2024年湖南省永州市李达中学中考三模数学试题

2024 年湖南省永州市李达中学中考三模 数学试卷 一、选择题(每小题 3 分，共 30 分) 1. - 1 3 的相反数是 ( ) 𝐴𝐴.−1 3 B. 1 3 C. 3 D. -3 2. 2024 年 1 月 26 日春运首日，我国铁路发送旅客 1060 万人次，其中 1060 万用科学记 数法表示为 ( ) 𝐴𝐴. 1.06 × 10⁷ 𝐵𝐵. 1.06 × 10⁸ 𝐶𝐶. 1.06 × 10⁵ 𝐷𝐷. 1.06 × 10⁶ 3.下列汽车图标，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 ( ) 4.下列事件中，是必然事件的是( ) A.购买一张彩票中奖. B.射击运动员射击一次，命中靶心. C.经过不同的两点，能作出两条不同的直线. D.将实心铁球放在水中，铁球下沉. 5.下列计算正确的是 ( ) 𝐴𝐴. (𝑎𝑎³)² = 10⁹ 𝐵𝐵.𝑎𝑎³ ⋅ 𝑎𝑎² = 𝑎𝑎⁶ 𝐶𝐶. 𝑎𝑎⁶ ÷ 𝑎𝑎² = 𝑎𝑎⁴ 𝐷𝐷. (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)² = 𝑎𝑎² + 𝑏𝑏² 6. 如图, AB∥CD, AD⊥AC.若∠2=53°, 则∠1 的度数为( ) A. 37° B. 43° C. 47° D. 53° 7.关于 x 的一元二次方程 𝑥𝑥² + 𝑚𝑚𝑥𝑥 − 4 = 0的根的情况是 ( ) A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定 8.已知正比例函数 y₁的图象和反比例函数 y₂的图象相交于点 A(2，-4)和点 B.下列说法正 确的是 ( ) A.反比例函数的解析式为 𝑦𝑦2 = 8 𝑥𝑥 B.y2随 x 值的增大而增大 C. 当-2<x<0 或 x>2 时, 𝑦𝑦₁ < 𝑦𝑦₂ D. 在 x 轴上不存在点 C, 使△BOC∽△BCA 9. 如图, 在△ABC 中, D 是 AC 边上的中点, 连接 BD,把△BDC 沿 BD 翻折, 得到△BDC', DC'与 AB 交于点 E, 连接 AC', 若 AD=AC'=2, BD=3, 则下列结论中错误的是 ( ) A. C'D=2 B. BC'=BC C. ∠C'AD=60° D. △BCD 的面积为 3 √3 10.如果一个整数是另一个整数的平方，那么我们就把这个整数称为“平方数”，如 0， 1，4，9，16…都是平方数；如果一个整数是两个整数的平方和，那么我们就把这个整 数称为“亚平方数”.如： 0 = 0² + 0², 1 = 0² + 1², 5 = 1² + 2², 13 = 22 + 32·所以 0， 1， 5，13…都是亚平方数.下面关于“平方数”和“亚平方数”的结论中，错误的是 ( ) A.任何一个平方数一定是亚平方数 B. 一个平方数与一个亚平方数的积一定是一个亚平方数 C.两个亚平方数的积一定是一个亚平方数 D.两个亚平方数的和一定是一个亚平方数 二、填空题(每小题 3 分，共 24 分) 11. 4 的平方根是 · 12. 代数式 1 √3−𝑥𝑥 有意义时，x 应满足的条件是 . 13. 分解因式: a²b+2ab+b= . 14.甲、乙两人进行排球垫球比赛，每人各垫球 5 次，甲的成绩(单位：个)为：38、32、 40、35、30.甲、乙两人的平均成绩相等, 乙成绩的方差为 12, 则甲、乙两人中成绩较为 稳定的是 .(填“甲”或“乙”). 15. 如图, 矩形 ABCD 中, O 为 AC 的中点.对角线 AC 的垂直平分线 EF 分别交 BC、AD 于 点 E、F,若 BE=3,AF=5, 则△EOC 的面积是 . 16.《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知 长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何?”意思是：用一根绳 子去量一根木头的长，绳子还剩余 4.5 尺；将绳子对折再量木头，木头还剩余 1 尺，则 木头长多少尺?在这道题中，木头长是 尺. 17.如图,二次函数 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑥𝑥² + 𝑏𝑏𝑥𝑥 + 𝑐𝑐(𝑎𝑎⟩0)的图象与 x 轴交于点(x1,0)、(2,0), 其中 0 < 𝑥𝑥₁ < 1.下列四个结论：①abc<0, ②a+b+c<0, ③a+2b+4c>0,④2a+b<0.其中正确结论的序号 是 (将所有正确结论的序号都填上). O 18. 如图①②③④分别是⊙O 的内接正三角形、正方形、正五边形、正 n 边形，点 M、 N 分别从点 B、C 开始以相同的速度在⊙O 上逆时针运动，连接 AM、BN 交于点 P.在图 ①②③中, ∠APN 的度数分别为 60°、 90°、 108°, 则在图④中∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴= (用含 n 的 代数式表示). 三、解答题(共 8 道题，满分 66 分) 19. (6 分) 先化简, 再求值: �𝑎𝑎 + 9−4𝑎𝑎 𝑎𝑎−2 � ÷ 𝑎𝑎 2−9 𝑎𝑎−2 , 其中 𝑎𝑎 = √3 − 2. 20.(6 分) 解不等式组 � 2𝑥𝑥 − 5 < 3(𝑥𝑥 − 1) ① 4 3 𝑥𝑥 + 1 ≤ 3 − 2𝑥𝑥 3 ② , 并将解集表示在数轴上. 21.(8 分)某校为了解初中学生每天在校体育活动的时间(单位：h)，随机调查了该校的部 分初中学生，根据调查结果，绘制出如下统计图. 请根据相关信息，解答下列问题： (1)本次接受调查的初中学生人数为 ，图(1)中 m 的值为 ； (2)求接受调查的学生每天在校体育活动时间的平均数、众数和中位数； (3)若接受调查的学生中，每天在校体育活动时间小于 1h 的 4 人中，有男、女学生各 2 人.现从这 4 人中随机选取 2 人，求选取的 2 人中，恰好是一男一女的概率. 22.(8 分)湘沙中学为了丰富学生的课余生活，计划购买围棋和中国象棋供学生使用.若购 买 3 副围棋和 5 副中国象棋需要 109 元，购买 5 副围棋和 8 副中国象棋需要 178 元. (1)求每副围棋和每副中国象棋各多少元； (2)湘沙中学决定购买围棋和中国象棋共 50 副，总费用不超过 750 元，那么湘沙中学最 多可以购买多少副围棋? 23.(8 分)五轮塔位于长沙市岳麓山区，是北伐阵亡将士纪念塔.如图，小涵的身高 CD 为 1.68 米.他站在 D 处测得塔顶的仰角∠ACG=45°.小颖的身高 EF 为 1.48 米，她站在距离 塔底中心 B 点 m 米远的 F 处.测得塔顶的仰角. ∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 55°(点 D、B、F 在同一水平线 上，参考数据； 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠55° ≈ 0.82, 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠55° ≈ 0.57, 𝑡𝑡𝑎𝑎𝑠𝑠55° ≈ 1.4). (1)求小涵与塔底中心的距离 BD (用含 m 的式子表示). (2)若小涵与小颖相距 16.6 米,求五轮塔的高度 AB (精确到 0.1 米). 24.(8 分)如图, 在 Rt△ABC 中, . ∠𝐴𝐴𝐶𝐶𝐵𝐵 = 90°..以 AC 为直径作⊙O 交 AB 于点 D,E 为 BC 的 中点，连接 DE 并延长交 AC 的延长线于点 F. (1) 求证: DE 是⊙O 的切线. (2) 若 CF=3, DF=6.求⊙O 的面积. E F 25. (10 分)在 Rt△ABC 中, ∠ABC=90°, ∠ACB=30°.将△ABC 绕点 C 顺时针旋转一个角度 α 得到△DEC, 点 A、 B 的对应点分别为 D、 E. (1) 若点 E 恰好落在边 AC 上, 如图(1), 连接 AD,求∠ADE 的大小; (2)若 α=60°, F 为 AC 的中点, 如图(2), 连接 BF, DF, BE,求证: 四边形 BEDF 是平行四边形. (3) 若 α=90°, 如图(3).连接 AD、BE, 且 BE 与 AC、AD 分别交于点 G、H ，求证: 𝐴𝐴𝐷𝐷² = 𝐴𝐴𝐻𝐻 ⋅ 𝐴𝐴𝐵𝐵. 26. (12 分)如图, 已知抛物线. 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑥𝑥² + 𝑏𝑏𝑥𝑥 + 5经过 A(-5,0)、 B(-4,-3)两点, 与 x 轴的另一 个交点为 C，顶点为 D，连接 CD，点 P 为抛物线上一动点. (1)求抛物线的表达式. (2)若点 P 在直线 BC 的下方运动时，过点 P 作 PE⊥BC 交于点 E，过点 P 作 y 轴的平行 线交直线 BC 于点 F.求△PEF 周长的最大值及此时点 P 的坐标. (3)在该抛物线上是否存在点 P，使得∠PBC=∠BCD.若存在，求出所有点 P 的坐标；若 不存在，请说明理由. 2024 年湖南省永州市李达中学中考三模数学答案 一、选择题(每小题 3 分，共 30分) 1. B 2. A 3. B 4. D 5. C 6. A 7. B 8. C 9. D 10. D 二、填空题(每小题 3 分，共 24分) 11. ±2 12. x<3 13. 𝑏𝑏(𝑎𝑎 + 1)² 14. 乙 15. 5 16. 6.5 17. ①②④ 18. (𝑛𝑛−2)180⬚ ∘ 𝑛𝑛 三、解答题(共 8个小题，共 66分) 19. 解: 原式 = 𝑎𝑎 2−6𝑎𝑎+9 𝑎𝑎−2 × 𝑎𝑎−2 𝑎𝑎2−9 = (𝑎𝑎−3) 2 (𝑎𝑎−3)(𝑎𝑎+3) = 𝑎𝑎−3 𝑎𝑎+3 .. …4 分 当 𝑎𝑎 = √3 − 2时，原式 = √3−5 √3+1 = �√3−5��√3−1� �√3+1��√3−1� = 8−6√3 2 = 4 − 3√3⋯⋯. ·6 分 20. 解: 由①: 2x-5<3x-3, ∴-2<x, ∴x>-2 由②:⁴x+2x/₃≤3-1,∴2x≤2, ∴x≤1 ∴解集为-2<x≤1…………………4 分 21. 解: (1) 40, 25 …………………2 分 (2)x=1.5(h),众数为 1.5h,中位数 1.5h…………………5 分 (3)设男生为 A₁、A₂,女生为 B₁、B₂,从中选 2 人的所有可能情形为: A₁A₂、A₁B₁、A₁B₂、A₂B₁、A₂B₂、B₁B₂,共 6 种, 恰 是一男一女的 4 种.∴概率 𝑃𝑃 = 4 6 = 2 3 .…………………8 分 22.解：(1)设围棋每副 x元，中国象棋每副 y元，依题意可列 � 3𝑥𝑥+ 5𝑦𝑦 = 109 5𝑥𝑥+ 8𝑦𝑦 = 178,解得 � 𝑥𝑥 = 18 𝑦𝑦 = 11 答：每副围棋 18 元，每副中国象棋 11 元.………………………4 分 (2)设购买围棋 z副，则可列不等式 18z+11(50-z)≤750, ∴z≤20 07 又∵z 为正整数，∴z 的最大值为 28. 答：最多可以购买 28 副围棋………………………8 分 23. 解: (1)设 BD=x, 则 AG=CH=DB=x, AH=x+0.2. 又在 Rt△AHE 中, AH =HE·tan55°, ∴x+0.2=1.4m.∴x=1.4m-0.2, 即: BD=1.4m-0.2…………………4 分. (2) 由 (1) 知, BD=1.4m-0.2, ∴1.4m-0.2+m=16.6, ∴m=7, ∴DB=16.6-7=9.6. ∴AB=AG+GB=DB+CD=9.6+1.68=11.28≈11.3 米, ∴五轮塔的高度 AB 为 11.3米………………………8 分 24. 解: (1) 连 DC、 OD, 则∠ADC=∠BDC=90°. 又∵E 为 BC中点, ∴ED=EC, ∴∠EDC=∠ECD.又∵OC=OD, ∴∠ODC=∠OCD. 又∵∠OCD+∠ECD=∠ACB=90°.∴∠ODC+∠EDC=90°, 即∠ODE=90°, 初中数学模拟(一)答案 第 1 页 (共 2 页) . ∴DE是⊙O的切线………………………4分 (2) 由(1) 知∠EDC=∠ECD=∠DAF.又∵∠F=∠F, ∴△FDC∽△FAD. ··FD=FA, ∴FC·FA=FD², ∴3×AF=6², ∴AF=12.∴AC=12-3=9, ∴⊙O的半径 𝑟𝑟 = 9 2 ,∴⊙O的面积 𝑆𝑆 = 𝜋𝜋𝑟𝑟2 = 81 4 𝜋𝜋…8分 25.解:(1)∵CA=CD,∠ACD=30°,∴∠DAE=75°,∴∠ADE=15°………………………2分 (2)∵F 为 AC的中点, ∴在 Rt△ABC 中, 由∠ACB=30°,得 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 1 2 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝐵𝐵 = 𝐸𝐸𝐸𝐸. 又∠BCE=60°, 且 EC=BC, ∴△BCE 为正三角形, ∴BE=BC. 又易证△ABC≌△CFD, ∴BC=DF, ∴BE=DF, ∴四边形 BEDF 是平行四边形………………6分 (3)∵CB=CE, ∠BCE=90°, ∴∠CBE=45°, ∴∠ABH=45°. 又∵CA=CD, ∠ACD=90°, ∴∠GAH=45°, 又∠AHG=∠BHA. 𝐻𝐻𝐴𝐴𝐺𝐺∞𝐻𝐻𝐵𝐵𝐴𝐴,∴ 𝐻𝐻𝐻𝐻 𝐻𝐻𝐻𝐻 = 𝐻𝐻𝐻𝐻 𝐻𝐻𝐻𝐻 ,∴ 𝐻𝐻𝐴𝐴2 = 𝐻𝐻𝐺𝐺 ⋅ 𝐻𝐻𝐵𝐵. 过点 A作 AP∥BC 交 BE 于点 P,则 AP∥ED,且 AP=AB=ED,∴四边形 APDE 为平行四边形. ∴H 是 AD的中点,∴HD=HA,∴HD²=HG·HB………………………10 分 26. 解: (1) ∵抛物线过 A(-5,0)、 B(-4,-3)两点, ∴ � 25𝑎𝑎 − 5𝑏𝑏 + 5 = 016𝑎𝑎 − 4𝑏𝑏 + 5 = −3 , ∴ � 𝑎𝑎 = 1 𝑏𝑏 = 6 ∴抛物线为 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥² + 6𝑥𝑥 + 5………………………3 分 (2) 由(1) 令.x²+6x+5=0, ∴x=-5或 x=-1, ∴C(-1,0). 易得直线 BC的解析式为 y=x+1. 设点 𝑃𝑃(𝑡𝑡, 𝑡𝑡² + 6𝑡𝑡 + 5), 则 F(t,t+1).又∵ ∠𝐸𝐸𝑃𝑃𝐵𝐵 = ∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵 = 45⬚∘,∴ 𝑃𝑃𝐸𝐸 = 𝐸𝐸𝐵𝐵 = √2 2 𝑃𝑃𝐵𝐵. 设△PEF 的周长为 l, 则 = −�√2 + 1� ��𝑡𝑡 + 52� 2 − 9 4 � ∴当 𝑡𝑡 = − 5 2 时，周长 l最大为： 9�√2+1� 4 ,此时点 P为 �− 5 2 ,− 15 4 �…7分 (3)存在.连接 BD.∵D(-3,-4), ∴BD= √2, BC=3 √2, CD=2 √5. ∴ 𝐵𝐵𝐴𝐴² + 𝐵𝐵𝐸𝐸² = 𝐴𝐴𝐸𝐸²,∴ ∠𝐴𝐴𝐵𝐵𝐸𝐸 = 90°. (i) 当点 P在直线 BC 下方时, 设 CD 的中点为 M .则 M(-2,-2). 点 P为直线 BM与抛物线的交点(不同于点 B).易得直线 BM 的表达式： 𝑦𝑦 = 1 2 𝑥𝑥 − 1. 由 𝑥𝑥2 + 6𝑥𝑥+ 5 = 12𝑥𝑥− 1得: x=-4 (舍去) 或 𝑥𝑥 = − 3 2 .：此时点 𝑃𝑃 �− 3 2 ,−7 4 �. (ii) 当点 P在直线 BC上方时, BP∥CD. 易得直线 CD的表达式为 y=2x+2, 则可设直线 BP 的表达式为 y=2x+c. 又过点 B(-4,-3), ∴c=5, ∴直线 BP 的表达式为 y=2x+5. 由 𝑥𝑥² + 6𝑥𝑥 + 5 = 2𝑥𝑥 + 5得 x=-4 (舍去) 或 x=0, ∴此时点 P(0,5). 综上可知，存在点 P，其坐标为 �− 3 2 ,− 7 4 �或(0,5)……12分 初中数学模拟(一)答案 第 2 页 (共 2 页)