贵州省黔西南州金成实验学校2023-2024学年高二下学期第三次质量检测数学试题

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 密封线内不准答题 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………金………………○………………成………………○………………学………………○………………校………………○……………… … 学号：______________姓名：_____________班级：_______________考号：____________________座位号： __ 秘密★启用前 2023—2024学年度第二学期0529第三次质量检测试题 高二 数学 答卷注意事项： 1、 学生必须用黑色（或蓝色）钢笔、圆珠笔或签字笔在试卷上答题。 2、 填涂答题卡必须使用2B铅笔填涂。 3、 答题时字迹要清楚、工整 4、 本卷共19小题，总分为150分。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列函数求导正确的是（   ） A． B． C． D． 2．设两个正态分布和的密度函数图像如图所示．则有（ ） A. B. C. D. 3．五一假期，小明和他的同学一行四人决定去看电影，从《功夫熊猫4》、《维和防暴队》、《哥斯拉大战金刚2》这三部电影中，每人任选一部电影，则不同的选择共有（ ） A．9种 B．36种 C．64种 D．81种 0 1 2 4．已知随机变量X的分布列如下： 则随机变量X的期望（    ） A． B． C． D．2 5．某公司收集了某商品销售收入（万元）与相应的广告支出（万元）共10组数据（），绘制出散点图如右图，并利用线性回归模型进行拟合.若将图中10个点中去掉点后再重新进行线性回归分析，则下列说法正确的是（    ） A．决定系数变小 B．残差平方和变小 C．相关系数的值变小 D．解释变量与预报变量相关性变弱 6．一个袋子中装有6个红球和4个白球，假设每个球被摸到的可能性是相等的．从袋子中摸出2个球，其中白球的个数为X，则X的数学期望是（    ）． A． B． C． D． 7．已知随机变量X服从正态分布，且，则（ ） A．0.9 B．0.1 C．0.6 D．0.4 8．设随机变量X服从正态分布，则成立的一个必要不充分条件是 A．或2 B．或2 C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对得得部分分，有选错的得0分。 9．下列说法正确的是（    ） A．相关系数r越大，两变量的线性相关程度越强 B．若一组数据，，，…，的方差为2，则，，，…，的方差为2 C．若随机变量X服从正态分布，，则 D．若，，，则 10.已知曲线，，则下列结论正确的有（    ） A．若，则曲线是圆 B．若，则曲线是焦点在轴上的椭圆 C．若，则曲线是焦点在轴上的双曲线 D．曲线可能是抛物线 11．已知，则下列结论成立的有（    ） A． B． C． D． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知离散型随机变量服从二项分布，则 . 13．已知随机变量服从正态分布，且，若，则 ． 14. 投掷一枚质地并不均匀的硬币，结果只有正面和反面两种情况，记每次投掷结果是正面的概率为p（）.现在连续投掷该枚硬币10次，设这10次的结果恰有2次是正面的概率为，则 ；（用含p的代数式作答）函数取最大值时， . 4、 解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤。 15.某班从6名班干部（其中男生4人，女生2人）中选3人参加学校学生会的干部竞选． （1）设所选3人中女生人数为，求的分布列及数学期望； （2）在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率． 16.某市高二学生进行了体能测试，经分析，他们的体能成绩X服从正态分布N（μ，σ2），已知P（X≤75）=0.5，P（X≥95）=0.1 （Ⅰ）求P（75＜X＜95）； （Ⅱ）现从该市高二学生中随机抽取3位同学，记抽到的3位同学中体能测试成绩不超过75分的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望． 17.当今社会面临职业选择时，越来越多的青年人选择通过创业、创新的方式实现人生价值.小明是一名刚毕业的大学生，通过直播带货的方式售卖自己家乡的特产，下面是他近5个月的家乡特产收入y（单位：万元）的情况，如表所示. 月份 5 6 7 8 9 时间代号t 1 2 3 4 5 家乡特产收入y 3 2.4 2.2 2 1.8 （1）根据5月至9月的数据，求y与t之间的样本相关系数（精确到0.001），并判断相关性； （2）求出y关于t的经验回归方程（结果中保留两位小数），并预测10月收入能否突破1.5万元，请说明理由. 附：样本相关系数r＝.一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其经验回归方程＝x＋的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝，＝－. tiyi＝31.4，＝10，＝0.848，.9120 18.为了适应市场需求，同时兼顾企业盈利的预期，某科技公司决定增加一定数量的研发人员，经过调研，得到年收益增量（单位：亿元）与研发人员增量（人）的10组数据．现用模型①，②分别进行拟合，由此得到相应的经验回归方程，并进行残差分析，得到如图所示的残差图． 根据收集到的数据，计算得到下表数据，其中. 7.5 2.25 82.50 4.50 12.14 2.88 (1)根据残差图，判断应选择哪个模型；（无需说明理由） (2)根据（1）中所选模型，求出关于的经验回归方程；并用该模型预测，要使年收益增量超过8亿元，研发人员增量至少多少人？（精确到1） 19.已知函数. （1）若，求曲线在处的切线方程； （2）若，且当时，恒成立，求的取值范围 第7页（共8页） 第8页（共8页） 第1页（共8页） 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1 页 共 2 页 2023—2024学年度第二学期0529第三次质量 检测试题高二年级 数学 学校： 班级：姓名： 座号： 注 意 事 项 1. 答题前请将姓名、班级、考场、座 号和准考证号填写清楚。 2. 客观题答题,必须使用2B铅笔填涂, 修改时用橡皮擦干净。 3. 主观题必须使用黑色签字笔书写。 4. 必须在题号对应的答题区域内作答, 超出答题区域书写无效。 5. 保持答卷清洁完整。 正确填涂 缺考标记 贴条形码区 1 A B C D 2 A B C D 3 A B C D 4 A B C D 5 A B C D 6 A B C D 7 A B C D 8 A B C D 9 A B C D 10 A B C D 11 A B C D 请勿在此区域作答 一.选择题(40分) 二.选择题(18分) 三.填空题(15分) 12 13 14 四.解答题 15 16 第 2 页 共 2 页 请使用2B铅笔填涂选择题答案等选项及考号 17 18 19 2023—2024学年度第二学期0529第三次质量检测答案 年级高二 科目数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．D 【分析】按导数公式及法则逐个求导对比即可. 【详解】由求导公式及法则可知： 对于选项A，，所以选项A错误； 对于选项B，，所以选项B错误； 对于选项C，，所以选项C错误； 对于选项D，，所以选项D正确. 故选：D 2．根据正态分布函数的性质：正态分布曲线是一条关于对称，在处取得最大值的连续钟形曲线；越大，曲线的最高点越底且弯曲较平缓；反过来，越小，曲线的最高点越高且弯曲较陡峭，选A． 3．D 【分析】由分步计数原理求解. 【详解】四人依次选择电影，每人都有3种选择， 则不同的选择共有种. 故选：D. 4．B 【分析】由分布列中概率的性质求出，再根据离散型随机变量的数学期望公式计算即可． 【详解】由得， ， 故选：B． 5．B 【分析】从图中分析得到去掉点后，回归效果更好，再由决定系数，残差平方和，相关系数和相关性的概念和性质作出判断. 【详解】从图中可以看出点较其他点，偏离直线远，故去掉点后，回归效果更好， 故决定系数会变大，更接近于1，残差平方和变小， 相关系数的绝对值，即会更接近于1，由图可得与正相关，故会更接近于1， 即相关系数的值变大，解释变量与预报变量相关性变强， 故A、C、D错误，B正确. 故选：B. 6．A 【分析】由题意可知可取，然后利用超几何分布公式求出相应的概率，从而求解出期望. 【详解】由题意知， 则，，． 所以．故A正确. 故选：A. 7．B 【分析】随机变量服从正态分布，得到曲线关于对称，根据曲线的对称性得到小于等于0的概率和大于等于2的概率是相等的得到结果． 【详解】解：随机变量服从正态分布， 曲线关于对称， 故选：B． 8．B 【详解】试题分析：若等式成立，那么，解得，解得或，所以必要不充分条件是． 考点：1．正态分布；2．必要不充分条件． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对得得部分分，有选错的得0分。 9．【解题思路】由相关系数的实际意义判断A；由方差性质判断B；根据正态分布对称性求概率判断C；应用全概率公式、条件概率公式求概率判断D. 【解答过程】A：相关系数r的绝对值越大，两变量的线性相关程度越强，错； B：由，则，对； C：由正态分布的对称性知：，对； D：由， 而， 所以，对. 故选：BCD. 10．AC 【分析】根据圆、椭圆、双曲线以及抛物线的标准方程，可得答案. 【详解】对于A，由题意不妨设，则方程，化简可得， 所以方程的图象为圆心是原点，半径为的圆，故A正确； 对于B，整理方程，可得，由，则， 则方程表示的图象是焦点在轴上的椭圆，故B错误； 对于C，整理方程，可得，由，则， 则方程表示的图象是焦点在轴上的双曲线，故C正确； 对于D，方程显然不存在一次项，所以不能表示抛物线，故D错误. 故选：AC. 11．ABD 【分析】设，可得出，可判断A选项；利用二项展开式通项可判断B选项；由可判断C选项；由可判断D选项. 【详解】设， 对于A选项，，A对； 对于B选项，的展开式通项为， 所以，，B对； 对于CD选项，， 解得，，C错D对. 故选：ABD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 【分析】利用二项分布的方差公式直接计算. 【详解】因为随机变量X服从二项分布， 所以. 故答案为：. 13．1 【分析】根据题意，结合正态分布曲线的对称性和性质，即可求解. 【详解】由随机变量服从正态分布，且，所以 ， 又由，所以． 故答案为：. 14．【答案】 【详解】10次的结果恰有2次是正面的概率为. 因此. 令，得. 当时，；当时，. 所以在上单调递增，在上单调递减， 当时，函数取最大值. 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤。 15．(1)分布列见解析，1；(2) 【详解】(1)先确定ξ得可能取值为 0,1,2,然后求出每一个值对应的概率.列出分布列,求出数学期望. (2)本小题的关键是计算出男生甲被选中的种数为,女生乙也被选中的 种数为. （1）ξ得可能取值为 0,1,2 ξ 0 1 2 p 由题意P(ξ=0)=, P(ξ=1)=, P(ξ=2)= ∴ξ的分布列、期望分别为：   Eξ=0×+1×+2 ×=1 （2）设在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的事件为C 男生甲被选中的种数为,男生甲被选中，女生乙也被选中的 种数为 ∴P(C)= 16．解：解：（Ⅰ）∵体能成绩X服从正态分布N（μ，σ2），P（X≤75）=0.5，P（X≥95）=0.1， ∴P（75＜X＜95）=1﹣P（X≤75）﹣P（X≥95） =1﹣0.5﹣0.1=0.4． ξ 0 1 2 3 P （Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，3， P（ξ=0）==， P（ξ=1）=， P（ξ=2）==， P（ξ=3）==， ∴ξ的分布列为： E（ξ）==． 17．解：（1）由5月至9月的数据可知＝＝3， ＝＝2.28， tiyi＝1×3＋2×2.4＋3×2.2＋4×2＋5×1.8＝31.4， ＝4＋1＋0＋1＋4＝10， ＝0.722＋0.122＋0.082＋0.282＋0.482＝0.848， 所以r＝ ＝＝≈－0.962. 因为样本相关系数的绝对值｜r｜＝｜－0.962｜＝0.962＞0.75， 所以认为y与t具有很强的线性相关关系. （2）由题得＝12＋22＋32＋42＋52＝55，＝＝＝＝－0.28， 所以＝－＝2.28－（－0.28）×3＝3.12， 所以y关于t的经验回归方程为＝－0.28t＋3.12. 当t＝6 时，＝－0.28×6＋3.12＝1.44， 因为1.44 ＜1.5，所以10月收入从预测看不能突破1.5万元. 18．【详解】（1）选择模型②，理由如下： 由于模型②残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型②带状宽度窄， 所以模型②的拟合精度更高，回归方程的预报精度相应就会越高，所以选模型②比较合适； （2）根据模型②，令与可用线性回归来拟合，有， 则， 所以， 则关于的经验回归方程为． 所以关于的经验回归方程为， 由题意，，解得，又为整数，所以， 所以，要使年收益增量超过8亿元，研发人员增量至少为10人． 19．（1）；（2）. 【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数的几何意义可求切线斜率，进而可求切线方程； （2）问题可转化为求解函数在区间上的最小值，求导后对实数分和两种情况讨论，求出，然后解不等式，即可求得实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，， 由题意可得，，切线斜率， 故曲线在处的切线方程，即； （2）. ①若，则对任意的，，则函数在上单调递减，则只要， 解可得，，不合题意，舍去； ②若，当时，，当时，， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 故只要，，解得. 综上可得，的范围为. 【点睛】本题考查利用导数求函数的切线方程，同时也考查了利用导数研究函数不等式恒成立问题，一般转化为与函数最值相关的不等式求解，考查分类讨论思想的应用，属于中等题. 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1页（共 4页） 第 2页（共 4页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … … … … … … ○ … … … … … … 金 … … … … … … ○ … … … … … … 成 … … … … … … ○ … … … … … … 学 … … … … … … ○ … … … … … … 校 … … … … … … ○ … … … … … … … 学 号 ： __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 ： __ __ __ __ __ __ _班 级 ： __ __ __ __ __ __ __ _考 号 ： __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ 座 位 号 ： __ 秘密★启用前| 2023—2024 学年度第二学期 0529 第三次质量检测试题 高二 数学 答卷注意事项： 1、学生必须用黑色（或蓝色）钢笔、圆珠笔或签字笔在试卷上答题。 2、填涂答题卡必须使用 2B 铅笔填涂。 3、答题时字迹要清楚、工整 4、本卷共 19 小题，总分为 150 分。 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。 1.下列函数求导正确的是（ ） A． 2 1 1 x x       B．  cos sinx x  C．  e ex x   D．  3 2 22 6 2x x x x   2．设两个正态分布 21 1 1( )( 0)N    ， 和 2 2 2 2( )( 0)N    ， 的密度函数图 像如图所示．则有（ ） A. 1 2 1 2,     B. 1 2 1 2,     C. 1 2 1 2,     D. 1 2 1 2,     3．五一假期，小明和他的同学一行四人决定去看电影，从《功夫熊猫 4》、《维和防暴队》、《哥斯拉大战 金刚 2》这三部电影中，每人任选一部电影，则不同的选择共有（ ） A．9 种 B．36 种 C．64 种 D．81 种 4．已知随机变量 X的分布列如下： 则随机变量 X的期望  E X （ ） A． 2 3 B． 4 3 C． 5 3 D．2 5．某公司收集了某商品销售收入 y（万元）与相应的广告 支出 x（万元）共 10 组数据  ,i ix y （ 1, 2,3, ,10i   ），绘 制出散点图如右图，并利用线性回归模型进行拟合.若将图中 10 个点中去掉A点后再重新进行线性回归分析，则下列说法 正确的是（ ） A．决定系数 2R 变小 B．残差平方和变小 C．相关系数 r的值变小 D．解释变量 x与预报变量 y相关性变弱 6．一个袋子中装有 6 个红球和 4 个白球，假设每个球被摸到的可能性是相等的．从袋子中摸出 2 个球，其 中白球的个数为 X，则 X的数学期望是（ ）． A． 4 5 B． 3 5 C． 2 5 D． 1 5 7．已知随机变量 X 服从正态分布 2(1, )N ，且 ( 0) 0.1P X   ，则 ( 2)P X  （ ） A．0.9 B．0.1 C．0.6 D．0.4 8．设随机变量 X 服从正态分布 (3,4)N ，则 P（X < （1 − 3a）） = P(X > （a2 + 7））成立的一个必要不充 分条件是 A． 1a  或 2 B． 1a   或 2 C． 2a  D． 3 5 2 a  二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得 6分，部分选对得得部分分，有选错的得 0分。 9．下列说法正确的是（ ） A．相关系数 r越大，两变量的线性相关程度越强 B．若一组数据�1，�2，�3，…，�10的方差为 2，则�1 + 2，�2 + 2，�3 + 2，…，�10 + 2的方差为 2 C．若随机变量 X服从正态分布� 2, �2 ，� � ≤ 3 = 0.64，则� 1 ≤ � ≤ 2 = 0.14 D．若� � = 1 2 ，� � � = 1 4 ，� � � = 2 3 ，则� � = 7 24 10.已知曲线 2 2: 1C mx ny  ，  ,m nR ，则下列结论正确的有（ ） A．若 0m n  ，则曲线C是圆 B．若 0m n  ，则曲线C是焦点在 x轴上的椭圆 C．若 0m n  ，则曲线C是焦点在 x轴上的双曲线 D．曲线C可能是抛物线 11．已知  7 2 70 1 2 72 1x a a x a x a x      ，则下列结论成立的有（ ） A． 7 0 1 7 3a a a    B． 2 84a  C． 7 0 2 4 6 3 1a a a a     D． 7 1 3 5 7 3 1 2 a a a a     三､填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15 分。 12．已知离散型随机变量 X 服从二项分布 18, 2 B      ，则  D X  . 13．已知随机变量 X 服从正态分布，且  1 0.5P X   ，若 2 1Y X  ，则  E Y  ． 14. 投掷一枚质地并不均匀的硬币，结果只有正面和反面两种情况，记每次投掷结果是正面的概率为 p （0 1p  ）.现在连续投掷该枚硬币 10次，设这 10次的结果恰有 2次是正面的概率为 ( )f p ，则 ( )f p  ；（用含 p的代数式作答）函数 ( )f p 取最大值时， p  . 四、解答题：本题共 5小题，共 77 分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤。 X 0 1 2 P m 2m 0.5 第 3页（共 4页） 第 4页（共 4页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 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18.为了适应市场需求，同时兼顾企业盈利的预期，某科技公司决定增加一定数量的研发人员，经过调研，得 到年收益增量 y（单位：亿元）与研发人员增量 x（人）的 10 组数据．现用模型① y bx a  ，② y c d x  分别进行拟合，由此得到相应的经验回归方程，并进行残差分析，得到如图所示的残差图． 根据收集到的数据，计算得到下表数据，其中 10 1 1, 10i i ii t x t t     . y t   10 2 1 i i x x     10 2 1 i i t t       10 1 i i i y y x x        10 1 i i i y y t t    7.5 2.25 82.50 4.50 12.14 2.88 (1)根据残差图，判断应选择哪个模型；（无需说明理由） (2)根据（1）中所选模型，求出 y关于 x的经验回归方程；并用该模型预测，要使年收益增量超过 8 亿元，研 发人员增量至少多少人？（精确到 1） 19.已知函数      3 22 3 1 6 10f x x m x mx m m R      . （1）若 0m  ，求曲线  y f x 在 1x  处的切线方程； （2）若 0m  ，且当  1 3,x  时，   0f x  恒成立，求m的取值范围