（1）中已证明四边形是平行四边形，则过对角线交点的直线必平分平分四边形的面积， 利用勾股定理可得：， 结合网格图可知：， 即，且直线平分四边形的面积． 17. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点A，，且直线l经过双曲线的左端点C． （1）求点A的坐标和m的值． （2）平移直线l到直线的位置，使其经过双曲线的右端点D，交x轴于点E，求的长． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数，一次函数的平移等知识， （1）将代入，可得直线l的解析式为：，进而可得，再根据直线l经过双曲线的左端点C，可得，问题随之得解； （2）结合（1）的结果得反比例函数解析式为：，即可得，根据平移直线到直线，设直线的解析式为：，代入，可得设直线的解析式为：，即可得，问题随之得解． 【小问1详解】 ∵在直线的图象上， ∴，即， ∴直线l的解析式为：， 当时，， 解得：， ∴， ∵直线l经过双曲线的左端点C， ∴当时，， ∴， ∴，即； 【小问2详解】 ∵， ∴反比例函数解析式为：， 当时，， ∴， ∵平移直线到直线， ∴设直线的解析式为：， ∵直线经过， ∴当时，， ∴， ∴设直线的解析式为：， ∴当时，， 解得：， ∴， ∵， ∴． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 母亲节来临之际，某花店准备用2400元，6000元分两批购进同一种鲜花，且第二批购进的鲜花数量是第一批购进鲜花的数量的2倍，但第二批每枝鲜花的进价比第一批贵 3 元．请问该花店第一批购进了多少枝鲜花？ （1）甲同学和乙同学分别列出了以下方程，请将横线上的内容补充完整． 设该花店第一批购进了x枝印花，由题意得① ． 设② ，由题意得． （2）若该花店给这两批鲜花统一定价25元/枝，在母亲节这天将所有鲜花全部卖出，则花店的利润为多少元？（已知甲、乙两位同学列出的方程都正确，选择其中一个进行计算即可） 【答案】（1）①3；②花店第一批鲜花的单价为y元 （2）花店的利润为元 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用， （1）①根据等量关系：第二批的单价第一批的单价3元，设未知数列方程即可；②根据等量关系：第一批鲜花的数量第二鲜花的数量，设未知数列方程即可； （2）根据（1）中的方程，求出花店第一批鲜花购进了只，则第二批进购了只，问题随之得解． 【小问1详解】 （1）①同学甲：设花店第一批鲜花购进了x只，则方程为； ②同学乙：设花店第一批鲜花的单价为y元，则方程为． 故答案是：①3；②花店第一批鲜花的单价为y元； 【小问2详解】 同学甲：设花店第一批鲜花购进了x只，则方程为， 解得． 经检验是原方程的解，且符合题意； 即花店第一批鲜花购进了只，则第二批进购了只； 同学乙：设花店第一批鲜花的单价为y元，则方程为． 解得． 经检验是所列方程的解， 即第一批的价格为元，则第二批的单价为， （枝），（枝）， 则花店第一批鲜花购进了只，则第二批进购了只； 则总的利润为：（元）， 答：花店的利润为元； 19. 某校在七、八年级中开展了安全知识竞赛，现从七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩用x表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．），现在给出了部分信息如下： 七年级10名学生的竞赛成绩：81，86，99，95，90，99，100，82，89，99． 八年级10名学生的竞赛成绩在 C 组中的数据：94，94，93． 八年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 92 92 中位数 92.5 b 众数 c 100 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出a，b，c的值． （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级抽取的学生对安全知识的掌握程度更好？请判断并说明理由．（写出一条即可） （3）若该校七、八年级共800名学生参加了此次竞赛，试估计这800名学生中此次竞赛成绩为优秀（）的学生总人数． 【答案】（1）40，94，99 （2） 八年级学生掌握安全知识更好，理由： ∵七八年级的平均数相同，八年级的中位数为94，众数是100，这两项指标值均大于七年级相对应的数据， ∴八年级学生掌握安全知识更好； （3）参加此次竞赛活动获得成绩优秀的学生人数估计是320人 【解析】 【分析】本题考查中位数、众数以及样本估计总体． （1）根据中位数、众数的计算方法进行计算即可； （2）比较中位数、众数的大小得出答案； （3）求出样本中七、八年级优秀人数所占的百分比即可． 【小问1详解】 八年级10名学生的竞赛成绩没有低于80分的，且在组中的数据是：94，94，93， ∴组所占的百分比为， ∴， 即， 八年级组的有2人，组的有1人，组有3人，组的有4人， 将组中的数据从小到大排列是：93，94，94， ∴将这10人的成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数是94， 因此中位数是94，即， 七年级10名学生成绩出现次数最多的是99，因此众数是99，即， 故答案为：40；94；99； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 样本中，两个年级成绩的总人数有：， 即：（人） 答：参加此次竞赛活动获得成绩优秀的学生人数估计是320人． 20. 蝴蝶夹子是学生或办公人员经常使用的小文具，图1是某款蝴蝶夹子的实物图，图2是其侧面示意图，，，． （1）求A，B两点之间的距离． （2）求的度数．（参考数据：，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，等腰三角形的性质等知识， （1）连接，证明即可作答； （2）过点P作于点G，在中，，问题随之得解． 【小问1详解】 连接，如图， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴A，B两点之间的距离为厘米； 【小问2详解】 过点P作于点G，如图， ∵，， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∵， ∴． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，是的切线，C是上一点，且，，D是上的动点，连接．所在的直线与所在的直线相交于点E． （1）求证：是的切线． （2）若的半径为2，当时，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线； （2）或 【解析】 【分析】（1）连接，由三角函数得到，然后证明，可得，继而求证； （2）当点D在左侧，且，则，可得，由，则，即可求解；当点D在右侧，且，同理可得，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，当点D在左侧，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图，当点D在右侧，且， 同理可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上所述，或． 【点睛】本题考查了圆的切线的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 22. 在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，点B与点A关于该抛物线的对称轴对称，抛物线的顶点为C． （1）求点A，B的坐标． （2）若的面积为，求a的值． （3）如图，已知点，，，，当抛物线与正方形只有2个公共点时，求a的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3）或者 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，正方形的性质等知识， （1）现根据抛物线对称轴为求出对称轴，再令，可得，结合轴对称的性质可得； （2）将抛物线化为顶点式可得，根据，，可得，且轴，先得出顶点C距离线段的距离为：，再根据，问题得解； （3）画出满足条件的简图，点M的纵坐标与点的纵坐标相同，点N的纵坐标与点的纵坐标相同，据此可得点M的纵坐标为0，点N的纵坐标为，当顶点在点M与点N之间（不含端点）时，或者抛物线刚好经过点E、F时，抛物线与正方形只有2个公共点，据此即可作答． 【小问1详解】 抛物线的对称轴为：， 当时，， ∴， ∵点B与点A关于该抛物线的对称轴对称， ∴； 【小问2详解】 将抛物线化为顶点式为：， ∴， ∵，， ∴，且轴， ∵， ∴抛物线开口朝上， ∴顶点C距离线段的距离为：， ∵的面积为，， ∴， ∴； 【小问3详解】 将抛物线化为顶点式为：， 即顶点坐标为：， 如图， 根据正方形的性质可知：点M的纵坐标与点的纵坐标相同，点N的纵坐标与点的纵坐标相同， ∴点M的纵坐标为0，点N的纵坐标为， 即当顶点在点M与点N之间（不含端点）时，或者抛物线刚好经过点E、F时，抛物线与正方形只有2个公共点， 当顶点在点M与点N之间（不含端点）时 ∴， 解得：， 即此时a的取值范围为：； 当抛物线刚好经过点、F时， 将代入，可得：， 解得：； 综上所述：a的取值范围为：或者． 六、解答题（本大题共12分） 23. 课本再现 （1）将两个等腰直角三角形（，）按如图1所示的方式摆放（图中所有的点、线都在同一平面内），则与相似的三角形有 ．（填序号） ①；②；③． 类比迁移 （2）将两个等腰直角三角形（）按如图2所示的方式摆放，点D在边上． ①求证：． ②如图3，若D是的中点，与交于点G，与交于点H，，连接，求的长． 拓展应用 （3）如图4，在中，，点D，E分别在边上，且，若，，求的长． 【答案】（1）②③； （2）①证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②5；（3）8 【解析】 【分析】（1）由和都是等腰直角三角形，得，继而利用“两角对应相等，两三角形相似”得，； （2）①证明，则，即；②由，得到，求得，可求，再运用勾股定理可求； （3）在上取一点F，连接，使，由，求得， 再证明，得到，则有，即可求解． 【详解】（1）解：∵和都是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， 同理可证：， 故答案为：②③； （2）①略 ②解：同①可证：， ∴，即， ∵， ∴， 解得：（舍负）， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：在上取一点F，连接，使， ∵是的等腰直角三角形，， ∴， 同上可证：， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ ∴， 解得：或（舍）， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形的相关计算，三角形的外角定理，等腰三角形的性质，解题的关键在于发现“一线三等角”的相似，正确添加辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $